MT224ROSA GARRIDO*Anlisis Mediante Variables De EstadoModelado. Forma estndar de las Ecuaciones de Estado.- Concepto de estado y variable de estado. - Diagramas de Simulacin o de Bloques.

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MT224ROSA GARRIDO*MODELO

Definicin (desde el punto de vista de la regulacin automtica):El conjunto de ecuaciones que representan la dinmica de un sistema con exactitud.Caractersticas de los modelos a desarrollar Dinmicos Tiempo Relacionen entradas con salidas del sistemaTipos de modelos a desarrollar Basados en leyes fsicas uso de EDOs

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MT224ROSA GARRIDO*Modelos

Sistemas Mecnicos de traslacin o de rotacinSistemas ElectromecnicosSistemas Fsicos tales como: TrmicosFlujo de FluidosHidralicos y Neumticos

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MT224ROSA GARRIDO*Sistemas mecnicos traslacionales:

FormalizacinSegunda ley de Newton:F =maEl comportamiento de un muelle sigue la ley de HookeF = KxEl amortiguamiento viscoso es proporcional a la velocidad y se puede modelar con la ecuacin.

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MT224ROSA GARRIDO*Suspensin de un Automvil

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MT224ROSA GARRIDO*Modelo de Suspensin

Para reducir los efectos incmodos de las irregularidades del camino, los automviles estn dotados de un sistema de suspensin. El objetivo de este sistema es evitar que estas oscilaciones se transmitan a los pasajeros o la carga. La figura 1 muestra un sistema de suspensin de un automvil y el movimiento de la rueda asumiendo el movimiento vertical en una dimensin de un cuarto de la masa del carro sobre una rueda.

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MT224ROSA GARRIDO*Ejemplo : Modelo de sistema de suspensinx(t) e y(t) son los desplazamientos del carro y de la rueda, respectivamente, con respecto de su posicin de equilibrio (suponiendo la que tendran en caso de que la masa del carro fuese cero y ambos "muelles tuviesen su elongacin natural) y r(t) el del suelo.Figura 1

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MT224ROSA GARRIDO*Diagrama del cuerpo Libre

x,y distancias a partir del equilibrioLas fuerzas gravitacionales pueden ser omitidas en un sistema masa-resorte vertical

EDOs

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MT224ROSA GARRIDO*Arreglando

Modelo de Funcin de Transferencia

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MT224ROSA GARRIDO*

Descriptor de Espacio Estado

SalidaySalidax,y

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MT224ROSA GARRIDO*Sistema Mecnico de Rotacin

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MT224ROSA GARRIDO*

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MT224ROSA GARRIDO*Mecnico-rotacional

Este sistema es un pndulo. El momento de Inercia del pndulo es representado por J; la friccin entre es representado por B, y la elasticidad del pndulo es representada por K.

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MT224ROSA GARRIDO*Descriptor de Espacio Estado

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MT224ROSA GARRIDO*Sistema Elctrico

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MT224ROSA GARRIDO*Ejemplo

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MT224ROSA GARRIDO*Diagrama de Simulacin

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MT224ROSA GARRIDO*Espacio Estado

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MT224ROSA GARRIDO*Sistema Electromecnico Control por Armadura de motores de c.c.

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MT224ROSA GARRIDO*Motor de c.c.

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MT224ROSA GARRIDO*Motor c.c.

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MT224ROSA GARRIDO*Diagrama de Bloques

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MT224ROSA GARRIDO*Espacio Estado Motor cc

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MT224ROSA GARRIDO*Modelos HidralicosSupongamos un modelo simplificado para el nivel del depsito (h) como funcin de continuidad que dice que la variacin de la masa de lquido en el depsito por unidad de tiempo es igual a la masa de lquido que entra menos la que sale (estamos despreciando fenmenos de evaporacin y condensacin), dicha ecuacin se formula como:Cuando se plantean sistemas hidrulicos fundamentalmente tenemos dos tipos de sistemas a modelar, aquellos en los que se produce acumulacin de lquido y otros en los que sucede el transporte del mismo.Siendo W el caudal msico de fluido que es igual al volumtrico por la densidad.Como la masa de lquido en el depsito es igual al volumen por la densidad (m=V)FihF0

