Modelación de acuíferos semiconfinados y su …...4 Modelación de acuíferos semiconfinados y su...

Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos

e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

Modelación de acuíferos semiconfinados y su aplicación a la evaluación del hundimiento inducido por bombeo de agua en la Ciudad de México

Modeling of leaky aquifers and its application to the assessment of land subsidence induced by pumping of water in Mexico City

José Luis LEZAMA1, Norma P. LÓPEZ-ACOSTA2 y Gabriel AUVINET3

1,2,3 Instituto de Ingeniería

RESUMEN: El objetivo de este trabajo es desarrollar las expresiones matemáticas que caractericen un sistema acuífero semiconfinado, y que permitan evaluar el hundimiento provocado por la extracción de agua. En particular, se modela un sistema de cuatro capas que describe el acuífero simplificado representativo de la Ciudad de México. Para plantear la formulación matemática aquí expuesta, se toma como referencia el método integro-diferencial propuesto por Herrera et al. (1969), aplicable a la solución de este problema pero con un número menor de capas, y que puede extenderse al caso de la Ciudad de México. La solución así obtenida de un sistema acuífero de cuatro capas, permite determinar el comportamiento de los abatimientos en las capas permeables que se asocian a la reducción de los esfuerzos efectivos que dan lugar al fenómeno de subsidencia. Este trabajo representa la primera etapa para calcular localmente el hundimiento regional producido por bombeo en zonas específicas de la Ciudad de México. Actualmente (Lezama, 2012), está en proceso la resolución numérica de las expresiones matemáticas obtenidas en este artículo, mediante el Método de Volumen Finito (De la Cruz, 2011).

ABSTRACT: The aim of this work is to develop the mathematical expressions that characterize a leaky aquifer system and allow assessing the land subsidence caused by pumping of water. In particular, a four-layer system that describes the simplified aquifer representing Mexico City is modeled. In order to achieve the mathematical formulation exposed here, the integro-differential method proposed by Herrera et al. (1969), applicable to the solution of this problem but considering fewer layers and can be extended to the case of Mexico City, is assumed. The solution obtained in this way for a four-layer aquifer system, allows determining the behavior of the drawdown in permeable layers which are associated with the reduction of the effective stresses that lead to land subsidence phenomenon. This work represents the first stage to locally calculate the regional subsidence produced by pumping of water in particular areas of Mexico City. Currently (Lezama, 2012), the numerical solution of mathematical expressions obtained in this paper, by using the Finite Volume Method (De la Cruz, 2011), is in process.

1 INTRODUCCIÓN

La relación que existe entre el abatimiento piezométrico y el hundimiento que experimenta la Ciudad de México fue estudiada por primera vez por Nabor Carrillo en 1947 (Marsal, 1969), señalando que el hundimiento era ocasionado por la consolidación de las arcillas, la cual a su vez, se debía al incremento de esfuerzos inducidos por la disminución de la presión de agua debida al bombeo. Posteriormente, diversos autores llevaron a cabo numerosos estudios con el fin de entender y cuantificar este fenómeno (Carrillo 1947; Marsal 1969; Cruickshank et al.1979; Aguilar et al.1994). Uno de los factores que dificulta en mayor medida el estudio del comportamiento hidráulico de la Ciudad de México es que se trata de un sistema de

acuíferos semiconfinados, que se caracterizan por tener formaciones permeables (unidades acuíferas, o acuíferos simplemente) intercaladas por capas confinantes semipermeables (acuitardos) que permiten el intercambio de agua entre ellas (fenómeno conocido comúnmente con el nombre de goteo).

En la Figura 1 se muestra una sección simplificada del sistema semiconfinado característico de la zona nororiente de la Ciudad de México (modificado de Herrera et al., 1974), que consiste de dos acuíferos o capas permeables, intercaladas por dos capas semipermeables (acuitardos). En este caso, las capas semipermeables consisten de materiales arcillosos de alta plasticidad y las capas permeables están constituidas por estratos limo-arenosos y materiales muy heterogéneos.

