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Prof. Jorge Luis Godier Amburgo
15/07/2015
Eduardo Gonzales
Métodos Aplicados a
la Física
Prof. Jorge Luis Godier Amburgo
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 2
INDICE
METODO DE 1/3 SIMPSON.........................................................................3
INTERPOLACION DE NEWTON………………………………………………………………..5
METODO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE…………………………………………7
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y SUSTITUCIÓN REGRESIVA…………9
METODO DE 1/3 DE SIMPSON………………………………………………………………12
METODO DE NEWTON-RAPHSON………………………………………………………..............13
METODO DE DESCONPISICION LU…………………………………………………………….....15
METODO DE BISECCION………………………………………………………….18
CODIFICACION EN FORTRAN……………………………………………..……………….20
Métodos Aplicados a la Física
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 3
METODO 3/8 DE SIMPSON
LA LEY DE COULOMB Esta ley de la fuerza entre los cuerpos cargados puede enunciarse como sigue: “Cuerpos con cargas similares se repelen y con cargas diferentes se repelen; para cargas puntuales (llamando puntual cuando sus dimensiones espaciales son muy pequeñas comparadas con cualquier longitud del problema en cuestión) la fuerza de interacción es proporcional al producto de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa”.
Ejemplo: Al electrifica un barra de cobre se observó que interactúa con una partícula cargada eléctricamente,
calcular la fuerza sobre la partícula q0 de la figura suponiendo que λ=λ0 (1-2x/l) (l=5 m, q0=
5x10-6 C, λ0=10-8 C/m)
Solución:
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑙𝑙+𝑎𝑎−𝑥𝑥)2
𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑥𝑥(𝑙𝑙+𝑎𝑎−𝑥𝑥)2
𝑖𝑖 ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝐹𝐹0 = ∫ 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘0 (1−2𝑥𝑥/𝑙𝑙)𝑘𝑘𝑥𝑥
(𝑙𝑙+𝑎𝑎−𝑥𝑥)250
Reemplazando los valores
𝑑𝑑 = �0.00045 (1 − 2𝑑𝑑/5)𝑑𝑑𝑑𝑑
(11 − 𝑑𝑑)2
5
0
Ahora por el método de 3/8 de Simpson, estableciendo que la función para operar es
𝑇𝑇 =0.00045 (1− 2𝑑𝑑/5)
(11 − 𝑑𝑑)2
Encontrando h con a =5 y b=0
ℎ =5 − 0
9= 0.555
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 4
Ahora evaluando en la función para cada valor
K XK F(XK)
0 0 3.719x 10-6
1 0.555 3.209x10-6
2 1.110 2.558x10-6
3 1.665 1.725x10-6
4 2.220 6.538x10-7
5 2.775 -7.317x10-7
6 3.330 -2.540x10-6
7 3.885 -4.925x10-6
8 4.440 -8.115x10-6
9 5 -1.250x10-5
𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑇𝑇 =3(0.555)
8�𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓(5) + 3�𝑓𝑓(0,555) + 𝑓𝑓(2.220) + 𝑓𝑓(3,885)�
+ 3�𝑓𝑓(1.110) + 𝑓𝑓(2.775) + 𝑓𝑓(4.44)� + 2(𝑓𝑓(1.665) + 𝑓𝑓(3.330))�
𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑇𝑇 = −6,759𝑋𝑋10−6
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 5
El resultado del problema es de −6,759𝑑𝑑10−6 N por el método de Simpson 3/8 y el valor de la integral
resuelta es de −6,805𝑑𝑑10−6calculando el error porcentual:
𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝐸𝐸𝐴𝐴% =|−6.805𝑑𝑑10−6 − −6,759𝑑𝑑10−6|
|−6.805𝑑𝑑10−6| 𝑑𝑑100 = 0.67%
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 6
INTERPOLACION DE NEWTON
DEFORMACIÓN ELÁSTICA Y PLÁSTICA
Cuando una pieza se somete a una fuerza de tensión uniaxial, se produce una deformación del material. Si el material vuelve a sus dimensiones originales cuando la fuerza cesa se dice que el material ha sufrido una DEFORMACIÓN ELASTICA. El número de deformaciones elásticas en un material es limitado ya que aquí los átomos del material son desplazados de su posición original, pero no hasta el extremo de que tomen nuevas posiciones fijas. Así cuando la fuerza cesa, los átomos vuelven a sus posiciones originales y el material adquiere su forma original. Si el material es deformado hasta el punto que los átomos no pueden recuperar sus posiciones originales, se dice que ha experimentado una DEFORMACIÓN PLASTICA.
