MODELADO MAGNÉTICO TRIDIMENSIONAL DESTRUCTURAS
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MODELADO MAGNÉTICO TRIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS GEOLÓGICAS COMPLEJAS CON CÓMPUTO PARALELO, APLICADO A LA EXPLORACIÓN MINERA Gabriela González de Lucio y Mauricio Nava-Flores Facultad de Ingeniería, UNAM Se presenta un método para calcular la respuesta magnética de estructuras geológicas complejas modeladas en una zona de estudio de interés minero, a través de la discretización de las estructuras en ensambles de múltiples prismas regulares, realizándose el cómputo con un algoritmo paralelo diseñado para implementarse en ordenadores de memoria compartida. Se realizaron pruebas en modelos sintéticos con el fin de cuantificar el rendimiento del algoritmo diseñado, así como para validar las anomalías calculadas a través del mismo, con respecto al cómputo secuencial, obteniéndose resultados satisfactorios. Se realizó el modelado directo en 3D con el método propuesto a una zona de estudio de interés minero actual, utilizando un modelo geológico del sitio basado en mapas y secciones geológicas de la zona, comparando la anomalía magnética calculada con datos del lugar de estudio, distinguiéndose áreas que por su respuesta magnética y características geológicas presentes, son interesantes para prospección a escala local. RESUMEN Modelado 3D de anomalías magnéticas En 1964, Bhattacharyya desarrolló un algoritmo para el cálculo de la anomalía magnética de campo total causada por un cuerpo prismático con magnetización arbitraria y uniforme: u l u l h r nN h r r mM h h r lL h r r r r r I C y x T p m 0 1 1 1 2 1 0 2 0 1 1 1 2 0 2 1 1 1 1 0 12 1 0 1 0 13 1 0 1 0 23 tan tan tan log log 2 log 2 0 , , Donde: m C : Factor de escala (C m = 1 en el sistema emu; C m = 10 -7 en el S.I.) k N j M i L I I p ˆ ˆ ˆ : Vector magnetización del prisma (L, M y N son sus cosenos directores) k n j m i l F ˆ ˆ ˆ ˆ : Vector unitario en dirección del campo ambiental , , : Coordenadas del elemento volumétrico d d d del prisma 0 , , y x : Coordenadas del punto de observación 2 2 1 2 1 0 h r : Distancia del punto de observación al elemento volumétrico del prisma ( x 1 y y 1 ) u l , : Coordenadas inicial y final del cuerpo prismático en dirección X u l , : Coordenadas inicial y final del cuerpo prismático en dirección Y Ml Lm 12 Nl Ln 13 Nm Mn 23 La importancia de este algoritmo radica en que el prisma rectangular puede considerarse como un bloque de construcción con el que es posible reproducir formas geométricamente complejas, tales como algunas estructuras geológicas (Figura 2), y obtener la anomalía magnética de dichas estructuras como la suma de las anomalías causadas por cada uno de los bloques que las conforman. Figura 1. Elementos para el cálculo de la anomalía magnética de campo total de un prisma rectangular con magnetización uniforme. Figura tomada de Nava-Flores (2010). Figura 2. Ejemplo de reproducción del volumen de cuerpos de geometría compleja, a través de ensambles de prismas. Figura modificada de Nava-Flores (2010). Cómputo paralelo El cómputo paralelo consiste, a grosso modo, en utilizar múltiples recursos simultáneamente para resolver un problema determinado y surgió a partir de diferentes necesidades, entre las que sobresale, el hacer posibile la solución de problemas cada vez más grandes y complejos en corto tiempo. Entre los diferentes tipos de ordenadores paralelos que existen, los más comunes son los de memoria compartida, que tienen como característica principal que todas las CPU’s acceden a la misma memoria y los cambios en la memoria son visibles para todas ellas, además de ser conceptualmente fáciles de programar. Es en este tipo de ordenador en que se implementó el algoritmo paralelo de cálculo de anomalía magnética que se presenta en este trabajo. Por otro lado, de los distintos paradigmas de programación paralela, se eligió el modelo de tareas o hilos, ya que es el que mejor y más fácilmente se adapta al tipo de ordenador utilizado. Las principales características del modelo de hilos son (Figura 3): 1) Un programa secuencial define un conjunto de hilos. 