Métodos Numéricos. Resúmen

8/16/2019 Métodos Numéricos. Resúmen

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Introducción

Las aportaciones de los matemáticos a la computación durante el siglo XXes una tarea por demás difícil. La computación se erigió como una disciplinade un puñado de matemáticos. De tal forma se limitará a hablar de unpequeño conjunto de matemáticos que han tenido mayor impacto en eldesarrollo de la computación.

La teoría de la Información

Claude l!ood "hannon fue un jo#en que deseaba ser ingeniero el$ctrico%pero que se sentía atraído por las matemáticas. &ació el '( de abril de )*)+en ,aylord% -ichigan.

sistió a la uni#ersidad de -ichigan% y luego al instituto /ecnológico de-assachusetts se sintió fascinado con el funcionamiento de los rele#adoresdel anali0ador diferencial. "hannon decidió utili0ar el álgebra 1oleana parasimpli2car el diseño de circuitos. "u tesis 3 A Symbolic Analysis of Relay andSwitching Circuits” contituye una de las publicaciones más importantes dela ingeniería el$ctrica y la computació. -ostró la forma en que unacomputadora podía reali0ar no sólo operaciones aritm$ticas% sino tambi$nlógicas usando un alfabeto binario.

l Director del Departamento de -atemáticas de Laboratorios 1ell lo in#itó atrabajar en aquella institución. 4ue ahí donde "hannon publicó 3/eoría-atemática de Comunicaciones5 que lo inmortali0aría como el 3padre de lateoría de la información5. 6roporcionó teoremas que sugerían la manera deefectuar de forma e2ciente la transmisión de mensajes ante la presencia deruido. 4ue pionero en la 3inteligencia arti2cial5. Lo que llegó a intrigar a

"hannon fue el proceso de aprendi0aje mismo y la forma en que $ste podríaautomati0arse. Con#encido que sería posible construir una máquina capa0de aprender% diseño un ratón mecánico llamado /eseo% que era puesto en unlaberinto% del cual intentaría salir% puede considerarse como la primeramáquina diseñada para 3aprender5 una tarea.

"e retiró en )*78. ctualmente #i#e en 9inchester% -assachusetts% dondesuele encontrársele en un sótano gigantesco trabajando en su pasatiempofa#orito: el malabarismo.

El modelo matemático de una Computadora.

La idea de usar el sistema binario para procesar información parece haberseoriginado en los )*'(s. Los franceses ;. c$ntrico matemático llamado lan -athison /uring.

n )*(( Da#id ?illbert presento una potencia titulada 36roblemas-atemáticos5. n ella planteó @' problemas no resueltos que $l considerabade gran importancia. -uchos de estos problemas se han resuelto% y se hademostrado que otros carecen de solución. Lo que más preocupaba a

?illbert es la integridad de las matemáticas. 6or ello $l mismo se dio la tareade demostrar la consistencia de las matemáticas. "egAn ?ilbert% no debíahaber inconsistencias ni contradicciones en las matemáticas.


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"e interesaba sobre todo en problemas de matemáticas puras. 4ue consultoren proyectos de balística% en ondas de detonación y más tarde se in#olucróen el 6royecto -anhattan.

Durante la primera mitad del )*I' se interesó por primera #e0 en lacomputación. Creía sumamente importante que se utili0aran máquinas paraacelerar los complejos cálculos in#olucrados con su trabajo. La Anicacomputadora con la que realmente se in#olucró a fondo fue la Altima Kla&CM. Durante mucho tiempo% la &C fue ignorada por la comunidadcientí2ca% pero con el apoyo de #on &eumann fue 2nalmente tomada enserio.

“irst !raft of a Reporto n the E!"AC” fue escrito por #on &eumann enmar0o de )*IH% poniendo en lenguaje formal las ideas de cNert y -auchlypero ol#idando mencionar sus nombres.


