Modelado y Estudio de un Sistema Dinámico de Primer Orden

Modelado y Estudio de un Sistema Dinámico de Primer Orden

Usando Xcos de Scilab

Contreras Custodio Ángel Alberto

Proyecto 3

Contreras Custodio Ángel Alberto Universidad Veracruzana

Introducción

Objetivo

Resultados

Discusiones

Conclusiones

Bibliografía

Pág. 3

Pág. 4

Pág. 9

Pág. 13

Pág. 13

Pág. 14

Índice

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[1] Apuntes de Control Distribuido, Depto. De Ingeniería de Sistemas y Automatización: Universidad de Sevilla, España

El control automático ha desempeñado un papel muy importante en el avance de la ingeniería y la ciencia desde principios del siglo XX. En la actualidad, además de su gran importancia en los sistemas de vehículos espaciales, sistemas robóticos y análogos, el control automático se ha convertido en una parte importante de los procesos industriales y de fabricación. Por ejemplo, el control automático es esencial en el diseño de automóviles y camiones en la industria automotriz, en el control numérico de las maquinas herramientas de las industrias de manufactura y en el diseño de pilotos automáticos en la industria aeroespacial. También es esencial en las operaciones industriales como el control de presión, temperatura, humedad, viscosidad y lujo en las industrias de proceso. [1]

El Control tiene como propósito llevar a cabo una tarea específica a pesar de todas las variantes, lo que hace el control es manipular las condiciones del sistema de estudio, el cual será modificado por una serie de pasos hasta llegar a un resultado deseado o un resultado esperado.

Nuestro objeto de estudio para este caso como ingenieros químicos son los sistemas de proceso, los cuales engloban muchos otros sistemas, y que gracias al control automático por una parte se han simplificado o son más fáciles de controlar y manipular, para así obtener buenos resultados y de calidad superior.

En este documento se estudiaran los sistemas dinámicos de control, que están regidos o entendidos por una ecuación diferencial de primer orden, se estudiara como es su comportamiento cuando el sistema es sometido a 3 tipos de condiciones de entrada (impulso unitario, escalón unitario y rampa), este tipo de sistemas dinámicos pueden ser lineales o linealizados, la ecuación que los describe es la siguiente:

( )tbfyadtdya =+ 1

Introducción

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Nuestro estudio se basara en el comportamiento de un sistema dinámico de primer orden, en la siguiente figura se muestra es esquema para desarrollar la ecuación de primer orden para darnos un modelo de nuestro sistema:

Dónde: f(t) es el flujo volumétrico y cAi(t) y cA(t) son las concentraciones

Partiendo de las ecuaciones que rigen a este tipo de sistema no vamos a un balance de materia general por especie;

Aplicando ciertos criterios:

La densidad es constante El volumen es constante Agitación perfecta Se vacía por derrame por lo tanto el flujo es el mismo

AAAiA Vrtctftctf

dttdCV +−= )()()()()(

Ec. 1

Siendo: Acumulación = Entrada – Salidas + Producción o Consumo

Para nuestro caso de estudio -rA pueden ser de diferente orden:

A) -rA = k Orden Cero

B) -rA = kCA(t) Primer Orden

C) -rA = kCA(t)2 Segundo Orden

Objetivo

cAi(t)

f(t)

cA(t)

f(t)

cA(t)

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Siguiendo con el problema 1.15-B del libro: Elementos de Ingeniería de las Reacciones Química, H. Scott Fogler:

Dicha ecuación se tiene que linealizar utilizando la ecuación truncada de la Serie de Taylor que es:

Siendo así pasamos a la transformación:

Para 2do Orden:

0123 )()()()( gtcatcatfadt

tdCV AAiA +−+= Ec. 2

A

AAi

cVkfafa

cca

21

2

3

+=

=

−=

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Para 1er Orden:



Vkfafa

cca AAi

+=

=

−=

1

2

3

Para Orden Cero:



fafa

cca AAi

=

=

−=

1

2

3

Evaluamos la Nueva Ecuación al estado estacionario (Steady State)

01230 gcacafa AAi +−+= Ec. 3 Pasamos a las variables de desviación conformadas como:

xtxtX −= )()(

Al pasar a variables de desviación tenemos que restar la ecuación 2 de cada caso a la ecuación 3 ya así nos quedara en términos de las variables de desviación.

)()()()(123 tCatCatFa

dttdCV AAi

A −+=

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Donde acomodamos parámetros para que nos quede de la siguiente forma:

Parámetros: 1

22

1

31

1 aaK

aaK

aV

====τ

Ecuación modificada con los parámetros:

)()()()(21 tCtCKtFK

dttdC

AAiA −+=τ

Aplicamos la trasformada de Laplace para que nos quede lo siguiente:

Donde; τ es la constante de tiempo y K es la ganancia del estado estable o ganancia del proceso. Quedando una ecuación general que nos ayudara más a entender el comportamiento de dicho sistema.