2) Cada hilo dispone de su memoria local. 3) Cada hilo tiene acceso a una memoria compartida. 4) Los hilos se ejecutan simultáneamente. Modelado geológico MARCO TEÓRICO Figura 3. Esquema del modelo de paralelización por hilos. DESARROLLO Para la generación del modelo geológico 3D del área de estudio, se generaron imágenes a profundidad, a partir del mapa geológico del sitio y algunos perfiles elaborados por el Servicio Geológico Mexicano (Figura 4). El modelo geológico obtenido se extiende desde la superficie, hasta una profundidad de 1,500 m, bajo un área de (Figura 5). B B’ A A’ N N D D’ C C’ Figura 4. Mapa geológico y perfiles utilizados para la creación del modelo geológico 3D. Figura 5. Imágenes a profundidad del modelo geológico 3D del área de interés. Modelo de susceptibilidades magnéticas 3D Una vez que se obtuvieron las imágenes en profundidad del modelo geológico 3D de la zona de estudio, se configuró un volumen de susceptibilidades magnéticas correspondientes al modelo geológico, haciendo uso de valores publicados en la literatura (Tabla 1). 2 18,900 15, 000 m Color Roca k Rojo Granodiorita 0.1 Naranja Basalto 0.182 Morado Andesita 0.135 Azul Arenisca 0.03 Verde Arenisca 0.021 Amarillo Toba riolíƟca 0.15 Gris Conglomerado 0.0186 Beige Pórfido 0.05 Rosa Aluvión 0.014 Blanco Aire 0 Tabla 1. Valores de susceptibilidad magnética de las rocas presentes en la zona de interés, de acuerdo a Telford (1990). Modelado magnético 3D A partir del volumen de susceptibilidades magnéticas configurado, se asignó cada valor puntual de susceptibilidad a un elemento prismático, reproduciendo de este modo la geometría irregular de las estructuras del subsuelo (Figura 6) y con estos valores se calculó la anomalía magnética correspondiente (Figura 8). Figura 6. Visualización del modelo de susceptibilidades magnéticas 3D del área de interés. Se pueden identificar 3 superficies de iso-susceptibilidad: a) Susceptibilidad alta (~ 0.14) correspondiente a los cuerpos intrusivos. b) Susceptibilidad media (~ 0.05) de los cuerpos rocosos en el área y c) Susceptibilidad nula (0) correspondiente al aire que refleja la topografía abrupta de la zona. a) b) c) Desempeño del algoritmo paralelo El desempeño del algoritmo paralelo se cuantificó a través del “speedup”, que se define como el tiempo de cómputo empleado en el cálculo en forma secuencial, entre el tiempo de cómputo empleado en el cálculo en paralelo, encontrándose que al aplicar cómputo paralelo, el tiempo se reduce hasta en una tercera parte del tiempo, con respecto al cómputo secuencial. En la Tabla 2 y Figura 7 se muestran los resultados de este análisis de desempeño. No. Núcleos Tiempo [seg] Speedup Speedup Ideal 1 219.9755 1.0000 1 2 125.9708 1.7462 2 3 118.5420 1.8557 3 4 90.1205 2.4409 4 5 85.5881 2.5702 5 6 80.9484 2.7175 6 7 73.2664 3.0024 7 8 70.8173 3.1062 8 Tabla 2. Tabla de cuantificación de desempeño del algoritmo paralelo. Figura 7. Gráfica de speedup ideal contra speedup alcanzado por el algoritmo paralelo. RESULTADOS Y CONCLUSIONES Mapa de anomalía magnética El mapa de anomalía magnética calculada de la zona de estudio se muestra en la Figura 8, comparándose con el mapa de anomalía magnética observada. Por cuestiones de confidencialidad, se han cambiado las coordenadas a un sistema de referencia local y arbitrario con