Modelos y Mt odos de I nvest igacin de Operaciones. Procedimient os para Pensar. (Modelado y Resolucin de Problemas de Organizacin I ndust rial mediant e Programacin Mat emt ica) Mtodos Cuantitativos de Organizacin Industrial Jos Pedro Garca Sabater Grupo de Investigacin ROGLE Departamento de Organizacin de Empresas Curso 10 / 11 1MODELOS .............................................................................................................................. 12 1.1Qu es un Modelo? ............................................................................................................. 12 1.2Para qu sirve un modelo? ................................................................................................. 13 1.2.1Aprender / Entender. ........................................................................................................ 13 1.2.2Implementar en un ordenador. .......................................................................................... 14 1.2.3Toma de decisiones. ......................................................................................................... 14 1.3El Problema, el Cliente y el Concepto de Solucin. ............................................................. 14 1.4Ciclo de Vida de la construccin de Modelos ...................................................................... 15 1.4.1Definir el Problema ........................................................................................................... 15 1.4.2Modelar y Construir la Solucin ........................................................................................ 15 1.4.3Utilizar la Solucin. ........................................................................................................... 16 1.5Generacin de Soluciones Informticas para la resolucin de Problemas que se abordan mediante mtodos matemtico. .......................................................................................................... 16 1.6Algunos principios para tener xito en el modelado ........................................................... 17 1.6.1Los Modelos han de ser simples, su anlisis debe ser complejo........................................ 17 1.6.2Ir paso a paso. .................................................................................................................. 17 1.6.3Usar al mximo metforas, analogas y similitudes ........................................................... 18 1.6.4Los datos disponibles no deben conformar el modelo. ...................................................... 18 1.6.5Principio Subyacente: Modelar es Explorar ....................................................................... 19 2TIPOS DE MODELOS. LOS MODELOS DE PROGRAMACIN MATEMTICA. .................... 20 2.1Clasificacin de modelos segn el efecto de su resolucin ............................................... 20 2.1.1Modelos Normativos ......................................................................................................... 20 2.1.2Modelos Descriptivos. ....................................................................................................... 20 2.2Modelos Matemticos............................................................................................................ 21 2.3Modelos de Programacin Matemtica ................................................................................ 21 2.3.1Por qu se llama Programacin Matemtica? ................................................................. 22 2.3.2Una clasificacin de Modelos de Programacin Matemtica. ............................................ 23 2.3.3Los Componentes de un Modelo Matemtico .................................................................... 25 2.4Modelos de Optimizacin Combinatoria .............................................................................. 26 2.5Otros Modos de Modelar. Otros Modos de Pensar. ............................................................. 27 Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 4 de 190 JPGS2011 2.5.1Teora de Grafos .............................................................................................................. 27 2.5.2Programacin Dinmica .................................................................................................... 28 2.5.3Teora de Colas ................................................................................................................ 29 2.5.4Dinmica de Sistemas ...................................................................................................... 29 2.5.5Simulacin ........................................................................................................................ 30 2.5.6Teora de Juegos .............................................................................................................. 30 3PROGRAMACIN MATEMTICA .......................................................................................... 31 3.1La construccin de un Modelo de Programacin Matemtica. ........................................... 31 3.2Implementacin de un Modelo de Programacin Matemtica (Validacin) ........................ 32 3.2.1Modelo de sintaxis errnea. .............................................................................................. 32 3.2.2Modelo incompatible ......................................................................................................... 33 3.2.3Modelos no acotados ........................................................................................................ 34 3.2.4Modelo Resoluble ............................................................................................................. 34 3.3Caractersticas de un buen modelo de Programacin Matemtica ..................................... 35 3.3.1Facilidad para entender el modelo .................................................................................... 35 3.3.2Facilidad para detectar errores en el modelo ..................................................................... 35 3.3.3Facilidad para encontrar la solucin .................................................................................. 35 4MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL............................................................................. 37 4.1Qu es la Programacin Lineal? ........................................................................................... 37 4.2La importancia de la Linealidad. ........................................................................................... 37 4.3Situaciones que pueden modelarse mediante Programacin Lineal. ................................. 37 4.4Definicin de Objetivos ......................................................................................................... 38 4.4.1Programacin Lineal y Programacin Multiobjetivo ........................................................... 38 4.5Las restricciones ................................................................................................................... 40 4.5.1Tipos bsicos de Restricciones ......................................................................................... 40 4.5.2La relacin de las restricciones con la realidad, con las otras restricciones y con el propio modo de resolver. .............................................................................................................................. 40 4.6Anlisis de resultados ........................................................................................................... 43 4.6.1Interpretaciones econmicas ............................................................................................ 43 4.6.2El Modelo Dual ................................................................................................................. 45 4.6.3Anlisis de Sensibilidad .................................................................................................... 46 Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 5 de 190 4.6.4Modelos Estables ............................................................................................................. 46 5LINEALIZANDO LO NO LINEAL ............................................................................................ 48 5.1Objetivos no Lineales fcilmente linealizables .................................................................... 49 5.1.1Objetivo Minimizar un valor absoluto. ............................................................................. 49 5.1.2Objetivo Minimizar el Mximo o Maximizar el Mnimo ................................................... 50 5.1.3Objetivos de Ratio ............................................................................................................ 50 5.1.4Objetivos Maximizar el Mximo (o Minimizar el Mnimo) .................................................... 51 5.2El uso de variables discretas para representar relaciones condicionales. ........................ 51 5.2.1Funciones no continuas. ................................................................................................... 52 5.2.2Relacin Lgica:1j jjax b o = s. ........................................................................... 52 5.2.3Relacin Lgica1j jjax b o < =: ............................................................................ 52 5.2.4Relacin Lgica1j jjax b o s =: ............................................................................ 53 5.2.5Relacin Lgica1j jjax b o = >: .......................................................................... 53 5.2.6Relacin Lgica1j jjax b o > =: .......................................................................... 54 5.2.7Relacin Lgica1j jjax b o > =: .......................................................................... 54 5.3Ms Relaciones Lgicas y su representacin. ..................................................................... 54 5.4Conjuntos especiales de variables ordenadas .................................................................... 57 6MODELOS DE PROGRAMACIN ENTERA ........................................................................... 60 6.1Introduccin ........................................................................................................................... 60 6.2Diferentes reas de aplicacin de la Programacin Entera ................................................. 60 6.2.1Problemas con inputs (u outputs) discretos ....................................................................... 60 6.2.2Problemas con condiciones lgicas .................................................................................. 60 6.2.3Problemas de combinatoria .............................................................................................. 60 6.2.4Problemas No-lineales ...................................................................................................... 61 6.3Otras condiciones aplicadas a Modelos de Programacin Lineal ...................................... 61 6.3.1Restricciones disyuntivas .................................................................................................. 