MTODOS MATEMTICOS II. PRIMERA PRUEBA DE EVALUACIN CONTINUA. PARTE A Plazo de realizacin: del 30/10/2015, a las 00:00 horas, hasta el 03/11/2015, a las 23:55 horas

El llamado teorema de Hartman-Grobman es uno de los ms importantes en teora cualitativa local de EDO. Viene a dar sentido a lo que denominamos el procedimiento de linealizacin para clasificar los puntos crticos. El teorema muestra que ( )x f x = , con (0) 0f = , y el sistema linealizado, ' (0)x Df x= , tienen la misma estructura local alrededor de un punto hiperblico (los autovalores de la matriz Jacobiana tienen parte real no nula). Vamos a formularlo en su forma ms sencilla.

Consideremos un sistema de EDO, que escribiremos en forma sencilla

( ),x f x = (1)

cuyo origen, 0x = , es un punto hiperblico. El sistema linealizado es:

, con (0)x J x J Df = = (2)

Recordemos la siguiente definicin: Sean dos subconjuntos de nR , A y B . Un homeomorfismo de A en B es una aplicacin continua y uno a uno de A en B ,

:H A B , tal que 1 :H B A es continua. Dos conjuntos se denominan homeomrficos o topolgicamente equivalentes si existe un homeomorfismo de uno en otro.

Ahora estamos en la medida de definir cundo dos sistemas de EDO (o sistemas dinmicos) como, por ejemplo, los (1) y (2) son topolgicamente equivalentes en un entorno del origen. Lo son si existe un homeomorfismo H de un conjunto abierto U , que contiene al origen, en otro conjunto abierto V , que tambin contiene al origen, y que hace corresponder las trayectorias de (1) en U a trayectorias de (2) en V , preservando adems su orientacin.

Si H preserva adems la parametrizacin en el tiempo t los dos sistemas (1) y (2), por ejemplo son topolgicamente conjugados en un entorno del origen.

CUESTIN 1 (3 puntos)

Vamos a trabajar los conceptos anteriores con dos simples sistemas lineales, x Ax = y y By = , con

1 3 2 0

y 3 1 0 4

A B

= =

Sea ( )H x Rx= , con

1 111 12

R

=

Probar que bajo H los dos sistemas dinmicos son topolgicamente equivalentes. Son tambin topolgicamente conjugados?

CUESTIN 2 (2 puntos)

Dibuje esquemticamente el plano de fases para ambos sistemas lineales. A la vista de sus dibujos, a qu transformacin conocida le recuerda ( )H x Rx= ?

Ahora, estamos en la medida de enunciar el teorema de Hartman-Grobman.

Teorema. Si 0x = es un punto crtico hiperblico de los sistemas (1) y (2), existe un homeomorfismo de un conjunto abierto U , que contiene al origen, en otro conjunto abierto V , que tambin contiene al origen, tal que para cada 0x U , existe un intervalo abierto 0I en la recta real, que contiene al origen, tal que para todo 0t I

0 0( ) ( )J t

tH x e H x = (3)

siendo 0( )t x la correspondiente trayectoria de (1).

Fjense bien que (3) nos asegura que las trayectorias (localmente) de (1) son mapeadas en las de (2) y que, por lo tanto, la linealizacin preserva la topologa.

CUESTIN 3 (5 puntos)

Considere el sistema

2;y y z z y = = + (4)

Obtenga la solucin general de (3) para unas condiciones iniciales ( )0 0,y z y demuestre que (4) y su sistema linealizado en el origen cumplen el teorema de Hartman-Grobman con

2( , )

3

yH y z yz

= +