Métodos numéricos

Emir VelaCurso para Ingeniería Electrónica - 4to Ciclo 2014-2

Dpto. de Ingeniería Mecánica

Universidad de Ingeniería y Tecnología

evela@utec.edu.pe

19.09.2014

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Objetivos

Conocer los métodos para solución numérica de ecuaciones

diferenciales.

Discutir la diferencia entre una solución numérica a una

ecuación diferencial y una solución analítica.

Discutir el método de Euler.

Introducir el método de Runge-Kutta

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Simulación numérica

Hasta ahora hemos visto soluciones analíticas.

Encontrar la función que satisface la ecuación diferencial.

Una vez la función encontrada, se puede resolver el valor de la

variable dependiente para valores de la variable independiente.

Por ejemplo, la solución de la ecuación diferencial:

dT

dt= −α(T − Tf ) (1)

con las condiciones iniciales T (0) = T0, es

T = Tf + (T0 − Tf )e−αt (2)

Conociendo los valores de Tf ,T0 y α podemos utilizar la

ecuación precedente para encontrar T para cualquier valor de

t.

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Simulación numérica

Con una solución numérica nunca se obtiene la función que

satisface la ecuación diferencial.

Con la solución numérica, se obtiene los valores de la variable

dependiente que corresponde a valores de la variable

independiente.

En otras palabras, la solución es una tabla de números.

La solución analítica provee la función, contiene más

información. ¾Por qué simulamos?

Porque no sabemos cómo resolver analíticamente o hay

muchas ecuaciones en nuestro modelo.

Existen métodos numéricos para resolver estas ecuaciones,

como el método de Euler que resuelve ecuaciones diferenciales

ordinarias.

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Método de Euler para ecuaciones diferencialesordinarias de primer orden

El fundamento del método de Euler es la de�nición de la

primera derivada:(df

dt

)t=t0

= f ′(t0) = lim∆t→0f (t0 + ∆t) − f (t0)

∆t(3)

La aproximación de la derivada es usada para estimar las

primeras derivadas de una función.

Supongamos que conocemos la derivada de la función y el

valor de la función en t = t0 y queremos estimar el valor de la

función en t1 = t0 + ∆t.Reordenando la ecuación (3) y obviando el límite tenemos:

f (t1) ≈ f (t0) + ∆t · f ′(t0) (4)

Una vez obtenido f (t1), podemos usar un paso de tiempo con

el cual estimamos el valor de la función en t2 = t1 + ∆t, ent3 = t2 + ∆t, y así sucesivamente.

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Aplicación del método de Euler

Resolver la ecuación (1) numéricamente con

T0 = 200◦,Tf = 25◦, y α = 0.1 s−1. Usar un paso de tiempo

de ∆t de 0.1 s y encontrar T en 0.3 s.

t T

0 200

0.1 198.3

0.2 196.5

0.3 194.8

0.4 193.1

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Aplicación del método de Euler

Usar el método de Euler para estimar la T en t = 3s. Usar unpaso de 1.0s sabiendo que T (0) = 25◦ (Pregunta de práctica

2013-II).

dT

dt= 10e−0.2t − 0.02(T − 25) (5)

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Método de Euler para EDO de segundo órden

1 Se puede aplicar el método de Euler para ecuaciones

diferenciales de orden superior.

2 No más teoría es necesaria.

3 Ejemplo: Usando un paso de tiempo de 0.1 s, resolver lasiguiente ecuación diferencial para y en 0.3 s con y ′(0) = 4

y(0) = −3 :

y ′′ − 2y ′ + y = 0 (6)

4 De�nir una nueva funcion x que es igual a la primera derivada

de y :x = y ′ (7)

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Método de Euler para EDO de segundo órden

Considerar la ecuación diferencial tal que: y(0) = −3 y

y ′(0) = 4

4y ′′ − 8y ′ + 4y = 0 (8)

Resolver esta ecuación usando el método de Euler con un paso

de ∆T = 0.1 e ir hasta t = 7. Utilizar Matlab.

Repetir el punto anterior con un paso de t = 0.01. Gra�car lassoluciones en un mismo grá�co y comparar.

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Paso de tiempo

En el ejemplo anterior el paso del tiempo ∆t para usar en el

método de Euler fue dado.

Como la ecuación es una serie de Taylor truncada al término

lineal, se puede notar que si ∆t es muy grande, la solución no

será muy exacta.

De lo contrario si es muy pequeño, el número de pasos para a

un cierto valor de t será muy grande.

Hay un compromiso entre esfuerzo y exactitud.

Aplicar el método de Euler para ∆t = 5 s y ∆t = 0.5 s

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Paso de tiempo

¾Cómo escoger un paso de tiempo?

No se compara la solución analítica con la numérica, ¾por qué?

Un enfoque razonable es de asumir un valor para el paso y

encontrar la solución numérica.

Luego, resolver el problema otra vez usando un paso de un

décimo del paso anterior.

Se puede continuar a reducir el paso hasta que las soluciones

obtenidas para dos pasos consecutivos sean igual a una

tolerancia deseada.

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Método de Runge-Kutta

En análisis numérico el método de Runge-Kutta son una

familia importante de métodos iterativos para la aproximación

de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

En forma integral de una función:

x(tn+1) = x(tn) +

∫ tn+1

tn

f (τ, x(τ))dτ (9)

Si aproximamos el valor de la integral con la longitud del

intervalo de tiempo por el valor del integrante en el centro,

tenemos

xn+1 = xn + h · f (tn +h

2, x(tn +

h

2))

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Método de Runge-Kutta

El problema es que x(tn + h2

) es desconocido. Entonces

aproximamos con el método de Euler:

x(tn +h

2) ≈ xn +

h

2f (tn, xn)

Si combinamos las ecuaciones anteriores, tenemos:

k1 = f (tn, xn)

k2 = f (tn + h2, xn + h k1

2)

xn+1 = xn + hk2

(10)

Runge-Kutta de orden 4 (RK4)

k3 = f (tn + h2, xn + h k2

2)

k4 = f (tn + h, xn + hk3)xn+1 = xn + 1

6h(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

(11)

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Método de Runge-Kutta

Aplicar este método a los ejemplos anteriores utilizando

Matlab.

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Bibliografía

Smith, Michael. 2011. A First Course in Di�erential

Equations, Modeling and Simulation, 1st Ed. CRC Press.

Ljung, Lennart. 1994. Modeling of Dynamics Systems.

Prentice Hall.

Harold Klee, Randal Allen. 2011. Simulation of Dynamic

Systems with Matlabr and Simulinkr. CRC Press.

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