Ejemplo: En una fábrica, en la sección de elaboración de resortes el personal que revisa la calidad
de resorte se pregunta si sus resortes son de la calidad que la empresa planea vender siendo llevados
a al laboratorio de resistencia de materiales tomando un resorte al azar de obtuvo los siguientes
datos:
𝑙𝑙 𝑑𝑑(𝑚𝑚𝐴𝐴𝑚𝑚𝐴𝐴𝐸𝐸𝑚𝑚) 𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝐴𝐴𝐴𝐴𝑓𝑓𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑒𝑒𝐴𝐴𝑛𝑛𝑚𝑚𝐸𝐸𝑒𝑒𝑚𝑚
0 0.2 1.2214
1 0.4 1.4918
2 0.6 1.8221
3 0.8 2.2255
La deformación a la cual serán forzadas en el campo laboral es de x=0.65 m, ¿Calcular la fuerza a la
cual estará deformado?
Solución:
Nos pide 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓(0.65)
Hallamos la distancia relativa:
𝑚𝑚(𝑚𝑚) =𝑚𝑚 − 𝑚𝑚𝑘𝑘∆𝑚𝑚 =
0.65 − 0.20.2 = 2.25
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 7
Del polinomio de interpolación de newton:
𝑑𝑑𝑚𝑚(𝑚𝑚) = 𝑓𝑓𝑘𝑘 + ��𝑚𝑚𝑖𝑖� ∆𝑖𝑖𝑓𝑓𝑘𝑘
𝑚𝑚
𝑖𝑖=0
Para m=3 tenemos.
𝑑𝑑3(𝑚𝑚) = 𝑓𝑓𝑘𝑘 + ��𝑚𝑚𝑖𝑖� ∆𝑖𝑖𝑓𝑓𝑘𝑘
3
𝑖𝑖=0
Desarrollando:
𝑑𝑑3(𝑚𝑚) = 𝑓𝑓0 + 𝑚𝑚(𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓0) +𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1)
2[𝑓𝑓2 − 2𝑓𝑓1 + 𝑓𝑓0]
+𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1)(𝑚𝑚 − 2)
6 [𝑓𝑓3 − 3𝑓𝑓2 + 3𝑓𝑓1 − 𝑓𝑓0]
Remplazando:
𝑑𝑑3(2.25) = 1.2214 + 2.25(1.4918 − 1.2214) +2.25(2.25 − 1)
2[1.8221 − 2(1.4918) + 1.2214]
+2.25(2.25 − 1)(2.25 − 2)
6[2.2255 − 3(1.8221) + 3(1.4918) − 1.2214]
𝑑𝑑3(2.25) = 1.2214 + 0.6084 + 0.08423 + 1.5469 × 10−3 = 1.9156 𝑁𝑁
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 9
METODO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE Posición de una partícula El movimiento de una partícula se conoce por completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce en todo momento. La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado.
Ejemplo: Para que un patrullero un motocicleta pueda alcanzar a un automóvil que comete una infracción.
