Introduccion al pensamiento matematico

Unidad 2. Metodos de demsotracion

Act.1. Caractersticas de los metodos de demostracion

Emmanuel Torres Marn

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

LICENCIATURA EN MATEMATICAS

MEXICO D.F.

Febrero 2015

1. Instrucciones

Investiga las caractersticas que tienen cada uno de los metodos de demostracion.

Presenta un ejemplo de cada uno de ellos y argumenta las razones por las cuales se

desarrolla la demostracion por ese metodo.

Recuerda que debes revisar y comentar las aportaciones de tus companeros(as).

2. Introduccion

Antes de comenzar con la definicion de los tipos de demostraciones, convendra definir en

que consiste una demostracion, de acuerdo con [1]

"Una prueba es la demostracion de la validez de alguna

proposicion matematica precisa "

La necesidad de contar con medios de demostracion de las diferentes proposiciones ma-

tematicas, permea los inicios de la civilizacion, siendo la cultura griega la mas representati-

va, sin embargo el paso del tiempo a refinado el proceso,. en este sentido una demostracion

tpica consiste en una secuencia de premisas cuyo valor de verdad (verdadero o falso) puede

derivarse a partir de las otras, entendiendo por derivar, el uso de reglas logicas basadas en

tautologas, recordemos el caso de Juan [2]. Para estos efectos juegan un papel fundamen-

tal algunos conceptos como son: los axiomas (Proposiciones tan claras y evidentes que se

admiten sin demostracion [3]) y teoremas (Proposiciones que se pueden demostrar a partir

de los axiomas[3]).

Los metodos clasicos de demostracion de acuerdo con [4], son:

Demostracion directa

Demostracion por contra ejemplo

Demostracion por Contradiccion o reduccion al absurdo

Demostracion por contraposicion

Demostracion por Induccion

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Existen otros Metodos como el Progresivo-Regresivo, Por casos, e incluso Estadstico.

Vale decir que una misma proposicion se puede demostrar por varios metodos, la eleccion

de un metodo u otro obedece en un principio a la forma canonica del problema y en otro

plano el corpus de conocimientos del demostrador. En lo siguiente mostraremos algunos

de ellos.

3. Demostracion Directa

3.1. Caractersticas

Constituye la tecnica mas comun, principalmente por su simplicidad. Es una manera sim-

ple de demostrar teoremas o proposiciones que tienen la forma de proposiciones

condicionales [5]. Esta tecnica es util para demostrar proposiciones del tipo P Q, enun principio se asume que P es verdadera (de la tabla de verdad de la implicacion sabemos

que no necesitamos preocuparnos porque sea falsa), a partir de esta presuncion utilizando

axiomas u otros teoremas encadenados de manera que se pueda derivar Q a partir de P.

3.2. Ejemplo

Teorema 3.1. Si n es un numero entero impar, entonces n2 es un entero impar

Demostracion. Sea n un entero impar, entonces n = 2k + 1 (definicion de un numero

impar) para algun entero k. Entonces

n2 = (2k + 1)2

Resolviendo el binomio cuadrado

n2 = 4k2 + 4k + 1

Factorizando

n2 = 2(2k2 + 2k) + 1

De lo anterior, n2 = 2m+ 1 para el entero m = 2k2 + 2k, luego entonces por la definicion

de numero impar, n2 es impar

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3.3. Argumentacion

Este metodo es el mas directo, por ende debera ser nuestra primera opcion para la de-

mostracion, pero en este caso en particular, el desarrollo de ecuaciones de tipo

y = f(x) (1)

= f(x1) (2)

... (3)

= f(xn) (4)

Es equivalente a un encadenamiento de proposiciones del tipo P P1 . . . Pn Q, esdecir llegar a Q a partir de una derivacion de P.