origen en el punto inferior izquierdo de cada mapa. Figura 8. Mapas de anomalía magnética de la zona de estudio. Izquierda: Mapa de anomalía magnética observada. Derecha: mapa de anomalía magnética calculada con el algoritmo paralelo. Los resultados de este modelado muestran la importancia de la aplicación del cómputo de alto rendimiento en la solución de problemas geofísicos. La metodología desarrollada permite modelar estructuras geológicas sin límites de complejidad geométrica y podría ser empleada como complemento importante en el modelado inverso de datos magnéticos. El modelado presentado en este trabajo se puede mejorar sustancialmente, a través de inclusión de la mayor cantidad de información geológica del área de estudio, así como de la incorporación de valores confiables de susceptibilidad magnética de muestras extraídas de la zona. BIBLIOGRAFÍA Bhattacharyya, B. K. (1964). Magnetic anomalies due to prism-shaped bodies with arbitrary polarization. Geophysics. Vol. XXIX, No. 4 (August 1964), p. 517 – 531. Blakely, R. J. (1996). Potential theory in gravity and magnetic applications. Cambridge University Press, U. K. Buzbee, B. L.(1983). The Efficiency of Parallel Processing. Frontiers of Supercomputing. Los Alamos Science. Chandra,R. (2001). Parallel Programming in OpenMP. Morgan Kaufmann Publishers. Nava-Flores, M. (2010). Modelado por métodos potenciales de estructuras Salinas inferidas por sismología de reflexión. Tesis de maestría. Instituto de geofísica, UNAM. Plouff, D. (1976). Gravity and magnetic fields of polygonal prisms and application to magnetic terrain corrections. Geophysics. Vol. 41, No. 4 (August 1976), p. 727 – 741. Servicio Geológico Mexicano. Carta Geológica CUMPAS H12-D14. Telford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E (1990). Applied Geophysics. 2nd Ed. Cambridge University Press, U. S. A.
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MODELADO MAGNÉTICO TRIDIMENSIONAL DE ESTRUCTURAS GEOLÓGICAS COMPLEJAS CON CÓMPUTO PARALELO, APLICADO A LA
EXPLORACIÓN MINERAGabriela González de Lucio y Mauricio Nava-Flores
Facultad de Ingeniería, UNAMSe presenta un método para calcular la respuesta magnética de estructuras geológicas complejas modeladas en una zona de estudio de interés minero, a través de la discretización de las estructuras en ensambles de múltiples prismas regulares, realizándose el cómputo con un algoritmo paralelo diseñado para implementarse en ordenadores de memoria compartida. Se realizaron pruebas en modelos sintéticos con el fin de cuantificar el rendimiento del algoritmo diseñado, así como para validar las anomalías calculadas a través del mismo, con respecto al cómputo secuencial, obteniéndose resultados satisfactorios. Se realizó el modelado directo en 3D con el método propuesto a una zona de estudio de interés minero actual, utilizando un modelo geológico del sitio basado en mapas y secciones geológicas de la zona, comparando la anomalía magnética calculada con datos del lugar de estudio, distinguiéndose áreas que por su respuesta magnética y características geológicas presentes, son interesantes para prospección a escala local. RE
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Modelado 3D de anomalías magnéticasEn 1964, Bhattacharyya desarrolló un algoritmo para el cálculo de la anomalía magnética de campo total causada por un cuerpo prismático con magnetización arbitraria y uniforme:
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hrnN
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111
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111
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loglog2
log2
0,,
Donde: mC : Factor de escala (Cm = 1 en el sistema emu; Cm = 10 -7 en el S.I.)
