Mariella Janette Berrocal Titomabet99@yahoo.com

Antonio José da Silva NetoFrancisco Duarte Moura Neto

Modelamiento de fluidos en medios porosos y Aplicaciones

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, IPRJ-UERJ

QUE SON MEDIOS POROSOS?

Medio poroso: es aquel medio que tiene huecos entre las partículas de las que esta compuesto.

Fluido: se define como una sustancia que sufre una deformación continua cuando se le aplica un esfuerzo cortante. Liquidos y gases.

En 1856 el ingeniero Henry Darcy, experimentalmente encontró la siguiente relación.

Que el caudal de agua que atraviesa un medio poroso, depende del gradiente de presión, Factores geométricos, la longitud, el area del medio

Permeabilidad: conductividad hidraúlica

LhKAQ ∆

−=

Caudal = area*velocidad

Permeabilidad=

LhKAQ ∆

−=

Pkv ∇−=µ

LhK

AQv ∆

−==

µkK =

Viscosidad, propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad.

Que necesitamos para modelar un fluido en un medio poroso,

Necesitamos de:

0=

∇−=

vdiv

pkvµ

Ec. Conservación o deBalance del flujo

Ec. gobernante de flujo Ley de Darcy

0=++dydv

dxdv

dtd

yxφφφ

Para determinar el camino de una perturbación:

Por que se estudia y se modela el paso del fluido en un medio poroso?

En la explotación del petróleo

En la agricultura, transporte de contaminantes en aguas subterraneas.En medio ambiente, para simular accidentes, evaluar daños, prevenir posibles accidentes por contaminación ambiental.En procesos industriales, cosntrucción de equipos, filtros, torres de absorción, etc

En la industria del petróleo

INYECTORSUCCIÓN

AGUA

RESERVORIOPETRÓLEORocas impermeables

- Para determinar el camino que sigue el fluido- En que lugares pueden ser colocados los pozos- Que calidad de agua se debe de usar

Por que se desea conocer la permeabilidad de un medio poroso?

Contaminación en aguas subterraneas

- Evaluar posibles daños- Prevenir de posibles accidentes

Quienes desarrollan o emplean estos modelos?

-Matemática-Física-Ing. química-Ing. petroquímica-Ing. Civil, -Ing. Ambiental-Ing. Agrícola-Ing. Metalúrgica-Geólogos-etc

Cómo se determina el campo de velocidades?

Para determinar el campo de velocidades es necesario discretizar el medio

-Método de diferencias finitas

-Método de elementos finitos

-Método de volumen finitos

Metodos usados para discretizar el dominio

0,0

Discretización del dominio

Lx

Ly

0,0

p(1,1) p(2,1)

p(2,1)

p(i,j)

p(I,J)

p(i+1,j)p(i-1,j)

p(i,j-1)

p(i,j+1)

I=5, J=5

x∆p(i,j-1)

pe(i,j)po(i,j)

ps(i,j)

pn(i,j)

ps(i,j+1)

pn(i-1,j)

po(i+1,j)po(i-1,j)

p(i,j+1)

p(i-1,j) p(i+1,j)p(i,j)y∆

)1,(),( += jipsjipn

Definimos:

),1(),( jipejipo −=)1,(),( −= jipnjips),1(),( jipojipe +=Condición de Dirichlet:

p(i,j-1)

ue(i,j)uo(i,j)

vs(i,j)

vn(i,j)

vs(i,j+1)

vn(i-1,j)

uo(i+1,j)uw(i-1,j)

p(i,j+1)

p(i-1,j) p(i+1,j)p(i,j)

,Condición de Robin: , ...