2 Modelación de acuíferos semiconfinados y su aplicación a la evaluación del hundimiento inducido por bombeo de agua en la Ciudad de México


La diferencia que existe en las conductividades hidráulicas entre cada una de las capas del sistema provoca que el flujo en las distintas formaciones sea preferencial, siendo horizontal en las capas permeables y vertical en las semipermeables. Esta hipótesis fue demostrada por Neuman y Witherspoon (1969), quienes encontraron que cuando existe un contraste de conductividad hidráulica del orden de 103 entre las capas, los errores que se cometen al considerar el flujo de esta manera son imperceptibles. Esta suposición se utiliza como base para la formulación que se desarrolla en este trabajo, como se explica a continuación.

Acuitardo (capa arcillosa)

Acuífero (capa permeable)

Acuitardo (capa arcillosa)

Acuífero (capa permeable)

Flujo vertical

Flujo vertical

Flujo horizontal

Flujo horizontal

Figura 1. Sección simplificada de un acuífero semiconfinado de cuatro capas (modificado de Herrera et al., 1974).

2 NOTACIÓN

Para facilitar la explicación del desarrollo matemático aquí expuesto, a continuación se presenta la notación utilizada (mostrada esquemáticamente en la Fig. 2): s’, s’’ Abatimiento en las capas

semipermeables. s1, s2 Abatimiento en las capas

permeables. b’, b’ Espesor de las capas

semipermeables. b1, b2 Espesor de las capas permeables. K’, K’’ Conductividad hidráulica vertical

de las capas semipermeables. K1, K2 Conductividad hidráulica de las

capas permeables. Ss1, Ss2, Ss’, Ss’’ Coeficientes de almacenamiento

específico para las capas permeables y semipermeables respectivamente.

t Tiempo. t0 Tiempo antes de iniciar el bombeo. T1, T2, T’, T’’ Coeficientes de transmisibilidad

para las capas permeables y semipermeables respectivamente.

Qn Término fuente. qn Descarga específica. α’ K’/ Ss’=T’/S’ α’’ K’’/Ss’’=T’’/S’’ Fi', Fi'' Funciones de influencia i=1,2 fi', hi'' Funciones de memoria i=1,2

K’’ , Ss’’, s’’ (x, y, z, t)

K’ , Ss’, s’ (x, y, z, t)

K1 , Ss1, s1 (x, y, t)

K2 , Ss2, s2 (x, y, t)

z1

z=0

z2

z3

b1

b2

b’’

b’

z

xy

z4

Figura 2. Notación para cada una de las cuatro capas que conforman el acuífero semiconfinado de estudio.

3 MÉTODO INTEGRO-DIFERENCIAL

La teoría de acuíferos semiconfinados fue introducida por primera vez por Jacob en 1946. Posteriormente, Hantush (1960) fue el primero en proponer y resolver de manera analítica el sistema de ecuaciones diferenciales que describen el flujo en un acuífero semiconfinado. En 1968, Neuman y Witherspon, haciendo uso del trabajo de Hantush, establecieron una formulación que permite resolver el modelo numéricamente, la cual incluyó la contribución de un acuitardo de manera transitoria. En 1969, Herrera y Figueroa desacoplaron el sistema de ecuaciones diferenciales a través de la teoría de integro-diferenciales y dieron inicio a una serie de publicaciones en las que se desarrolla y soluciona el sistema desacoplado (Herrera y Rodarte 1973; Herrera 1974; Herrera y Yates 1974; Herrera y Chen 1983).

A continuación se presenta una revisión de los fundamentos de la teoría integro-diferencial y el desarrollo para su aplicación a un sistema de cuatro capas (que caracteriza al tipo de acuífero que se presenta comúnmente en la Ciudad de México).

3.1 Ecuaciones gobernantes Si las capas del sistema que se ilustra en la Figura 2 son homogéneas, el comportamiento del flujo en la n-ésima capa está gobernado por la ecuación general de flujo:

∂ ∂ ∂ ∂+ + = +

∂ ∂ ∂ ∂nsn n n n

nn

Sh h h s Qx y z K t

2 2 2

2 2 2 (1)

LEZAMA J. L. et al. 3


Asumiendo la carga hidráulica h como una función lineal, es posible expresar la ecuación (1) en términos de los abatimientos de cada una de las capas; por lo que la ecuación (1) puede rescribirse como:

∂ ∂ ∂ ∂+ + = +

∂ ∂ ∂ ∂nsn n n n

nn

Ss s s s Qx y z K t

2 2 2

2 2 2 (2)

