INDICE:

ECUACIONES LINEALES Y MATRICES............................................................................................2

O 1.1 SISTEMAS LINEALES............................................................................................................................2Ejercicios 1.1, página 9 del libro..............................................................................................................................2

O 1.2 MATRICES...........................................................................................................................................2Matriz diagonal:............................................................................................................................................................2Matriz escalar:...............................................................................................................................................................2Matrices iguales:...........................................................................................................................................................2

Suma de matrices...........................................................................................................................................2Multiplicación por un escalar........................................................................................................................3Transpuesta de una matriz.............................................................................................................................3Matrices binarias (booleanas).......................................................................................................................3

Ejercicios 1.2, pagina 19 del libro............................................................................................................................3O 1.3 PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.........................................................................3

Producto punto...............................................................................................................................................3Multiplicación de matrices.............................................................................................................................3El producto matriz-vector escrito en términos de columnas..........................................................................3Sistemas lineales............................................................................................................................................4

Ejercicios 1.3, pagina 34 del libro............................................................................................................................4O 1.4 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES..........................................................................4

Teorema 1.1: Suma de matrices.....................................................................................................................4Teorema 1.2: Multiplicación de matrices......................................................................................................4

Matriz identidad de orden n..........................................................................................................................................4Potencia de una matriz..................................................................................................................................................4Cadena de Markov........................................................................................................................................................4

Teorema 1.3: Multiplicación por un escalar.................................................................................................4Teorema 1.4: Transpuesta..............................................................................................................................4

Simetría:........................................................................................................................................................................4Ejercicios 1.4, pagina 49 del libro............................................................................................................................4

O TRANSFORMACIONES MATRICIALES..........................................................................................................4Ejercicios 1.5, pagina 61 del libro............................................................................................................................4

O 1.6 SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.......................................................................4Teorema 1.5: Matriz equivalente = matriz escalonada.................................................................................5Teorema 1.6: Matriz equivalente = solo una matriz escalonada reducida por filas.....................................5Resolución de sistemas lineales.....................................................................................................................5Teorema 1.7:..................................................................................................................................................5

Procedimiento de reducción Gauss-Jordan...................................................................................................................5Procedimiento Gaussiano.............................................................................................................................................5

Sistemas Homogéneos....................................................................................................................................6Teorema 1.8: Sistemas con más incógnitas que ecuaciones..........................................................................6

Ejercicios 1.6, pagina 85 del libro............................................................................................................................6o 1.7 Inversa de una matriz..........................................................................................................................6

Ecuaciones lineales y matrices

o 1.1 Sistemas lineales

Una Ecuación lineal ax=b puede ser expresada en forma matricial, esto por la cantidad de incógnitas (x) y constantes (a y b). Pudiendo ser sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

a1x1+a2x2…=b

La solución de este sistema lineal, son los números s1, s2… sn que satisfacen el reemplazo en la ecuación.

Para resolverlo, aplicamos el método de eliminación, que aplicando las operaciones matemáticas simples y sustituyendo si es necesario, nos resuelven las incógnitas.

Ejercicios 1.1, página 9 del libro.

o 1.2 Matrices

Las matrices son formas que nos permiten escribir sistemas lineales de una manera compacta que facilite la automatización del método de eliminación en una computadora y permitiendo el rápido hallazgo de las soluciones.

Las matrices se forman por filas (m) y columnas (n). Los elementos en las filas y las columnas llevan una coordenada que indica la fila y la columna al cual pertenecen. Los elementos con número de fila y columna igual, forman la diagonal principal.

Matriz diagonal:

Cuando todos los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada son distintos de cero, y a la vez, todos los elementos fuera de la diagonal son = 0, ésta, es una matriz diagonal.

Matriz escalar:

Si los elementos de la matriz cuadrada en su diagonal son = 1, y los no pertenecientes a la diagonal son = 0, entonces, es una matriz escalar.

Matrices iguales:

Si dos matrices de m x n poseen iguales valores en las mismas posiciones (Aij=Bij), ósea, si dos valores correspondientes son iguales.

Suma de matrices

Suma de dos matrices m x n igual a la suma de los elementos de igual posición. Para realizar esta suma, se considera a las matrices involucradas, de igual tamaño m x n.

Multiplicación por un escalar

Una matriz se puede obtener de la multiplicación de otra, por un número independiente que lo hace a cada elemento, mostrando el resultado en su lugar.

Vemos que, tres pasos se repiten en casi todos los casos:

1. Intercambiar dos ecuaciones

2. Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero.

3. Sumar un múltiplo de una ecuación a la otra.

Si hacemos A+(-1)B denominamos a esto diferencia de A y B.

La combinación lineal es cuando existen Cn números de escalares para multiplicar por An elementos de una matriz. Se los llama a ambos elementos C y A coeficientes.

Transpuesta de una matriz

Es el intercambio entre las columnas de A, a ser las columnas de AT, o sea, de m x n, a n x m.

Matrices binarias (booleanas)

Las matrices binarias poseen elementos binarios, o sea Bits (0 y 1). Así también los escalares. Para la suma de elementos binarios, es 0+0=0; 0+1=1; 1+1=0. Y para la multiplicación de elementos binarios, es: 0*0=0; 0*1=0; 1*1=1.

No se modifican las operaciones matemáticas más que en la aplicación de las mismas solamente con dos elementos o dos términos.

Ejercicios 1.2, pagina 19 del libro.

o 1.3 Producto punto y multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices se diferencia de a normal en los números reales.

