1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN1.1. Tablas de Integrales

TABLAS DE INTEGRALES

1.- .Caxdxaadx

2.- .1nsi,C

1nx

dxx1n

n

3.-

.1nsi,C1n

xfdxxfxf

1nn

4.-

.CxfLdxxfxf

5.- .Cedxe xx

6.-

.Cedxxfe xfxf

7.-

.1a,0asi,CLa

adxxfa

xfxf

8.- .Cxcossenxdx

9.- .Cxfcosdxxfxfsen

10.- .sencos Cxxdx

11.- .Cxfsendxxfxfcos

12.-

.Cxftgdx

xfcos

xf2

13.-

.Cxfgcotdx

xfsen

xf2

14.-

.Cxfarcsendx

xf1

xf2

15.-

.Cxfarccosdx

xf1

xf2

16.-

.Cxfarctgdxxf1

xf2

17.- .CxcosLtgxdx

18.- .CsenxLgxdxcot

19.-

.C

42x

tgL

.CtgxxsecLxdxsec

20.-

.C

2x

tgL

.CgxcotecxcosLecxdxcos

21.- .Ctgxxdxsec2

22.- .Cgxcotxdxeccos 2

23.- .Cxsecxtgxdxsec

24.- .Cecxcosgxdxcotecxcos

25.- .Cxsecdx

xcos

senx2

26.- .Cecxcosdx

xsen

xcos2

27.-

.CaxfxfL

axf

dxxf 22

22

28.-

.CaxfxfL

axf

dxxf 22

22

29.-

.Cxsecarc

1xx

dx2

30.-

.C

axf

secarca1

axfxf

dxxf22

31.-

.Cecxarccos

1xx

dx2

.C2

axf

arcsena

2xfaxf

dxxfa

22222

.C

2

axfxfLa

2axfxf

dxaxf

22222

22

.C2

axfxfLa

2axfxf

dxaxf

22222

22

INTEGRACIÓN POR PARTES:

Si u y v son funciones de x tales que [ u = f(x), v = g(x) ], por la fórmula de la diferencial de un producto de funciones, tendremos:

d(u·v) = u·dv + v·du Þ u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en

ambos miembros:

u·dv = d(u·v) - v·du, con lo que nos quedará la fórmula de la integración por partes:

.

Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las reglas siguientes:

ALPESricatrigonomét

funciónxcos

senx

..onencialexp

funcióna

..polinómica

funciónxf

.......xlogxlog

Lx

x...arcarctgx

xarccosarcsenx

SE

xf

PL

b

A

INTEGRALES RACIONALES

Son de la forma ,dx

)x(Q)x(P

siendo ,xQyxP polinomios de coeficientes reales y exponentes naturales.

Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:

A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:

Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:

:xQpormiembrosambosdividiendo

.divisiónladestoRexR.divisiónladeCocientexCxRxCxQxP Þ

dx

)x(Q)x(R

dx)x(Cdx)x(Q)x(P

)x(Q)x(R

)x(C)x(Q)x(P miembros ambos en Integrando

B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:

Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus raices. Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes:

1) RAICES REALES SIMPLES ( RRS ).2) RAICES REALES MÚLTIPLES ( RRM ).3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES ( RIS ).4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES ( RIM ).

Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así como las operaciones a realizar.

1) RAICES REALES SIMPLES: ( RRS ).- Supongamos que resolvemos Q(x)=0:

dx...cx

Cbx

Bax

Adx

...cxbxaxxP

dxxQxP

....cxbxax

0xQ

x=−b±√b2−4ac2a

Para calcular los coeficientes A, B, C, ... se siguen los siguientes pasos:

1) Descomposición de xQxP

en suma de fracciones simples ...cx

Cbx

Bax

AxQxP

2) Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).3) Se multiplican ambos miembros por Q(x).