Tomando en cuenta que el flujo en los acuitardos es predominantemente vertical (condición fundamental de la formulación), las expresiones que caracterizan los acuitardos son (con la notación señalada en el inciso 2, Fig. 2):

∂ ∂=

∂ ∂ss''( z,t ) S '' s''( z,t )

z K '' t

2

2 (3a)

∂ ∂=

∂ ∂ss'( z,t ) S ' s'( z,t )

z K ' t

2

2 (3b)

y considerando que por su parte, el flujo en los acuíferos es predominantemente horizontal:

← ∫z

s ( x,y,t ) s ( x,y,z,t )dzb

1

1 11 0

1 (4a)

z

z

s ( x,y,t ) s ( x,y,z,t )dzb

← ∫3

2

2 22

1 (4b)

la descarga específica qn (o goteo) de los acuitardos hacia los acuíferos puede introducirse a través del término fuente Qn de la ecuación (2) por medio de la ley de Darcy:

∂=

∂n

n ns'q K 'z

(5)

Así, las ecuaciones para las capas permeables pueden expresarse como (Hantush 1960, Neuman 1969, Cheng 2000):

= =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

s

z z z z

Ss s K '' s'' K ' s' sx y T z T z K t

2

3 2

2 22 2 22 2

2 2 2

(6a)

=

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

s

z z

Ss s K ' s' sx y T z K t

1

2

2 21 1 12 2

1 1 (6b)

3.2 Condiciones iniciales y de frontera Para resolver el sistema planteado por las ecuaciones (4) y (6), es necesario imponer condiciones de frontera en cada capa que conforma el sistema (Fig. 2). De esta manera, la relación que existe entre los abatimientos es:

=

=

=

s'( x,y ,z ,t ) s ( x,y ,t )s'( x,y ,z ,t ) s ( x,y ,t )s''( x,y ,z ,t ) s ( x,y ,t )

2 2

1 1

3 2

(7)

Para la condición en la frontera de la parte superior del último acuitardo (z=z4), se considera una expresión de no flujo, con la finalidad de que una condición de carga constante (abatimiento igual a cero) no influya en la obtención de los asentamientos en dicho acuitardo. Al mismo tiempo, debe cumplirse que para el tiempo to los abatimientos en las cuatro capas deben ser iguales a cero, esto es, que las condiciones iniciales deben ser:

=

=

=

=

s ( x,y , )s ( x,y , )s'( x,y ,z, )s''( x,y ,z, )

1

2

0 00 00 00 0

(8)

3.3 Solución con funciones de memoria Para resolver el sistema definido por las ecuaciones (4) y (6), se considera que los abatimientos s1 (x, y, t) y s2 (x, y, t) son funciones conocidas. Esto permite replantear el problema y resolver con mayor facilidad el par de ecuaciones que describen el abatimiento de los acuitardos.

Sean las nuevas condiciones de frontera para el acuitardo superior descrito por la ecuación (3a):

=

=

s''( z ,t )s''( z ,t )

4

3

01

(9)

cuya solución puede encontrarse a través del método convencional de separación de variables (Ver Apéndice, Churchill, 1941):

( )πα π

π

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ − ⎞−= − − ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

n tb'' ''

n

n z zz zF ''( x,y ,z,t ) e senb'' n b'

2 133

11

2 11 (10)

De acuerdo con la terminología empleada por Herrera (1969), esta solución se denomina función de influencia F1'' (x, y, z, t). Como un segundo problema, se invierten las condiciones de frontera de la ecuación (9) y se vuelve a resolver la ecuación (3a) como se hizo anteriormente, obteniendo una nueva función de influencia F2:

4

3

10

s''( z ,t )s''( z ,t )

=

= (11)

( )πα π

π

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ − ⎞− −= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

nn tb'' ''

n

n z zz z ( )F ''( x,y ,z,t ) e senb' n b''

2 133

21

2 1 (12)



Con base en el principio de superposición de Duhamel (Herrera, 1969), el abatimiento del acuitardo satisface el conjunto de condiciones dadas por (7) (Cheng, 2000), y suponiendo que existe una capa adicional permeable sobre el acuitardo con abatimiento s3, se llega a (Lezama, 2012):