Un patrullero en motocicleta debe pasar por un control técnico (revisión técnica automotriz) en
las pruebas de velocidad contra el tiempo se obtuvo los siguientes datos Para la tabla que a continuación se presenta:
k 0 1 2 3
xk 0 1 3 6
F(xk) -3 0 5 7
Obtenga la aproximación polinomial de Lagrange con todos los puntos. Interpole el valor de la función para x=1.8. Solución:
𝑃𝑃(𝑋𝑋) = �𝐿𝐿𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=0
(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖)
𝐿𝐿𝑖𝑖(𝑑𝑑) = ��(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑖𝑖)�𝑑𝑑𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝑗𝑗�
�𝑎𝑎
𝑗𝑗=0𝑗𝑗≠𝑖𝑖
𝑃𝑃(𝑋𝑋) = �𝐿𝐿𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=0
(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖) = 𝐿𝐿0(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑0) + 𝐿𝐿1(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑1) + 𝐿𝐿2(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑2) + 𝐿𝐿3(𝑑𝑑)𝑓𝑓(𝑑𝑑3)
𝑖𝑖 = 0
𝐿𝐿0(𝑑𝑑) =(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑3)
(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑0 − 𝑑𝑑3) =(1.8 − 1)(1.8− 3)(1.8− 6)
(0− 1)(0− 3)(0 − 6)
= −0.224
𝑖𝑖 = 1
𝐿𝐿0(𝑑𝑑) =(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑3)
(𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑1 − 𝑑𝑑3) =(1.8− 0)(1.8 − 3)(1.8 − 6)
(1− 0)(1− 3)(1− 6)
= 0.9072
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 10
𝑖𝑖 = 2
𝐿𝐿2(𝑑𝑑) =(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑3)
(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑3) =(1.8 − 0)(1.8− 1)(1.8− 6)
(3− 0)(3− 1)(3 − 6)
= 0.336
𝑖𝑖 = 3
𝐿𝐿3(𝑑𝑑) =(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑2)(𝑑𝑑 − 𝑑𝑑1)
(𝑑𝑑3 − 𝑑𝑑0)(𝑑𝑑3 − 𝑑𝑑1)(𝑑𝑑3 − 𝑑𝑑2) =(1.8 − 0)(1.8− 1)(1.8− 3)
(6− 0)(6− 1)(6 − 3)
= −0.0192
𝑃𝑃(𝑋𝑋) = −0,0224(−3) + 0.9072(0) + 0.336(5) − 0.0192(7)
𝑃𝑃(𝑋𝑋) = 2.21760
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 11
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y SUSTITUCIÓN REGRESIVA El Movimiento de una partícula En el estudio del movimiento trasnacional se usa el modelo de partícula y el objeto en movimiento se describe como una partícula sin importar su tamaño. En general, una partícula es un objeto parecido a un punto, es decir: un objeto que tiene masa pero es de tamaño infinitesimal. Por ejemplo, si quiere describir el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, puede considerar a la Tierra como partícula y obtener datos razonablemente precisos acerca de su órbita. Esta aproximación se justifica porque el radio de la órbita de la Tierra es grande en comparación con las dimensiones de la Tierra y del Sol. Como ejemplo en una escala mucho más pequeña, es posible explicar la presión que ejerce un gas sobre las paredes de un contenedor al tratar las moléculas de gas como partículas, sin importar su estructura interna.
