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SOLUCI ´ ON DEL SEGUNDO PARCIAL DE C ´ ALCULO. 19 DE MAYO DE 2015. MODELO A 1. ( 1.5 puntos) Calcular la masa del s´olido situado en el semiespacio z ≥ 0 que es interior al cilindro x 2 + y 2 - 4=0 y est´a acotado superiormente por el paraboloide z =8 - x 2 - y 2 siendo su funci´on densidad m(x, y, z )=2+ x. En coordenadas cil´ ındricas: Masa= R 2π 0 R 2 0 R 8-r 2 0 r(2 + r cos θ)dzdrdθ = 48π 2. (2 puntos) Encontrar la familia de curvas planas con la siguiente propiedad: para cada punto (x, y(x)) de las curvas, la pendiente de su recta tangente en ese punto es igual a la suma del producto de sus coordenadas m´as el cociente de las mismas (abcisa entre ordenada). La ecuaci´on diferencial que define la familia pedida es: y 0 (x)= xy(x)+ x y(x) . y(x)= ± √ Ke x 2 - 1. 3. (1.5 puntos) (a) Determinar la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa-resorte cuyos par´a- metros son m =1 kg, c =4Ns/m y k = 13 N/m suponiendo que no hay fuerzas externas actuando y que el movimiento comienza en la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 3 m/s. El problema de valor inicial que se plantea es: x 00 (t)+4x 0 (t) + 13x(t)=0 x(0) = 0 x 0 (0) = 3 Su soluci´on es x(t)= e -2t sin 3t. (b) Representar gr´aficamente el movimiento del sistema. ¿C´omo evoluciona el sistema en el tiempo? El sistema oscila inicialmente pero termina par´andose. 4. ( 2 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial: u 00 (x) - 4u 0 (x)+4u(x) = 5 sin x u(0) = 4/5 u 0 (0) = 8/5 u gc (x)= C 1 e 2x + C 2 xe 2x + 3 5 sin x + 4 5 cos x. u pvi (x)= xe 2x + 3 5 sin x + 4 5 cos x.
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SOLUCION DEL SEGUNDO PARCIAL DE CALCULO.19 DE MAYO DE 2015.
MODELO A
1. ( 1.5 puntos) Calcular la masa del solido situado en el semiespacio z ≥ 0 que esinterior al cilindro x2 + y2 − 4 = 0 y esta acotado superiormente por el paraboloidez = 8− x2 − y2 siendo su funcion densidad m(x, y, z) = 2 + x.
En coordenadas cilındricas: Masa=∫ 2π
0
∫ 2
0
∫ 8−r2
0r(2 + r cos θ)dzdrdθ = 48π
2. (2 puntos) Encontrar la familia de curvas planas con la siguiente propiedad: paracada punto (x, y(x)) de las curvas, la pendiente de su recta tangente en ese puntoes igual a la suma del producto de sus coordenadas mas el cociente de las mismas(abcisa entre ordenada).
La ecuacion diferencial que define la familia pedida es: y′(x) = xy(x) +x
y(x).
y(x) = ±√Kex2 − 1.
3. (1.5 puntos)
(a) Determinar la ecuacion del movimiento de un sistema masa-resorte cuyos para-metros sonm = 1 kg, c = 4Ns/m y k = 13N/m suponiendo que no hay fuerzasexternas actuando y que el movimiento comienza en la posicion de equilibriocon una velocidad descendente de 3 m/s.
El problema de valor inicial que se plantea es:
x′′(t) + 4x′(t) + 13x(t) = 0x(0) = 0x′(0) = 3
Su solucion es x(t) = e−2t sin 3t.
(b) Representar graficamente el movimiento del sistema. ¿Como evoluciona elsistema en el tiempo?
El sistema oscila inicialmente pero termina parandose.