61 Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 6 de 190 JPGS2011 6.3.2Regiones No-Convexas .................................................................................................... 62 6.3.3Limitar el nmero de variables en una solucin ................................................................. 62 6.3.4Decisiones Secuencialmente Dependientes ...................................................................... 62 6.3.5Extensiones discretas de capacidad ................................................................................. 62 6.4Tipos Especiales de Modelos de Programacin Entera ...................................................... 63 6.4.1El problema de la mochila ................................................................................................. 63 6.4.2Problemas de cubrimiento ................................................................................................ 63 6.4.3Problemas de empaquetado ............................................................................................. 64 6.4.4El Problema del viajante de comercio ............................................................................... 65 6.4.5El problema de asignacin cuadrtica ............................................................................... 66 6.5Buenas y malas formulaciones de un modelo de PE........................................................... 67 6.6Simplificacin de un modelo de Programacin Entera ....................................................... 67 6.6.1Ms Restricciones y Ms Ajustadas .................................................................................. 67 6.6.2Simplificar una restriccin entera con otra restriccin ........................................................ 68 6.6.3Restricciones discontinuas ................................................................................................ 69 6.7Informacin econmica y sensibilidad en los modelos de PE ............................................ 69 7PROGRAMACIN NO LINEAL ............................................................................................... 70 7.1ptimos locales y globales ................................................................................................... 70 7.2Programacin Separable ....................................................................................................... 71 7.3Cmo convertir un modelo no separable en un modelo separable .................................... 73 8PROGRAMACIN ESTOCSTICA ........................................................................................ 74 8.1Introduccin ........................................................................................................................... 74 8.2Formulacin de Problema Estocstico................................................................................. 74 9PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIN DE MODELOS DE PROGRAMACIN MATEMTICA.76 9.1Introduccin ........................................................................................................................... 76 9.2Resolucin de problemas de programacin matemtica mediante el uso de paquetes ya disponibles .......................................................................................................................................... 76 9.2.1Algoritmos y paquetes ...................................................................................................... 76 Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 7 de 190 9.2.2El uso de la Hoja de Clculo Excel .................................................................................... 78 9.2.3El uso de Lenguajes de Modelado .................................................................................... 80 9.3El uso de paquetes para la resolucin de modelos de Programacin Lineal ..................... 80 9.3.2Sistemas de Apoyo en la Decisin y Sistemas Expertos ................................................... 82 9.4Procedimientos de Resolucin de Programacin Lineal ..................................................... 82 9.4.1El algoritmo Simplex ......................................................................................................... 82 9.4.2Los Mtodos del Punto Interior ......................................................................................... 83 9.5Procedimientos de Resolucin en Programacin Lineal Entera ......................................... 83 9.5.1Ramificacin y acotacin .................................................................................................. 83 9.5.2Enumeracin implcita....................................................................................................... 86 9.5.3Mtodos del plano cortante ............................................................................................... 87 9.6Procedimientos de Resolucin en Programacin 0-1 .......................................................... 87 10OPTIMIZACIN COMBINATORIA. INTRODUCCIN ............................................................. 88 10.1Introduccin ....................................................................................................................... 88 10.2Complejidad en la Optimizacin Combinatoria,. .............................................................. 90 10.2.1Optimizacin Combinatoria............................................................................................ 90 10.2.2Variaciones (con y sin) Repeticin, Combinaciones, Permutaciones. ............................. 90 10.2.3P y NP .......................................................................................................................... 91 10.3Algoritmos bsicos. ........................................................................................................... 92 10.4Problemas de Optimizacin Combinatoria ....................................................................... 92 10.4.1Segn su aplicacin. ..................................................................................................... 92 10.4.2Segn su clasificacin formal. ....................................................................................... 94 10.4.3Segn las soluciones que se buscan. ............................................................................ 94 10.5Evaluacin de Procedimientos. ......................................................................................... 94 11OPTIMIZACIN COMBINATORIA. LA BSQUEDA RPIDA DE SOLUCIONES ................... 95 11.1Introduccin. ...................................................................................................................... 95 11.2Procedimientos de Resolucin Aleatorios........................................................................ 96 11.2.1Para qu sirven? ......................................................................................................... 96 11.2.2Pueden funcionar? ...................................................................................................... 96 Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 8 de 190 JPGS2011 11.2.3Un procedimiento de generacin aleatoria de soluciones............................................... 98 11.3Algoritmos Heursticos. ..................................................................................................... 98 11.3.1Concepto de Heurstica ................................................................................................. 98 11.3.2Procedimientos Constructivos ....................................................................................... 99 12ALGORITMOS ENUMERATIVOS ......................................................................................... 101 12.1Concepto de Algoritmo Enumerativo. ............................................................................. 101 12.2Algoritmo de Enumeracin Completa ............................................................................. 101 12.3Estructura de un algoritmo de exploracin completa basado en exploracin de nodos.102 12.3.1Conceptos previos: Nodo ............................................................................................ 102 12.3.2Estructura general de un procedimiento de exploracin completa basado en nodos. ... 103 12.3.3Funciones de evaluacin ............................................................................................. 103 12.3.4Seleccin del Nodo a explotar ..................................................................................... 104 12.3.5Generacin de nodos (explosin) ................................................................................ 104 12.3.6Eliminacin (o cierre) de Nodos. .................................................................................. 104 12.4Otras tcnicas de Enumeracin basadas en la exploracin por nodos. ....................... 105 13PROCEDIMIENTOS DE MEJORA LOCAL ........................................................................... 106 13.1Vecindario ........................................................................................................................ 106 13.1.1Intercambio de 2 elementos ........................................................................................ 106 13.1.22-opt ........................................................................................................................... 106 13.1.3Insertar ....................................................................................................................... 106 13.2Algoritmos de Mejora basados en Vecindario ................................................................ 107 13.2.1Nomenclatura .............................................................................................................. 107 13.2.2Mejora Iterativa Simple. Procedimiento ........................................................................ 107 13.2.3Descenso Rpido. Procedimiento ................................................................................ 107 13.2.4Mejora Iterativa Aleatorizada. Procedimiento ............................................................... 107 14PROCEDIMIENTOS METAHEURSTICOS ........................................................................... 108 14.1Procedimientos de poblacin .......................................................................................... 108 14.1.1Algoritmos Genticos .................................................................................................. 109 14.1.2Scatter Search y Algoritmos Memticos ...................................................................... 114 14.2Metaheursticas de Bsqueda de Entornos .................................................................... 115 Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 9 de 190 14.2.1GRASP ....................................................................................................................... 115 14.2.2ILS y VNS ................................................................................................................... 116 14.2.3Recocido Simulado ..................................................................................................... 