Ejemplo: Tres asteroides que se mueven en forma rectilínea sin aceleración, considerando que la trayectoria de los asteroides entra de definidas en los ejes x, y, z. Encontrar el punto donde las partículas se chocan
H1: 4𝑑𝑑 + 𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 9
𝐻𝐻2: 3𝑑𝑑 + 2𝑦𝑦 − 6𝑓𝑓 = −1 H3:𝑑𝑑 − 5𝑦𝑦 + 3𝑓𝑓 = 1
Solución: Sistema de 𝑁𝑁 = 3 se efectúan 𝑁𝑁 − 1 = 3− 1 = 2 eliminaciones Primera eliminación: 𝑚𝑚 = 1 Sobre la matriz ampliada [𝐴𝐴:𝐵𝐵]0 para llevarla a [𝐴𝐴:𝐵𝐵]1
[𝐴𝐴:𝐵𝐵]0 = �4 1 −1 ⋮3 2 −6 ⋮1 −5 3 ⋮
9 −1 1
�
[𝐸𝐸1]1 = [𝐸𝐸1]0 = [4 1 −1 ⋮ 9]
[𝐸𝐸2]1 = [𝐸𝐸2]0 − �𝑎𝑎21𝑎𝑎11� [𝐸𝐸1]0 = [3 2 −6 ⋮ −1] − �3
4� [4 1 −1 ⋮ 9]
= [0 1.25 −5.25 ⋮ −7.75]
[𝐸𝐸3]1 = [𝐸𝐸3]0 − �𝑎𝑎31𝑎𝑎11� [𝐸𝐸1]0 = [1 −5 3 ⋮ 1] − �1
4� [4 1 −1 ⋮ 9]
= [0 −5.25 3.25 ⋮ −1.25]
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 12
[𝐴𝐴:𝐵𝐵]1 = �4 1 −1 ⋮0 1.25 −5.25 ⋮0 −5.25 3.25 ⋮
9 −7.75 −1.25
�
Segunda eliminación: 𝑚𝑚 = 2 Sobre la matriz ampliada [𝐴𝐴:𝐵𝐵]1 para llevarla a [𝐴𝐴:𝐵𝐵]2 [𝐸𝐸1]2 = [𝐸𝐸1]1 = [4 1 −1 ⋮ 9]
[𝐸𝐸2]2 = [𝐸𝐸2]1 = [0 1.25 −5.25 ⋮ −7.75]
[𝐸𝐸3]2 = [𝐸𝐸3]1 − �𝑎𝑎32𝑎𝑎22� [𝐸𝐸2]1
= [0 −5.25 3.25 ⋮ −1.25] − �−5.251.25
� [0 1.25 −5.25 ⋮ −7.75]
= [0 0 −18.8 ⋮ −33.8]
[𝐴𝐴:𝐵𝐵]2 = �4 1 −1 ⋮0 1.25 −5.25 ⋮0 0 −18.8 ⋮
9 −7.75 −33.8
�
Por sustitución regresiva:
𝑑𝑑3 = 𝑓𝑓 =𝑏𝑏3𝐴𝐴33
=−33.8−18.8
= 1.7979
(𝑖𝑖 = 2)
𝑑𝑑2 = 𝑦𝑦 = �𝑏𝑏2 − � 𝐴𝐴2𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡
3
𝑡𝑡=2+1
�1𝐴𝐴22
= �−7.75 − (−5.25 × 1.7979)�1
1.25= 1.3512
(𝑖𝑖 = 1)
𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑 = �𝑏𝑏1 − � 𝐴𝐴1𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡
3
𝑡𝑡=1+1
�1𝐴𝐴11
= �9 − (1 × 1.3512) − (−1 × 1.7979)�14
= 2.3617
Respuesta: Los elementos del vector incógnita 𝑋𝑋 son:
𝑑𝑑 = 2.3617 𝑦𝑦 = 1.3512 𝑓𝑓 = 1.7979
Comprobando
4(2.3617) + 1.3512 − (1.7979) = 9.0001 3(2.3617) + 2(1.3512) − 6(1.7979) = −0.99999
2.3617 − 5(1.3512) + 3(1.7979) = 0.9994
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 14
METODO DE 1/3 DE SIMPSON
Un perforador de Roca ejerce una fuerza de tal forma que, para que no se recaliente el motor se perfora y se retira constantemente mostrando que la fuerza varia con la función 1,5 + 2𝑚𝑚𝐴𝐴𝑒𝑒𝑑𝑑 Calcular el
trabajo realizado por el perforador desde que empieza hasta que recorre 4𝜋𝜋 metros
RESOLVIENDO
ℎ = 𝑏𝑏−𝑎𝑎𝑛𝑛
= 4𝜋𝜋−06
= 2𝜋𝜋3
𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 1,5 + 2𝑚𝑚𝐴𝐴𝑒𝑒𝑑𝑑
K 0 1 2 3 4 5 6
xk 0 2𝜋𝜋3
4𝜋𝜋3
2𝜋𝜋 8𝜋𝜋
3
10𝜋𝜋3
4𝜋𝜋
F(xk) 32
3.2320 -0.2320 3
2
3.2320 -0.2320 32
𝐴𝐴𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙 =ℎ3
[𝑓𝑓(𝐴𝐴) + 𝑓𝑓(𝑏𝑏) + 4(𝑓𝑓(𝑑𝑑1) + 𝑓𝑓(𝑑𝑑3) + 𝑓𝑓(𝑑𝑑5)) + 2(𝑓𝑓(𝑑𝑑4) + 𝑓𝑓(𝑑𝑑2))]
𝐴𝐴𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙 =2𝜋𝜋33�32
+32
+ 4(3.2320 +32
+ −0.2320) + 2(3.2320 + −0.2320)�
𝐴𝐴𝑚𝑚𝐸𝐸𝑚𝑚𝐴𝐴𝑙𝑙 = 6𝜋𝜋 = 18.8496𝐽𝐽 𝐴𝐴𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑙𝑙 𝑚𝑚𝐴𝐴𝐴𝐴𝑏𝑏𝐴𝐴𝑡𝑡𝐸𝐸 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑙𝑙𝑖𝑖𝐴𝐴𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑝𝑝𝐸𝐸𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑙𝑙 𝑝𝑝𝐴𝐴𝐴𝐴𝑓𝑓𝐸𝐸𝐴𝐴𝐴𝐴𝑑𝑑𝐸𝐸𝐴𝐴
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 15
METODO DE NEWTON-RAPHSON
MOVIMIENTO OSCILATORIO ¿Qué es un movimiento oscilatorio? ¡Es un movimiento de vaivén! ¿Podemos hacer una descripción científica? Si estudiamos el movimiento de un número de objetos podemos quizás contestar a la pregunta. Si una masa se suspende a partir de un resorte, se tira hacia abajo y después se suelta, se producen las oscilaciones Ejemplo: En resorte de un carro sufre un movimiento el movimiento armónico amortiguado descrito por la función
𝑓𝑓(𝑑𝑑) = 10𝐴𝐴𝑡𝑡2 cos(2𝑑𝑑) − 4 encontrar la raíz de la solución a partir del punto x=0.2 con una tolerancia de
0.01%
Solución:
La derivada de la función es: 𝑓𝑓 ‘(𝑋𝑋) = 5𝐴𝐴𝑡𝑡2𝑐𝑐𝐸𝐸𝑚𝑚(2𝑑𝑑) − 20𝐴𝐴
𝑡𝑡2𝑚𝑚𝐴𝐴𝑒𝑒(2𝑑𝑑)
𝑑𝑑𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑖𝑖−1 −𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖−1)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑𝑖𝑖−1) 𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = �𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖−1) − 𝑓𝑓(𝑑𝑑𝑖𝑖)�
Con x0=0.2
𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑0 −𝑓𝑓(𝑑𝑑0)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑0) = 0.2 −
6,1793−3.5178 = 1,95658
𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = |1,95630 − 0.2| = 29,25377
Con x1=1,9563
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 −𝑓𝑓(𝑑𝑑1)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑1) = 1,95630 −
−23.058518.0343 = 2.7950
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 16
𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = |1,95630 − 0.2| = 29,25377
.
.
.
.