kNjMiLII pˆˆˆ
: Vector magnetización del prisma (L, M y N son sus cosenos directores)
knjmilF ˆˆˆˆ : Vector unitario en dirección del campo ambiental
,, : Coordenadas del elemento volumétrico ddd del prisma
0,, yx : Coordenadas del punto de observación
221
210 hr : Distancia del punto de observación al elemento volumétrico del prisma
( x1 y y 1 )
ul , : Coordenadas inicial y final del cuerpo prismático en dirección X
ul , : Coordenadas inicial y final del cuerpo prismático en dirección Y
MlLm 12
NlLn 13
NmMn 23 La importancia de este algoritmo radica en que el prisma rectangular puede
considerarse como un bloque de construcción con el que es posible reproducir formas geométricamente complejas, tales como algunas estructuras geológicas (Figura 2), y obtener la anomalía magnética de dichas estructuras como la suma de las anomalías causadas por cada uno de los bloques que las conforman.
Figura 1. Elementos para el cálculo de la anomalía magnética de campo total de un prisma rectangular con magnetización uniforme. Figura tomada de Nava-Flores (2010).
Figura 2. Ejemplo de reproducción del volumen de cuerpos de geometría compleja, a través de ensambles de prismas. Figura modificada de Nava-Flores (2010).
Cómputo paraleloEl cómputo paralelo consiste, a grosso modo, en utilizar múltiples recursos simultáneamente para resolver un problema determinado y surgió a partir de diferentes necesidades, entre las que sobresale, el hacer posibile la solución de problemas cada vez más grandes y complejos en corto tiempo. Entre los diferentes tipos de ordenadores paralelos que existen, los más comunes son los de memoria compartida, que tienen como característica principal que todas las CPU’s acceden a la misma memoria y los cambios en la memoria son visibles para todas ellas, además de ser conceptualmente fáciles de programar. Es en este tipo de ordenador en que se implementó el algoritmo paralelo de cálculo de anomalía magnética que se presenta en este trabajo. Por otro lado, de los distintos paradigmas de programación paralela, se eligió el modelo de tareas o hilos, ya que es el que mejor y más fácilmente se adapta al tipo de ordenador utilizado. Las principales características del modelo de hilos son (Figura 3): 1) Un programa secuencial define un conjunto de hilos. 2) Cada hilo dispone de su memoria local. 3) Cada hilo tiene acceso a una memoria compartida. 4) Los hilos se ejecutan simultáneamente.
Modelado geológico
MA
RCO T
EÓRICO
Figura 3. Esquema del modelo de paralelización por hilos.
DES
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O
Para la generación del modelo geológico 3D del área de estudio, se generaron imágenes a profundidad, a partir del mapa geológico del sitio y algunos perfiles elaborados por el Servicio Geológico Mexicano (Figura 4). El modelo geológico obtenido se extiende desde la superficie, hasta una profundidad de 1,500 m, bajo un área de (Figura 5).
BB’
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D’C
C’
Figura 4. Mapa geológico y perfiles utilizados para la creación del modelo geológico 3D.
Figura 5. Imágenes a profundidad del modelo geológico 3D del área de interés.
Modelo de susceptibilidades magnéticas 3DUna vez que se obtuvieron las imágenes en profundidad del modelo geológico 3D de la zona de estudio, se configuró un volumen de susceptibilidades magnéticas correspondientes al modelo geológico, haciendo uso de valores publicados en la literatura (Tabla 1).
218,900 15,000 m
Color Roca k
Rojo Granodiorita 0.1
Naranja Basalto 0.182
Morado Andesita 0.135
Azul Arenisca 0.03
Verde Arenisca 0.021
Amarillo Toba riolí ca 0.15
Gris Conglomerado 0.0186
Beige Pórfido 0.05
Rosa Aluvión 0.014
Blanco Aire 0
Tabla 1. Valores de susceptibilidad magnética de las rocas presentes en la zona de interés, de acuerdo a Telford (1990).
Modelado magnético 3DA partir del volumen de susceptibilidades magnéticas configurado, se asignó cada valor puntual de susceptibilidad a un elemento prismático, reproduciendo de este modo la geometría irregular de las estructuras del subsuelo (Figura 6) y con estos valores se calculó la anomalía magnética correspondiente (Figura 8).
