Modela2

Universidad Nacional de Ingeniería MT227Facultad de Ingeniería Mecánica P.A. 2015DAIA

Modelando un sistema: Euler –Lagrange

En muchas ocasiones hay sistemas que contienen componentes eléctricos y mecánicos funcionando en conjunto.Lagrange estableció un conjunto de ecuaciones basadas en términos de energías potenciales y cinéticas que permiten describir de una forma unificada los sistemas conteniendo elementos mecánicos y eléctricos acoplados entre sí, sin importar la complejidad del sistema.Utilizando cantidades escalares (Energía potencial y cinética) en vez de vectores (fuerza y torques), se elimina la necesidad de utilizar complicados esquemas vectoriales que generalmente se requieren para resolver las cantidades vectoriales en un sistema de coordenadas apropiado.Para la utilización de las ecuaciones de Lagrange es necesario identificar correctamente las coordenadas generalizadas al comienzo del análisis del sistema.Un error en esta identificación puede conducir a un conjunto de ecuaciones diferenciales correctas pero que no constituyen el modelo apropiado del sistema bajo investigación.El principio fundamental de las ecuaciones de Lagrange es la representación del sistema por un conjunto de coordenadas generalizadas, qi (i=1,2,3,..,r) una para cada grado de libertad del sistema, por ejemplo la interconexión entre sus partes.Cuando se han determinado las coordenadas generalizadas, la energía cinética T, se describe en términos de esas coordenadas y sus derivadas. La energía potencial V se expresa en términos de esas coordenadas solamente, no intervienen los términos correspondientes a las derivadas.La función de Lagrange es:

L=T (q1 , q2 , ⋯qr , q1 , q2 , ⋯ , qr ) − V ( q1 , q2 , ⋯ , qr )

Las ecuaciones del movimiento que se derivan a partir de la función de Lagrange son:

ddt ( ∂ L

∂ qi)− ∂ L

∂q i = Qi i=1,2,3,…,r

Cada ecuación diferencial del conjunto anterior será de segundo orden, lo que significa que un sistema con r grados de libertad será representado por r ecuaciones diferenciales de segundo orden.Si se asigna una variable de estado a cada coordenada generalizada y otra a su derivada correspondiente, se obtendrán finalmente 2r ecuaciones.Entonces un sistema con r grados de libertad es de orden 2r.

Energía potencial - corresponde a la energía que el cuerpo posee en razón de su posición. Para un cuerpo de masa m en un campo gravitacional la energía potencial V medida desde un nivel de referencia corresponde a mg veces la altitud h desde la referencia.

V=∫0

hmgdx=mgh

Si el cuerpo cayese tiene la posibilidad de realizar trabajo, en la caída la energía potencial disminuye y se convierte en energía cinética.

Profesora: Rosa Garrido Juárez Tema: Modelando Sistemas 1


En general

V=∫0

xF ( x )dx=mgh

F=∂V

∂ x

Energía Cinética: Corresponde a la energía que poseen los cuerpos en movimiento.

Una masa m en traslación pura a velocidad v tiene energía cinética: T=1

2mv2

Un momento de inercia J en rotación pura a velocidad angular θ tiene energía cinética:

T=12

J θ2

En general la energía cinética es: T=1

2m x2

En un sistema conservativo la energía no entra ni sale del sistema solo se conserva como energía cinética y/o potencial.(T+X)=0ó T+V=constante.Para un sistema conservativo la ecuación de EULER- LAGRANGE es:

ddt (∂ L

∂ q )−∂ L∂ q

=0

que deduce la ecuación de movimiento del sistema, en lugar de usar la segunda ley de Newton o las leyes de Kirchoff, según sea el caso.

Ejemplo1: Péndulo simple

Este sistema tiene un grado de libertad y la coordenada generalizada es .

La energía cinética es T=1

2m x2=1

2m( l θ )2

.

Tomando θ=00como referencia de la posición de la masa, la

energía potencial es:V=mghV=mgl(1-cos)

El Langrangiano: L=T−V =1

2m(l θ )2−mgl(1−cosθ )

La ecuación de Lagrange: ddt (∂ L

∂ θ )−∂ L∂ θ

=0

óddt

(ml2 θ )+mglsenθ=0



θ+ gl

senθ=0

Aplicación: Péndulo móvil

Función de disipación de Rayleigh

Cuando el sistema es amortiguado ocurrirá alguna disipación de energía. Estos sistemas se denominan “no conservativos”.La fuerza del amortiguamiento puede desarrollarse a través de una función de disipación D.Si en el sistema actúan r amortiguadores (amortiguadores viscosos en los sistemas mecánicos, resistencias en los sistemas eléctricos), la función de disipación de Rayleigh puede escribirse como:

D=12(b1 δ 1

2+b2 δ 22+. ..+br δ r

2 )

Donde:bi=coef. del i-é-simo,

Utilizando la función de disipación D las ecuaciones de Lagrange para los sistemas no conservativos:

ddt ( ∂ L

∂ qi)− ∂ L

∂q i

+∂ D∂ q i

=0 ; ( i=1,2 , .. . , n)

Como en el amortiguamiento viscoso la fuerza de disipación de energía es:

La función de disipación es:Fd=b x

La función de disipación es: D=

12

Fd x=12

b x2

La fuerza de amortiguamiento puede expresarse como: Fd=

dDd x

Sistemas con excitación de entrada

Si al sistema se le aplica una excitación de entrada (corresponde a la excitación generalizada) las ecuaciones de Lagrange, quedaría:



ddt ( ∂ L

∂ qi)− ∂ L

∂q i

+∂ D∂ q i

=Qi; ( i=1,2 , .. . ,n )

Qi = Excitación correspondiente a la i-é-sima coordenada generalizada.