4. ( 2 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial:u′′(x)− 4u′(x) + 4u(x) = 5 sinxu(0) = 4/5u′(0) = 8/5
ugc(x) = C1e2x + C2xe
2x + 35sin x+ 4
5cosx.
upvi(x) = xe2x + 35sinx+ 4
5cos x.
5. ( 3 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasy′1 = y1 − y2 − y3y′2 = 2y2 + 3y3y′3 = −y3 + e3t
(a) Calcular una matriz fundamental del sistema homogeneo asociado.
φ(t) =
et −e2t 00 e2t −e−t
0 0 e−t
(b) Calcular la solucion general del problema homogeneo asociado;
y1(t) = C1et − C2e
2t
y2(t) = C2e2t − C3e
−t
y3(t) = C3e−t
(c) Calcular la solucion general del sistema no homogeneo, indicando las expre-siones de las funciones y1(t), y2(t) e y3(t).
y1(t) = C1e
t − C2e2t − 1
2e3t
y2(t) = C2e2t − C3e
−t + 34e3t
y3(t) = C3e−t + 1
4e3t
MODELO B
1. (1.5 puntos) Calcular la masa del solido situado en el semiespacio z ≥ 0 que esinterior al cilindro x2 + y2 − 1 = 0 y esta acotado superiormente por el paraboloidez = 2 + x2 + y2 siendo su funcion densidad m(x, y, z) = 3 + y.
En coordenadas cilındricas: Masa=∫ 2π
0
∫ 1
0
∫ 2+r2
0r(3 + r sin θ)dzdrdθ = 15
2π
2. ( 2 puntos) Encontrar la familia de curvas planas con la siguiente propiedad: paracada punto (x, y(x)) de las curvas, la pendiente de su recta tangente en ese puntoes igual a la suma del producto de sus coordenadas mas el doble del cociente de lasmismas (abcisa entre ordenada).
La ecuacion diferencial que define la familia pedida es: y′(x) = xy(x) + 2x
y(x).
y(x) = ±√Kex2 − 2.
3. (1.5 puntos)
(a) Determinar la ecuacion del movimiento de un sistema masa-resorte cuyos pa-rametros son m = 1 kg, c = 8Ns/m y k = 20N/m suponiendo que no hayfuerzas externas actuando y que la masa se libera 1 metro por debajo de laposicion de equilibrio sin velocidad inicial.
El problema de valor inicial que se plantea es:
x′′(t) + 8x′(t) + 20x(t) = 0x(0) = 1x′(0) = 0
Su solucion es x(t) = e−4t cos 2t+ 2e−4t sin 2t.
(b) Representar graficamente el movimiento del sistema. ¿Como evoluciona elsistema en el tiempo?
El sistema termina parandose.
4. ( 2 puntos) Resolver el siguiente problema de valor inicial:u′′(x)− 6u′(x) + 9u(x) = cosxu(0) = 2/25u′(0) = 22/50
ugc(x) = C1e3x + C2xe
3x + 225cosx− 3
50sinx.
upvi(x) =12xe3x + 2
25cosx− 3
50sinx.
5. ( 3 puntos) Se considera el sistema de ecuaciones diferenciales ordinariasy′1 = y1 − 2y2 + 2y3y′2 = −y2 + 3y3y′3 = 3y3 + e2t
(a) Calcular una matriz fundamental del sistema homogeneo asociado.
φ(t) =
e−t et e3t
e−t 0 3e3t
0 0 4e3t
(b) Calcular la solucion general del problema homogeneo asociado;
y1(t) = C1e−t + C2e
t +3 e3t
y2(t) = C1e−t + 3C3e
3t
y3(t) = 4C3e3t
(c) Calcular la solucion general del sistema no homogeneo, indicando las expre-siones de las funciones y1(t), y2(t) e y3(t).
y1(t) = C1e−t + C2e
t +3 e3t − e2t
y2(t) = C1e−t + 3C3e
3t − e2t
y3(t) = 4C3e3t