El diagrama de bloques que rige a este sistema es el siguiente:

CAi(s)

F(s)

CA(s)

K1

K2

)(1

)(1

)( 21 sCsKsF

sKsC AiA +

++

=ττ

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Tabla de propiedades de los sistemas:

Caso Vol. K cinética τ, hr K1, mol-hr/dm3 K2 Orden Cero 99 0.05 9.9 0.0495 1

Primer Orden 2750 0.36 2.75 0.000495 0.01

Segundo Orden 66000 3 33.165 0.000099789 0.201612903

Los volúmenes de los Reactores y las Constantes cinéticas fueron sacados del Fogler del problema 1-15B.

Simulación en Xcos de Scilab:

Donde varían las ganancias del sistema y la constante del tiempo conforme es el orden de la reacción. Siendo este esquema la representación de mismo sistema pero a diferentes estímulos de entrada.

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Para el tacho con reacción de orden cero –rA= k:

Para el tacho con reacción de primer orden –rA= kCA(t):

Resultados

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Para el tacho con reacción de primer orden –rA= kCA(t)2:

Impulso para cada gráfico:

Impulsos F(t) CAi(t) Líneas Amarillas 15 dm3/hr 0.51 mol/dm3

Líneas Rojas 13 dm3/hr 0.52 mol/dm3 Líneas Verdes 12 dm3/hr 0.53 mol/dm3 Líneas Negras 11 dm3/hr 0.55 mol/dm3

Respuestas de los sistemas:

Orden Respuesta Impulso 1 Impulso 2 Impulso 3 Impulso 4 Cero CA(t) 0.06 0.12 0.179 0.298

Primero CA(t) 0.0006 0.0012 0.00179 0.00298 Segundo CA(t) 0.0021 0.0043 0.0064 0.0105

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Análisis de la conversión de cada Reactor:

Ai

AAi

CCCXconverción −

=

Siendo CA(t) es una variable de desviación tenemos que pasarla a una varia normal cA(t) para poder sacar la conversión:

Siguiendo con las ecuaciones:

AiA cc 01.0=

Tabla de variables reales para el Tacho de Orden Cero:

Tacho Variable Desviada Variable de Impulso Variable Inicial Variable Real Orden Cero CA(t) CAi(t) AC cA(t) Impulso 1 0.06 0.51 0.0051 0.0651 Impulso 2 0.12 0.52 0.0052 0.1252 Impulso 3 0.179 0.53 0.0053 0.1843 Impulso 4 0.298 0.55 0.0055 0.3035

Conversión para el Tacho de Orden cero:

Orden Cero Valor de CAi Variable Real cA(t) Conversión del Reactor %

Impulso 1 0.51 0.0651 87.24% Impulso 2 0.52 0.125 75.92% Impulso 3 0.53 0.184 65.23% Impulso 4 0.55 0.303 44.82%

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Tabla de variables reales para el Tacho de Primer Orden:

Tacho Variable Desviada Variable de Impulso Variable Inicial Variable Real Primer Orden CA(t) CAi(t) AC cA(t)

Impulso 1 0.0006 0.51 0.005 0.0057 Impulso 2 0.0012 0.52 0.005 0.0064 Impulso 3 0.00179 0.53 0.005 0.00709 Impulso 4 0.00298 0.55 0.005 0.00848

Conversión para el Tacho de Primer Orden:

Primer Orden Valor de CAi Variable Real cA(t) Conversión del Reactor %


Tabla de variables reales para el Tacho de Segundo Orden:

Tacho Variable Desviada Variable de Impulso Variable Inicial Variable Real

Segundo Orden CA(t) CAi(t) cA(t) Impulso 1 0.0021 0.51 0.0051 0.0072 Impulso 2 0.0043 0.52 0.0052 0.0095 Impulso 3 0.0064 0.53 0.0053 0.0117 Impulso 4 0.0105 0.55 0.0055 0.016

Conversión para el Tacho de Primer Orden:

Primer Orden Valor de CAi Variable Real cA(t) Conversión del Reactor %


AC

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Tabla comparativa:

Caso Orden Cero Primer Orden Segundo Orden K cinética 0.05 0.36 3

τ, hr 9.9 2.75 33.165 Volumen 99 2750 66000

Conversión 87.24% 98.88% 98.59% Impulso 1




Sabiendo estas comparaciones de cada Tacho con cada impulso dado podemos hacernos cuestionamientos de cómo y por qué es que se comporta así la conversión del reactor si este tiene un orden de reacción diferente.

Entonces un tacho con reacción de orden cero es muy inestable ya que cualquier variación le modifica mucho la conversión.

Mientras que un tacho con reacción de primer orden tiene mucha estabilidad ya que la convención del tacho es casi siempre un 98% y este casi no varía.

En el tacho con reacción de segundo orden tenemos una ligera desviación pero considerando el volumen que maneja es algo riesgoso y por lo tanto no es viable para desarrollar algún un producto en él.

Discusiones

Conclusiones

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Control Automático de Procesos (Teoría y Práctica), Smith & Corripio.

Apuntes de Control Distribuido, Depto. Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad de Sevilla, Sevilla, España.

Software de Simulación:

© Scilab Enterprises S.A.S 2013, Software Libre.

Control automático con herramientas interactivas, Editorial Pearson,

Capítulo 6.

Documento de Trabajo: Propuesta de fórmulas para sistemas de segundo orden, Ing. André Fonseca, Universidad ORT, Uruguay, Agosto 2006.

Bibliografía

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Education

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