Ejemplo 2 Considere una masa m sujeta a la fuerza f en ausencia de la gravedad. La energía

potencial V es cero. La energía cinética es T=

mq2

2 , quedando la ecuación de Euler Lagrange como:L=T

ddt (∂

mq2

2∂ q i

)−∂m q2

2∂ qi

+0= f

m q( t )=f

Haciendo x1=q , x2=q obtenemos:

[ x1

x2]=[ x2

f /m ]=[0 10 0 ][ x1

x2]+[ 0

1/m ] f

Ejemplo 3Sistema mecánico de segundo orden.La masa, resorte, amortiguador son mostrados en la siguiente figura:

Tiene un grado de libertad, y las coordenadas generalizadas x tal que el sistema está en reposo en x=0.

La energía potencial es V= kx 2

2 y la energía cinética es T=m x2

2 y la

energía de disipación es c x2. Por lo tanto el modelo de Euler-Lagrange del sistema es:

ddt

(∂(m x2

2−kx

2

2)∂ x

)−∂(m x2

2−kx

2

2)∂ x

+∂(c x

2

2)∂ x

=f

m x( t )+kx+c x=f

Ejercicios Resueltos: P1 Aplicar la ecuación de Euler Lagrange para obtener el modelo de vibraciones del péndulo de hilo de la figura a.

Solución

T=12

M x2=12

M (r2 ϑ2 ) ,V =0 Q=−Mgrsen ϑ

q i=ϑ



ddt (∂ ( 1/2Mr2 ϑ 2)

∂ ϑ )−∂ (1/2 Mr2 ϑ 2)∂ϑ

=−Mgrsen ϑ

Mr2 ϑ−0=−Mgrsenϑ ϑ+ g

rsenϑ

figura a

P2 Circuito Eléctrico de un evaporador

SoluciónCoordenada generalizada= carga eléctrica= Q

Energía cinética T=1

2LQ2

Energía potencial V=1

2C−1Q2

Energía de Disipación D=1

2R Q

Excitación de entrada Qi=u0

ddt (∂(LQ 2

2−C

−1Q

2

2)

∂ Qi)−∂( L Q

2

2−C

−1Q

2

2)

∂Q+

∂(RQ

2

2)∂ Q

=u0

L Q+ QC

+R Q=u0

P3 El eje del tambor es impulsado por un momento M. La masa de la carga es m, el momento de inercia del tambor es J. El radio del tambor es r.Coordenadas generalizadas x, φ, pero φ se puede colocar en función de x. x=rφ,

x2=r2 ϕ2

Energía cinética: T=

12(m x2+J ϕ2 )=1

2(mr2+J ) ϕ2

Energía potencial: 0Fuerzas excitadoras * distancia: -mgdx+ Md=(-mgr+ M) dQ=-mgr+M



(mr2+J ) ϕ=−mgr+M

ϕ=−mgr+M

mr2+J

Ejerciciosa) Resolver el modelo dinámico del

sistema mecánico vibratorio con absorción de vibración dinámica, usando las ecuaciones de Euler-Lagrange.

b) Resolver el modelo del péndulo móvil mostrado anteriormente en la Pág. 3, usando las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Analogías entre un sistema Mecánico y Eléctrico

Fuerza- Tensión

M x+B x+Kx=f

Ldidt

+Ri+1C ∫ idt

i=dqdt

L q+R q+1C

q=V

Sistema Mecánico Sistema Eléctricof, TM,JBKx,x ,θ

VLR1/Cqi



Fuerza- Corriente

iL(t) iR(t) iC(t) is(t)

Sistema Mecánico Sistema Eléctricof, TM,JBKx,x ,θ

iC1/R1/L

φ

Ejemplo de Sistema ElectromecánicoMotor de corriente continúa – ServomecanismosCaracterísticas

Inercia reducida Máxima aceleración posible Alta relación torque-inercia Constante del tiempo extremadamente pequeña.

a(t) Tensión de la armadura;Ra Resistencia de la armadura;La Inductancia de armadura;Ea(t) Fuerza electromotrizia(t)Corriente de la armadura;Lf Inductancia del campo;Rf Resistencia del campo;f(t) Tensión aplicada en el campo;if(t) Corriente de campo;T(t) Torque desarrollado por el motor;Lf, Rf Bobinas de campo;Ra, La Bobinas de la armadura.