2) RAICES REALES MÚLTIPLES: ( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:

...dx

cxC

dxbx

Bdx

axA

dxxQxP

dx...bxax

xPa1

dx...bxaxa

xPdx

xQxP

....bxbxax

0xQ2

02

0

dx...bx

Cbx

Bax

Aa1

2o

x=−b±√b2−4ac2a

Finalmente, quedará:

3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :

4

21

3

21

2

1

1

1

2

1

1

1

1

zxzxdxNMx

bx

Cdxbx

Bdxax

Adxdx

xQxP

biazbiaz

bxbxax

0xQ

( x+a )n=∑k=0

n

(nk )xk an−k

Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del tipo siguiente: (x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 =

(x-a)2 +b2 .

Con lo cual, la 4, nos queda así:

...dx

bx

Cdx

bxB

dxax

Aa1

dxxQxP

20

( x+a )n=∑k=0

n

(nk )xk an−k

4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES: ( RIM ).- Método de HERMITE:

La descomposición de )(

)(

xQ

xP

según HERMITE, es tal como sigue:

1) Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea, coeficiente indeterminado entre x menos la raiz.

2) Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin tener en cuenta el grado de multiplicidad).

3) Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto anteriormente.

4) Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen simples, es decir cómo hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en cuenta su grado de multiplicidad).

5) El último término característico de esta descomposición de HERMITE es:

La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador, el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de multiplicidad respectivos menos uno.

A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado en el denominador.

Método de HERMITE

2) Se deriva a continuación este último término con respecto a x.

3) Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).

4) Se multiplican ambos miembros por Q(x),

.baxL2M

I 22OLOGARÍTMICTIPOINMEDIATA1

.b

axarctg

bNMa

bax

dxNMaII

22TANGENTEARCOTIPO

32

5) Se calculan los coeficientes indeterminados.

6) Se integra en la expresión de la descomposición inicial.

INTEGRALES IRRACIONALES:

dxcbxax,xR 2

1. Si 0a Þ se efectua el cambio: tx.acbxax2 .

2. Si 0a Þ ( x+a )n=∑

k=0

n

(nk )xk an−k

Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del número 14.

INTEGRALES BINOMIAS:

Son de la forma donde m, n, p Q. Pueden ocurrir los casos siguientes:

1. Si p Z Þ

Þ

.nymdeadoresmindenolosde.m.c.melsiendo,txCambio:0p

.NewtondebinimioelporrDesarrolla:0p

De este modo se reduce el problema a una integral racional.

2. Si

.pdeadormindenoelsiendo,tbxa:CambioZn

1m n Þ

3. Si

Þ

.pdeadormindenoelsiendo,x.tbxa:CambioZp

n1m nn

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:

dxbxaxpnm

dxxcos,senxR

Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:

1. La función R(senx, cosx) es IMPAR en senx, es decir, si la función cambia de

signo al sustituir

Þ .

t1

dtdx

.t1senxtxcos

2

2

(senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:

2. La función R(senx, cosx) es IMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo al sustituir (cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:

3. La función R(senx, cosx) es PAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera al sustituir (senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:

4. La función R(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces, podemos realizar el cambio siguiente:

Þ

.t1

dtdx

.t1

1xcos

.t1

tsenx

ttgx

2

2

2

Þ

.t1

dt2dx

.t1

t1xcos

.t1

t2senx

t2x

tg

2

2

2

2

PARA RECORDAR

.)(tg1

)(tg2

)(sen)(cos

)cos()(sen2senx

2x2

2x

2x2

2x2

2x

2x

.

)(tg1

)(tg1

)(sen)(cos

)(sen)(cosxcos

2x2

2x2

2x2

2x2

2x2

2x2

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES:

Son de la forma Pueden ocurrir los casos siguientes:

1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio:

.dtsenxdx.txcos

2. Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio:

.dtxdxcos.tsenx

3. Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace :

.dtxcos

dx.ttgx

2

4. Cuando (m+n) 0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces:

(A) Reduciendo el exponente del seno:

n,2m

1n1mnm

n,m Inm1m

nmxcos.xsen

dx.xcos.xsenI

(B) Reduciendo el exponente del coseno:

2n,m

1n1mnm

n,m Inm1n

nmxcos.xsen

dx.xcos.xsenI

1.2. Integración por partes

dx.xcos.xsen nm

1.3. Fracciones parciales1.4. Integración de funciones racionales1.5. Integración por sustitución1.6. Integración numérica