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cinco de enero de "#0# en $art%ord, onnecticut. !leene %ue el principal creador de lateoría de las %unciones recursivas &es decir %unciones de%inidas e una secuencia %initade pasos combinatorios.'

!leene se volvió pro%esor en la (niversidad de )isconsin en *adison en "#3+ mpermaneciendo ahí hasta su retiro, acaecido en "##. -ntre muchos honores querecibió se encuentra la *edalla acional de iencia.

!leene %ue tambi/n el primero en estudiar las interrelaciones entre la lógicaintuicionista la teoría &clásica' de %unciones recursivas. (sando herramientas derecursión, introdujo la reali1ación recursiva que es una importante t/cnica deinterpretar enunciados intuicionistas dentro de la aritm/tica.

Su libro en "#+2, introducción a la metamatemática, ha guiado a varias generaciones sigue siendo ho en dio un teto de gran importancia una %uente enorme deinspiración. Stephen !leen murió el 2+ de enero de "##4 en *adison, )isconsin .

&o determinismo(na de las personas que resulto in%luenciada por introducción a la *etamatemática%ue un joven estudiante de la (niversidad $ebrea de 5srael. -se joven era *ichael6ser 7abin. 7abin estudió matemáticas en la universidad de Pennslvania posteriormente se inscribió al doctorado en lógica de la universidad de Princeton. 8atesis doctoral de 7abin consistió en la demostración de que varios de los problemasrelacionados con grupos algebraicos no podían ser resueltos por una computadora.

-n "#+, mientras 7abin conocería a otro joven lógico de Princeton llamado 9anaSte:art Scott.

7abin Scott estaban intrigados por una limitación implícita del modelo de ;uring< unamaquina con un conjunto dado de instrucciones una entrada en particular, siemprese comportará de la misma manera. Su comportamiento es =determinista>.

8a noción introducida por 7abin ? Scott %ue la de =no determinismo> -llos de%inieronuna maquina no determinista como aquella que =acepta> una cierta secuencia si almenos una de las rutas posibles producidas con la entrada alcan1a un estado=aceptable> o &deseado'. -n cuanto a las maquinas no deterministas 7abin ? Scottdemostraron<

"' -s posible trans%ormar cualquier maquina no determinista en una determinista

2' 8as maquinas no determinista de estados %initos resultan ser un medioecelente para epresar patrones de b@squeda &Por ejemplo cadenas decaracteres dentro de un procesador de tetos'.

-l artículo de 7abin ? Scott sobre el no determinismo %ue publicado en "#+# suimpacto en la computación %ue enorme. Por este trabajo, 7abin Scott recibieron elPremio ;uring en "#.


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6;J1L-" &6Q CJ-6L/J".-n la d/cada de los +0 0, varios problemas de diseBo, investigación de operacionese inteligencia arti%icial parecían compartir ciertas propiedades que los haciasumamente di%ícil de resolver. Algunos cientí%icos sospechaban que pertenecían a unamisma %amilia matemática. Pero no %ue hasta los aBos 0 que los matemáticos

Stephen A. ooC &--((' 8eonid 8evin &7usia' la pudieron describir. Stephen A ooCnació en "#3# en Du%%alo, ueva EorC. Se graduó en matemáticas. -n "#" ooCpublicó un artículo donde discutía problemas para los cuales podía veri%icar unasolución posible &un candidato' en tiempo polinomial. ooC demostró que el problemade la =satis%actibilidad> es uno de los más di%íciles dentro de la %amilia P.

*ientras ooC se involucraba en la teoría de la complejidad, un joven estudiante depreparatoria en la unión sovi/tica aprendía sobre ciertos problemas de optimi1aciónque requerían perebor &%uer1a bruta'. Su nombre era 8eonid 8evin.