116 14.2.4Tabu search. ............................................................................................................... 116 14.3Metaheursticas basadas en el reconocimiento de patrones. ........................................ 117 14.3.1Redes Neuronales ...................................................................................................... 117 14.3.2Algoritmo de Colonia de Hormigas .............................................................................. 117 15ALGUNOS EJERCICIOS DE PROGRAMACION MATEMTICA .......................................... 119 15.1Cunto gana la Empresa? ............................................................................................. 119 15.2Problema de Corte ........................................................................................................... 119 15.3Centralita Telefnica ........................................................................................................ 120 15.4Varios Turnos ................................................................................................................... 120 15.5Plan de Produccin .......................................................................................................... 120 15.6Localizacin ..................................................................................................................... 123 15.7Vinos DON PEPN ....................................................................................................... 124 15.8Plan de Produccin de Zapatillas .................................................................................... 130 15.9Problema de Distribucin ................................................................................................ 131 15.10Gestin de Stocks ........................................................................................................ 132 15.11Equilibrado de Lneas ................................................................................................... 135 15.12Jorge y Nuria................................................................................................................. 135 15.13Operacin Brisca .......................................................................................................... 139 15.14Carga de Aviones. ........................................................................................................ 142 16ALGUNOS EJERCICIOS DE OPTIMIZACIN COMBINATORIA .......................................... 146 16.1Problema del FlowShop de 3 mquinas. ......................................................................... 146 16.1.1Descripcin del Problema ............................................................................................ 146 16.1.2Definicin de la estructura de la solucin. .................................................................... 146 Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 10 de 190 JPGS2011 16.1.3Definicin del modo de evaluar la solucin. ................................................................. 146 16.1.4Un procedimiento de generacin aleatoria de soluciones. ............................................ 146 16.1.5Un procedimiento enumerativo de resolucin. ............................................................. 146 16.1.6Un procedimiento heurstico ........................................................................................ 147 16.1.7Un procedimiento de mejora local ............................................................................... 147 16.1.8Un algoritmo gentico ................................................................................................. 148 16.2Problema del viajante de comercio. ................................................................................ 148 16.2.1Descripcin del Problema. ........................................................................................... 148 16.2.2Definicin de la estructura de la solucin. .................................................................... 149 16.2.3Definicin del modo de evaluar la solucin. ................................................................. 149 16.2.4Un procedimiento de generacin aleatoria de soluciones. ............................................ 149 16.2.5Un procedimiento enumerativo de resolucin. ............................................................. 149 16.2.6Un procedimiento heurstico ........................................................................................ 149 16.2.7Un procedimiento de mejora local ............................................................................... 150 16.2.8Un algoritmo gentico ................................................................................................. 150 16.3Problema de Secuenciacin JIT ...................................................................................... 151 16.3.1Descripcin del Problema ............................................................................................ 151 16.3.2Definicin de la estructura de la solucin. .................................................................... 151 16.3.3Definicin del modo de evaluar la solucin. ................................................................. 151 16.3.4Un procedimiento de generacin aleatoria de soluciones. ............................................ 151 16.3.5Un procedimiento enumerativo de resolucin. ............................................................. 152 16.3.6Un procedimiento heurstico ........................................................................................ 152 16.3.7Un procedimiento de mejora local................................................................................ 153 16.3.8Un algoritmo gentico ................................................................................................. 153 16.4Corte de Piezas rectangulares. ........................................................................................ 154 16.5Quinielas........................................................................................................................... 156 16.6SUDOKU ........................................................................................................................... 160 16.7Secuenciando en la Lnea de Montaje ............................................................................. 162 17CASOS ................................................................................................................................. 167 17.1Asignacin de Fechas y Aulas para Exmenes. ............................................................. 167 17.2La Ruta de Llanes ............................................................................................................ 167 17.3Sistema Elctrico ............................................................................................................. 169 Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 11 de 190 17.4Optimizacin en la Refinera ............................................................................................ 172 17.5Red de Metro de Valencia ................................................................................................ 175 17.6Rutas de Distribucin ...................................................................................................... 176 17.7Fabricacin de Zapatillas ................................................................................................. 177 17.8Las Farmacias de Alcudia, Benimodo y Carlet ............................................................... 179 17.9Planificacin Agregada en una Planta de Motores. ........................................................ 181 17.10REFRESCOS EN FONT DEL RAFOL ............................................................................ 183 17.11Central Pendiente Dominicana. .................................................................................... 184 18BIBLIOGRAFA..................................................................................................................... 189 Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 12 de 190 JPGS2011 1MODELOS 1.1Qu es un Modelo? Se atribuye a Ackoff una de las definiciones ms simples de modelo: Un modelo es una representacin de la realidadEsta definicin es llamativa por su simplicidad pero no aclara el porqu de losmodelos. Pidd (1996)propone la siguiente definicin mucho ms completa: Unmodeloesunarepresentacinexplcitayexternadepartedelarealidad comolavenlaspersonasquedeseanusarelmodeloparaentender,cambiar, gestionar y controlar dicha parte de la realidadDe esta definicin se pueden extraer muchas reflexiones interesantes sobre los Modelos y su uso en InvestigacindeOperaciones.Losmodelossonrepresentaciones(nosonlarealidad). Desgraciadamenteelserhumanotiendeaconfundirelmodeloconlarealidad,enunprocesode metonimia o sincdoque. As el hombre crea modelos y tergiversa la realidad hasta que esta se adapta. Losmodelossonexplcitosseconstruyenmanejanymodificancomotales.Ydebensermodelos explcitamente no se pretende hacer creer que los modelos son la realidad. Losmodelossonexternos,unateoramentalnoesmodelohastaquenotieneunarepresentacin externa respecto del modelador. En esa presentacin externa radica una de las grandes ventajas de los modelos:ponennegrosobreblanco,lospensamientos,losdatos,lashiptesisylasintuiciones.En ocasiones este esfuerzo es ms que suficiente para reconocer que no hay tal modelo sino un conjunto de prejuicios. Los modelos representan parte de la realidad. Afortunadamente la realidad es siempre ms compleja que cualquier modelo por sofisticado que este sea. El modelador discrimina que aspectos son relevantes y cuales no, en funcin del objetivo que pretende alcanzar. Los modelos los realizan los modeladores. Son su esfuerzo y son su resultado. En muchas ocasiones, alconstruirmodelos,elmodeladorhadeatendercomentariosqueleobliganaincorporaresteuotro aspecto de la realidad. Entonces el modelador es otro. Si a un pintor le dijeran el color con el que ha de pintar una puesta de sol, no sera su puesta de sol sino la del observador impertinente. En este caso la realidadrepresentadaselimitaaserlaquequierever,manejarcontrolarocambiarelquedirigeel modelo.Enmuchasocasionesunaempresasolicitaunmodeloaunconsultorexternoparapoderlo utilizarinternamente.Esunodeloscaminosmsadecuadosparaqueelmodelonosepuedautilizar, pues siempre habr matices que podran haber sido representados de otra manera. Los modelos, al representar externa y explcitamente parte de la realidad, permiten fundamentalmente entender. Una etapa bastante habitual en el ciclo de vida de un modelo exige, tras uno (o varios) intentos demodelado,cambiardeherramientademodelado,puestoqueelmejorentendimientodelproblema provoca cambios radicales en la percepcin de la realidad. Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 13 de 190 La inteligencia de la realidad a travs del modelo, permitir asesorar sobre la oportunidad de cambios en la realidad modelada. Dichos cambios sern ms adecuados cuantos ms aspectos de la realidad se hayan podido modelar. La gestin de la realidad a travs de los modelos es una herramienta de continua, pero no percibida, aplicacin de los modelos. La gestin financiera de una empresa esuno de los modos ms extendidos de uso de un modelo (la contabilidad) sin una percepcin clara del modelo utilizado. Pero tambin el uso de las tcnicas MRP en la gestin de materiales responden a la implementacin informtica de modelos enfuncindeloscualessetomandecisiones.Inclusolaimplementacininformticaesenocasiones inadecuada porque no se conoca suficientemente bien la realidad (o lo que es peor, el modelo). Por ltimo el modelo, al anticipar resultados permite establecer referencias en funcin de las cuales medir o controlar el rendimiento de un sistema. 1.2Para qu sirve un modelo? En atencin a lo anterior se pueden definir tres mbitos de utilidad de los modelos en la Investigacin de Operaciones: -Aprender / Entender -Implementar en un ordenador -Tomar decisiones 1.2.1Aprender / Entender.Enprimerlugarhayquedestacarquelaexperienciademuestraqueelprincipalbeneficioenla generacindeunmodeloeselentendimientoqueelmodeladoradquieredelcomportamientodela realidad.Puedeocurrir,ydehechoocurreconfrecuencia,queunavezfinalizadoelmodelo,los objetivos perseguidos inicialmente se hayan alcanzado sin hacer ningn tipo de experimento.Modelar como proceso puede tener ms valor que el modelo en s mismo Es habitual que para desarrollar un modelo se tenga que acceder a informacin a la que nunca se le habra prestado atencin. Asimismo es comn que la generacin de modelo haga aparecer datos reales y contradictorios entre diferentes elementos de la realidad. Una vez construido el modelo, se puede utilizar su ejecucin para conocer como el sistema acta y reacciona. Es, por ejemplo, el caso de los simuladores de vuelo utilizados para el entrenamiento de los futuros pilotos. Ademselmodelo,comorepresentacinexternayexplcita,puedepermitirnosconocererroresy fundamentalmentemostrarlos.Detalmodoqueelresponsabledelerrorpuedareconocersus equivocaciones sin que nadie tenga que decrselo a la cara (lo dice el ordenador) Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 14 de 190 JPGS2011 Porltimo,dentrodeesteepgrafe,podemosdestacarlautilidaddelosmodeloscomobasede discusin.Siel modelorepresentala realidad, losgestoresdestapodrnprobarlas ventajasdesus opiniones sobre el modelo, centrando de este modo la discusin hacia aspectos realizables y rentables. 1.2.2Implementar en un ordenador. La automatizacin de procesos exige el modelado previo. Si se desea gestionar la informacin que genera una empresa, o implementar un sistema de gestin de recursos humanos es necesario realizar unmodelodedichaempresaquecomprendadelamaneramseficienteposibletodalainformacin vinculada.Cuantomsgeneralseaelmodelo,mayorserlacantidaddeempresasalasqueselas podr aplicar el mismo software. Del mismo modo la utilidad de los modelos de Programacin de Produccin viene justificada, en gran medida, es la capacidad de stos de ser implementados y resueltos mediante sistemas informticos que puedan automatizar el proceso de toma de decisin. 1.2.3Toma de decisiones. Los modelos construidos permiten mediante su resolucin ayudar a la toma de decisiones generando soluciones ptimas dado un objetivo establecido. Asimismo pueden ser utilizados para evaluar el impacto de tomar decisiones, antes de tomarlos, y de este modo elegir la que ms se ajuste a la solucin. 1.3El Problema, el Cliente y el Concepto de Solucin. En general el cliente no conoce suficientemente bien su problema. Si lo conociera no nos solicitara ayuda para resolverlo. Elclientetieneunanebulosasobreunproblemaquenosotrosayudamosaprecipitarconla construccindelproblema.Esporelloquemuchosproblemasdeorganizacinindustrialnose resuelven sino que se disuelven. A partir de la descripcin del problema, generamos informacin que podr ser capturada en forma de datos, dichos datos son analizables de tal modo que generan unos datos conocidos como variables de salida. Esos datos por lo general son intiles salvo que se transformen en informacin, y slo sta ltima puede ayudar a resolver el problema. Dat osI nf ormacinProblemaSolucinI nformacinDat osProcedi-mient oProcedi -mient oI nformacinProbl emaSolucinModelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 15 de 190 Aspuesexistentressignificadosparalapalabrasolucinennuestroentorno.Unasolucinesun conjunto de variables que han adquirido un determinado valor. Una solucin es tambin el programa que generarinformacinapartirdelosdatosdisponibles(generalmenteseledenominasolucin informtica)Yporltimoestloqueelclienteconsideraqueeslasolucinasuproblema,que bsicamente se da cuando el problema desaparece. 1.4Ciclo de Vida de la construccin de Modelos No existe un mtodo para construir un modelo perfecto de modo directo. En cualquier caso se puede decir que en la definicin de cualquier modelo hay tres etapas o hitos bsicos que se concretan en: 1.DefinirelProblema.Estafaseincluyeentenderelproblemayacordarconelclientelos resultados a obtener. 2. Modelar y Construir la Solucin. Esta fase incluye definir el tipo de tcnica a utilizar, generar el modelo (implementarlo informticamente si es el caso) y por ltimo validarlo. 3. Utilizar la Solucin. Un modelo perfecto que no se utilice es un modelo perfectamente intil. Ser capaz de implementar el modelo de tal manera que el cliente lo utilice, y mantener un concreto sistema de actualizacin son los dos elementos bsicos de esta fase. Cualquieradelasetapascitadasexigereplantearsesiemprelavueltaalprincipiodelproceso.La mejor comprensin de la realidad puede llevar (lleva) a cambiar el tipo (o tipos) de tcnica a utilizar para alcanzar el objetivo propuesto. 1.4.1Definir el Problema 1.Entenderelproblema:Hayqueestructurarelproblemaparaentenderlo.Cualquier herramientaesbuena.Enocasionesconestaetapaelproblemaaresolverqueda resuelto.Yengeneraltambinocurrequeelprimerproblemaplanteadonoerael problema real. 2. Acordar con el cliente los resultados a obtener. No significa necesariamente que el cliente debadefinirelresultadoconcretodeltrabajo.Peroesinteresanteconocersipretende una respuesta del tipo s o no o una hoja Excel. 1.4.2Modelar y Construir la Solucin 3.Definirel tipodetcnica:Ladecisindeltipodetcnicaquemejorseajustaalproblema puedeser revocada en cualquier instante, pero da por perdido todo el trabajo anterior. Esto incluye el anlisis de datos disponibles y resultados requeridos. 4.Generarelmodelo:Estaetapaincluyeestimarlosparmetrosparamodelarocalcular resultados,ademsdedarformafsicaalmodelo.Enestepuntoesdedestacarla aplicacindelprincipioIrpasoapaso.Queimplicaabordarescalonadamentelos diferentes aspectos de la realidad que se pretenden modelar. Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 16 de 190 JPGS2011 5.Validarelmodelo:Decidirsielmodelovaleparaalgo,sisepuedeusarysielclientelo encontraraceptable.Fundamentalmenteestafaseexigecomprobarquesecomporta como se pretenda que se comportara. 1.4.3Utilizar la Solucin. 6.Implementarel modelo: Trabajarconelclienteparapoderextraerlos mximosbeneficios del trabajo realizado. 7. Actualizar el modelo: Es evidente que si la realidad es cambiante el modelo debe adaptarse alasnuevascircunstanciasdemaneracontinuasisepretendequesigateniendo utilidad. 1.5GeneracindeSolucionesInformticasparalaresolucindeProblemasqueseabordan mediante mtodos matemtico. Acontinuacinseofreceunaestructuratilparaayudaraplantearherramientasqueresuelven problemas reales de clientes reales. 1)Anl isi s delPr obl ema. En gener alelcl i ent e no es capaz de def i ni rsu pr obl ema. 2)PreprocesodeDatos.Analizar losdatosdisponiblesnospermiteteneruna visindetallada delproblema.Engeneral,silosdatosnohansidopreviamenteutilizadossern probablemente errneos. 3)Generar resultados a mano. Si somos capaces de entender el problema seguro quesomos capaces de generar una hoja de clculo donde representar una posible solucin, calculada a mano.a.Definir la Estructura de la Solucin b.Disear e implementar un Representador de una Solucin c.Diseo del Mtodo de Evaluacin de Resultados (definir cmo se va a presentar que un resultado es mejor que otro) d.Implementar un Evaluador de Solucin 4)Comprobar que los resultados son inteligibles por parte del cliente. Y que lo que creemos que es peor es realmente peor. 5)Generar un modelo de programacin matemtica (preferiblemente lineal). 6)Seleccin de la Herramienta o Tecnologa de resolucin adecuada. 7)Definir el Procedimiento de Resolucin 8)Diseo de Procedimientos de Resolucin para clientes no-expertos. a.Diseo de Estructura de Datos de Entrada Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 17 de 190 b.Definir los Procedimientos de Lectura de DatosDesde base de datos Desde ficheros de texto Desde pantalla c.Generar Algoritmos para generar soluciones Generacin aleatoria de Soluciones Heursticas Voraces Diseo de Mtodos de Enumeracin Diseo de Metaheursticas 1.6Algunos principios para tener xito en el modelado Aunque como se ver posteriormente existen mltiples tipos de modelos (y por tanto de procesos de modelado) se pueden extraer algunos principios generales tiles en cualquier caso: -Los Modelos han de ser simples, su anlisis debe ser complejo -Ir paso a paso-Usar metforas, analogas y similitudes. -Los datos disponibles no deben conformar el modelo. -Modelar es explorar. 1.6.1Los Modelos han de ser simples, su anlisis debe ser complejo. Almodelarsepuedetenerlatendenciadetrasladartodalacomplejidaddelarealidadalmodelo. Esto,aunquesueleagradaralquemiraelmodelo,noestilparaquienlodebeutilizarpordos motivos: un modelo de este tipo es difcil de construir y tambin es difcil de utilizar. Antes de comenzar el proceso de modelado se debera responder a la pregunta: para qu quiero el modelo?deunmodoconcreto.Deestemodosepuedegarantizarqueparahacerunsimuladorde coches, no se pierde tiempo modelando el funcionamiento del turbo cuando lo que se pretende es hacer una herramienta para comprender el funcionamiento del volante. 1.6.2Ir paso a paso.Eshabitualobservarquesepretendeconstruirunmodeloconsiderandotodoslosaspectos simultneamente.Lacienciaavanzapasoapaso,losmodelos,sipretendenestardentrodeella, tambin.Metafricamentehablandointentarconstruirunmodelocompletodesdeelprincipio,puedellevara que, al intentar dibujar las hojas en los rboles, se olvide que el objeto a pintar era el bosque. Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 18 de 190 JPGS2011 Un corolario de este principio exige Dividir para Vencer. Empezar generando pequeos modelos de una parte reducida y determinada del proceso para aumentar la capacidad. As pues la estrategia recomendable es evitar tener todos los aspectos en cuenta desde el principio. El proceso de modelado puede comenzar aislando una pequea parte y realizando un modelo detallado, que permita su reproduccin en otras secciones. Tambin se puede realizar al principio un modelo muy general, e ir mejorando etapa a etapa la exactitud del mismo. 