Modelación Matemática

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA

Tiempo de consumo de una vela

Modelación Matemática

Vásquez Martínez Ismael

18 de Octubre de 2010

Catedrático: M.A. Cutberto Gómez Carrasco

Huajuapan de León, Oaxaca

Vásquez Martínez Ismael 904

1

Introducción

En el siguiente documento se presentan los análisis realizados para la resolución de

dos problemas, la primera el caso de una vela, en esta parte se analizan las variables que

afectan el comportamiento del consumo de la vela, y a partir de dicha un experimento

realizado se determina un modelo matemático que pueda explicar el comportamiento de la

misma.

Posteriormente se presenta la situación de la relación existente entre la economía

mexicana con la estadounidense, para así poder determinar si existe relación entre ambas

economías, con el factor escogido se analizan simplemente los datos de ambos países, y

mediante un análisis gráfico y una ecuación matemática se ha de concluir con la Correlación

existente entre ambas economías.

Ejercicio 1: TIEMPO DE CONSUMO DE UNA VELA

FASES DEL EXPERIMENTO:

1. Determinación de factores influyentes en el estado de la vela 2. Obtención de Materiales a utilizar en el experimento 3. Investigación secundaria 4. Ejecución del Experimento 5. Obtención y procesamiento de Datos 6. Conclusión

ELEMENTOS QUE INFLUYEN EN EL CONSUMO DE LA VELA

1. Oxigeno del Medio 2. Corriente de Aire 3. Presión Atmosférica 4. Humedad 5. Temperatura 6. Altura de la vela 7. Diámetro de la Vela 8. Forma de la vela 9. Posición de la Vela 10. Material de elaboración de la Vela 11. Altura del Pabilo 12. Tamaño del Pabilo 13. Cantidad de Cera derretida existente en la base del pabilo 14. Tamaño del espacio en el que se encuentra la vela


2

INVESTIGACIÓN SECUNDARIA

Datos climatológicos al día 16 de octubre de 2010 Huajuapan de León, Oaxaca;

Barómetro: 1010.0 Mb (-)

Punto de condensación 15o

Humedad: 48% Visibilidad: 16 km

Viento: 3-4 km/h ONO Viento del Oeste

Índice UV: 6 Máxima Como anexo se presentan los datos iniciales de cada vela y su representación gráfica1 EJECUCIÓN DEL EXPERIMENTO

Durante el experimento se observaron diferencias en el tiempo de consumo de cada vela, a pesar de que los materiales de elaboración son similares la variación entre una y otra era muy notable, pese a ello se obtuvieron los siguientes resultados: Datos de la Medida Inicial de cada Vela

NUMERO DE VELA

(#)

TAMAÑO DEL PAVILO (TP)

DIAMETRO DE LA VELA (DDV)

ALTURA DE LA VELA (H)

1 0.9 cm 1.6 a 1.7 cm 2.5

2 1 cm 1.9 cm 19 cm 3 0.8 cm 3 cm 6 cm

4 0.9 cm 3.6 cm 5.2 cm

Observaciones:

Se omitieron algunas variables ya que se procuró minimizar los factores que influyeran en el tiempo de consumo de la vela.

A los 0.5 cm el Liquido de todas las velas se mantiene alrededor del pabilo (Dentro del orificio creado por el derretimiento)

La flama de la vela #1 es de 4 cm, del #2 es de aproximadamente 3.5 cm, la del #3 es de aproximadamente 2 cm, y de la vela #4 es de 2.3 cm aprox.

Al minuto 11:35 se sale el Líquido de la vela #1 en una longitud derretida de 0.7 cm

El Pabilo mantiene una altura promedio de 2 cm en cada vela

Pasado esos 2 cm el Pabilo empieza a quemarse en la parte superior, con eso se deduce que el límite máximo del pabilo para las velas usadas en el experimento de 2 cm.