=+− )1,(),( jipsjipn ))1,(),(( ++ jivsjivnβ

Definimos:

)1,(),( +−= jivsjivn),1(),( jiuejiuo −−=)1,(),( −−= jivnjivs),1(),( jiuojiue +−=Condición de Neuman:

=+− ),1(),( jipsjipe )),1(),(( jivojive ++β

yjivsjivn

xjiuojiue

∆+

+∆+ ),(2),(2),(2),(2

fvdiv =

),( jif=

0),1(),(),(),1()),1(),((),(),(

=∆

+−+−+++−

xjipojipejipjipjiuojiue

jikjiµ

0)1,(),(),()1,())1,(),((),(),(

=∆

+−+−+++−

xjipsjipnjipjipjivsjivn

jikjiµ

pkv ∇−=µ

+−+++−++∆

+ )),1(),1(()),1(),1((),(2),( jiuejiuojipejipoxjixjif γγγγ βξ=+ ),(1 jipγ

))1,()1,(()1,()1,((),(2 −+++−++∆

jivnjivsjipnjipsyjiy γγγγ βξ

),(1jiξ

Luego la Ecuación de balance de masa:

y la ecuación de Darcy: 0=∇+ pvkµ

Con esta ecuación podemos encontrar la distribución de las presiones y el campo de velocidades

Ejemplo

0

10

20

0

10

20-2

-1

0

1

2

xy

P

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

x

y

0 5 10 15 20

0

5

10

15

20

x

y

Cómo se modela una perturbación?Métodos que se emplean?Una vez determinado el campo de velocidadesPodemos determinar el comportamiento de una perturbación en el tiempo

Se emplean en la discretización del dominio y del tiempo

-Método de diferencias finitas

-Método de lagrangeano de curvas de nivel

0=++dydv

dxdv

dtd

yxφφφ

Y simular la trayectoria de un trazador

Lx

Ly

0,0

Según las posiciones de las fuentesObtenemos el campo de velocidades

0 5 10 15 200

5

10

15

20

x

y

0 5 10 15 200

5

10

15

20

-10

-5

0

5

10

y

x

P

Y simular la trayectoria de un trazador

En tiempo creciente, 0,3,5,10,15,20sResultado obtenido con el metodo semi lagrangeano de las curvas de nivel

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Y simular la trayectoria de un trazador

En tiempo decreciente, 0 –5,-10, -20, -30, -50s.Resultado obtenido con el método de diferencia finitas

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Resultados

Resultados obtenidos por Moura Neto y Goncalves

medio poroso saturado por agua salada mas densa y viscosa que el agua dulce

Resultados obtenidos por Moura Neto y Goncalves

agua dulce

agua salada

Resultados obtenidos por Moura Neto y Goncalves

medio poroso saturado por agua dulce menos densa y viscosa que el agua salada

agua dulce

agua salada

En que trabajamos?En tratar de estimar la permeabilidad del medio a partir de la presión medida en los:pozos inyectores:

ypozos productores:

+f

−f

Como lo resolvemos?Si conocemos la geometria de los medios que forman el dominio, y tenemos mas incógnitas que datos podemos utilizar los metodos de mínimos cuadrados y Levenberg MarquardtEjemplo

Lx

Ly

0,0

10 medidas de presión

10 medidas de presión

3 incognitas , 20 datos

k1

k2

k3

Medio HeterogéneoResultados

Lx

Ly

0,0

2 4 6 8 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

iteraciones

k

aprox. k1aprox. k2aprox. k3

2 4 6 8 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

iteracones

k

aprox. k1aprox. k2aprox. k3

Ruido menores a 1.5%

Lx

Ly

0,0

k1=0.5k2=0.3k3=0.7

y si?queremos saber la geometria de las regiones, y conocemos los posibles valores que puedan estar formado el medio. Ejemplo Este problema

es resuelto con una estrategia de resistencia medias

Algunos ejemplos donde estimamos forma y los valores de la permeabilidad en un medio poroso, considerando medidas externas de presión

Seguimos trabajando para mejorar nuestros resultados, hasta la proxima ....

1 2 3 4

1

2

3

4

k2=5k1k1

1 2 3 4

1

2

3

4

k2=4 K1k1