En el CONTROL DE ARMADURA, la bobina de campo es excitada separadamente. La corriente de campo es mantenida constante y el control del motor es controlado por la corriente de armadura.


Universidad Nacional de Ingeniería MT227Facultad de Ingeniería Mecánica P.A. 2015DAIAEn el CONTROL DE CAMPO, la corriente de armadura es mantenida constante y la velocidad es controlada por la tensión de campo. El campo de control de los servomotores, presenta como desventaja, el hecho de trabajar en el largo y la dificultad de obtener una mayor fuente de corriente.

CONTROL POR LA ARMADURA DE SERVOMOTORES CCConsidere el diagrama esquemático de control de servomotores CC con armadura. de corriente de campo mantenida constante.

Las ecuaciones que definen el motor de CC de forma permanente se exponen a continuación. El par electromagnético desarrollado por el motor de CC está dado por la siguiente expresión:T(t) = Ka.(t).ia(t) (1) Donde:

Flujo no entre fierro;Ka CTE;ia(t)Corriente de armadura.

La curva de magnetización se muestra, el flujo entre fierro en la región lineal es proporcional a la corriente de campo

(t) Kf . if (t) (2)Como en este caso el flujo de campo es constante, se deduce que el flujo será:(t) = K1 (3)La sustitución de (3) en (1), resulta:T(t) = K2 . ia(t) (4)Por (4), el par electromagnético producido por el motor de CC es directamente proporcional a la corriente de armadura.a fuerza electromotriz Ea (t) inducida en la armadura está dada por:Ea(t) = Ka.(t).m(t) (5)Donde:m(t) Velocidad angular del motor;Como el flujo es constante, resulta:Ea (t) K . m (t) (6)Ó

La ecuación diferencial asociada a la armadura del motor de CC, es decir, la ecuación de motor de CC se define en (7).



(7)

La ecuación diferencial asociada con el sistema mecánico como se muestra en la figura, se define en (8).

(8)

Asumiendo las condiciones iniciales cero, la transformación de Laplace de las expresiones (6),(7) y(8) y (4), resulta:

Ea(s) = K3.S.(s) (9)Va(s) = La.S.Ia(s) +Ra.Ia(s) +Ea(s) (10)T(s) = J.S2.(s) + B.S.(s) (11)T(s) = K2.Ia(s) (12)

Considerando que a tensión aplicada en la armadura da máquina “Va(s)” es la entrada del sistema, es el desplazamiento angular del eje del rotor “(s)” es la salida, entonces se puede obtener la función de transferencia de este sistema:Primero se muestra el diagrama de bloques:



Las expresiones (13) y (14) representanta la función de transferencia para el sistema electromecánico mostrado. Para obtener la representación en espacio estado, basta que se tenga las ecuaciones diferenciales relacionadas a las expresiones (13) y (14)De la expresión (13)



El Uso de control electrónico de servomotores CC, también conocido como servo accionamiento, mejora significativamente la operación de los servomotores. A seguir es mostrado un diagrama de bloques de servo accionamiento para control de la velocidad de un servomotor de CC.

Linealización de los sistemas no lineales

Los modelos de los sistemas reales son generalmente no lineales. Una técnica para estudiar el análisis de estos sistemas es considerar que para un rango relativamente estrecho de funcionamiento el comportamiento del sistema es aproximadamente lineal (se cumple en la mayoría de casos), lo cual nos permite utilizar la Linealización de Taylor.Un sistema no lineal tendrá un comportamiento lineal si las condiciones de operación se encuentran suficientemente cercanas al punto de operación.Considerando el sistema:x=F ( x , u , w )Con saliday=h( x , u , v ,w )Y tomando x como una solución generada por las entradas específicas u( t ) , v ( t ) , w( t ) , la salida dada por:y ( t )=h( x ( t ), u( t ) , v ( t ) , w( t ))Si tomamos las variaciones x ( t ) ,u (t ) , v ( t ) , w( t ) y y ( t )como representando pequeños

cambios desde las condiciones de referencia x ( t ) ,u (t ) , v ( t ) , w ( t ), y ( t ) , entonces la solución generada por:



u ( t )=u( t )+u( t )v (t )=v ( t )+v ( t )

w ( t )=w( t )+w ( t )x ( t )= x( t )+x ( t )y ( t )= y ( t )+ y ( t )

Asumiendo que las magnitudes de las perturbaciones se mantienen relativamente

pequeñas para todo instante de tiempo, el teorema de Taylor implica que x ( t )puede aproximarse por la solución a:

x ( t )=[ ∂ f∂ x ] x( t )+[ ∂ f

∂ u ]u ( t )+[ ∂ f∂ w ]w ( t )

Y h(t) es aproximadamente la solución a las ecuaciones de perturbación de la salida:

y ( t )=[ ∂h∂ x ] x ( t )+[ ∂h

∂u ]u( t )+[ ∂h∂ v ] v ( t )+[ ∂ h

∂ w ]w ( t )

Las anteriores ecuaciones en derivadas parciales son evaluadas sobre la condición de referencia. Si las condiciones de referencia son todas constantes, las matrices son constantes.


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