En algunas velas la medida de la altura de la flama varía a 5 cm de Altura (Aún existiendo líquido de cera derretida.

Durante el experimento, el líquido de cada vela se derritió una sola ocasión por lo que la variación por la existencia de Líquido derretido en la vela generó variaciones en el tiempo de consumo.

1 Anexo


3

REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO

Medición de consumo de cada Vela

Observación de cada vela

Medición de vela #1

Registro de los datos correspondientes


4

DATOS OBTENIDOS Registro de tiempos de consumo de cada vela

Medidas # Vela 0.5 cm 1 cm 1.5 cm 2 cm

1 7:17 minutos 17:23 minutos 25:47 minutos 35:04 minutos

2 8:40 minutos 22:45 minutos 44:22 minutos 47:40 minutos 3 18:30 minutos 26:15 minutos 49:29 minutos 1:15:26 horas

4 19:30 minutos 36:23 minutos 53:17 minutos 1:33:33 horas

Registro de la altura de la flama de cada vela

# de Vela Al minuto Altura de la flama

1 38:55 minutos 2 a 3 cm 2 39:23 minutos 6.5 a 7 cm

3 40:06 minutos 4.5 cm

4 40:41 minutos 5.5 cm

Gráfica de Datos En las gráficas siguientes se apreciará que en cada punto del eje “x” aparece la enumeración del 1 al 5, el valor 1 representa 0.5cm, el valor 2 representa 1 cm, el valor 3 representa 1.5 cm y el valor 4 representa 2 cm de la vela.

Vela # 1 (cm)

Tiempo Variación

0.5 0:07:17 0:07:17

1 0:17:23 0:10:06

1.5 0:25:47 0:08:24

2 0:35:04 0:09:17

Observación: Se aprecia un consumo constante por cada centímetro de cera

1

2

3

4

0:00:000:07:120:14:240:21:360:28:480:36:000:43:12

0 1 2 3 4 5

Tiempo

Cm Consumido de cera

Tiempo de consumo de la vela #1

Tiempo de consumo Vela #1

Variación del tiempo de consumo entre cada Centímetro


5

Vela # 2 (cm)

Tiempo Variación

0.5 0:08:40 0:08:40

1 0:22:45 0:14:05

1.5 0:44:22 0:21:37

2 0:47:40 0:03:18

Observación: En la gráfica se aprecia que la variación del consumo del centímetro 1.5 (3) al 2 (4) es de pendiente negativa, durante ese lapso, el factores más influyente es la cantidad de cera derretida que impide la combustión continua de la cera.

Vela # 3 (cm)

Tiempo Variación

0.5 0:18:30 0:18:30

1 0:26:15 0:07:45

1.5 0:49:29 0:23:14

2 1:15:26 0:25:57

Observación: La variación del consumo en esta vela sigue siendo de pendiente positiva, aunque en los primeros minutos hubo una variación en el consumo de 0.5 cm de la vela (1) al 1 cm de vela derretida (2).

1

2

3 4

0:00:00

0:14:24

0:28:48

0:43:12

0:57:36

0 1 2 3 4 5

Tiempo





12

3

4

0:00:000:14:240:28:480:43:120:57:361:12:001:26:24

0 1 2 3 4 5

Tiempo






6

Vela # 4 (cm)

Tiempo Variación

0.5 0:19:30 0:19:30

1 0:36:23 0:16:53

1.5 0:53:17 0:16:54

2 1:33:33 0:40:16

Observación: El consumo a los últimos fue más rápido, éste resultado afectado por el derretimiento del líquido existente en la cera, lo que produjo que la flama se agrandara y eso hiciera que se derritiera más rápido. Agrupación de Datos Una vez obtenido los datos del consumo promedio de cada vela, se prosiguió a procesar los datos mediante una agrupación de las mismas, para así obtener una ecuación que explicara el consumo promedio de una vela. De dicha agrupación se obtuvo lo siguiente:

