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Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
1
Modelos de procesos y linealización
Prof. Cesar de Prada
Dpt. Ingeniería de Sistemas y Automática
Univ. De Valladolid
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
2
Modelos
• Representación aproximada de la realidad
• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de interés.
• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…
• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que pasa si…., decisiones,...
• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?
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3
¿Qué es un modelo matemático?
• Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de interés del proceso y representan adecuadamente su comportamiento
• Siempre son aproximaciones de la realidad
• Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesos
• Compromiso entre facilidad de uso y exactitud
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4
Representación adecuadaRepresentación adecuada
Proceso
u
tiempo
y
tiempo
Modelo
ym
tiempo
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5
Procesos continuos y de eventos discretos
q
h
Procesos continuos:Las variables evolucionancontinuamente en el tiempoy pueden tomar cualquier valor en un rango dado
Procesos de eventos:Las variables solo cambianen instantes discretosy pueden tomar solo un número finito de valores
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6
Procesos Continuos / Eventos• Procesos Continuos
– Descritos principalmente por DAEs o PDE.– Interés fundamental: la trayectoria de algunas
variables
• Procesos de eventos discretos– Descritos principalmente por secuencias de
actividades. – Interés fundamental: el comportamiento
estadístico de algunas variables.
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7
Modelos estáticos y dinámicos
q
h
Ad h
d tq k h
q k h
Modelo estático: Relaciona las variables en unestado de equilibrio
Modelo dinámico:Relaciona las variables alo largo del tiempo
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8
Respuesta dinámicaRespuesta dinámica
tiempo
q
h
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9
Modelos estáticos y dinámicos
• Modelos estáticos– Representan situaciones de equilibrio– Descritos mediante ecuaciones algebraicas– Orientados a diseño
• Modelos dinámicos en tiempo continuo– Representan la evolución temporal– Descritos mediante DAE y PDE– Uso mas general: control, entrenamiento,...
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10
Modelos para control por computador
ProcesoOrdenador D/A
A/Dy(kT)
u(kT)
modelos en tiempo discreto deben relacionar las variables de entrada y salida
en los instantes de muestreo kT
y(t)
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11
¿Como obtener modelos?
Mediante razonamientos,usando leyes físicas,químicas, etc
Mediante experimentacióny análisis de datos
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12
Modelos de conocimiento
• Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación
• Tienen validez general
• Requieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes fisico-químicas
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13
IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso
tt
YUU
Y
Proceso
Modelo
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14
Modelos de conocimiento
Metodología de modelado:
Establecer los límites y objetivos del modeloEstablecer las hipótesis básicasEscribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicaciónEstimar el valor de los parámetrosValidar el modelo
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Tipos de modelos
• Parámetros concentrados
• Parámetros distribuidos
• No-lineales
• Lineales
• Tiempo
• Frecuencia
• ….
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16
Conservación de masa
Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =
Masa que entra al sistema por unidad de tiempo -
Masa que sale del sistema por unidad de tiempo -
Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -
Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo -
CGFFtdmd
0i
m
Fi F0
G C
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17
Ejemplo: Depósito
Conservación de masa
Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F
m masa en el depósitoA sección del depósito densidad, k constante
q
h
F
hkqtd
hdA
hkF ghpp
ppSkSvF hAm
Fqtd
md
01
011
p0
p1
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18
Ejemplo: Depósito
Conservación de masa
Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F
m masa en el depósitoA sección del depósito densidad, k constante u posición de la válvula
q
h
F
Ecuación diferencial no-lineal
AhV hukqtd
hdA
hukF hAm
Fqtd
md
Ecuación algebraica
u
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19
Modelos en variables de estado
)t),t(p),t(u,x(g)t(y
)t),t(p),t(u),t(x(fdt
)t(xd
Variables manipuladas
Respuestas observables
u yx
x Estados
perturbacionesp
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20
Simulación
Integrando numéricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de líquido en función de los valores de q
q
h
F AhV hA
ukq
A
1
td
hd
Integración numérica mediante el método de Euler
t)t(hA
k)t(u)t(q
A
1)t(h)tt(h
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21
Causalidad
q
h
FCausalidad física: causas y efectos
q h F
hkF
Fqtd
hdA
Causalidad computacional: orden de cálculo de las variables
q h F
El uso del modelo (¿Qué pasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional.