4. Demostracion por Contraposicion

4.1. Caractersticas

Es una alternativa a la demostracion directa ya que se usa para demostrar proposiciones

del tipo P Q [5], en este sentido la forma del problema es la misma, es decir quecualitativamente no hay diferencia entre un metodo y otro, el resultado es el mismo. La

diferencia fundamental con la demostracion directa radica en la forma que toma P Q,ya que en la contraposicion el mismo problema se debe establecer como Q P , sepuede mostrar que ambas formas son equivalentes si verificamos la tabla de verdad

P Q P Q (P Q) (Q P ) (P Q) (Q P )0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 0 0 1 1 1

De esta equivalencia se sigue que para demostrar que P Q es verdadera basta demostrarque Q P , as pues se parte de la suposicion de que P no es verdadera y se concluyeque entonces Q tampoco lo es

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De manera que dependiendo de la forma de las premisas hay algunas ocasiones en que el

uso de esta tecnica es mas sencillo, para muestra un ejemplo.

4.2. Ejemplo

Teorema 4.1. si n2 es un numero entero par, entonces n es un entero par

Demostracion. Por contraposicion: si n no es un entero par entonces n2 no es un entero

par

Lo anterior se puede expresar como : Si n es un numero impar entonces n2 es un numero

impar

Esta conclusion fue demostrada de forma directa en 3.2

4.3. Argumentacion

Queda claro que en este caso en particular la demostracion por contraposicion fue mucho

mas rapida y sencilla que una demostracion directa, sin embargo tuvimos que haber hecho

una demostracion directa a priori.

5. Demostracion por Contraejemplo

5.1. Caractersticas

Esta tecnica permite provar que una propiedad no es verdadera a traves de un ejemplo en

el que dicha propiedad no se cumple [6]

5.2. Ejemplo

Para este ejercicio, primero es necesario recordar la definicion de un numero irracional, el

cual se define como un numero que no puede expresarse como una faccion ab donde m y n

son enteros y n es diferente de 0. Luego entonces, considerese la siguiente proposicion:

Teorema 5.1. n R si n2 Q entonces n Q, es decir, para todo numero real n, si n2es racional, entonces n es racional

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Demostracion. Consideremos entonces el caso del numero n =

2, el cual es un numero

claramente irracional.

Haciendo n2 = (

2)2 = 2, tenemos que 2 Q, es decir es racional.

Luego entonces es falso que si n2 es racional entonces n sea racional.

5.3. Argumentacion

En este caso debido a que el problema establece una relacion de generalidad, basta con

ofrecer un ejemplo que no cumpla con la caracterstica, de lo anterior se sigue que el uso

de un contraejemplo sea mas rapido que una demostracion de otro tipo.

6. Demostracion por Contradiccion

6.1. Caractersticas

Otra alternativa es la demostracion por Contradiccion, tambien llamada Demostracion por

reduccion al absurdo, como su nombre lo indica consiste en demostrar que si la proposicion

no fuera cierta entonces esto llevara a una falacia, por lo tanto no se puede decir que

la proposicion sea falsa; luego entonces la proposicion debe ser verdadera[5]. As pues la

forma de los problemas que se pueden resolver mediante esta tecnica no es P Q, sinoque se debe demostrar que P lleva a una contradiccion

6.2. Ejemplo

Teorema 6.1. La diferencia de cualquier numero racional y cualquier numero irracional

es un numero irracional

Demostracion. Sipongamos que el teorema no es cierto, por lo tanto debe existir un numero

racional x y un numero irracional y, tales que (x y) es racional.

Por la definicion de racional tenemos que para dos enteros a, b con b 6= 0

x =a

b

Y para otros enteros c, d con d 6= 05

x y = cd

Si sustituimos x tenemos que

a

b y = c

d

Despejando y tenemos

y =a

b

c

d

Resolviendo el quebrado

y =ad bcbd

Sin embargo (ad bc) es un numero entero, debido a que a, b, c, d son enteros y porconsecuencia sus sumas, restas y producto. Ademas sabemos que bd 6= 0 tambien es unentero. Luego entonces a partir de la defincion de racional podemos decir que y es racional.

Esto contradice la suposicion inicial de que y es irracional. En consecuencia la suposicion

inicial es falsa y el teorema debe ser verdadero.