Y así sucesivamente hasta llegar a la iteración 6 con x6=2.4161
𝑑𝑑7 = 𝑑𝑑6 −𝑓𝑓(𝑑𝑑6)𝑓𝑓 ‘(𝑑𝑑6) = 2.4161 −
4.3012𝑑𝑑10−4
68.4593 = 2.4160
𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙 = |4.3012𝑑𝑑10−4 − 4.3010𝑑𝑑10−4| = 0.001% < 𝑚𝑚𝐸𝐸𝑙𝑙
Como la tolerancia es menor que la pedida la raíz de la ecuación es x=2.4160
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 17
METODO DE DESCONPISICION LU
En un centro de investigaciones de partículas se espera comprobar cuanta energía produce el choque de tres fotones, para eso se requiere saber el momento en el cual los tres fotones chocan, si ellos se mueven en forma rectilínea sin aceleración y sus desplazamiento está definido por las siguientes ecuaciones
P1: 4𝑑𝑑 − 2𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 9 𝑃𝑃2: 5𝑑𝑑 + 1𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 7 𝑃𝑃3𝑑𝑑 + 2𝑦𝑦 − 𝑓𝑓 = 12
𝐴𝐴 = �4 −2 −15 1 −13 2 −1
� 𝐵𝐵 = �97
12�
ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25 factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0 a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5 a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25 a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0 a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5 a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75
𝑈𝑈 = �4 −2 −10 3.5 0.253 2.5 −0.75
�
Encontrando [L]
𝐿𝐿 = �4 0 0
1.25 0 00.25 0 0
�
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 18
ITERACIÓN 2
factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143
Encontrando [U]
fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286
𝑈𝑈 = �4 −2 −10 3.5 0.253 0 −0.9285714286
�
Encontrando [L]
𝐿𝐿 = �1 0 0
1.25 1 00.25 0.7142857143 1
�
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
L.y = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:
𝑦𝑦1 = 9
1.25𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 = 7
0.25𝑦𝑦1 + 0.7142857143𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦3 = 12
Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:
𝑦𝑦1 = 8.9999958604
𝑦𝑦2 = −4.2500046145
𝑦𝑦3 = 12.785710172
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 19
El último paso es resolver U.x = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera
resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:
4𝑑𝑑1 − 2𝑑𝑑2 − 𝑑𝑑3 = 8.9999958604
3.5𝑑𝑑1 + 0.25 𝑑𝑑3 = −4.2500046145
−0.9285714286𝑑𝑑3 = 12.785710172
La solución del sistema es:
𝑑𝑑1 = −1.307693428
𝑑𝑑2 = −0.23077067
𝑑𝑑3 = −13.769228760
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 20
METODO DE BISECCION
“La trayectoria balística”
Es la trayectoria de vuelo que sigue un proyectil sometido únicamente a su propia inercia y a las fuerzas inherentes al medio en el que se desplaza, principalmente la fuerza gravitatoria. La ciencia que estudia los fenómenos balísticos en general se denomina balística. La balística exterior estudia la trayectoria balística bajo diversas condiciones. Cuando sobre el proyectil tan solo actúa la gravedad, la trayectoria balística es una parábola. Sin embargo, la presencia de otras fuerzas, tales como la resistencia aerodinámica (atmósfera), la fuerza de sustentación, la fuerza de Coriolis (efecto de la rotación terrestre), etc. hace que la trayectoria real sea algo diferente de una parábola.
Problema resuelto por el método de Bisección
En una armería se realizan las pruebas a un grupo de armas de corto alcance, al realizarse sendos
disparos se un investigador de física quiso ver como afectaba el viento y la gravedad en la trayectoria de la
bala. Tomando un sensor de movimiento obtuvo la siguiente aproximación de su trayectoria 𝑑𝑑(𝑚𝑚) = 𝐴𝐴−𝑡𝑡 −𝑚𝑚 . Tomando la trayectoria del disparo como el eje “x” encontrar el tiempo en el que la posición es cero
𝑑𝑑 = 0 en un intervalo de [0.5,0.75] . Con una tolerancia del 0.01%
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 21
PROGRAMACION EN FORTRAN
METODO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE
Métodos Aplicados a la Física
Autor: Eduardo Gonzales 23
CODIFICACCION DE UN TERCIO DE SIMPSON EXTENDIDO