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22
Hipótesis
q
h
F
q
h
F
ci
c
Fcqctd
Vcdi
Mezcla perfecta Flujo pistón
)F
Vt(c)
Av
Aht(c)
v
ht(c)t(c iii
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23
Formulación
q
h
F
ci
c
)cc(qtd
cdV
Fcqc)Fq(ctd
cdV
Fcqctd
Vdc
td
cdV
V
Vcc
Fqtd
Vd
Fcqctd
)Vc(d
i
i
i
i
Mezcla perfecta
constante
Volumen V
Concentración ci
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24
Computabilidadq1
h1
F1
h2
F2
0q hh0 hh)hhsgn(kF
hkF ?hh hhkF
FFqdt
dhA Fq
dt
dhA
imaxi212111
222212111
2122
2111
1
q2
Leyes + restricciones
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25
Reactor Químico Isotermo
Reactor
FT
AT
Productos
Materia prima
Reacción:
A
A, B
A B
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Modelo Matemático
A B
F
CA CB T
CAi , Ti
Producto A
Balance másico del producto ABalance másico del producto B
Hipótesis:
•Mezcla perfecta en el reactor
•Temperatura T constante
•Volumen constante V
Vd c
d tFc Fc Vke cA
Ai A
ERT
A
Vd c
d tFc Vke cB
B
ERT
A
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27
Presión en un recipiente
2f
2vi
2f
2vii
ppaCFtdpd
RTVM
isotermo que tanRTM
p Vm
ppaCFFFtdmd
Fi
Fa
p
pf
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Conservación de energía
T temperatura, V voltajem masa en el depósitoH entalpia, ce calor específicoA sección del depósito densidad, R resistencia
q
Ecuación diferencial no-lineal
RcV
)TT(qtdTd
Ah
Ahm TcH si
RV
HqHqtd
)mH(d
e
2
i
e
2
i
V R T
Hipótesis:
T uniforme en el depósito Aislamiento perfecto densidad constante
Ti
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29
Conservación del momento
i2
2
i
Ftd
xdm
Ftd
)mv(d
x
mF Sistema de
referencia
i2
2
i
Ttd
dI
Ttd
)I(d
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30
Masa suspendida
mg
m
-kx
x
0
Fmgkxtd
xdm
Ftd
xdm
2
2
i2
2
Fm
1gx
m
k
td
vd
vtd
xd
F
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31
Vehiculos acoplados
x
mF
M
f
k
y
)dt
xd
dt
yd(f)Lxy(K
dt
xdm
)dt
xd
dt
yd(f)Lxy(KF
dt
ydM
2
2
2
2
K coef. resorte f coef. fricción viscosa
sin fricción de deslizamiento
sin resistencia del aire
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32
Grua unidimensional
F
mg
L
x
Modelar la posición de la masa m y el carro M respecto al sistema de referencia
m
posición de la masa M: x
posición de la masa m : x + L sen
Dos grados de libertad: x,
Fricción viscosa
Sin fricción de deslizamiento
M
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33
Grua unidimensional
F
mg
L
x
m
Conservación de la cantidad de movimiento del carro y la masa m en la dirección x
dt
xdfF
dt
dmLsen
dt
dcosmL
dt
xd)mM(
dt
xdfF
dt
)Lsenx(dm
dt
xdM
2
2
2
2
2
2
2
2
2
M
Se necesita otra ecuación para
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34
Grua unidimensional
F
mg
L
x
m
Conservación del momento angular referido a unos ejes moviles asociados al eje de la grua
Lcosdt
xdmLmgsen
dt
d)mLI(
2
2
2
22
M
Respecto a los ejes fijos, aparece una aceleración - d2x/dt2 en dirección horizontal
2
2
dt
xdm
dt
xdfF
dt
dmLsen
dt
dcosmL
dt
xd)mM(
2
2
2
2
2
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35
q
pv
a h
p0
ghq)AfL
Ca1
(p
tdqd
AL
Avq ALm qCa1
p
gAhvAfLpApAtd
mvd
222
v2
0
22v
2v
2v0
Flujo en una tuberia
Conservación de cantidad de movimiento
Ecuación diferencial no-lineal
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36
Circuito RCR
I1
CV E
dt)II(C
1E
dt)II(C
1RIV
21
211
I1-I2
I2
Impedancia infinita I2 =0
dtIC
1E
dtIC
1RIV
1
11
1
11
IC
1
td
Ed
IC
1R
td
Id
td
Vd
1
11
IC
1
td
Ed
td
Vd
R
1I
RC
1
td
Id
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37
CircuitosLR1
V EC
R2
I1
I2
I1-I2
22121
221211
11
R)II(dt)II(C
1E
R)II(dt)II(C
1
td
IdLRIV
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38
Motor CC
LR
V
Excitación independiente
2
1
ktd
IdLRIV
td
d
TfIktd
dJ
I
T par externo
k2 f.c.e.m
T
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39
Procesos distribuidos
x
Ti F
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40
Proceso distribuido
x
Ti Ti+1Ti-1
Ts
F
Se divide el proceso en celdas de ancho x en las que T pueda considerarse uniforme
Balance de energia en un elemento
Limite cuando x 0
T(x,t)
x
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41
Proceso distribuido
x
Ti Ti+1Ti-1
Ts
FT(x,t)
e
s2
e
is
0x
i1i
0x2i
0x
e
isi1i2
i
isie1ieie
2
cr
))t,x(TT(U2
x
)t,x(T
r
F
t
)t,x(T
cr
)TT(U2lim
x
)TT(lim
r
F
td
Tdlim
cr
)TT(U2
x
)TT(
r
F
td
Td
)TT(xUr2TcFTcFtd
Tcxrd
r
Balance energético
Ecuaciones en derivadas parciales
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42
Modelos de conocimiento
• Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales
• Utiles para muchos fines
• Requieren ciertos conocimientos
• Difíciles de manipular matemáticamente
• Se resuelven mediante simulación
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43
Simulación: EcosimPro
• Lenguaje de Modelado / Simulación• ¿Qué pasa si…?• Basado en tecnología orientada a objetos• Métodos numéricos y funcionalidades avanzadas• ESA: Agencia Europea del Espacio• Generador de código C++ con un entorno de
desarrollo y ejecución• Librería / Componente / Partición / Experimento• Abierto
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44
EcosimPro
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45
Entorno Gráfico
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46
Simulación
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47
Modelos linealizados
• Aproximaciones lineales de las ecuaciones no-lineales
• Mas fáciles de manipular matemáticamente pero su rango de validez es limitado
hkqtdhd
A hqtdhd
A
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48
Linealización
Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, ….