8evin nació en "#4F en 9nepropetrovsC, una ciudad industrial locali1ada en el cora1ónde (crania. 8evin descubrió su talento para las matemáticas. A sus "+ aBos de edadconoció a Andrei !olmogorov inicio su carrera como historiador pero su amplia gamade inter/s lo llevó a estudiar matemáticas. 8evin se sintió atraído por la noción decomplejidad de !olmogorov desarrollo su tesis doctoral en este tema. -l gobiernoruso le negó el grado de doctor en represalia a su comportamiento rebelde hacia lasautoridades, por lo que viajo a eeuu. Aunque levin desconocía el trabajo de ooC, ensu artículo reGdescubrió los problemas PGcompletos.

L&,GB" D 6;J,;-CJ&n los H( la programación de las escasas computadoras e>istentes eratortuosa y requería de un meticuloso uso de la memoria. Gn matemático

que trabajaba para 1- en )*H'% tu#o entonces la osada idea de proponer eldiseño de un 3lenguaje de programación5. utori0ando aquella idea losdirecti#os de 1-% lo denominaron al proyecto 34J;mula /;&slation5 elencargo de lle#arlo a cabo fue el mismo jo#en que propuso el diseño: Bohn1acNus. l resultado de este proyecto fue el fortran. Rue resultó de no sersolo el primer lenguaje de programación de 3alto ni#el5 de la historia% sinouno de los más famosos y longe#os. Bonn 9arner 1acNus nació el ' dediciembre de )*@I en 2ladel2a. -oti#ado por su inter$s en los radios% seinscribió a una academia% y al aprender a calcular circuitos comen0ó a sentiruna fuerte inclinación hacia las matemáticas. 6ara )*I* ya estabaterminando la licenciatura y para )*H( concluía la maestría% 1acNus entro a

trabajar a ibm como programador en )*H(. 6ara )*H' era ya un hábilprogramador.

1acNus concentró sus esfuer0os no en el diseño de un lenguaje en sí% sino enel de su traductor de comandos a nAmeros binarios Klo que hoy se denominacompiladorM el resultado de este esfuer0o harían de fortrand uno de losmejores lenguajes de programación.

n mayo de )*H8% un comit$ internacional formado por destacados e>pertosen computación de uropa y estados unidos se reunió en SArich paradiseñar un lenguaje de programación más Pe>ible y poderoso que el

fortrand. l resultado fue el internacional algorithmic lenguaje mejorconocido como algol.


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1acNus presento su propuesta sobre el uso de gramáticas para representarla sinta>is de un lenguaje de programación en )*H*% en un congresocelebrado en parís. unque su ponencia no fue incluida en las memorias dele#ento% un matemático dan$s% llamado 6eter &aur e>tendió la propuesta de1acNus y luego la uso para describir toda la sinta>is de algol.

1acNus fue nombrado 3fello!)5 de 1- en )*+' y en )*77 se le otorgó elpremio /uring por sus contribuciones a los lenguajes de programación. ?oyen día practica la meditación y disfruta leyendo a rishnamurti y #a6ierraNos.

* el arte de la programación.-n -nero de "#2, la editorial norteamericana AddisonG)esle S6855;H A (I6J- -S;(95A;- de doctorado del cali%ornia 5nstitute o% technolog que escribiera

un libro sobre compiladores, que era un tema mu poco entendido en esa /poca. -lnombre de este joven era 9onald !nuth su trabajo se convertiría en una piedraangular en el desarrollo de la computación como una disciplina independiente.

9onald -rvin !nuth nació el "0 de enero de "#3F en *il:auCee )isconsin. 5ngreso alase Institute of technology &$o case :estern 7eserve', en 6hio, con la invención deestudiar m@sica, pronto descubriría &tras o%rec/rsele una beca en %ísica' que suverdadera vocación eran las matemáticas. $acia el otoBo de "#3 !nut tenía listo elprimer borrador de su libro. ;ras varias discusiones con AddisonG )esle, se acordóque la obra denominada The art of compute programmin se publicaría en vol@menes.$asta ahora se han publicado solo 3 de ellos. &*aor /ito comercial de AddisonG

)esle' por este trabajo seminal, CnutC recibió el Premio ;uring en "#4 &a pesar depublicarse en los 0'.