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MT224ROSA GARRIDO*En este caso tenemos un solo flujo de entrada y otro de salida. Por simplicidad, supondremos que el fluido de entrada no cambia sus propiedades (densidad constante) y que no existe ningn tipo de reaccin qumica en el depsito y podremos decir que la densidad del lquido que entra es igual a la del interior del depsito e igual a la que sale (= i= o)De modo que el balance msico puede expresarse de esta forma:

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MT224ROSA GARRIDO*Si se supone que es un depsito paraleleppedo, el volumen de lquido ser igual a la seccin del tanque (A), que es constante, por su altura (h), entonces:En nuestro ejemplo tenemos dos flujos uno de entrada de valor conocido Fi y otro de salida (Fo), cuyo valor desconocemos, pero que usando las leyes de la hidrodinmica puede modelarse. Segn las leyes de la hidrodinmica el flujo de lquido que fluye por una conduccin es proporcional a la raz cuadrada de la diferencia de presiones entre sus extremos:

Siendo cv un parmetro que depende del dimetro de la conduccin, longitud y material

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MT224ROSA GARRIDO*En el caso de la conduccin de salida de nuestro depsito podemos suponer la presin en le punto 2 (exterior) es la presin atmosfrica (Patm) y que, segn las leyes de la hidrosttica, la presin en el punto 1 (inferior) es la presin atmosfrica ms la debido a la altura del lquido (Patm+gh). De modo que el flujo a travs de la conduccin de la salida ser Si suponemos la =cte, entonces

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MT224ROSA GARRIDO*De modo que finalmente tendremos: Siendo el modelo de la evolucin de la altura del lquido en funcin del flujo de entrada una ecuacin diferencial de primer orden de coeficientes constantes pero no lineal: FihF0

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Nivel en un tanque Modelo LinealMT224ROSA GARRIDO*qi(t) Flujo de entradaqo(t)Flujo de salida

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MT224ROSA GARRIDO*Sistemas TrmicosPara modelar sistemas termohidrulicos en los que su energa interna cambia, debe de utilizarse un balance energtico como el siguiente:

Siendo E la energa del sistema, Qi y Qo los calores que entran y salen, respectivamente, debido a fenmenos de conveccin o difusin, Qa el calor aadido por conduccin, radiacin o reaccin qumica y Qr el trabajo realizado por el sistema.Sin animo de ser riguroso y para ilustrar este tipo de modelos vamos a modelar la evolucin de la temperatura en el interior del tanque del ejemplo anterior suponiendo que la temperatura del lquido de entrada es cambiante.La energa del lquido en el tanque es: E=mCpT, siendo m la masa,Cp el calor especfico ( que suponemos constante) y T la temperatura del lquido en el tanque.

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MT224ROSA GARRIDO*El calor que entra por conveccin es el que introduce el lquido que entra al tanque y su valor es WiCpTi y el calor que sale por conveccin es el que se lleva el lquido que sale del tanque WoCpTo. Si se asume que la temperatura es homognea en el tanque, podemos considerar que la temperatura de salida es igual a la interior (T=To)

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MT224ROSA GARRIDO*En principio no suponemos que haya ninguna fuente de energa externa ni que haya perdidas con el entorno. Adems el sistema tampoco realiza ningn trabajo. Entonces podemos decir que:

Eliminando Cp a ambos lados de la ecuacin y sabiendo que La ecuacin anterior puede escribirse como:

Tanto el flujo de lquido que entra (Wi), como la masa de lquido en el tanque (m) son variables que dependen del tiempo. As, el modelo resulta una EDO de primer orden, lineal y de parmetros variables en el tiempo, cuya entrada es la temperatura del lquido que entra en el tanque (Ti) y la salida la temperatura del lquido en el tanque (T).

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Ej 2: Modelando la Temperatura de un cuartoMT224ROSA GARRIDO*Dado:Un cuarto que tiene dos lados aislados (1/R = 0). Asuma que la temperatura del cuarto, T, es uniforme a travs del cuarto.

Requerimiento:Encontrar la Ecuacin diferencial que determine la temperatura del cuarto.

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Ej 2: Modelando la Temperatura de un cuarto (cont.)MT224ROSA GARRIDO*Definiendo la capacidad calorfica del cuarto como C, la ecuacin de energa:

donde

por lo tanto

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Control de Nivel de un tanque abierto MT224ROSA GARRIDO*

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Diagrama de bloquesMT224ROSA GARRIDO*

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