...)zz(zf
)yy(yf
)uu(uf
)z,y,u(f)z,y,u(f
0)z,y,u(f 0)z,y,u(f
00
0
0
00
000
000
zzz yyy uuu 0zzf
yyf
uuf
000000
Ecuación lineal en las nuevas variables u, y, z
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49
Modelo Linealizado del Depósito
q
h
F
Ecuación diferencial lineal
0qhh2
kdt
hdA
1qf
h2
khf
Ahf
0)qq(qf
)hh(hf
)hh(hf
q,h,h 0)q,h,h(f
0hkqtdhd
A
0
0000
0
0
00
00
000
Variables desviación
h = h - h0
q = q - q0
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50
Simulación
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
0 10 20 30 40
TIME
hh_l
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
0 10 20 30 40
TIME
q
4
5
6
7
8
0 10 20 30 40
TIME
hh_l
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
0 10 20 30 40
TIME
q
Respuestas del modelo no –lineal y linealizado para 2 saltos en q
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51
Modelo Linealizado del Depósito
q
h
F
El valor de los coeficientes depende del punto de linealización
k
h2K
k
h2A
qKhdt
hd
qk
h2h
dthd
k
h2A
0qhh2
kdt
hdA
00
00
0
Variables desviación
h = h - h0
q = q - q0
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52
Modelos linealizados
tt
YUU0
U
Y0
Y
las variables u e y soncambios sobre un punto de operación U0 , Y0
El rango de validez está limitado a un entorno del punto de operación
Proceso
)t(Y)t(Y)t(y
)t(U)t(U)t(u
0
0
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53
q
pv
a h
p0
0)aa(af
))p(p(pf
)qq(qf
)qq(qf
0)a,p,q,q(f
ghq)AfL
Ca1
(p
tdqd
AL
00
000
00
0
0
0
0
0
222
v2
0
Flujo en una tuberiaEcuación diferencial no-lineal
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54
Modelo linealizado del flujo
aK)p(Kqtdqd
]aqCa2
)p([
q2)AfL
Ca1
(
1
qtdqd
q2)AfL
Ca1
(LA
1
]aqCa2
qq2)AfL
Ca1
()p(
[LA
tdqd
]ghq)AfL
Ca1
(p
[LA
tdqd
201
0
22v
30
022
v2
022
v2
0
22v
30
22v
20
222
v2
0
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55
Cambios del punto de operación
02
2v
22v
22
0
22v
2
201
)A
CfLa1Ca(a
qK
q2)AfL
Ca1
(LA
1
aK)p(Kqtd
qd
q
t
crece en puntos de operación con apertura alta K2 decrece en puntos de operación con apertura alta
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56
Modelo linealizado
q
0)VV(Vf
)qq(qf
)TT(Tf
)TT(Tf
0)V,q,T,T(f
cte.h y T si Rc
V)TT(q
tdTd
Ah
00
0
0
00
00
ie
2
i
V R T
TiV
RcV2
q)TT(TqtdTd
Ahe
00i0
VKqKTtdTd
VRqcV2
)TT(T
tdTd
qAh
21
0e
0
0
0i
0
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57
Semejanza formal
q
V R T
Ti
VKqKTtdTd
21
q
pv
a h
p0
aK)p(Kqtdqd
201
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58
Modelo linealizado del reactor
A B
F
CA CB T
CAi Producto AVd c
d tFc Fc Vke cA
Ai A
ERT
A
Vd c
d tFc Vke cB
B
ERT
A
Dos ecuaciones
0)F,c,c,c(f
0)c,F,c,c(f
ABB2
AiAA1
F
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59
Modelo linealizado (1)
Ai00A0AiART
E
0A cFF)cc(c)VkeF(
tdcd
V 0
Punto de operación:0Ai0B0A0 c,c,c,F
Valor calculado en el punto de operación
Vd c
d tFc Fc Vke cA
Ai A
ERT
A
Desarrollando en serie de Taylor.....