# de Vela CM CONSUMIDO VARIACIÓN TIEMPO

1 0.5 0:07:17 0:07:17

2 0.5 0:08:40 0:08:40

3 0.5 0:18:30 0:18:30

4 0.5 0:19:30 0:19:30

1 1 0:10:06 0:17:23

2 1 0:14:05 0:22:45

3 1 0:07:45 0:26:15

4 1 0:16:53 0:36:23

1 1.5 0:08:24 0:25:47

2 1.5 0:21:37 0:44:22

3 1.5 0:23:14 0:49:29

4 1.5 0:16:54 0:53:17

1 2 0:09:17 0:35:04

2 2 0:03:18 0:47:40

3 2 0:25:57 1:15:26

4 2 0:40:16 1:33:33

12

3

4

0:00:00

0:28:48

0:57:36

1:26:24

1:55:12

0 1 2 3 4 5

Tiempo






7

Posteriormente se realizaron las gráficas correspondientes, para así obtener los siguientes resultados:

Se aprecia que el consumo de las velas estudiadas en cada cm que se quemaba, formaba una tendencia creciente, eso en relación al tiempo de consumo.

La razón de la estructuración de la variación del consumo, radica en que es necesario analizar la duración que tarda la vela en quemarse hasta llegar al siguiente nivel (al siguiente centímetro), siempre teniendo en cuenta que dicha variación puede ser debido al factor: Liquido derretido, y aquellos factores omitidos.

0:00:00

0:28:48

0:57:36

1:26:24

1:55:12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Tie

mp

o

# de Dato de la tabla

Gráfica de Dispersión del tiempo de consumo de vela

0:00:00

0:14:24

0:28:48

0:43:12

2 4 6 8 10 12 14 16 18

Tie

mp

o

# de Dato de la tabla

Gráfica de Dispersión de la variación del consumo por centímetro de la vela


8

Para determinar una ecuación que explicara el fenómeno se realizó un cálculo de promedios:

Cm Promedios

0.5 0:13:29

1 0:25:41

1.5 0:43:14

2 1:02:56

Generando la siguiente gráfica

Y luego se obtuvo la siguiente ecuación: y = 0,001x2 + 0,005x + 0,002 Donde: 0.5 cm = “x=1”, 1cm = “x=2”, 1.5 cm = “x=3”… n/2 cm = “x=n”

En donde la representación de x=1 representa 0.5 cm, con x=2 representa 1, con x=3 representa 1.5 y así sucesivamente hasta llegar a n, teniendo en cuenta que por cada aumento de x en 1 su representación aumenta en 0.5

Debido a que dicha solución consideraba el doble del valor real (o preferente) de “x” en su cálculo, se prosiguió a modificar la ecuación de tal manera que cuando se quiera saber el tiempo de consumo de 0.5 cm de vela se use a “x” con el valor de 0.5 (Para así eliminar la confusión de que 0.5 cm= “x=1”), se concluyó con la siguiente ecuación.

Y= 0.001 (2x)2 + 0.005 (2x) + 0.002

*La conclusión se obtuvo mediante la omisión de otras variables (no tan relevantes en el estudio), dejando como principal la Velocidad de consumo por cm (considerado como margen de variación el área de cada vela, lo cual inhibe el derretimiento rápido de la vela por la acumulación de liquido de cera en la base del pabilo)

0.5

1

1.5

2

y = 0,001x2 + 0,005x + 0,002

0:00:00

0:14:24

0:28:48

0:43:12

0:57:36

1:12:00

0 1 2 3 4 5

Tiem

po

Centímetro de consumo

"Promedio de consumo de la Vela"

"Promedio de consumo de la Vela"

Polinómica ("Promedio de consumo de la Vela")


9

Ejercicio 2: ECONOMÍA MÉXICO VS EUA

Nuestra economía se encuentra sujeta (comúnmente) de las variaciones económicas de nuestro vecino EUA, existen distintos factores, tanto socio-culturales, políticos e incluso económicos que definen el rumbo de la economía mexicana, es posible analizar cada uno de los contextos, pero no es posible llegar a la modelación de una ecuación que pudiese definir globalmente la tendencia de la relación entre ambos países, eso no quiere decir que no es posible determinar el factor más influyente entre ambos países.2 Por dicha razón se realizó la siguiente investigación, de tal manera que se pudiese determinar la relación que tiene México y EU en cuanto a sus economías, el índice de medición será basada en los datos del PIB.