τ τ τ

τ τ τ

∂= − +

∂

∂+ −

∂

∫

∫

t

t

ss''( x,y,z,t ) ( x,y,t )F ''( x,y,z, )dt

s ( x,y,t )F ''( x,y,z, )dt

21

0

32

0

(13)

Para poder sustituir la ecuación (13) en la ecuación (6a), es necesario derivar s'' para igualar el término de flujo:

ττ τ

ττ τ

= =

=

∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂

∂ ∂+ −

∂ ∂

∫

∫

t

z z z z

t

z z

s'' F ''( x,y,z, ) s ( x,y,t )dz z t

F ''( x,y,z, ) s ( x,y,t )dz t

3 3

3

1 2

0

2 3

0

(14)

t

z z

t

s'' sf ''( x,y, ) ( x,y,t )dz b'' t

sh ''( x,y, ) ( x,y,t )db'' t

τ τ τ

τ τ τ

=

∂ ∂= − − +

∂ ∂

∂+ −

∂

∫

∫

3

11

0

31

0

1

1 (15)

Donde se definen las siguientes funciones (Herrera y Figueroa, 1970):

πα

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= + ∑n tb' ''

nf ( x,y,t ) e

2 1

11

1 2 (16)

πα

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= + −∑n t

n b' ''

nh ( x,y,t ) ( ) e

2 1

11

1 2 1 (17)

Nuevamente, de acuerdo con la terminología de Herrera y Figueroa (1970), las funciones f1 y h1 se conocen como funciones de memoria, porque explican el efecto de los abatimientos en cada una de las capas en donde son evaluadas.

De la misma manera se puede tratar el término relacionado con el goteo (o descarga específica) en el acuitardo inferior como:

ττ τ

ττ τ

= =

=

∂ ∂ ∂= − +

∂ ∂ ∂

∂ ∂+ −

∂ ∂

∫

∫

t

z z z z

t

z z

s' F '( x,y ,z, ) s ( x,y ,t )dz z t

F '( x,y ,z, ) s ( x,y ,t )dz t

2 2

2

1 1

0

2 2

0

(18)

τ τ τ

τ τ τ

=

∂ ∂= − +

∂ ∂

∂− −

∂

∫

∫

t

z z

t

s' sf '( x,y,z, ) ( x,y,t )dz b' t

sh '( x,y,z, ) ( x,y,t )db' t

2

22

0

12

0

1

1

(19) Finalmente, sustituyendo (15) y (19) en la

ecuación (6a), se llega a:

t t t t

s

s sx y

K '' s s K ' s sf ''( x,y ,z, ) ( x,y ,t )d h ''( x,y ,z, ) ( x,y ,t )d h '( x,y ,z, ) ( x,y ,t )d f '( x,y ,z, ) ( x,y ,t )db'' t t b' t tT S sK t

τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ

∂ ∂+

∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂− − − − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂=

∂

∫ ∫ ∫ ∫

2

2 22 22 2

1 3 1 21 1 2 2

0 0 0 0

2 2

2

(20) La ecuación (20) es una expresión integro-

diferencial porque combina términos diferenciales e integrales en la misma ecuación.

Para poder utilizar la ecuación (20) en el problema planteado al inicio de este artículo, es necesario asumir algunas consideraciones adicionales: − Se sabe que no existe una capa permeable

adicional sobre el acuitardo superior, lo que ocasiona que el segundo término de la expresión (15), que corresponde al abatimiento s3 (x,y,t), sea nulo.

− Adicionalmente, en la sección 3.2 se estableció que en la frontera de la parte superior del último acuitardo existe una condición de no flujo que

propicia una modificación en la función de memoria para ese punto. Tomando en cuenta las consideraciones

adicionales anteriores, el problema se resuelve de forma similar al que se planteó en (9). Así, ajustando la condición de frontera por:

s''( z ,t )z

s''( z ,t )

∂=

∂=

4

3

0

1 (21)

Generando un nuevo juego de soluciones al hacer variar las condiciones de frontera, y definiendo asimismo una nueva función de influencia:



( )πα ππ −⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

⎛ − − ⎞= − ⎜ ⎟

− ⎝ ⎠∑

( n ) tb'' ''

n

( n ) z zG ''( x,y ,z,t ) e sen

n b''