Ai00A0Ai
ART
E0A c
VF
FV
)cc(c)ke
VF
(tdcd
0
Ai1111A11A cdFbca
tdcd
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60
Punto de linealización
0cVkeFcFctd
cdV A
RTE
AAiA
0cVkeFctd
cdV A
RTE
BB
Si el punto de linealización corresponde a una operación en equilibrio:
Si cAi0 = 8 y cA0 = 0.8 cB0 = 7.2
Si F0 = 26.66 y V = 80 ke-E/RT = 2.999
Ai00A0AiART
E
0A cFF)cc(c)VkeF(
tdcd
V 0
AiAAi00A0Ai
ART
E0A c333.0F09.0c332.3c
VF
FV
)cc(c)ke
VF
(tdcd
0
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61
Modelo linealizado (2)
F09.0c333.0c999.2FV
cc
VF
cketdcd
BA0B
B0
ART
EB 0
Fbcacatdcd
21B22A21B
Vd c
d tFc Vke cB
B
ERT
A
Mediante un desarrollo en serie en torno al punto de operación:
Ai1111A11A cdFbca
tdcd
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62
Modelo en variables de estado
Ai21
1211
B
A
2221
11
B
A
c
F
0b
bb
c
c
aa
0a
td
cdtd
cd
Fbcacatdcd
21B22A21B
Ai1211A11A cbFbca
tdcd
B
AB c
c10c
Cxy
BuAxtd
xd
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63
Reactor isotermo
AiB
A
B
A
c
F
009.0
333.009.0
c
c
33.03
033.0
td
cdtd
cd
B
AB c
c10c
A B
F
CA CB T
CAi
Producto A
F
Reactor isotermo
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64
q1q
a
)p(KKq
1
td
qd
aK)p(Kqtd
qd
021
201
Modelos en variables de estado
h.1h
qhdt
hd
qA
1h
hA2
k
dt
hd
0
q
h
qah
p0
Cxy
BuAxtd
xd
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65
Modelos en variables de estado
DuCxy
BuAxtd
xd
x variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempo
t
t
tAttA dBuetxetx0
0 )()()( )(0
)(Solución analítica:
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66
Equivalencia
Cxy
BuAxtdxd
u y
zPCy
PBuz)P(PAtdzd
zP xPxz
1-
1-
1-
zCPy
uPB zPAPtdzd
1-
1-
Existen muchas representaciones equivalentes entrada-salida
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67
Autovalores
Cxy
BuAxtdxd
zCPy
uPB zPAPtdzd
1-
1-
0IA
0IA
0PIAP
0P)IA(P
0PPPAP
0IPAP
1
1
11
1
Los autovalores son invariantes en representaciones equivalentes
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68
Modelo de Respuesta Impulsional
)t(gBCed)(BCey(t)
:nulo es inicial estado ely unitario impulsoun esu si
d)(BuCe)0(xCe)t(y
Att
0
)t(A
t
0
)t(AAt
g(t)(t) t
0
d)(u)t(g)t(y
respuesta impulsional
0
d)(u)t(g)t(y
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69
Modelo de Respuesta Impulsional
g(t)(t)
t
0
d)(u)t(g)t(y
t
0
d)t(u)(g)t(y
0t
t0
dd t
0
d)(u)t(g)t(y
0
d)t(u)(g)t(y
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70
Transformada de Laplace
Laplace de compleja le variabjs
dte)t(f)s(F)t(f0
st
L
f(t) función temporal
f(t) = 0 para t < 0t
f(t)
)s(G)s(F
)t(g)t(f
)t(gf(t) si
LL Cambio de
variable t s
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71
Transformada de Laplace
)s(G)s(F
)t(g)t(f
)t(gf(t) si
LL
Cambio de variable t s
Resolución del problema en el dominio s X(s)
Interpretación y expresión de la solución en el dominio t
Cambio de variable s t
j
j
st1 dse)s(X)s(X)t(x L
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72
Ejemplo
s
k
s
ekdtkedte)t(f)s(F)t(f
0
st
0
st
0
st
L
f(t) función salto
f(t) = 0 para t < 0
f(t) = k para t >= 0t
f(t)=k
Tablas de transformadas de las funciones mas comunes
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
73
Tabla de Transformadas
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
74
Tabla de transformadas
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
75
Propiedades de la T. Laplace
)s(G)s(Fd)t(g)(f
)s(sFlim)t(flim
)s(Fe)dt(f
)0(fdt
)0(dfs)s(Fs
dt
)t(fd)0(f)s(sF
dt
)t(df
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
dte)t(f)s(F)t(f
0
0st
sd
22
2
0
st
L
L
LL
L
L
j
j
st1 dse)s(F)s(F)t(f L
Transformada inversa
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
76
Propiedades I
)s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
0
st
0
st
0
st
L
L
)s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt
)t(df
dt
)t(df
dtsedu)t(fveudtdt
)t(dfdvduvuvdvu
dtedt
)t(df
dt
)t(df)0(f)s(sF
dt
)t(df
0
st
00
stst
stst
0
st
L
LL
0
stdte)t(f)s(F)t(fL
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
77
Propiedades
)s(Fs
1d)(f
d)(fsd)(fd)(fsdt
d)(fd
)s(F)t(fdt
d)(fd)t(f
dt
d)(fd
t
0
t
0
0