6.3. Argumentacion

En este caso el problema no se expresa como P Q, sino que solo se establece P , estasitaucion lo vuelve un candidato idoneo para demostrar que a partir de la negacion de P

se puede llegar a una contradiccion.

7. Demostracion por Induccion

7.1. Caractersticas

Este metodo es otro de los mas usados comunmente en las matematicas, de hecho es

conocido como Induccion Matematica. [5].

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Esta tecnica se utiliza cuando es preciso demostrar la veracidad de una serie de proposi-

ciones en secuencia, es decir que se utiliza cuando tenemos un conjunto de proposiciones

S1, S2, S3, . . . , n y debemos demostrar que todas ellas son verdaderas . [5].

El metodo consiste en los siguientes pasos

Probar que la primera proposicion (S1) es verdadera (Paso Base)

Asumir que la k-esima proposicion es verdadera (Sk para k 1) (Hipotesis Inductiva)

Si Sk es verdadera demostrar que Sk+1 tambien lo es. (Paso Inductivo)

De lo anterior se sigue que toda Sn debe ser verdadera.

7.2. Ejemplo

Teorema 7.1. Si n N , entonces 1+ 3+5+7+(2n-1)= n2

Demostracion. Notese que si n = 1, la proposicions e vuelve 1 = 12 (base)

Ahora asumimos que la proposicion es real para k (hipotesis inductiva)

Debemos probar entonces que la proposicion es cierta para k + 1. Tomando en cuenta la

hipotesis inductiva,Entonces

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2(k + 1) 1)

De aqu e sposible obtener el penultimo termino

1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k 1) + (2(k + 1) 1)

Agrupando

(1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k 1)) + (2(k + 1) 1)

De la hipotesis inductiva tenemos

k2 + (2(k + 1) 1)

Desarrollando la expresion anterior tenemos

k2 + 2k + 17

Por el binomiio cuadrado perfecto

(k + 1)2

Por lo tanto 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2(k + 1) 1) = (k + 1)2 con lo que se demuestra laproposicion.

7.3. Argumentacion

En este caso al tratarse de una propiedad de n numeros, estamos ante el problema de

demostrar que esta se cumple para todos los n lo cual es difcil si consideramos que n puede

ser cualquier numero. As pues, se puede plantear el problema como la demostracion de que

S1, S2, . . . , n son verdaderos. Por lo tanto la opcio mas sencilla es la induccion matematicapor supuesto.

8. Metodo progresivo-regresivo

8.1. Caractersticas

De acuerdo con [9], este metodo se usa como complemento a los demas metodos. Su ca-

racterstica principal es el encadenamiento de las proposiciones que conforman un teorema

de una proposicion a A una prroposicion B y viceversa A B.

De manera que cuando se usa B para determinar su veracidad se esta usando el metodo

regresivo, mientras que cuando se hace uso de los datos de A, entonces es el metodo

progresivo.

8.2. Ejemplo

Teorema 8.1. Si se tiene un triangulo rectangulo lados ABC, de hipotenusa C, con area

X = C2

4 ,entonces el triangulo ABC es isoceles.

Demostracion. De geometra basica, sabemos que el area del trangulo es BaseAltura2 , porlo tanto la proposicion se puede plantear como

AB

2=C2

4. . . (Progresion)

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Recordando el teorema de pitagoras a2 + b2 = c2, tenemos que el valor de C es

AB

2=A2 + B2

4. . . (Progresion)

Igualando a 0 la ecuacion anterior tenemos

AB

2 A

2 + B2

4= 0 . . . (Progresion)

Usando algebra tenemos

2AB

4 A

2 + B2

4= 0 . . . (Progresion)

2AB (A2 + B2)4

= 0 . . . (Progresion)

2AB (A2 + B2) = 0(4) . . . (Progresion)

A2 + 2AB B2 = 0 . . . (Progresion)

(1)(A2 + 2AB B2)) = (1)0 . . . (Progresion)

