República Bolivariana de Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior

Instituto Politécnico Santiago Mariño

Extensión San Felipe

Sistemas de Ecuaciones

PROFESOR:

Ing. Dayana Pérez

ELABORADO POR:

Milagros Silva

CI: 18.054.653

Junio, 2014

1 13 3 321 =−== xxx

I. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación gaussiana simple.

1.

=++=++−=−+

66

425

24

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2.

=++−=++

−=−+

143

2226

3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Solución._ Implementamos la matriz ampliada para luego realizar operaciones entre las filas de los sistemas de manera tal que obtengamos una matriz diagonal superior, es decir hacer ceros los elementos por debajo de la diagonal principal. Finalmente, determinamos los valores de las variables por sustitución progresiva:

1.

6

4

2

116

215

114 −−

133

122

:

:

fff

fff

−−

8

4

2

202

215

301 −2/: 33 ff

4

4

2

101

215

301 −

313 : fff −

2

4

6

200

215

301

2/: 22 ff

1

4

6

100

205

311

212 5: fff −

1

26

6

100

1311

301

− Este resultado nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

=++=+−

=++

100

261310

630

321

321

321

xxx

xxx

xxx

36)1(3

1326)1(13

1

11

22

3

=⇒=+−=⇒=+−

=

xx

xx

x

Finalmente,

2.

1

2

3

143

226

111 −

−

−

313

212

3:

6:

fff

fff

+−

8

20

3

270

840

111

−−−

−−−

4/: 22 ff

8

5

3

270

210

111

−−−

−−−

323 7: fff +−

27

5

3

1200

210

111

−−−

−−−

12/: 33 −ff

49

5

3

100

210

111

−−

−−

4/9 2/1 4/1 321 =−=−= xxx

Este resultado nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

=++−=−+

−=−+

4/900

520

3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

4/13)2/1(

2/15)4/9(2

4/9

11

22

3

−=⇒−=−+−=⇒−=−

=

xx

xx

x

Finalmente,

II. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de Gauss – Jordan.

1.

=++−=++

=−+

53

4225

12

321

321

321

xxx

xxx

xxx

2.

=++−=++

−=−+

143

2226

3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Solución: A partir de la matriz ampliada se realizan operaciones entre las filas de los sistemas de manera tal que obtengamos una matriz identidad, es decir hacer unos los elementos de la diagonal principal ceros los restantes. Finalmente, determinamos los valores de las variables de manera directa:

1.

1

2

3

143

226

111 −

−

− 2: 232 fff +

1

4

3

143

4100

111 −

−

−

2/:

3:

22

313

ff

fff +

8

2

3

270

250

111

−

−

−

− : 232 fff −

8

10

3

270

420

111

−−−

−−−

/2: 22 ff

8

5

3

270

210

111

−−−

−−−

323

211

-7:

-:

fff

fff

27

5

2

1200

210

101

−−

12/: 33 ff

4/9

5

2

100

210

101

−− 2: 232 fff +

4/9

2/1

2

100

010

101

−

4/9 2/1 4/1 321 =−=−= xxx

5 32 14 321 −=−== xxx

: 311 fff −

4/9

2/1

4/1

100

010

001

−−

Así,

2.

5

4

1

113

225

112

−−

: 131 fff −

5

4

4

113

225

201

−

313

212

3:

5:

fff

fff

−−

7

24

4

510

820

201

−− /2: 22 ff

7

12

4

510

410

201

−−

−

: 233 fff +

5

12

4

100

410

201

−−−

232

131

4:

2:

fff

fff

++−

5

32

14

100

010

001

−−

Finalmente,

III. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de eliminación de Cramer.

1.

=+=++

=+

23

122

152

21

321

32

xx

xxx

xx

2.

=++=++−=−+

66

425

24

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Solución: El método de Cramer, consiste en la aplicación de determinantes para determinar las variables mediante las fórmulas mostradas a continuación. Dado el sistema de ecuaciones como sigue:

=++=++=++

3332211

2332211

1332211

dxcxcxc

dxbxbxb

dxaxaxa

entonces tenemos,

( ) ( )[ ]321123321321321321

321

321

321

cabacbabcbacacbcba

ccc

bbb

aaa

++−++==∆

321

321

321

ccc

bbb

aaa

321

321

321

ccc

bbb

aaa

∆= 321

321

321

1

ccd

bbd

aad

x∆

= 321

321

321

2

cda

bda

ada

x∆

= 321

321

321

3

dca

dba

daa

x

1.

=+=++

=+

23

122

152

21

321

32

xx

xxx

xx

Completemos el sistema y obtengamos el determinante ∆:

=++=++

=++

203

122

1520

321

321

321

xxx

xxx

xxx

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]

[ ] [ ] 7 71522001512100

220012315223512010

013

212

520

=∆⇒=−=++−++=

++−++==∆

Se ha mostrado como se calcula un determinante, así que en lo sucesivo solo se mostrarán resultados obtenidos como el cálculo anterior.

7

1

7

012

211

521

1 ==x

7

11

7

023

212

510

2 ==x

7

3

7

213

112

120

3 −==x

7

3

7

11

7

1321 −=== xxx

De manera análoga procedemos con el ejercicio 2:

2.

=++=++−=−+

66

425

24

321

321

321

xxx

xxx

xxx

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )[ ]

[ ] [ ] 4 47115861254

511412611216115114

116

215

114

=∆⇒=−=++−−+−=

++−−+−+=−

=∆

4

12

4

116

214

112

1 =

−−

=x

4

52

4

166

245

124

2

−=

−−

=x

4

4

4

616

415

214

3 =

−

=x

1 13 3 321 =−== xxx

4

12

4

116

214

112

1 =

−−

=x

4

52

4

166

245

124

2

−=

−−

=x

4

4

4

616

415

214

3 =

−

=x

1 13 3 321 =−== xxx