0
t
0
t
0
t
0
t
0
L
LLL
LL
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
78
Propiedades II
)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f
t;d0tdtdte)dt(f)dt(f
)s(Fe)dt(f
sd
0
ssd
0
ssd
d
)d(s
0
st
0
st
sd
L
L
)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f
)0(fdttd
)t(fd)0(fdte
td
)t(fdlim)s(sFlim
)0(fdtetd
)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim
0
00
st
0s0s
0
st
0st
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
79
Propiedades III
)s(G)s(Fde)(gde)(f
de)(gde)(fde)(gde)(f
dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f
t;0tt
dted)t(g)(fd)t(g)(f
)s(G)s(Fd)t(g)(f
0
s
0
s
s
0
ss
0
s
0
)(s
0 0
st
0
st
0
0
st
00
0
L
L
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
80
Resolución de LODES
tiomindosiomindotiomindo
......2s
1
1s2s
5.0sL)s(YL)t(y
2s
1
1s2s
5.0s)s(Y
2s
1)s(U)s(U
1s2s
5.0s)s(Y
)s(U5.0s1s2s)s(Y)s(U5.0)s(sU)s(Y)s(sY2)s(Ys
u5.0td
udLy
td
yd2
td
ydL
0 tpara e)t(u;0td
)0(yd;0)0(yu5.0
td
udy
td
yd2
td
yd
211
22
22
2
2
t22
2
Ejemplo:
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81
Descomposición en fracciones simples
ttt2
21
222
2
2
22
21
211
te5.1e5.2e5.21s
5.1
1s
5.2
2s
5.2L)t(y
5.2bb25.5c2b2a5.00s
a5.22s
c5.11s
)2s(1s
)2s(c
)2s()1s(
)2s)(1s(b
)2s(1s
1sa
2s
1
1s
5.0s
1s
c
1s
b
2s
a
2s
1
1s
5.0s
2s
1
1s
5.0sL
2s
1
1s2s
5.0sL)s(YL)t(y
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
82
Función de Transferencia
t
0
d)t(u)(g)t(y
Tomando transformadas de Laplace:
)s(U)s(Gu(t)g(t)
d)t(u)(gy(t))s(Yt
0
LL
LL
U(s)Y(s)
G(s) )s(U)s(G)s(Y s variable compleja
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83
Función de Transferencia
Cxy
BuAxtdxd
Tomando transformadas de Laplace, con condiciones iniciales nulas:
)t(gBAsICG(s) )s(U)s(G)s(Y
)s(BUAsIC(s) Y)s(BUAsI)s(X
)s(CX)s(Y
)s(BU)s(XAsI )s(BU)s(AX)s(sX
1
11
L
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
84
Función de Transferencia
G(s) es una función racional en la variable s
BAsICG(s) 1
01
1n1n
nn
011m
1mm
m1
asa...sasabsb...sbsb
BAsICG(s)
Solo contiene operaciones racionales +-*/
)s(D)s(N
asa...sasabsb...sbsb
G(s)01
1n1n
nn
011m
1mm
m
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
85
Representaciones matemáticas de modelos linealizados
)s(D)s(N
asa...sasabsb...sbsb
G(s)01
1n1n
nn
011m
1mm
m
Cxy
BuAxtdxd
t
0
d)t(u)(g)t(yVariables de estado
Respuesta impulsional
Función de transferencia
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
86
Matriz de Transferencia
En un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferencia
BAsICG(s) 1
)s(U
)s(U
)s(G)s(G
)s(G)s(G
)s(G)s(G
)s(Y
)s(Y
)s(Y
2
1
3231
2221
1211
3
2
1
u1
u2
y1
y2
y3
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
87
Depósito. Modelo en FT
q
h
F
k
h2K
k
h2A
qKhdt
hd
00
Tomando Transformadas de Laplace:
1sK
G(s) G(s)Q(s)H(s) )s(Q1s
K)s(H
)s(KQ1s)s(H )s(KQ)s(H)s(sH
qKhdt
hd
LL
1sK
Q(s) H(s)
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88
Circuito RC. Modelo en FTR
I1
CV EI1
dtIC
1E
dtIC
1RIV
1
11
)s(ICs
1)s(E
)s(ICs
1R)s(I)s(V
1
11
)s(V1RCs
1)s(I
Cs
1)s(E
)s(ICs
)1RCs()s(I
Cs
1R)s(I)s(V
1
111
1sK
V(s) E(s)
Tomando Transformadas de Fourier, con C.I. Nulas:
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
89
Flujo. Modelo en FT
qa
p0
aK)p(Kqtdqd
201
)s(A1s
K)s(P
1sK
)s(Q
)s(AK)s(PK)1s)(s(Q)s(Q)s(sQ
aK)p(Kqtdqd
21
21
201
LL
Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:
Q(s)
1sK1
1sK2
P(s)
A(s)
)s(A
)s(P
1sK
1sK
)s(Q 21
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
90
Temperatura. Modelo en FT
)s(V1s
K)s(Q
1sK
)s(T
)s(VK)s(QK)1s)(s(T)s(T)s(sT
VKqKTtdTd
21
21
21
LL
Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:
T(s)
1sK1
1sK2
Q(s)
V(s)
q
V R T
Ti
VKqKTtdTd
21
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
91
Reactor Isotermo. Modelo en FT
Fbcacatdcd
21B22A21B
Ai1211A11A cbFbca
tdcd
Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:
A B
F
CA CB
CAi A
)s(Cas
b)s(F
asb
)s(C
)s(Cb)s(Fbas)s(C
)s(Cb)s(Fb)s(Ca)s(sC
Ai11
12
11
11A
Ai121111A
Ai1211A11A
)s(Fas
b)s(C
asa
)s(C
)s(Fb)s(Caas)s(C
)s(Fb)s(Ca)s(Ca)s(sC
22
21A
22
21B
21A2122B
21B22A21B
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