Producto punto

El producto punto es un escalar (letra imprenta minúscula negrita), o un producto interior resultante de la multiplicación de matrices. Esto es, la suma de las multiplicaciones de los elementos

correspondientes, o de igual lugar. el resultado es un escalar.

Multiplicación de matrices

Para la multiplicación de matrices, las dimensiones de las matrices involucradas deben ser, si A=mxp y B=pxn, ambos p deben ser iguales. Quedando una matriz de tamaño m x n.

Donde ab11= a11*b11+a21*b12 y así con los demás elementos.

El producto matriz-vector escrito en términos de columnas

Es el producto de una matriz A por un vector c de tamaño n x 1. Entonces, la matriz de tamaño m x n por el vector resultará en Ac= m x 1.

Sistemas lineales

Matriz aumentada: es cuando a una matriz de coeficientes, se les suman los términos independientes, para poder aplicar el método de eliminación.

Ejercicios 1.3, pagina 34 del libro.

o 1.4 Propiedades de las operaciones con matrices

Teorema 1.1: Suma de matrices

Neutro aditivo: (matriz nula, matriz cero) A + O = A

Inverso aditivo: (negativo de A) A + (-A) = O

Teorema 1.2: Multiplicación de matrices

En caso de matrices iguales se aplican las propiedades distributivas y conmutativas.

Matriz identidad de orden n

Matriz escalar de n x n, diagonal de 1 y el resto 0.

Potencia de una matriz

Ap donde p es igual al número de elementos A.

(Ap)q = Apq

No se aplica la distribución de potencias, pero si la conmutación entre productos.

No se aplica la ley de cancelación de matrices.

Cadena de Markov

Teorema 1.3: Multiplicación por un escalar

r(sA) = rs(A)

(r+s)A = rA+sA

r(A+B) = rA+rB

A(rB) = r(AB) = (rA)B

Teorema 1.4: Transpuesta

Pagina 45 del libro.

Simetría:

AT = A. Mismos elementos ij=ji sobre la diagonal.

Ejercicios 1.4, pagina 49 del libro.

o Transformaciones matriciales

(No entendí)

Ejercicios 1.5, pagina 61 del libro.

o 1.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales

A partir de las distintas formas de expresar una ecuación, y en este caso como una matriz aumentada, resolveremos el sistema como con cualquier otro método.

Para esto, debemos llegar a la matriz escalonada reducida por filas (renglones), que cumple con las siguientes condiciones:

1. Todas las filas de ceros, van en la parte inferior.

2. Entrada principal o uno principal, es el primer elemento de la fila distinto de cero, igual a 1.

3. El uno principal se ubica abajo y a la derecha del uno principal anterior.

4. Un uno principal en una columna debe estar acompañado por ceros.

Se pueden realizar las siguientes operaciones elementales de filas:

1. Intercambiar filas

2. Multiplicar una fila de la matriz por un escalar.

3. Sumar x veces una fila de a matriz a otra.

Una matriz B es equivalente por filas si se puede obtener A al aplicar una serie finitas de operaciones de renglón.

O sea, A a B, B a A, y si B a C, A a C tamben.

Teorema 1.5: Matriz equivalente = matriz escalonada

Toda matriz de m x n es equivalente por filas a una matriz en forma escalonada por filas.

Teorema 1.6: Matriz equivalente = solo una matriz escalonada reducida por filas

Toda matriz de m x n es equivalente por filas a una única matriz en forma escalonada reducida por filas.

Resolución de sistemas lineales

Teorema 1.7:

Sean Ax=b y Cx=d dos sistemas lineales, cada uno con m ecuaciones y n incógnitas. Si las matrices aumentadas de estos sistemas son equivalentes por filas, ambos sistemas lineales tiene exactamente las mismas soluciones.

La obtención de una 2° matriz reducida en forma escalonada por filas se denomina método Gauss-Jordan. Y el método donde la 2° matriz esta en forma escalonada por filas es el método Gauss.

Procedimiento de reducción Gauss-Jordan

Ax=b

1. Formar la matriz aumentada

2. Transformar la matriz aumentada a su forma escalonada reducida por filas mediante operaciones elementales de renglón.

3. Para cada fila distinta de celo de la matriz, se despeja la incógnita correspondiente. Las filas que solo tienen ceros se pueden eliminar.

Procedimiento Gaussiano

1. Formar la matriz aumentada

2. Por medio de operaciones elementales por filas, obtener una forma escalonada por filas de la matriz aumentada.

3. Resolver el sistema lineal correspondiente por medio de sustitución hacia atrás. Las filas que solo tienen ceros se pueden eliminar.

Cuando un sistema en su solución posee una fila con elementos cero, y termino independiente 1, ese sistema no tiene solución. O sea, inconsistente, sin solución. SI al menos tuviera una solución sería consistente.

Sistemas Homogéneos

Ax=0

O sea, x1 = x2 = … Xn = 0

De lo expuesto, se conoce la solución trivial, En un sistema homogéneo donde no todas las xi se anulen, es un sistema con solución no trivial. Un sistema homogéneo es consistente, pues tiene solución trivial.

Teorema 1.8: Sistemas con más incógnitas que ecuaciones

Estos sistemas homogéneos de m ecuaciones en n incógnitas son de solución no trivial si m<n.

Ejercicios 1.6, pagina 85 del libro.

o 1.7 Inversa de una matriz

Inversa de A es B solo si el resultado es igual a In. Si existe B, entonces B es inversa de A. Si no existe, A o B no es inversa, (o no invertible)

La inversa es unica.

Para encontrarla deben igualarse las entradas correspondiente a las matices.