A2 2AB + B2 = 0 . . . (Progresion)

Esta ultima ecuacion se puede factorizar usando el binomio cuadrado en:

(AB)2 = 0 . . . (Progresion)

Ahora bien, la conclusion es que el triangulo es isoceles, para que un triangulo sea isoceles,

dos de sus lados deben ser iguales, en nuestro ejemplo ya sea que A = B, B = C o A = C,

pero no todas al mismo tiempo (en ese caso sera equilatero). Una forma de expresar esta

relacion es que (xy) = 0, donde x y y son cualesquiera de los lados del trangulo. En estecaso haremos regresion al utilizar datos de la conclusion

Sacando la raz cuadrada de los terminos de la ecuacion anterior tenemos(AB)2 =

0 . . . (Regresion)

(AB) = 0 . . . (Regresion)

De lo anterior se sigue

A = B . . . (Regresion)

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Lo que cofirma la veracidad de la proposicion original.

8.3. Argumentacion

En este caso, el uso de este metodo obedece al conocimiento que se tiene de los axiomas

y teoremas de geometra, mismos que arrojan luz sobre hechos tanto de la hipotesis como

de la conclusion y que convergen en el punto donde dos lados del triangulo son iguales.

9. Metodo por casos

9.1. Caractersticas

Tambien conocido como metodo por exhaucion, muy usado por Arqumedes [8], consiste

en la demostracion de una proposicion mediante:

Dividir la proposicion en casos que exhaustivamente clasifiquen todas las posibilida-

des

Mostrar que la proposicion se cumple para todos los casos

Es importante notar que en algunos problemas, el numero de casos puede ser demasiado

grande, por lo que es importante una clasificacion de los mismos.

9.2. Ejemplo

Teorema 9.1. Si n es un numero entero n con n 4 entonces (n + 1)3 3n

Demostracion. Dado que n N entonces n = {1, 2, 3, 4}, lo que constituyye nuestros casos

Caso n = 1, en este caso si sustitumos n tenemos (1 + 1)3 = 8 y 31 = 3, se cumple que

8 3

Caso n = 2, en este caso si sustitumos n tenemos (2 + 1)3 = 27 y 32 = 9, se cumple que

27 910

Caso n = 3, en este caso si sustitumos n tenemos (3 + 1)3 = 64 y 33 = 27, secumple que

64 27

Caso n = 4, en este caso si sustitumos n tenemos (4 + 1)3 = 125 y 34 = 81, se cumple

que

125 81

Por lo tanto se cumple para todos los casos y queda demostrada la veracidad de la propo-

sicion

9.3. Argumentacion

En este caso la poroposicion pudo haberse hecho por otros metodos, pero dado que la

poposicion delimitaba claramente 4 casos, la forma mas directa de demostracion fue una

sustitucion del valor de n en cada uno de los casos, de no haber existido una limitante

como n 4, posiblemente una demostracion por contraejemplo huiera sido mas eficaz.

Referencias

[1] Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009.

[2] Evidencia de aprendizaje. Uso de las reglas de inferencia

[3] Diccionario de la Real Academia Espanola

[4] La demostracion en matematicas. - Universidad de Murcia, Dr. Juan Jacobo Simon

Pinero

[5] Book Of Proof Richard Hammack - www.people.vcu.edu - Virginia Commonwealth

University - May 01 11

[6] Proof by Counterexample L. Sorser http://www.math.toronto.edu/writing/Counterexample.pdf

[7] Francisco Armando Carrillo Navarro, EL PRINCIPE DE LAS MATEMATI-

CAS,APUNTES DE HISTORIA DE LAS MATEMATICAS VOL.1, NO. 2, MAYO

2002

http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-2-3-gauss.pdf11

[8] Angel Ruiz, Historia y Folosofa de las Matematicas

http://www.centroedumatematica.com/aruiz/libros/Historia %20y %20filosofia %20de %20las %20matematicas.pdf

[9] Solow, D. (1992). Como entender y hacer demostraciones en matemticas. Mexico:

Limusa.

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