1.6.3Usar al mximo metforas, analogas y similitudes Msquequedarrestringidoporlarealidadtalycomosepercibeaprimeravista,esinteresante abordarla, e incluso modelarla desde otros puntos de vista. El punto anterior se pretenden ilustrar con este ejemplo: Si al hacer un modelo de secuenciacin para lneas de montaje en sistemas Justo-a-Tiempo se cae en la cuenta de que el problema matemtico es bsicamente el problema de repartir escaos de una manera proporcional, se habr conseguido resolver un problema actual (secuenciacin JIT) con herramientas desarrolladas desde el siglo XVIII. Todas las propiedades analizadas para el segundo problema, pueden ser adaptadas para el primero ms nuevo. Adems, el abandonar de modo explcito la realidad puede simplificar el problema o representarlo de unmodo mssencillo.Cualquierplanode metrodecualquierciudadnorepresentacadalneaycada estacin tal cual es sino que une mediante lneas, los puntos, que representan estaciones, que en casi ningncasopuedensuperponersesobreunplanodetalladoyproporcionaldelaciudad.La representacin exacta de la realidadincrementara la dificultad en la lectura de dichos planos. 1.6.4Los datos disponibles no deben conformar el modelo. Un fallo comn a la hora de plantear un modelo es retrasar el comienzo del modelado hasta que se dispongadelosdatos.Elplanteamientodebeserelcontrario,elmodelodeberequerirdatos,nolos datos conformar el modelo. Elanalistadebedesarrollarlaslneasbsicassobreelmodeloyunavezhechoesto,debiera definirselaestructuradedatosnecesarios.Sihubieratiempololgicoseraquealaluzdeestos resultados preliminares se redefiniera el modelo y por tanto los datos necesarios, y as sucesivamente. Se pueden distinguir tres conjuntos bsicos de datos necesarios para crear y validar un modelo: -Datos que aportan informacin preliminar y contextual. Permitirn generar el modelo. -Datosqueserecogenparadefinirelmodelo.Estosdatosnospermitirn parametrizar el modelo. -Datos que permiten evaluar la bondad del modelo. Hay que destacar la importancia de que los datos del segundo y el tercer tipo sean distintos, porque en caso contrario el modelo no se habr realmente validado. Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 19 de 190 Unaltimarecomendacinrespectoalosdatosesevitaraquellosqueyaestnrecogidos.Un ejemplo lo ilustrar claramente: Para desarrollar un modelo para la programacin de produccin puede sernecesariodesarrollarsubmodelosdedemandasdelosclientesparalosproductosfabricados.La mayorpartedelasempresasguardanestainformacinensistemasinformticosqueseusanpara introducir rdenes y enviar facturas.El modo obvio de recoger la informacin de la demanda es acudir a estos sistemas, sin embargo hay diferentes motivos por los que esto nose debe hacer as, por ejemplo: los sistemas slo recogen lo que se vende, no lo que el cliente quiere. Por tanto muchas veces refleja lo que hay en stock, pues se obliga al cliente a comprar lo que existe. 1.6.5Principio Subyacente: Modelar es Explorar Dadoqueunmodeloeselresultadodeintentarrepresentarpartedelarealidadparatomar decisiones, implementar o entender, se podra pensar que el proceso de modelar es un proceso lineal. Sinembargo,laexperienciamuestraqueenelprocesodemodelarhaymuchasvueltasatrs, cambiosdedireccinocambiosdeperspectiva,inclusoesbastantehabitualquehayacambiosde herramientas. Modelaresexplorarlarealidad.Yenespeciallarealidaddesconocida.Porellossiempreaplicael siguiente corolario de la ley de Murphy: Si se consigue que el modelo funcione a la primera, es que se ha errado el problema. Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 20 de 190 JPGS2011 2TIPOS DE MODELOS. LOS MODELOS DE PROGRAMACIN MATEMTICA. 2.1Clasificacin de modelos segn el efecto de su resolucin Shapiro(2001) clasifica los modelos segn el efecto de su resultado en Normativos o Descriptivos.Sonnormativoslosmodelosmatemticos(asuvezestossepuedenclasificarenmodelosde optimizacin y modelos de resolucin mediante heursticas). Losmodelosdescriptivosqueenglobanalresto(Previsin,DataMining,Simulacin,Dinmicade Sistemas,). 2.1.1Modelos Normativos Losmodelosnormativosexigenelplanteamientodeunmodelomatemtico(funcinobjetivoy restricciones). Los modelos cuya estructura se ajusta a algunos de los patrones clsicos para los que es factiblelaoptimizacin(programacinlinealporejemplo)formanelsubconjuntodemodelosde optimizacin. En ocasiones la estructura del modelo impide el usode algn mtodo de optimizacin conocido, es por ello que se plantean los procedimientos heursticos de resolucin que, si bien no garantizan ptimos, permiten encontrar soluciones en espacios cortos de tiempo. Esevidentequeel trabajoenelprimercasosedebecentrarenelprocesodemodelado, mientras que en el segundo grupo el esfuerzo se hace en la definicin del mtodo heurstico de resolucin. En estos apuntes se despliega uno de los tipos de modelos normativos, la Programacin Matemtica. LaProgramacinMatemticanoeselnicomododemodelarmatemticamente,nielnicomodo normativo de hacerlo. Por ello en los puntossiguientesse har una presentacin dealgunos de estos modos. 2.1.2Modelos Descriptivos. Losmodelosdescriptivosabarcantodasaquellastcnicasdemodeladoquenocomportanla definicindeestructurasmatemticasquedefinenunasolucincomoladeseableparaser implementada. Entre los modelos descriptivos se pueden citar los modelos de simulacin, la teora de colas e incluso lastcnicasdeprevisinentreotras.Algunosdelosmodelosdescriptivosllevanaparejadaunacarga matemticaimportante,mientrasqueotrosnonecesariamentesuestructuraesdetipomatemtico. Aunqueellonolesquitaniunpicedeformalidad.PorponerunejemplolosmodelosIDEF-0son altamenteformalesyestndar,yaunquetienenaspectodegrafononecesariamentedebieranser incluidos entre los que se denominan Modelos Matemticos. Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 21 de 190 2.2Modelos Matemticos Losmodelosmatemticossonmodelosformalesqueutilizanellenguajedelasmatemticaspara describir un sistema, expresando parmetros, variables,relaciones. El lenguaje matemtico no se limita alaexpresindenmerosyoperadoresaritmticosquelosrelacionan.Asporejemplolateorade grafos, ampliamente utilizada en aplicaciones prcticas, es un subconjunto de la ms general teora de conjuntos. Losmodelosmatemticossepuedenclasificardemltiplesmaneras.Acontinuacinsedescriben algunas que se consideran relevantes. Los modelos pueden ser lineales o no lineales. Si todos los operadores de un modelo son lineales el modeloeslineal,sialmenosunoesnolinealelmodeloesno-lineal.Aunquehayexcepcioneslos modeloslinealessonmuchomsdifcilesdemanejarquelosmodelosnolineales.Engenerallos modelosnolinealespuedenserlinealizados,peroentonces,esposible,queseestnperdiendo aspectos relevantes del problema. Losmodelospuedenserdeterministaoestocstico. Unmodelodeterministaesaquelenquecada conjuntodevariablesenunestadoestdefinidoporlosparmetrosdelmodeloyporlosestados anteriores.Unmodelodeterministasecomportasiempreigualparaunconjuntodeparmetrosde entrada.Enunmodeloestocsticolasvariablesdeestadoserepresentanpordistribucionesde probabilidad, y por tanto el modelo es capaz de recoger aleatoriedad o incertidumbre. Losmodelospuedenserestticosodinmicos.Unmodeloestticonotieneencuentaeltiempo, mientras que los modelos dinmicos s. Los modelosdinmicos sesuelen representar con ecuaciones en diferencias o ecuaciones diferenciales. 2.3Modelos de Programacin Matemtica Lacaractersticacomnquecompartentodoslosmodosdemodelarmatemticamenteesque representanlarealidadmediantevariablesyparmetros(yalgunosotrosartificioscomofuncioneso conjuntos). De este modo la realidad queda cuantificada. Entre ellos estn la Programacin Dinmica o la Teora de Grafos. LosmodelosdeProgramacinMatemticasedistinguenporquerepresentanlarealidadmediante funciones.Estassoncombinacindevariablesyparmetrosenformaderestriccionesy/ofunciones objetivo. En general, las restricciones se deben respetar y las funciones objetivo optimizar.Estetipodemodelosmatemticospertenecenalgrupodelosmodelosnormativos(quindicanel camino a seguir) frente a la categora de los descriptivos (que describen la situacin actual o futura). Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 22 de 190 JPGS2011 2.3.1Por qu se llama Programacin Matemtica? Tresnombresdetrescientficosilustresvanasociadosalorigendelextraonombrede Programacin Matemtica: Koopmans, Dantzig y Kantorovich1. LostresparecenhaberdiseadomtodosdePlanificacinyProgramacindeOperaciones (produccin y transporte) utilizando modelos matemticos. Se podra decir puesquese lo que se conoce como Programacin Matemtica fue originariamente un modo de resolver problemas de Programacin mediante mtodos matemticos. 1AlfinalizarelprimerterciodelsigloXX,Kantorovich,premioNobeldeEconomaen1975,seenfrentaalproblemade planificacin desde una ptica de Optimizacin Matemtica. Kantorovich, que viva en la Unin Sovitica enfoca cmo combinar la capacidadproductivadeunafbricaparamaximizarlaproduccin.Paraelloutilizaunmtododeanlisisqueposteriormentese llam Programacin Lineal. Aunque entonces no tena nombre. Enelao1951Koopmans(quefuepremiadojuntoconKantorovichconelNobel)editaunlibrodettulo"ActivityAnalysisof Production and Allocation", (Wiley, NewYork (1951) ). Dicholibro recoge trabajosque susautoresdicenque sonampliacioneso reduccin de trabajos publicados entre 1947 y 1949. Enellibroqueledita,Koopmans,escribedoscaptulosrelevantes.ElcaptuloIII"Analysisofproductionasanefficient combinationofactivities" dondeexponeun "problemade produccin" demaneramatemtica,yel captuloXIV de ttulo "Amodel oftransportation"dondeplanteelproblemade"programareltransportedebarcos"tambindesdeunapticadeoptimizacin matemtica. Unos aos antes haba planteado el problema pero de modo terico segn l mismo indica. DehechoenlosartculosindicaqueestabainfluenciadoporunacortaentrevistaquetuvoconDantzig.ElpropioDantzig escribeel captuloIIdel citadolibro de ttulo: "The programmingof interdependentactivities:MathematicalModel"queindica que esunarevisindeunartculode1949.Enesecaptulosedistinguelapalabraprogrammingquehacereferenciaala programacinyMathematicalquehacereferenciaalmodelo.Dantzigseconcentraenlosmodelosdondelasrelacionesson linealespuestienenunaspropiedadesinteresantes,entreotrasquenohayptimoslocales,yderepenteenlapgina30los problemas de programacin con modelos lineales se convierten en "problemas de programacin lineal. Aparentemente el nombre deProgramacinLinealfuesugeridoporKoopmansen1948enunareuninquetuvieronKoopmansyDantzigenRAND Corporation. Lanotadeentradadelcaptulonosrecuerdaqueest"republicandountrabajode1949".Porqueyaen1947Dantzighaba diseado el algoritmo del Simplex, que es un procedimiento eficaz de resolucin del problema de programacin lineal. Segnuna historiaparalela,el trmino programacinlineal habra surgido porque "programacin"eraa lo que sededicabael departamentoenlaUSAFparaelquetrabajabaDantzig.ElpropioDantzig,sugierequeinicialmentesumtodoseutilizpara calcular las dietas ptimas.YKantorovich?EnsuautobiografaparaelPremioNobel,Kantorovichescribe:"In1939,theLeningradUniversityPress printed my booklet called The Mathematical Method of Production Planning and Organization which was devoted to the formulation of thebasiceconomic problems, theirmathematical form,a sketchof the solutionmethod,andthe first discussionof itseconomic sense. Inessence, it contained themain ideasof the theoriesandalgorithmsof linear programming. Thework remained unknown formanyyears to Western scholars.Later, TjallingKoopmans, George Dantzing,et al, found these resultsand,moreover,intheir own way. But their contributions remained unknown to me until the middle of the 50s." Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 23 de 190 Losmodelosdeprogramacincuyasvariablestenanrelacioneslineales,tenanlainteresante propiedaddenotenerptimoslocalesporloquelaProgramacinLinealseconvirtiprontoenun lugar comn de encuentro de modeladores y solucionadores. 2.3.2Una clasificacin de Modelos de Programacin Matemtica. Una clasificacin de los modelos de programacin matemtica podra tener en cuenta las siguientes caractersticas: - Estructura objetivos y restricciones (lineal o no lineal) - Caractersticas de las Variables (Reales, Discretas -Enteras-, Binarias) - Certidumbre de los Parmetros (Ciertos e Inciertos) - Nmero de Objetivos (Ninguno, Uno o ms de Uno) - Nmero de Restricciones (Ninguna, Ms de Cero) Elobjetodeestadescripcinnoesestablecerunaperfectaclasificacindetodoslosmodelosde programacin matemtica. En realidad se pretende fijar un marco que sirva de referencia en el contexto de estos apuntes. 2.3.2.1Programacin Lineal EntrelostiposdemodelosdeusomsgeneralizadoenProgramacinMatemticaseencuentrala denominada Programacin Lineal. sta, en su forma ms bsica, consiste en un conjunto de variables reales,quemediantecombinacinlinealdeparmetrosciertos,permiteestablecerunobjetivoy restricciones lineales.Losfundamentosmatemticosdelosmodeloslinealesseencuentranenlateoradelas desigualdadeslinealesdesarrolladaenelsigloXIXcomosepuedeleeren(Poler2001).Aunquese encuentranprecedentesendistintoscampos(teoradejuegos,definicindedietas,problemasde transporte...) la formulacin y resolucin general de los problemas de Programacin Lineal fue realizada en el proyecto SCOOP, lanzado en 1947 por el ejrcito del aire de los Estados Unidos de Norteamrica, dando lugar al algoritmo denominado Simplex expuesto inicialmente por Dantzig en 1947. En menos de 10aoslaProgramacinLinealexperimentounfuertedesarrollocontrabajosqueabordaron,entre otros temas, la degeneracin, la dualidad y las formas compactas. Actualmenteesposibleencontrarenelmercado,incluyendoaplicacionesgratuitaseninternet, aplicacionescomercialesparalaresolucineficientedeproblemasdeProgramacinLineal(CPLEX, XPRESS, LINDO, QSB...), siendo un avance significativo de los ltimos aos el desarrollo de paquetes quefacilitan la introduccindel modeloylaintegracindesteconlosSistemasde Informacinde la empresa. Lamayorpartedeestospaquetesutilizan(ohanutilizado)eldenominadomtodoSimplex.Dicho mtodo, aunque computacionalmente ineficiente, tiene la ventaja docente de ser metdico y que permite explicar, mediante el propio mtodo, algunos conceptos como precios-sombra o costes reducidos. Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 24 de 190 JPGS2011 Hasta finales de la dcada de los 80 del siglo XX no surgen como alternativa vlida los denominados mtodosdelpuntointerior.Elmenorcostecomputacionaldeestetipodealgoritmoshacequesu implantacin en los paquetes comerciales sea creciente.Por ltimo parece necesario destacar que aunque para el observador no experimentado la exigencia de linealidad puede parecer excesivamente restrictiva, la realidad es que ungran nmero de problemas reales puedanser modelados con esa consideracin (Williams, 1999). La ventaja de los Programacin LinealfrentealaProgramacinNo-Linealesqueparaestanoseconocenmodelosgeneralesde resolucineficientes.CuriosamenteeltrabajoquesedesarrollaenresolucindeProgramacinNo-Lineal est colaborando en mejorar la eficiencia de la Programacin Lineal. 2.3.2.2Programacin Lineal Entera Si a alguna de las variables de un problema lineal se le impone la condicin de integridad el problema pasaaserdeProgramacinLinealEntera(Mixtasitodasnosonvariablesenteras).Lacondicinde integridad puede venir impuesta, entre otros motivos, por el imposible fraccionamiento de determinados recursos.Unodelosprocedimientosmsefectivosparalaresolucindeestetipodeproblemasse fundamentaenelconceptoderamificacinycota.Desgraciadamenteaunquelalgicadeeste procedimientoeseficaz,conduciendonecesariamentealptimo,elcostecomputacionalenalgunos problemas es, an hoyen da, excesivo. Otro procedimiento para la resolucin de estos problemas se basa en los mtodos de planos cortantes, aunque este mtodo levant grandes expectativas por ahora no han fructificado de modo eficiente.UnavarianteespecialdelosproblemasdeProgramacinLinealEnteraloconstituyenaquellos dondealgunasvariablessonbivalentes.Elusodeestetipodevariablestienesuorigenenla representacin de aquellas decisiones que slo admiten dos valores, pero tambin aquellos problemas que exigen restricciones de tipo lgico. La pretensin de resolver estos problemas de modo eficiente ha dadolugaramtodoscomoeldeenumeracinimplcitaotcnicasmsgeneralesdeenumeracin como las descritas en (Kauffmann y Henry-Labordere, 1976). Hayquedestacarlaexistenciadealgunostiposespecialesdeproblemascon variablesbivalentes, que se abordan mediante mtodos especficos de resolucin, ptimos en algunos casos y ms eficientes porhabersidodesarrolladosexprofeso.Algunosdeestosproblemassonlosdecubrimiento, asignacin, particin, mochila y rutas. (Williams, 1999) 2.3.2.3Programacin Estocstica Si a los problemas de Programacin Matemtica (en general) se les incorpora la incertidumbre en los parmetros,estaincertidumbresepuedeabordarmedianteladenominadaProgramacinEstocstica. Una variante de la misma especialmente interesante es la Programacin Lineal Estocstica, que puede ser resuelta de modo ptimo, aunque con un coste computacional elevado. Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 25 de 190 Unodelosmecanismosparaabordarlaincertidumbreenlosdatoseselusodelosdenominados escenarios.Estosconstituyenunposibleconjuntode valoresparalosparmetros.Cadaunodeestos escenarios pueden tener una probabilidad asociada aunque no necesariamente. (Dembo, 1991). ExistendiferentesmodosdeformularmedianteunproblemadeProgramacinLinealunProblema Estocsticoaunquebsicamenteconsisteenobtenerunadecisinparaelinstanteactualteniendoen cuentalosescenariosfuturos.Deestemodoladecisinatomarnoserptima,engeneral,para ningunodelosescenariosaunquesparaelconjuntodeellos.Estemododeplantearyresolverel problema tiene un elevado coste computacional pero se puede abordado mediante descomposiciones y computacin en paralelo con ndice de paralelizacin elevado. Otro modo de abordar la estocasticidad en los parmetros es obtener el ptimo para cada escenario ycompararelvalorqueestadecisintendraparaelrestodeescenarios,eligiendocomodecisin definitiva la ms buena, o la menos mala o cualquier otro mecanismo que se considere oportuno. 2.3.2.4Programacin No-Lineal Si a los modelos de Programacin Lineal se les elimina el requerimiento de que la funcin objetivo o lasrestriccionesseanlineales,seobtienenmodelosdeProgramacinNo-Lineal.Laeliminacindel requerimientodelinealidadsesuele fundamentarenlaestructuranolinealdelobjeto,opartedel,a modelar. Sin embargo muchas de las circunstancias aparentemente no lineales pueden ser linealizadas sin prdida de su significado.El motivo de la aparente obsesin por la linealidad se basa, fundamentalmente, en la falta de eficacia enlaobtencindeptimosmedianteelusodelosprocedimientosactualmenteexistentesparala resolucin de problemas no-lineales en general. Es conocido que uno de los principales avances en la resolucin de estos problemas es el conocido teorema de optimalidad de Kuhn y Tucker que establece las condiciones necesarias de optimalidad en problemas restringidos, aunque no cmo llegar a ellas.Una variante de la programacin No-Lineal la constituyen aquellos problemas sin restricciones, para los que el clculo del ptimo tiene su origen en el desarrollo del clculo matemtico del siglo XVIII. Engeneralsepuedeadmitirquelaresolucindegrandesproblemasdeoptimizacinen programacinNo-Linealanhoynoeseficiente.Sin embargoelesfuerzorealizadonoesinfructuoso, porponerunejemplolosalgoritmosdelpuntointeriorfuerondesarrolladosapartirdeconceptosNo-Lineales y se han revelado eficientes en los problemas de Programacin Lineal. 2.3.3Los Componentes de un Modelo Matemtico Los modelos matemticos tienen dos componentes bsicos: -Datos: Valores conocidos y constantes. -Variables: Valores que se calculan. Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 26 de 190 JPGS2011 Mediante la combinacin lineal de los mismos se generan: -Funcin Objetivo que debe minimizarse o maximizarse -Restricciones que establece lmites al espacio de soluciones. Tantola funcinobjetivocomo lasrestriccionesseexpresanmatemticamentemedianteelusode variables o incgnitas. Se pretende definir unos valores a dichas variables de tal modo que se obtiene la mejor valoracin de la funcin objetivo mientras se cumplen todas las restricciones. Ensuformulacinbsicalosmodelosmatemticostienenunafuncinobjetivoyunaoms restricciones. Sin embargo existen excepciones como: -Mltiples Objetivos -Objetivos No existentes -No existencia de restricciones 2.3.3.1Mltiples objetivos UnmodelodeProgramacinMatemticaexigeunanicafuncinobjetivoquetienequeser maximizadao minimizada.Estosinembargono implicaquenosepuedanabordarlosproblemascon mltiplesfuncionesobjetivo.Dehecho,comosehacomentado,existendiferentesmtodosde modelado y posterior resolucin que se pueden aplicar en estos tipos de problemas. NumerososautoresrelacionanlaProgramacinMulti-ObjetivoconlaTeoradelaDecisinquese aborda ms adelante. Optimizacin sin restricciones Los problemas de optimizacin sin restricciones pretenden minimizar (o maximizar) una funcin real f(x) donde x es un vector de n variables reales. Es decir se buscan un x* tal que f(x*)s f(x) para todos los x cercanos a x*.Enel casodeunproblemadeoptimizacinglobal,elx*buscadoeselqueminimizafparatodoel espacio xeRn. 2.4Modelos de Optimizacin Combinatoria La Optimizacin Combinatoria es una rama de la Investigacin Operativa que consiste en encontrar la solucin ptima a un problema en que cada solucin est asociada a un determinado valor (el valor de la solucin). El trmino Combinatoria hace a la rama de la matemtica que estudia colecciones finitas de objetos que satisfacen unos criterios especificados, y se ocupa, en particular, del "recuento" de los objetos de dichas colecciones (combinatoria enumerativa) y del problema de determinar si cierto objeto "ptimo" existe (combinatoria extremal). Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 27 de 190 El trmino Optimizacin hace referencia a este segundo aspecto de la bsqueda del mejor valor. En muchos de esos problemas la bsqueda exhaustiva no es factible y por la estructura de los problemas tanto no es posible. La optimizacin combinatoria acta en el campo de los problemas de optimizacin en los que el conjunto de soluciones factibles es discreto (o reducible a discreto). En algunos casos se tiende la tendencia a asumir que la OC es la programacin lineal entera con variables binarias.La bsqueda ( o la definicin de la existencia) de un ptimo para tipos especficos de problemas ha dado lugar a una cantidad considerable de algoritmos que son capaces de resolver casos especficos en tiempo polinomial. Los problemas de optimizacin combinatoria tratan de encontrar la mejor solucin de entre un conjunto de tems discreto y por tanto finito. En principio cualquier algoritmo constructivo o de bsqueda podra encontrar la solucin optima, pero no necesariamente tiene porqu garantizarla. En aquellos casos en que el problema parece resistirse a ser resuelto se suele abordar el problema de diferentes maneras: -Algoritmos que funcionan bien generalmente para tamaos pequeos de problemas. -En ocasiones hay problemas que su versin aplicada no presenta las caractersticas del worst-case. -Algoritmos de aproximacin que son capaces de dar soluciones muy cerca del ptimo. 