92
Diagrama de bloques
A B
F
CA CB
CAi A
)s(Cas
b)s(F
asb
)s(C Ai11
12
11
11A
)s(Fas
b)s(C
asa
)s(C22
21A
22
21B
CAi(s)
F(s)
CA(s) CB(s)11
11
asb
22
21
asb
11
12
asb 22
21
asa
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
93
Diagrama de bloques
)s(Casas
ba)s(F
asasabbasb
)s(Cas
bas
a)s(F
asb
asb
asa
)s(Fas
b)s(C
asb
)s(Fas
bas
a)s(C
Ai1122
1221
1122
1121112121
Ai11
12
22
21
22
21
11
11
22
21
22
21Ai
11
12
11
11
22
21B
CAi(s)
F(s) CB(s) 1122
1221
asasba
1122
1121112121
asasabbasb
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94
Reactor Isotermo
CAi(s)
F(s) CB(s)111.0s666.0s
12
111.0s666.0s
24.0s09.02
AiB
A
B
A
c
F
009.0
333.009.0
c
c
33.03
033.0
td
cdtd
cd
A B
F
CA CB
CAi
A
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
95
Bloques en serie
G1(s) G2(s)U(s) Y(s)X(s)
Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)
G (s) Y(s)U(s)
G(s) = G2(s)G1(s)
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
96
Proceso distribuido
e
s2 cr
))t,x(T)t(T(U2
x
)t,x(T
r
F
t
)t,x(T
Ecuación en derivadas parciales
T(0,t)
T(L,t)
FTs P
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
97
Proceso distribuido
e
s2
e
s2
e
s2
cr
))t,x(T)t(T(U2
x
)t,x(T
r
F
t
)t,x(T
cr
))t,x(TT(U2
x
)t,x(T
r
F0
cr
))t,x(T)t(T(U2
x
)t,x(T
r
F
t
)t,x(T
Para F = cte.
En equilibrio:
En terminos de las desviaciones T sobre el equilibrio:
))t,x(T)t(T(x
)t,x(T
t
)t,x(Ts
s Transformada de Laplace respecto a t
p Transformada de Laplace respecto a x
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
98
Proceso distribuido
))s,p(T)p,s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts
))s,x(T)s(T(dx
)s,x(Td)s,x(Ts
))t,x(T)t(T(x
)t,x(T
t
)t,x(T
s
s
s
Transformada s respecto a t:
p respecto a x:
Ts
x
0 L
Perfil de los cambios de temperatura del vapor respecto a x
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
99
Proceso distribuido
Ts
x0 L
x
El perfil puede obtenerse como la diferencia de dos perfiles tipo salto desfasados una distancia L
))s,p(Tp
e1)s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts
p
)s(Te
p
)s(T)s,p(T
pL
s
spLss
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
100
))s,p(Tp
e1)s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts
pL
s
Proceso distribuido
)s(Tp
e1s
p
/)s,0(T
sp
1)s,p(T
p
e1)s(T)s,0(T)s,p(T)ps(
s
pL
pL
s
Doble función de transferencia en p y s respecto a los cambios de temperatura en la entrada y en el vapor de calefacción
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
101
Proceso distribuido
)s(Ts
)ee1()s,0(Ts
ee)s,L(T
)s(Ts
)e1()s,0(Ts
e)s,L(T
)s(Ts
)e1()s,0(Ts
e)s,x(T
)s(Tp
e1s
p
/)s,0(T
sp
1)s,p(T
s
Ls
LL
sL
s
Ls
Ls
s
xs
xs
s
pL
Tomando la transformada inversa respecto a p: (0x L)
Para x = L:
Funciónes de transferencia respecto a s: sistemas de primer orden con retardo T(L,s) temperatura a la salida del cambiador
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
102
Proceso distribuido
)s(T1s
U2cr
ee1)s,0(T
1sU2cr
e
r2U
Fce)s,L(T
)s(Ts
)ee1()s,0(Ts
ee)s,L(T
)s(Ts
)ee1()s,0(Ts
ee)s,L(T
se
Fc
UAs
F
V
e
Fc
UA
es
F
V
sFcr
LrU2s
F
LrFcr
LrU2
sF
Lr
s
Ls
LL
sL
ee
e
22e
2
2
V, volumen de
los tubos
A superficie de los tubos
Retardo V/F en la respuesta a cambios en la temperatura de entrada
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
103
Función de transferencia de un PID
)s(E)s(R)s(EsT
1sTsTTK)s(U
)s(E)sTsT
11(K))s(sET)s(E
sT
1)s(E(K)s(U
)td
)t(edTd)(e
T
1)t(e(K)t(u
i
i2
idp
di
pdi
p
d
t
0i
p
R(s)U(s)E(s)
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
104
Entradas Normalizadas
u y
t
u
tu t
u
t
u
impulso
salto
rampat=0
t=0
t=0
t=0
seno
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
105
Polos y ceros
)s(D)s(N
asa...sasabsb...sbsb
G(s)01
1n1n
nn
011m
1mm
m
Ceros de G(s) = raíces de N(s) = 0
Polos de G(s) = raíces de D(s) = 0
0.382- ,618.2sen polos 01s3s
3sen cero 03-s
)382.0s)(618.2s(
3s
1s3s
3sG(s)
2
2
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
106
¿Por qué son importantes los polos (y los ceros)?
• Como se verá mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinada entrada depende de las posiciones de los polos (y ceros) del sistema.