22 1 132

11

2 1114 2 1 2 (22)

( )πα ππ −⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

⎛ − − ⎞−= − ⎜ ⎟

− ⎝ ⎠∑

( n )n tb'' ''

n

( n ) z z( )G ''( x,y ,z,t ) e cos( n ) b''

22 1 132

21

2 1114 2 1 2 (23)

Obteniendo a su vez, una nueva función de memoria aplicable a las fronteras del sistema acuífero cuando se considera una condición de no flujo en las fronteras:

πα

−⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= ∑( n ) t

b'' ''

ng ( x,y,t ) e

22 1 12

11

2 (24)

Finalmente la ecuación (20) se escribe como:

t t t

s

s sx y

K '' s K ' s sg ''( x,y ,z, ) ( x,y ,t )d h '( x,y ,z, ) ( x,y ,t )d f '( x,y ,z, ) ( x,y ,t )db'' t b' t tT S sK t

τ τ τ τ τ τ τ τ τ

∂ ∂+

∂ ∂

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂− − + − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂=

∂

∫ ∫ ∫

2

2 22 22 2

1 1 21 2 2

0 0 0

2 2

2

(25)

De manera análoga, se deduce la ecuación integro-diferencial para la ecuación que describe la capa

permeable inferior: t t

ss s TSh '( x,y,z, ) ( x,y,t )d f '( x,y,z, ) ( x,y,t )ds s K ' st t

x y b' K tτ τ τ τ τ τ

⎡ ⎤∂ ∂− + −∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ − =∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ 1

2 12 211 11 1 1

0 02 21

(26)

Las expresiones (25) y (26) son las ecuaciones que permiten determinar el abatimiento de cada uno de los acuíferos (estratos permeables) en los distintos intervalos de tiempo del estado transitorio. Debido a que la solución analítica de las expresiones anteriores es compleja, es posible recurrir a métodos de aproximación numérica convencionales para su resolución. De entre todos ellos, los más comunes son: el Método de Elemento Finito (MEF), el Método de Diferencias Finitas y el Método de Volumen Finito (MVF) (De la Cruz, 2011). Los resultados obtenidos con alguno de los métodos numéricos anteriores pueden a su vez utilizarse para calcular los abatimientos en los acuitardos (estratos semipermeables), al evaluar la convolución de la integral definida por la ecuación (13).

4 CONCLUSIONES

Como se mostró en este trabajo, la teoría propuesta por Herrera y Figueroa (1969) ayuda a desacoplar las ecuaciones que representan el abatimiento en las capas permeables del subsuelo (acuíferos) y permite obtener expresiones menos complejas para describir el mecanismo dentro de las capas semipermeables (acuitardos), reduciendo así el número de dimensiones del problema (suprimiendo la componente en la dirección z).

Con base en lo anterior, en este artículo fue posible establecer las expresiones matemáticas que consideran las condiciones de frontera que permiten

describir el sistema acuífero de cuatro capas que se presenta comúnmente en la Ciudad de México.

El trabajo aquí expuesto constituye la primera etapa para calcular localmente el hundimiento producido por bombeo en zonas específicas de la ciudad de México. En investigaciones que están en desarrollo (Lezama, 2012), para resolver las ecuaciones aquí obtenidas, se está utilizando el Método de Volumen Finito (MVF) (De la Cruz, 2011) e implementando un algoritmo computacional, que tiene como objetivo disminuir la complejidad de la discretización del sistema desacoplado y poder asociar la variación de los abatimientos con la disminución de los esfuerzos efectivos que dan lugar al fenómeno de hundimiento regional.

REFERENCIAS

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Carrillo, N. (1947). “Influence of artesian wells in the sinking of Mexico City, en Volumen Nabor Carrillo; El hundimiento de la Ciudad de México y Proyecto Texcoco”, Secretaría de Hacienda y Crédito Público, Comisión Impulsora y Coordinadora de la Investigación Científica, Anuario, México, D.F, 1969.



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Cruickshank V., C.; Herrera R., I.; Yates, R.; Hennart, J.P.; Balarezo, D.; Magaña del T., R. (1979). “Modelo de predicción del hundimiento del subsuelo del valle de México.” Departamento del Distrito Federal, UNAM.