!nuth inventó ;-K, el primer lenguaje para tipogra%ía2 computacional, junto con*-;AL6; que es un sistema que hace uso de las matemáticas clásicas para diseBar al%abetos. Pronto ;-K se volvió un importante estándar acad/mico, sobre todo en lascomunidades de matemáticas computación.

9onald !nuth es actualmente pro%esor em/rito en Stan%ord.

CAPITULO ! "ACIA EL #UTU$O

La computadora ha e#olucionado mucho desde la primera computadora enel año )*I*% la cual para funcionar requería de )8((( bulbos y pesaba '(toneladas% hoy en día la computadora personal y la computadora deescritorio a reempla0ado a esta inmensa computadora.

) -an% boy

@ Arte de disponer correctamente el material de imprimir, de acuerdo con un propósito especí%ico< el decolocar las letras, repartir el espacio organi1ar los tipos con vistas a prestar al lector la máima audapara la comprensión del teto escrito verbalmente.


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?acia donde se dirige la computación es algo que el autor pues segAn la leyde -oore la computadora ya no tiene espacio para seguir a#an0ando esto alle#ado a los in#estigadores a desarrollar nue#as tecnologías en la cual elte>to% nos habla dándonos tres diferentes #isones en las cuales se estádesarrollando la computación hoy en día. stas #isiones son la

nanotecnología% el uso de D& o c$lulas humanas para reali0ar procesosparalelos y las computadoras cuánticas.

n el ámbito de la nanotecnología% la computación está a#an0ando a pasosagigantados% pero ha llegado a un punto en donde que no puedeminiaturi0ar más sus componentes% siendo esta la pregunta que muchosin#estigadores se hacen el cómo construir pie0as más pequeñas las cualestengan la capacidad de reali0ar los procesos que se desean y con la mismarapide0% la nanotecnología o la miniaturi0ación de los componentes fue unconcepto sugerido por el físico ;ichard 4eynman en )*H* el cual lo lle#o a

deducir una teoría la cual dice que se puede construir maquinas las cualesconstruirían maquinas más pequeñas y estas a la #e0 construirían maquinasmucho más pequeñas y así hasta sucesi#amente% conociendo este procesode miniaturi0ación de arriba hacia abajo% aunque otros in#estigadores comopor ejemplo ric Dre>ler piensan que el proceso debe ser de abajo haciaarriba. Dos compañías están trabajando en este proceso como son Xero>6alo lto ;esearch y el nstitute for -olecular -anufacturing las cuales hanlogrado construir tres máquinas moleculares las cuales son un engranaje%una bomba y un controlador de mo#imientos 2nos% siendo esta tresmáquinas las primeras en su categoría% se piensa que muchas máscompañías están trabajando en el proceso de nanotecnología% y se espera laconstrucción de procesadores miniaturas en el futuro con bene2ciosgenerales y #erdaderamente Atiles para todos en general.

-ientras muchos in#estigadores ingenieros y cientí2cos piensan en laminiaturi0ación de los procesadores muchos se están enfocando en elproceso de ejecución de tareas de los procesadores los cuales en laactualidad reali0an proceso secuenciales y un solo proceso a la #e0%siguiendo la arquitectura de #on &eumann. ?ace #arios años el concepto deparalelismo adquirió una gran importancia dentro de los in#estigadores.stas arquitecturas se basan en el uso de uno cuantos procesadorespoderosos que efectAan una serie de tareas relati#amente complejas entre

las que incluyen el paso de mensajes% la coordinación de procesos% lasincroni0ación y la concurrencia. stos procesos sin embargo se #uel#encomplejos puesto que nuestro proceso para la reali0ación de algoritmos essecuencial% por lo tanto dejando al paralelismo en una simple promesa%haciendo que desde los años 8( se busquen soluciones y alternati#as paraeste problema. Gna de las alternati#as que se planteó para la solución deeste proceso en la computación celular% la cual fue concebida por loscientí2cos Bohn #on &eumann y "tanisla! Glam% los cuales concibieron unmodelo autómata celular. ste modelo se basa en el hecho que las c$lulasse actuali0an de manera síncrona a inter#alos de tiempo discretos deacuerdo a una regla de interacción local la cual es id$ntica para todas.lgunos cientí2cos como "ipper han adoptado el t$rmino de computacióncelular% la cual se re2ere a tres principios fundamentales: simplicidad%