• Igualmente la estabilidad está ligada a las posiciones de los polos
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
107
Ganancia
t
u
y
u
y
)0(G)s(sU
)s(sYlimK
u
yK
0s
equilibrio en
)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(K
)s(Gn21
m1
tiempode constante K. gananciay 1
- ceros , 1
- polos formato
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
108
Polos y Autovalores
)s(D)s(N
BAsICG(s) 1
BAsIdet
AsIadjCBAsICG(s) 1
0AsIdet
Autovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero)
Polos: raices de D(s) = 0
Autovalores: raices de
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
109
Realizabilidad Física
q
h
1sK
)s(G
Sistema físico continuo
Existe
Dada una función de transferencia G(s)
¿Puede existir un sistema físico cuya función de transferencia sea G(s)?
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
110
Realizabilidad
Para que G(s) sea fisicamente realizable: m n
)s(D)s(N
asa...sasabsb...sbsb
G(s)01
1n1n
nn
011m
1mm
m
En caso contrario:
)s(U2s
1dt
)t(du)t(y
)s(U2s
1s)s(U
2s1s2s
)s(Y2
1-L
Para una entrada en salto en u(t) tendria que dar una y(t) infinita
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
111
Un proceso con retardo (de transporte)
TTu
uq
(1-u)q
Tc
Tf
q , Te
L, vol
T
m
)t(TT)t(u)TT(dt
)t(Td
q
V
q
vol
vA
LA
v
L)t(Tcq)t(Tcq
dt
)t(TcVd
T))t(u1(T)t(u)t(TTcq))t(u1(Tcq)t(u)t(Tcq
ffc
eeee
fcefeceee
Suponiendo ρ, ce ctes.
u: señal en tanto por uno
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
112
Mezcla con retardo
TTu
uq
(1-u)q
Tc
Tf
q , Te
L, vol
T
m
00
fc
0f0fc0
ffc
u)t(u)t(uT)t(T)t(T
)t(T)t(u)TT(dt
)t(Td
q
V
TTu)TT(dt
Td
q
V
)t(TT)t(u)TT(dt
)t(Td
q
V
T0 , u0 punto de operación estacionario
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
113
Mezcla con retardo
TTu
uq
(1-u)q
Tc
Tf
q , Te
L, vol
T
m
)t(Cx)t(y
)t(Bu)t(Axdt
)t(xd
)t(T.1)t(T)t(uV
)TT(q)t(T
V
q
dt
)t(Td
)s(U1s
qV
)TT(e)s(T)t(u)TT()t(T
dt
)t(Td
q
V
fc
fcs
fc
Modelo con retardo a la entrada
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
114
Retardo a la salida
TTu
uq
(1-u)q
Tc
Tf
q , TeL, volT
m
)t(Cx)t(y
)t(Bu)t(Axdt
)t(xd
)t(T.1)t(T)t(uV
)TT(q)t(T
V
q
dt
)t(Td
)t(T)t(T)t(u)TT()t(Tdt
)t(Td
q
V
mfc
mfc
Modelo con retardo a la salida
Tm
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
115
Retardoq
V R T
Ti TT
)vL
t(T)dt(T)t(Td
L
)s(V1s
Ke)s(Q
1sKe
)s(Te)s(T1
2ds
1
1ds
dsd
)s(V1s
K)s(Q
1sK
)s(T1
2
1
1
)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke
)s(Gn21
m1ds
t
y
u
td
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
116
Aproximación de Pade
12ds
s2d
1
12ds
2ds
1e 2
2
ds
G(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansión en serie:
)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke
)s(Gn21
m1ds
s2d
1
s2d
1e ds
Aproximación de Pade de primer orden
Aprox. de 2º orden:
resppade
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
117
Control de procesos por computador
Proceso
Transmisor
u(t)
y(t)
4-20 mA
4-20 mA
Ordenador D/A
A/Dy(kT)
u(kT)w
Regulador digital
Actuador
Las señales que recibe y procesa el ordenador son de naturaleza distinta: digitales y solo cambian en ciertos instantes de tiempo
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
118
Señales
Proceso
u(t)
y(t)Ordenador D/A
A/Dy(kT)
u(kT)
wt
u(t)
t
y(kT)
t
y(t)
tT
La información en el ordenador se actualiza cada T unidades de tiempo (periodo de muestreo)
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
119
Modelo discretizado
u(t)
y(t)Ordenador D/A
A/Dy(kT)
u(kT)
wt
u(t)
t
u(kT)Cxy
BuAxtd
xd
Encontrar un modelo y(kT) = f( u(kT) ) tal que y(kT) = y(t) en los instantes de muestreo
Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA
120
Modelo discretizado
DuCxy
BuAxtd
xd
Tomando como tiempos de inicio y final los instantes kT y (k+1)T de un periodo de muestreo:
T)1k(
kT
)T)1k((AAT d)(Bue)kT(xe)T)1k((x
t
t
tAttA dBuetxetx0
0 )()()( )(0
)(
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121
Modelo discretizado
)kT(Bude)kT(xe)T)1k((x
-dd ,-1)T(k : variablede cambio
)kT(Bude)kT(xe