2.5Otros Modos de Modelar. Otros Modos de Pensar. En el punto anterior se ha planteado una visin general de la Programacin Matemtica entendida en un sentido restrictivo. A continuacin se revisan algunas tcnicas diferentes en el fondo o en la forma. La lista, que no es exhaustiva ni las agrupaciones consideradasson necesariamente disjuntas, incluye las Teoras de Redes, de Colas y de Juegos, la Simulacin, la Programacin Dinmica. No se consideran, aunque son tambin importantes, modos de modelar como la Previsin(Companys, 1990), la Teora de Decisin(White,1972),(Raiffa,1970)oTeoradeJuegos(Binmore,1994),oaplicacionesconcretas como modelos de Inventario (Axster, 2000) o de Reemplazo (Figuera y Figuera, 1979) 2.5.1Teora de Grafos Segn(Kauffman,1972)laTeoradeRedesesunaramadelateoradeconjuntosbasadaenlos trabajosdeKning.Enaquelmomento,eraparaelautor,laramadelateoradeconjuntosconms futuro. De hecho aporta una ayuda eficaz para modelar y resolver determinados problemas de carcter combinatorio que aparecen en los ms diversos dominios(Companys, 2003).La teora de redes, o de grafos, incluye un modo de representar y soporte matemtico para resolver. El mododerepresentaresintuitivoensuforma mssimple,porsurelacinconlarealidad fsica,de Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 28 de 190 JPGS2011 determinadostiposdeproblemas.Elsoporte matemticoesespecialparacadatipodeproblema,que suelen ser complejos problemas de combinatoria, permite resolverlo de modo ms simple que al utilizar laProgramacinMatemticaconvencional.Esrelativamentesencillotraducirunmodeloderedaun modelo de Programacin Matemtica, es un poco ms complicado (aunque posible) hacer la traduccin alainversa.Ladecisinsobrequmododemodelarsedebeutilizar,debetomarlaelmodelador teniendoencuentalanecesidaddetransmitirelmodelo(dondelateoradegrafosesclaramente superior), la disponibilidad de herramientas y la realidad concreta a modelar. EnlneasgeneralessepuededecirqueloscomponentesbsicosdeladenominadaTeorade Grafossonlosvrtices(onodosopuntos)ylosarcosquelosunen.Aunconjuntodeterminadode vrticesyarcosseledenominared.Apartirdeestosconceptossedesarrollanotroscomocamino, corte, rbol, etc. Algunosdelosprincipalesmodelosquedeestemodoseplanteanson:losproblemasdearbol mnimo, de camino mnimo, de flujo mximo o de permutacin ptima. El poder reducir un problema real a un problema clsico de grafos implica la posibilidad de conocer mtodos eficaces de resolucin, para muchosdeellos(siempredependiendodeltamaoylacomplejidad).Algunosdelosproblemasde GestinIndustrialquesepuedenabordarconestosmtodossonlaprogramacindeProyectos,la Gestion de Inventarios, Diseo de Rutas, Secuenciacin y Temporizacin.... 2.5.2Programacin Dinmica Si antes se destacaba que el nombre de Programacin Matemtica no era muy representativo de la propia tcnica, el de Programacin Dinmica no lo mejora.CuandoelnombreProgramacinMatemticahabaadquiridociertoaugeBellmanplanteenla dcada de los 50 (del siglo XX) la herramienta denominada Programacin Dinmica, a travs de su libro del mismo ttulo para la resolucin de problemas de carcter secuencial (inicialmente econmicos pero tambin fsicos y matemticos).ElfundamentodeesteprocedimientoseencuentraenelprincipiodeoptimalidadqueBellman enunci del siguiente modo: Unapolticaesptimasienunperiododado,cualesquieraqueseanlasdecisiones precedentes, las decisiones que queden por tomar constituyenuna poltica ptima teniendo en cuenta los resultados precedentes LaProgramacinDinmicaesunmtododeoptimizacindelossistemasodesurepresentacin matemtica, sobre la que se opera por fases o secuencias. (Kauffman, 1972). ElmtododeresolucindenominadoProgramacinDinmicaconsisteenbuscarlassubpolticas ptimasquecomprendancadavezmsfasesunitivas(Denardo,1982),hastaencontrarla,olas, polticas ptimas. En ciertos problemas los clculos se vuelven mucho ms simples cuando se hace la optimizacin en un cierto sentido privilegiado o a partir de cierta fase(Companys, 2002). Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 29 de 190 Lasvariablesutilizadaspuedenserdiscretasocontinuas.Ademslosparmetrospuedenser deterministas o estocsticos. Cuando el futuro es aleatorio (parmetros estocsticos) la optimizacin de la esperanza matemtica del valor total slo puede llevarse a cabo en un sentido, remontndose desde el futuro hacia el pasado. (Kauffman, 1972).Si al concepto de Programacin Dinmica se le une la consideracin de los mtodos de Ramificacin yCorte,apareceelconceptodeProgramacinDinmicaAcotada,porelcualseutilizancotasenun esquemadeProgramacinDinmica,limitandoelnmerodevrticesquesepuedenalmacenar (Bautista, Companys, and Corominas, 1992) 2.5.3Teora de Colas Se admite como inevitable la existencia de colas en los sistemas en que las entradas y/o el servicio seproducenaintervalosirregulares.Lateoradecolasesunmtododemodeladoquedescribeel comportamientode lasmismas.Laprimeraaplicacinprcticade laquesetieneconstancia,yconla que se inicia la investigacin en este campo es el trabajo de Erlang a principios del siglo XX. Unodelosresultadosmsconocidosdelateoradecolasesladenominada frmuladeLittleque relaciona la longitud de la cola con el tiempo de espera y el ritmo de entrada al sistema. Los resultados ms habituales de la teora de colas se refieren a sistemas de una etapa con entradas y salidas siguiendo distribuciones exponenciales. Sin embargo ms tiles en mltiples ocasiones son las redes de colas con tiempos de los procesosno necesariamente exponenciales. Un excelente resumen de la situacin actual de la teora de colas se puede encontrar en (Gross, Shortle, Thomson, and Harris, 2008). Los desarrollos en teora de colas han ido extendiendo sus soluciones tanto para diferentes tipos de entradas como para redes de colas. Esdedestacarelespecialintersquelateoradecolastieneeneldiseodeelementos estructurales de la denominada Nueva Economa (servidores web, procesadores compartidos...) 2.5.4Dinmica de Sistemas Se atribuye a Forrester el inicio del desarrollo de la denominada Dinmica de Sistemas. Esta tiene su relacindirectaconelEnfoquedeSistemasvistoenelapartadodedicadoalosFundamentos Organizativos de la Organizacin de Empresas. Forresterdesarrollunconjuntodeherramientasyunaaproximacinalasimulacinqueseha llegado a conocer como dinmica de sistemas, mediante la cual se puede llegar a comprender como la estructura de un sistema humano y sus polticas de control operan. Mostr tambin el valor que tienen los modelos explcitos que combinan procesos de negocio y estructura organizacional. En(Pidd,1996)sesugierequeelprecursordeestaideaesTustinqueen1953publicun trabajo titulado El mecanismo de los sistemas econmicos.Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 30 de 190 JPGS2011 LasherramientasdelaDinmicadeSistemaspuedenutilizarsedediferentesmaneras.La aproximacin bsica suministra una manera de observar sistemas humanos, haciendo especial hincapi enlaimportanciadealgunosaspectosestructuralescomoelcontrolporretroalimentacin.La consideracindeestacircunstanciaaportainteresantesresultadosinclusosinelusodeherramientas informticas.Otromododeutilizarladinmicadesistemasesrealizandosimulacionesmediante ordenador, que permitan entender mejor el funcionamiento de otro sistema. Por ltimo, la Dinmica de Sistemassepuedeutilizarparamejorareldiseodeunsistema,evaluandomediantesimulacinsu comportamiento. 2.5.5Simulacin Asociada en ocasiones a la teora de colas y heredera de la dinmica de sistemas se encuentra otra herramientadelosmtodoscuantitativoscomoeslasimulacin.Elincrementodelacapacidadde clculodelosordenadores,ascomosuscrecientescapacidadesgrficashacequeestaltimaest experimentandounaaplicacincrecienteenelmodeladodeflujosdemateriales,einclusode informacin. Esta aplicacin creciente ha supuesto, en algunos casos, el abandono de las herramientas analticas, querequiereunesfuerzoconceptualqueaparentementelasimulacinnorequiere.Hayquedestacar, en contra de esta opinin que la simulacin bien aplicada exige un importante esfuerzo para garantizar la validez de resultados. De hecho, dado que la simulacin es comparable al anlisis por experimentos, al hacer una simulacin hay que hacer frente a los mismos problemas que hay que afrontar cuando se haceexperimentacinconvencional(incluyendodiseoexperimentalyanlisisestadstico).Deeste modo el uso de la simulacin no reduce el esfuerzo a realizar, sino que resuelve problemas que la teora de colas analtica no es actualmente capaz de abordar(Gross and Harris, 1998). Peronoslolasimulacindeeventosdiscretosestdisponible(aunqueesconmucholams utilizadaenelterrenoprctico)sinoquelasimulacinbasadaenagentesyolasimulacinmediante Dinmica de Sistemas tiene su importante utilidad al modelar otros conceptos. 2.5.6Teora de Juegos Algunosproblemasdetomadedecisinseplanteanbajolaformadeunjuego,dondesetratade tomarunaovariasdecisiones,frenteaunoovariosdecisorescuyasreaccionesalasdecisiones tomadasseconocenpocoonada.Lateoradejuegostratadeestablecercomodebieracomportarse racionalmente un individuo ante la ignorancia del comportamiento del adversario cuando se conocen las reglas de la competencia aceptadas por los participantes. (Kauffmann, 1972) Para (Kauffman, 1972) la teora de juegos se desarrolla a partir de los trabajos de Borelen 1921 y Von Neumann en 1924, aunque la teora ya haba preocupado en diferentes formas a Kepler, Huyghens, Pascal, Fermat y Bernouilli entre otros. VonNeumannyMorguesternensuprimeraobrasobreTeoradeJuegos,investigarondos planteamientosdistintos:elestratgicoonocooperativoyelcooperativo.Lacomplejidaddelprimer Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 31 de 190 problema planteado hizo que se limitaran a los juegos estrictamente competitivos o de suma nula, donde losdosjugadores(slodos)tieneninteresesdiametralmenteopuestos.Lasegundaparte(eljuego cooperativo)anfuemscomplejoyportantoselimitaronaclasificarlosmodelosdeformacinde coaliciones, (Binmore, 1994) Nash afront dos de lasbarreras que Von Neumanny Morgenstern se haban autoimpuesto. Sobre los juegos no cooperativos estableci la idea del equilibrio que aparece cuando la eleccin estratgica de cada jugador es la respuesta ptima a las elecciones estratgicas de los otros jugadores, con lo que noesnecesariorestringirsealosjuegosdesumacero.RespectoalosproblemascooperativosNash rompi con la idea de que los problemas de negociacin son indeterminados y ofreci argumentos para determinarlos. (Binmore, 1994) Actualmente la teora de juegos, lleva aparejado un aparato matemtico cada vez ms complicado. Encualquiercasosumododetrabajopuedeser,yes,degranutilidadenelanlisislatomade decisiones con la presencia de otros decisores. 