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paralelismo #asto y localidad. ste proceso promete incrementarsigni2cati#amente la capacidad de procesamiento de las computadoras.

/ambi$n relacionada con este concepto de cómputo celular% se encuentraotra idea que surgió a mediados de los años *( la computación basada en elD&. l cientí2co Leonard - dleman% publicó un artículo en el cualmostraba que era posible usar mol$culas de D& para resol#er el problemade las rutas hamiltonianas dirigidas. ste e>plicó que las t$cnicas de bilogíamolecular 2ltran enorme cantidad de soluciones de mol$culas D&e>istentes% de manera que pudiese obtener la respuesta deseada. steproceso consiste en someter los segmentos de D& a una serie dereacciones químicas similares a los cálculos matemáticos que efectAa unacomputadora. De esta manera una en0ima podría agregar un #alor de uno al2nal de un segmento de D& si cualquiera de dos #alores especí2cos dedicho segmento tu#iese un #alor de uno. l organi0ar de manera coherenteestas operaciones es posible reali0ar complejos cálculos matemáticos. Gna

de las #entajas del uso de D& es que los cálculos se efectAan por medio dereacciones químicas se lle#an a cabo en paralelo.

stos dos principios podrían re#olucionar la computación la nanotecnologíay la computación celular podría hacer de las computadoras más rápidas ye2caces al mismo tiempo mucho más pequeñas y trabajar en procesosparalelos.

Jtro de los principios de la computación es el uso de la computacióncuántica% usando la física cuántica al contrario de los computadoresnormales que son basados en la física clásica. La computadora cuánticatendría la capacidad de reali0ar una in2nidad de procesos además de que

tendría la capacidad de almacenar mucha más información que unacomputadora de capacidad normal. ste concepto fue introducido por elfísico ;ichard 4eynman. Los principios de los que se habla son los deaumentar de una manera e>cepcional la e2ciencia de procesamiento de lascomputadoras.

Gna de las principales diferencias de las computadoras tradicionales con lascomputadoras cuánticas es el hecho que en la computadora normal sealmacena por bits lo cual es la combinación de unos y ceros la computadoracuántica almacena en qubits que es un sistema similar pero que almacenaal uno y al cero al mismo tiempo.

l poder de estas computadoras radica en su capacidad para estar enmAltiples estados simultáneamente% denominado superposición. stosigni2ca que una computadora cuántica podría efectuar una inmensacantidad de operaciones simultáneamente usando una sola unidad deprocesamiento. 6ara emular el grado del paralelismo de '(( procesadorescuánticos necesitaríamos @'(( procesadores con#esionales. l lado negati#oque se podría decir de los computadores cuánticos es el que para e>traerinformación se deberían reali0ar mediciones. sencialmente se puede haceruna y solo una pregunta acerca de los resultados para despu$s tener querehacer los cálculos.


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/odas estas tecnologías son sumamente interesantes y plantean preguntasimportantes que mantendrán bastante ocupados a los cientí2cos del nue#omilenio.

Gna cosa es segura que nuestra ultima meta es la bAsqueda de maquinasinteligentes% o la obtención del algortimo de encriptamiento de datos maspoderoso de la tierra. La computación durante el nue#o milenio seguirásiendo una disciplina sumamente acti#a en cuanto a la in#estigación y serámas que nunca% una parte importante en nuestras #idas.

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