d)(Bue)kT(xe)T)1k((x
T
0
AAT
T)1k(
kT
)T)1k((AAT
T)1k(
kT
)T)1k((AAT
u(t)Durante un periodo de muestreo u(t) es constante e igual a u(kT)
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122
Modelo discretizado
Bdee
)kT(Cx)kT(y
)kT(u)kT(x)T)1k((x
T
0
AAT
DuCxy
BuAxtd
xd
u(t) Para este tipo de entradas, el modelo discretizado da los mismos valores en los instantes t = kT que el modelo continuo. (Partiendo del mismo estado inicial y aplicando las mismas entradas)
Ecuación en diferenciasMatlab c2d
y(t)
y(kT)
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123
Modelo discretizado
Bdee
)kT(Cx)kT(y
)kT(u)kT(x)T)1k((x
T
0
AAT
Cxy
BuAxtd
xd
)k(Cx)k(y
)1k(u)1k(x)1k(x
Notación simplificada:
k se refiere al primer, segundo, tercer, etc. periodo de muestreo
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124
Ejemplo: Depósito
h.1h
uhdt
hd
Bdee
)kT(Cx)kT(y
)kT(u)kT(x)T)1k((x
T
0
AAT
)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h
)1e(dee
TT
TT
0
T
Modelo discretizado: Ecuación en diferencias
Si q = 0:
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125
Ejemplo: Depósito
h.1h
uhdt
hd
)kT(Cx)kT(y
)kT(u)kT(x)T)1k((x
)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h TT
Modelo discretizado: Ecuación en diferencias
Si q = 0:
5.0T
167.0A
hk
252.1hA2
ku
0
0
0
)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h Si
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126
Respuesta temporal
)k(Cx)k(y
)k(u)k(x)1k(x
Condiciones iniciales: x(0)
1k
0i
1ikk1k
0i
1ikk
23
2
2
)i(uC)0(xC)k(y)i(u)0(x)k(x
.......
)2(u)1(u)0(u)0(x
)2(u)1(u)0(u)0(x)2(u)2(x)3(x
)1(u)0(u)0(x
)1(u)0(u)0(x)1(u)1(x)2(x
)0(u)0(x)1(x
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127
Respuesta impulsional pulsada
1k
0i
1ikk )i(uC)0(xC)k(y
T
u(k)ZOH+Proceso
T
y(k)t
T
Impulso unitario en t = 0
1
Respuesta partiendo de condiciones iniciales nulas
1k
0i
1k1k
0i
1ikk
)i(u)ik(h)k(y
)k(hC)i(uC)0(xC)k(y
h(k)
Modelo de respuesta impulsional
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128
Modelo respuesta impulso
t
h(k)
k
1j
1k
0i
)jk(u)j(h
)1k(u)1(h)2k(u)2(h...)1(u)1k(h)0(u)k(h
)i(u)ik(h)k(y
Como h(i) = 0 para i ≤ 0 y para condiciones inociales nulas: u(i) = 0 para i < 0 :
1j0i
)jk(u)j(h)i(u)ik(h)k(y
La salida es una combinación lineal de valores pasados de la entrada
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129
Ejemplo: Mezcla
TTu
uq
(1-u)q
Tc
Tf
q , Te
L, vol
T
m
)2k(u75.4)k(T905.0)1k(T
75.4)1060(20
4de905.0ee
min14
4)t(u
V
)TT(q)t(T
V
q
dt
)t(Td
5.0
0
20
45.0
20
4AT
fc
Para q=4 l/min, V=10 l, Tc=60ºC, Tf=10ºC, vol=4 l, periodo = 0.5 min.
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130
Operador desplazamiento q-1
)k(uqIC)k(y
)k(uqI)k(x
)k(u)k(xqI
)k(u)k(x)k(qx)1k(x
)1k(z)k(qz)1k(z)k(zq
1
1
1
n
11n
1n1
nm
11m
1m1
m01
aqa...qaq
bqb...qbqbqIC
)k(u
)k(y
Función racional de q
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131
Función de transferencia pulsada
mnd
)k(uqaqa...qa1
)qbqb...qbb(q
)k(u]aqa...qaq[q
]bqb...qbqb[q
)k(uaqa...qaq
bqb...qbqb)k(uqIC)k(y
nn
1n1n
11
mm
1m1m
110
)mn(
n1
1n1n
1nn
m1
1m1m
1m
0n
n1
1n1n
1n
m1
1m1m
1m
01
)k(uqaqa...qa1
)qbqb...qbb(q)k(u
)q(A
)q(B)k(y
nn
1n1n
11
mm
1m1m
110
d
1
1
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132
Función de transferencia pulsada
)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub
)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y
)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub
)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y
)k(u)qb...qbb(q)k(y)qa...qaqa1(
)k(u)q(B)k(y)q(A
)k(uqa...qaqa1
)qb...qbb(q)k(u
)q(A
)q(B)k(y
m10
n21
m10
n21
mm
110
dnn
22
11
11
nn
22
11
mm
110
d
1
1
La salida es una combinación lineal de valores pasados de la salida y de la entrada al proceso
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133
Ejemplo: Depósito
q
h
F u
)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h
)k(uq535.01
q062.0)k(u
535.0q
062.0
)k(u)062.0(535.0q1
)k(uqIC)k(u)q(A
)q(B)k(y
1
1
1
1
1
1
T = 0.5
Polo = Autovalor = 0.535