Figura 6. Visualización del modelo de susceptibilidades magnéticas 3D del área de interés. Se pueden identificar 3 superficies de iso-susceptibilidad: a) Susceptibilidad alta (~ 0.14) correspondiente a los cuerpos intrusivos. b) Susceptibilidad media (~ 0.05) de los cuerpos rocosos en el área y c) Susceptibilidad nula (0)
correspondiente al aire que refleja la topografía abrupta de la zona.
a) b) c)
Desempeño del algoritmo paraleloEl desempeño del algoritmo paralelo se cuantificó a través del “speedup”, que se define como el tiempo de cómputo empleado en el cálculo en forma secuencial, entre el tiempo de cómputo empleado en el cálculo en paralelo, encontrándose que al aplicar cómputo paralelo, el tiempo se reduce hasta en una tercera parte del tiempo, con respecto al cómputo secuencial. En la Tabla 2 y Figura 7 se muestran los resultados de este análisis de desempeño.
No. Núcleos Tiempo [seg] Speedup Speedup Ideal
1 219.9755 1.0000 1
2 125.9708 1.7462 2
3 118.5420 1.8557 3
4 90.1205 2.4409 4
5 85.5881 2.5702 5
6 80.9484 2.7175 6
7 73.2664 3.0024 7
8 70.8173 3.1062 8
Tabla 2. Tabla de cuantificación de desempeño del algoritmo paralelo.
Figura 7. Gráfica de speedup ideal contra speedup alcanzado por el
algoritmo paralelo.
RESU
LTAD
OS Y CO
NCLU
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ES
Mapa de anomalía magnéticaEl mapa de anomalía magnética calculada de la zona de estudio se muestra en la Figura 8, comparándose con el mapa de anomalía magnética observada. Por cuestiones de confidencialidad, se han cambiado las coordenadas a un sistema de referencia local y arbitrario con origen en el punto inferior izquierdo de cada mapa.
Figura 8. Mapas de anomalía magnética de la zona de estudio. Izquierda: Mapa de anomalía magnética observada.
Derecha: mapa de anomalía magnética calculada con el algoritmo paralelo.
Los resultados de este modelado muestran la importancia de la aplicación del cómputo de alto rendimiento en la solución de problemas geofísicos. La metodología desarrollada permite modelar estructuras geológicas sin límites de complejidad geométrica y podría ser empleada como complemento importante en el modelado inverso de datos magnéticos. El modelado presentado en este trabajo se puede mejorar sustancialmente, a través de inclusión de la mayor cantidad de información geológica del área de estudio, así como de la incorporación de valores confiables de susceptibilidad magnética de muestras extraídas de la zona.
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RAFÍ
A
Bhattacharyya, B. K. (1964). Magnetic anomalies due to prism-shaped bodies with arbitrary polarization. Geophysics. Vol. XXIX, No. 4 (August 1964), p. 517 – 531. Blakely, R. J. (1996). Potential theory in gravity and magnetic applications. Cambridge University Press, U. K. Buzbee, B. L.(1983). The Efficiency of Parallel Processing. Frontiers of Supercomputing. Los Alamos Science. Chandra,R. (2001). Parallel Programming in OpenMP. Morgan Kaufmann Publishers.Nava-Flores, M. (2010). Modelado por métodos potenciales de estructuras Salinas inferidas por sismología de reflexión. Tesis de maestría. Instituto de geofísica, UNAM. Plouff, D. (1976). Gravity and magnetic fields of polygonal prisms and application to magnetic terrain corrections. Geophysics. Vol. 41, No. 4 (August 1976), p. 727 – 741. Servicio Geológico Mexicano. Carta Geológica CUMPAS H12-D14. Telford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E (1990). Applied Geophysics. 2nd Ed. Cambridge University Press, U. S. A.
