Metodos Numericos-parcial 1

Resumen de los métodos numéricos…

Modelos matemáticos y solución de problemasen ingeniería …

Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o unaecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de unproceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante unarelación funcional de la forma:

Modelos matemáticos y solución de problemasen ingeniería

Ejemplo de modelos matemáticos

Newton formuló su segunda

ley del movimiento, la cual

establece que la razón de

cambio del momentum con

respecto al tiempo de un

cuerpo, es igual a la fuerza

resultante que actúa sobre

él.

donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N, o kg m/s2), m es

la masa del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2).

La segunda ley puede escribirse así:

Ejemplo de modelos matemáticos…

Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley

de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo

que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra.

Para esto se tiene que:


Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra, la fuerza total está

compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la

gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU


La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia

arriba.

Este es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las

fuerzas que actúan sobre él. Para resolverlo es necesario emplear técnicas

avanzadas, del cálculo, para obtener una solución exacta o analítica.


Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0), se

utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación, así

La ecuación anterior es un ejemplo de la forma general de la ecuación de un

modelo matemático, donde v(t) es la variable dependiente, t es la variable

independiente, c y m son parámetros, y g es la función de fuerza.

Dispositivos y tiposde balances que seusan comúnmenteen las cuatrograndes áreas de laingeniería.

Aproximaciones y errores de redondeo

En muchos problemas de aplicación en ingeniería no es posible obtener la

solución analítica; por lo tanto, no se pueden calcular con exactitud los

errores en nuestros métodos numéricos. En tales casos debemos usar

aproximaciones o estimaciones de los errores.

Este capítulo y el siguiente cubren aspectos básicos relacionados con la

identificación, cuantificación y minimización de dichos errores

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Cuando se emplea un número para realizar un cálculo, debe haber seguridad de que

pueda usarse con confianza.

El velocímetro y el

odómetro de un

automóvil ejemplifican

el concepto de cifras

signifi cativas.

Como la aguja está más allá de la mitad entre las marcas del indicador, es posible asegurar

que el automóvil viaja aproximadamente a 49 km/h, ahora supongamos que se desea

obtener una cifra decimal en la estimación de la velocidad. En tal caso, alguien podría decir

48.8, mientras que otra persona podría decir 48.9 km/h.

Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en

forma confiable.

EXACTITUD Y PRECISIÓN

La exactitud se refiere a qué tan cercano está el valor calculado o medido del

valor verdadero.

La precisión se refiere a qué tan cercanos se encuentran, unos de otros,

diversos valores calculados o medidos.

DEFINICIONES DE ERROR…

Los errores de truncamiento resultan del empleo de aproximaciones como un

procedimiento matemático exacto.

Los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que

tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Para ambos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto, o verdadero,

y el aproximado está dada por:

Reordenando la ecuación anterior se encuentra que el error numérico es

igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir:


donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica

que se trata del error “verdadero” (true).

Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se

evalúan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir

El error relativo también se puede multiplicar por 100% para expresarlo como


donde denota el error relativo porcentual verdadero.

EJEMPLO

Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un

remache, y se obtiene 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores

verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el error verdadero y b) el error

relativo porcentual verdadero en cada caso.

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo

porcentual del remache es mucho mayor. Se concluye entonces que se ha hecho

un buen trabajo en la medición del puente; mientras que la estimación para el

remache dejó mucho que desear.

Solución

En muchas aplicaciones reales, no se conoce a priori la respuesta verdadera.

Entonces en dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la

mejor estimación posible al valor verdadero; es decir, para la aproximación

misma, como en


donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.

En los métodos iterativos se hace una aproximación para el calculo del error

considerando la aproximación anterior. el error a menudo se calcula como la

diferencia entre la aproximación previa y la actual.

A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error,

sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia

porcentual prefijada es


si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es

correcto en al menos n cifras significativas.


EJEMPLO

Errores de truncamiento y la serie de Taylor

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una

aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por

ejemplo, la derivada para el calculo de velocidad de un cuerpo en caída

libre puede ser representado mediante una ecuación en diferencias

finitas de la forma:

Para obtener un conocimiento sobre las características del error de

truncamiento, se debe considerar: la serie de Taylor.

LA SERIE DE TAYLOR

Proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en

términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Una buena manera de comprender la serie de Taylor consiste en

construirla término por término. Por ejemplo, el primer término de la serie

es:

Esta relación, llamada la aproximación de orden cero, indica que el valor

de f en el nuevo punto es el mismo que su valor en el punto anterior.