El 40 por ciento del producto interno bruto (PIB) de México depende de Estados Unidos, México tiene una creciente dependencia comercial con Estados Unidos, al que se le vende más del 70 % de nuestras exportaciones, pero las exportaciones estadounidenses a México son sólo el 6% de su total, haciendo que México sea mucho más vulnerable a acontecimientos económicos adversos o a cambios en la política del país vecino.

En cuanto a inversión extranjera, el 77% del total de inversiones proviene de E.U., lo cual nos hace aún mas vulnerables a las decisiones de un solo país, pues es quien controla lo que pasa con casi la totalidad de la inversión en México, y por lo tanto pueden hacer lo que quieran con su dinero en cualquier momento, como por ejemplo, retirar su dinero del país y dejar miles de gentes desempleadas, etc.3

Para conocer si existe una relación de ambos países y que puede usarse el PIB para su

análisis, se realizó el siguiente ejercicio: Recopilación de información

Se recopiló la información de cada país de los últimos años, mismos que nos permitiera conocer la relación de ambos países Producto interno bruto (PIB) histórico a precios nominales en millones de dólares estadounidenses.

Economía 2008 2007 2006 2005

Estados Unidos 14,093,310.00 13,741,600.00 13,116,500.00 12,364,100.00

México 1,088,128.00 1,022,815.00 948,865.00 84,699.00

Economía 2004 2003 2002 2001 2000

Estados Unidos 11,630,900.00 10,908,000.00 10,417,600.00 10,075,900.00 9,764,800.00

México 759,422.00 700,325.00 649,076.00 622,093.00 581,426.00

2 http://www.monografias.com/trabajos6/ecom/ecom.shtml

3 http://www.jornada.unam.mx/2008/01/24/index.php?section=economia&article=020n1eco


10

Del análisis de dichos datos se obtuvieron las siguientes gráficas:

Se analiza que el crecimiento del PIB durante los últimos 8 años fue Relativamente Proporcional al crecimiento de EUA, pero con variaciones para México en algunos años (independientes del PIB de EUA). Posteriormente se analizó la relación del crecimiento de uno y otro, a partir de dicho razonamiento se obtuvo lo siguiente:

Con el uso de una regresión Lineal (Para evitar que los puntos extremos afecten en gran medida la variación de la tendencia) se concluyó con la siguiente ecuación.

y = 0.092x + 37242

Teniendo como valor de X el PIB de EUA a Precios nominales. De acuerdo a ello se puede concluir que la relación de México con Estados Unidos es en función del crecimiento de la economía de EUA. Estableciendo los supuestos de que en México la situación política no modifique tal escenario.

0,00

5.000.000,00

10.000.000,00

15.000.000,00

1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010

Títu

lo d

el e

je

Título del eje

Crecimiento Anual de la economia Mexico-EUA

Estados Unidos

México

y = 0,092x - 37242

0,00

200.000,00

400.000,00

600.000,00

800.000,00

1.000.000,00

1.200.000,00

0,00 4.000.000,00 8.000.000,00 12.000.000,00 16.000.000,00

PIB

Mé

xico

a P

reci

os

no

min

ale

($)

PIB EUA a Precios nominales ($)

Gráfica de Dispersión de la relación económica México-EUA

PIB México VS EUA

Lineal (PIB México VS EUA)

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