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Herrera I. y Rodarte L. (1973). “Integrodifferential equations or systems of leaky aquifers and applications, 1, The nature of approximate theories”, Water Resource Researcher, Vol. 9 (4): 995-1005.

Herrera I. (1973). “Aplicabilidad de teorías de acuíferos semiconfinados” Informe No. 318, Instituto de Ingeniería, UNAM, México.

Herrera I., Alberro J., León J. L. y Chen B. (1974). “Análisis de asentamientos para la construcción de los lagos del plan de Texcoco”, Universidad Nacional Autónoma de México, Series del Instituto de Ingeniería.

Jacob C. E. (1946). “Radial flow in a leaky artesian aquifer”, AGU, Vol. 27: 195-205.

Lezama J.L. (2012). “Contribución a la modelación del hundimiento de la Ciudad de México”. Tesis de Maestría en Ciencias (Modelación Matemática y Computacional), División de Estudios de Posgrado del Instituto de Geofísica, UNAM, México.

Neuman S. P. y Witherspoon P. A. (1969). “Applicability of current theories of flow in leaky aquifers”, Water Resource Researche, Vol. 5(4): 817-829.

Marsal R. J. (1969). “Desarrollo de un lago por consolidación de arcillas blandas, inducidas por bombeo”, Volumen Nabor Carrillo, Secretaría de Hacienda y Crédito Público, México.

APÉNDICE

Para la solución de la ecuación diferencial presentada en la ecuación (3):

s''( z,t ) s''( z,t )Cz t

∂ ∂=

∂ ∂

2

2 (A1)

con condiciones de frontera:

3

4

01

s''( z ,t )s''( z ,t )

=

= (A2)

y condición inicial:

s''( z, ) =0 0 (A3)

Es posible separar la función s(z, t) en dos términos, el primero denotado por sT(z, t), mismo que representa el componente transitorio de la función, y un término estacionario denotado por sE(z):

T Es( z,t ) s ( z,t ) s ( z )= + (A4)

Rescribiendo la ecuación (A1):

( ) ( )T E T Es (z,t ) s (z) s (z,t ) s (z)C

z t∂ + ∂ +

=∂ ∂

2

2 (A5)

Una recta (Fig. A1): que es capaz de satisfacer las condiciones de frontera de (A2) y que ayuda a aproximar la función que corresponde al estado estacionario es:

Ezs (z)b''

= (A6)

donde b’’=z4-z3.

1

z4z3 z

SE(z)

Figura A1. Recta que aproxima la función estacionaria sE(z).

Despejando la función transitoria:

T Es ( z,t ) s( z,t ) s ( z )= − (A7)

Aplicando las condiciones iniciales y de frontera del problema original:



T E

T E

T E

s ( z ,t ) s( z ,t ) s ( z )s ( z ,t ) s( z ,t ) s ( z )

zs ( z, ) s( z, ) s ( z )b''

= − = −

= − = −

= − = −

3 3 3

4 4 4

4

0 01 1

0 0 0

(A8)

Se observa que la función sT se refiere a un problema homogéneo con condición inicial s(z, t)=f(z)=-z/b’’, cuya solución es:

2

1

n Ctb''

T nn

n zs (z,t ) D e senb''

π π⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (A9)

Donde:

[ ]z

n Ez

nD f ( z ) s ( z ) sen zdzb'' b''

π= −∫

3

3

2 (A10)

Sustituyendo y resolviendo la integral definida: n

n( )Dnπ−

=2 1

(A11)

Y reemplazando en (A9):

nn Ctb''

n

( ) n z zs(z,t ) e senn b'' b''

π ππ

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

2

1

12 (A12)

Cuando z3 es diferente y mayor que cero, la función se ve afectada por un corrimiento, por lo que rescribiendo la ecuación (A12) y reacomodando términos:

nn Ctb''

n

z z ( ) n (z zs(z,t ) e senb'' n b''

π ππ

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

− − −⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

2

3 3

1

2 1 (A13)

La cual, es la solución de la ecuación (3a) que se presenta en el inciso 3.3 de este artículo.

Finalmente, cuando las condiciones de frontera se intercambian, solamente es necesario cambiar la dirección de la recta y el signo de la pendiente.

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