3PROGRAMACIN MATEMTICA 3.1La construccin de un Modelo de Programacin Matemtica. Esimportantedestacarqueenlametodologaqueseexplicaacontinuacinelcaminoesde continuas idas y vueltas. As lo normal es que una vez terminada una fase haya que volver a una etapa anterior y de este modo volver a comenzar. Conjuntos de Datos, y por tanto de ndices Conocer los tipos de datos de los que se dispone permite establecer,conjuntosyconellosndices.Muchosdelosquesedefinenenestafasenoson estrictamente necesarios, y otros se incorporarn en fases siguientes. Parmetros.RepresentarlosconjuntosdedatosmedianteSmbolosconsubndices,permitir comenzarlaconceptualizacindelproblema.Generalmenteenestafaseaparecennuevos ndices, o incluso se establecen parmetros que luego se comprobar que son variables. Objetivo.Establecerlafuncinobjetivoenformadelenguajenatural(Maximizarelbeneficio esperadoominimizarelratiodeaprovechamiento)permiteempezaradefinir variablesquese puedendenominardecontrol.Noesimportanteenunaprimera faseestablecerelobjetivode modo lineal, simplemente con representarlo ya es suficiente. Variables de ControlDe la etapa anterior se han definido las variables que configurarn la funcin objetivo. Dichas variables deben ser explcitamente representadas. En general, aunque algunos autoresopinanlocontrario,sepuededecirquelasvariablesenla funcinobjetivonosonlas decisiones que se toman, sino los efectos de dichas decisiones, es por ello que se ha preferido denominarlas de control. Restricciones.Elmodomshabitualdegenerarrestriccionesesexpresarlasverbalmentey cuantificarlasposteriormente.Lohabitualesquesurjannuevosdatos,parmetrosndicesy Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 32 de 190 JPGS2011 variables.Enprincipiotrasfijarlasrestriccionesevidentesseobservarquelasvariablesde decisinylasdecontrolnoestnconectadas.Lasconexionesdarnlugaranuevas restricciones. VariablesdeDecisin.Engeneralalplantearlafuncinobjetivonoseestplasmandolas decisiones que en realidad se quieren tomar. Dichas variables deben ser tambin reflejadas. Modelo Completo La construccin del modelo completo (funciones objetivo ms restricciones) dar generalmente nuevos ndices, parmetros, variables y restricciones. ValidacinLavalidacindelmodeloexigesuformulacinysuresolucin.Laimportanciadeesta etapa exige un apartado entero (el siguiente). La validacin suele exigir recomenzar el proceso de validacin desde el principio. Porltimoconvendrarecordarqueelbuenmodelo,suresolucinyelanlisisdelosresultados, generalmentedarunamejorcomprensindelproblema,cerrandodeestemodoelcrculodeesta metodologa. 3.2Implementacin de un Modelo de Programacin Matemtica (Validacin) Unmodelo matemticosobreelpapelesengeneral consistente.Ahorabiensuintroduccinenun formato que permita resolverlo adecuadamente nos informar de nuevos errores, que lleva Antesdeprestardemasiadaatencinalasolucinobtenidatrasresolverunmodeloquesehaya construido, se debe comprobar que se ha modelado lo que se pretenda. Asumiendo que no hay errores detiposintctico(generalmentelospaquetesinformticoslosdetectan)existentressalidasqueen general se recorrern sucesivamente: que el modelo sea incompatible, que el modelo no est acotado y que el modelo sea resoluble. An llegado este punto caben dos situaciones, que el modelo sea resoluble pero sus soluciones no sean coherentes con el problema, y por ltimo que el modelo sea resoluble y sus soluciones sea coherentes. Si se alcanza este punto, el modelo est listo para ser utilizado. 3.2.1Modelo de sintaxis errnea. El error ms tpico es que la funcin objetivo no sea una frmula sino un conjunto de frmulas. Una manera de detectarlo es comprobar que ningn ndice en las variables de la funcin objetivo se queda sin su sumatorio correspondiente. Otro error tpico se da en las restricciones. Todos los ndices de todas las variables utilizadas deben estar en la expresin de la restriccin. Ya sea en forma de sumatorios, ya sea en forma del rango en el que aplica la restriccin (el para todo i). Utilizar los paquetes de resolucin para detectar problemas es lo ms razonable en tiempo. Un modo de utilizarlos eficientemente es pedirles que escriban el modelo en formato .lp Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 33 de 190 De este modo es posible visualizar si lo que hemos escrito en formato compacto se parece a lo que pretendamos obtener en modo desarrollado. 3.2.2Modelo incompatible Unmodelonotienesolucinsiexistenrestriccionescontradictorias.Porejemplo,lassiguientes restricciones haran el modelo irresoluble: 212 12 1> +s +x xx x En la prctica esta situacin no ser tan evidente. El programa intentar resolver hasta que detecte la incompatibilidad. En algunos casos la indicar, aunque no es lo habitual. En pocas ocasiones la incompatibilidad ser debida a que el problema real no tiene solucin, aunque en la mayor parte de casos es debido a que se ha formulado mal el problema. Un modo lgico de buscar las restricciones que generan la incompatibilidad es ir anulndolas. Hasta encontrar aquella (o aquellas) que al anularlas permiten que la solucin exista. Hay que tener en cuenta que en general las restricciones son incompatibles a pares, por lo tanto no necesariamente la restriccin anuladaeslaqueestmal.Podraserotrarestriccinqueuselasmismasvariables.Enpocas Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 34 de 190 JPGS2011 ocasiones,lasincompatibilidadesseproducenportriangulacinderestricciones(enpocasocasiones pero ocurre). Otromecanismoparaencontrarlasincompatibilidadesesgenerarunasolucinobvia(oreal).Al obligarla, introducindola como restricciones de igualdad, el modelo debiera soportarla. Si no lo hicieran las restricciones violadas sern las incompatibles. 3.2.3Modelos no acotados Se dice que un problema no est acotado si su funcin objetivo se optimiza cuando alguna variable tiende a infinito. La solucin obtenida en este caso, si puede ayudar a reconocer el error de formulacin. Mientrasqueenunmodelo incompatibleelproblemaeslaexistenciadedemasiadasrestricciones, en un problema no acotado faltan restricciones. Generalmente restricciones fsicas obvias que han sido olvidadas o relaciones entre variables no consideradas. Los modelos no acotados tienen un dual incompatible, aunque la inversa no es siempre cierta. Por eso muchas herramientas resuelven inicialmente el dual. 3.2.4Modelo Resoluble Cuando un modelo no es incompatible y es acotado se conoce como un modelo resoluble. Cuando se obtenga la solucin ptima de un modelo resoluble lo primero que hay que hacer es comprobar que sta es lgica. Si no lo fuera el modelo sera errneo. El sentido comn es el mejor aliado en este caso. Para comprobar que los resultados son lgicos existen mltiples maneras, y cada modelador tiene su estructura de trabajo. Una que da buenos resultados es modificar de manera sistemtica los costes en la funcinobjetivo(olaslimitacionesenlasrestricciones)paracomprobarquesepuedemodificarla solucin modificando los coeficientes. Hayquedestacarelvalordelaoptimizacinenlavalidacindelmodelo.Cuandosetratade maximizar(ominimizar)algunacantidad,algunarestriccindebeserutilizadacompletamente.Es interesante, cuando se trata de un modelo nuevo, probar con diferentes objetivos, porque dan relevancia a diferentes restricciones y, por tanto, se pueden ir comprobando todas. Sielresultadoeslgicodeberamoscompararloconunresultadoreal,podraserqueelmodelo fuera demasiado restrictivo (aunque no llegue a ser incompatible) o demasiado laxo (aunque no llegue a ser no acotado) En muchos casos, este anlisis ya est conduciendohacia un mejor entendimiento del problema, y por tanto, el esfuerzo (aunque sin solucin) ya est siendo eficaz. De la exposicin anterior se desprende de modo natural que el proceso modelado-validacin debe ir repitindosehastaconvergerenunmodeloquerepresentedemodosuficientementeacertadola realidad. Y este proceso es muy til para entender la propia realidad modelada. Modelos y Mtodos de Investigacin de Operaciones Pgina 35 de 190 3.3Caractersticas de un buen modelo de Programacin Matemtica Tressonlosobjetivosbsicosquesedebenpretenderalconstruirmodelosdeprogramacin matemtica. -Que sea un modelo fcil de entender -Que sea un modelo cuyos errores sean fciles de detectar -Que sea un modelo de fcil resolucin 3.3.1Facilidad para entender el modelo A menudo es posible construir un modelo compacto y realista donde diferentes variables aparezcan demodoimplcitoynodemodoexplcito.Sinembargoconstruirestetipodemodelosconduce habitualmenteasolucionesdifcilesdeevaluary msandeinterpretar.Incluso,aunquelosmodelos menoscompactos,requierenuntiempomslargoderesolucin,estetiempocompensaelque posteriormente habra que invertir en la interpretacin de la solucin. Es til tambin utilizar acrnimos para designar las variables y las restricciones, de tal modo que los resultados se puedan, posteriormente, interpretar ms fcilmente. Existe tambin unas normas de estilo que, no siendo obligatorias permiten entender mejor el modelo, si todo el mundo las utiliza igual. En general se admite que las letras de la h a la l (minscula) se refieren andices,quelasletrasx,y,zsonvariablesmientrasquea,b,c,d,m,n,p,qsuelenutilizarsecomo parmetros, o las letras griegas suelen hacer referencia a variables binarias. Aunque no existe ninguna normaescrita,elusodeesteestilosimplificaeltrabajoquesuponeentenderunmodelo.En cualquier casoesimprescindiblequenoexistanhomnimosnisinnimos,estoes,elementosconelmismo nombre y significado distinto, o elementos con distinto nombre y el mismo significado. 3.3.2Facilidad para detectar errores en el modelo Esteobjetivoestclaramenteunidoalanterior.Loserrorespodranserdedostipos:detecleo (nmeros errneos o defectos ortogrficas) y de formulacin. Para evitar los problemas de tecleo es til utilizar programas de generacin de matrices o lenguajes de modelado. Muchos de estos programas tiene procedimientos que detectan errores adems de otras funciones relacionadas. 3.3.3Facilidad para encontrar la solucin LosmodelosdeProgramacinLinealutilizanunagrancantidaddetiempodecomputacin,ypor tantoserainteresanteconstruirmodelosqueseanresueltosdemodorpido.Esteobjetivose contrapone en la prctica al primero de los enunciados. En algunos casos es posible reducir el tamao del modelo mediante procedimientos instalados en el propio editor de modelos. En otros es un ejercicio que debe realizar el modelador. Usando las matemticas para pensar sobre Direccin de Operaciones. Pgina 36 de 190 JPGS2011 Acontinuacinsepresentantresmtodosquepermitenreducirelcostedecomputacin:Usode Cotas, Unidades de Medida apropiadas y uso de formulacin modal. 3.3.3.1Uso de Cotas Esposiblealcanzarreduccionessustancialeseneltiempodecomputacinteniendoencuentalas cotasglobales(GUB)citadasenelcaptulosiguiente.Evidentementeestareduccinserefectiva dependiendo de si el paquete lleva o no incorporadas rutinas que traten estas cotas. 3.3.3.2Unidades de medida Cuando se modela una situacin prctica es importante prestar atencin a las unidades en las cuales semidenlascantidades.Siexisteunagrandisparidadenloscoeficientesdeunmodelode Programacin Lineal se incrementa sustancialmente el tiempo de computacin. Es decir, si las restricciones de capacidad se miden en toneladas, los beneficios no se deberan dar en pesetas por kilo. Idealmente las unidades se deberan plantear de tal manera que los coeficientes no nulosestnentre0.1y10.Algunospaquetescomercialestienenprocedimientosparaescalar automticamenteloscoeficientesantesderesolverydespusdesescalartambindemodo automtico. 3.3.3.3Formulacin Modal EnproblemasdeProgramacinLinealgrandes,sepuedereducirsustancialmenteelnmerode variables utilizando la denominada formulacin modal. Si un conjunto de restricciones se ve afec