LA SERIE DE TAYLOR…

La aproximación de primer orden se obtiene sumando otro término para

obtener:

Teorema de Taylor

Si la función f y sus primeras n + 1 derivadas son continuas en un intervalo

que contiene a y x, entonces el valor de la función en x está dado por:


donde t = a es una variable muda. La anterior ecuación se llama serie deTaylor o fórmula de Taylor. Si se omite el residuo, el lado derecho de laecuación es la aproximación del polinomio de Taylor para f(x). En esencia, elteorema establece que cualquier función suave puede aproximarse medianteun polinomio.


Primer teorema del valor medio para integrales

Si la función g es continua e integrable en un intervalo que contenga a y x,

entonces existe un punto x entre a y x tal que:

La integral puede representarse por un valor promedio de la función g( )

multiplicado por la longitud del intervalo x – a. Como el promedio debe

encontrarse entre los valores mínimo y máximo del intervalo, existe un punto x =

x en el cual la función toma el valor promedio.


Segundo teorema del valor medio para integrales

Si las funciones g y h son continuas e integrables en un intervalo que contiene a

y x, y h no cambia de signo en el intervalo, entonces existe un punto x entre a y x

tal que

El segundo teorema se aplica a la ecuación del residuo con

Conforme t varía de a a x, h(t) es continua y no cambia de signo. Por lo tanto,

si es continua, entonces se satisface el teorema del valor medio para

integrales.


Segundo teorema del valor medio para integrales…

La serie truncada en el segundo termino, sólo es exacta para una línea recta o

una tendencia lineal. Por lo tanto, se le agrega a la serie un término de

segundo orden para obtener algo de la curvatura, que pudiera presentar la

función:

Forma de Lagrange del residuo.


Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde el

n +1 hasta infinito:

De manera similar, se agregan términos adicionales para desarrollar la

expansión completa de la serie de Taylor:


donde el término residual es ahora

Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un

tamaño de paso o incremento y expresando la serie de Taylor

como:

Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor

Ejemplo 1: Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor…

Solución. Ya que se trata de una función conocida, es posible calcular valores

de f(x) entre 0 y 1. Los resultados indican que la función empieza en f(0) = 1.2

y hace una curva hacia abajo hasta f(1) = 0.2. Por lo tanto, el valor verdadero

que se trata de predecir es 0.2.

La aproximación de la serie de Taylor con n = 0 es:

Como se muestra en la siguiente figura, la aproximación de orden cero es

una constante. Usando esta formulación resulta un error de truncamiento de:

en x = 1


Por consiguiente, la expansión de la serie de Taylor hasta la cuarta derivada da una

estimación exacta para xi+l = 1:

Ejemplo 2: Uso de la expansión de la serie de

Taylor para aproximar una función con un númeroinfi nito de derivadas


Taylor para aproximar una función con un númeroinfinito de derivadas

1


Taylor para aproximar una función con un númeroinfinito de derivadas…

Este proceso continúa y sus resultados se enlistan en la siguiente tabla,

Observe que las derivadas nunca se aproximan a cero, como es el caso con

el polinomio del ejemplo 1. Por lo tanto, cada término que se le agrega a la

serie, genera una mejor aproximación.


Taylor para aproximar una función con un númeroinfinito de derivadas…

INTERPOLACIÓN

Con frecuencia se encontrará con que tiene que estimar valores intermedios

entre datos definidos por puntos. El método más común que se usa para este

propósito es la interpolación polinomial. Recuerde que la fórmula general

para un polinomio de n-ésimo grado es:

Ejemplos de interpolación polinomial: a) de primer grado (lineal) que une dos puntos, b) de segundo

grado (cuadrática o parabólica) que une tres puntos y c) de tercer grado (cúbica) que une cuatro

puntos.

Interpolación lineal

La forma más simple de interpolación consiste en unir dos puntos con una

línea recta. Dicha técnica, llamada interpolación lineal:

Esquema gráfico de la interpolación

lineal. Las áreas sombreadas indican

los triángulos semejantes usados para

obtener la fórmula de la interpolación

lineal.

Utilizando triángulos semejantes

reordenándose se tiene

Observe que además de representar la

pendiente de la línea que une los puntos, el

término [f(x1) – f(x0)]/(x1– x0) es una aproximación

en diferencia dividida finita a la primer derivada

(2)

(1)

Ejemplo 1: Interpolación lineal

Ejemplo 1: Interpolación lineal…

2

Ejemplo 1: Interpolación lineal…

Dos interpolaciones lineales

para estimar ln 2. Observe

cómo el intervalo menor

proporciona una mejor

estimación.

Interpolación cuadrática

Una estrategia para mejorar la estimación consiste en introducir alguna

curvatura a la línea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos,

éstos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (también

conocido como polinomio cuadrático o parábola). Una forma particularmente

conveniente para ello es

A continuación se muestra que la ecuación anterior corresponde a un

polinomio de grado dos, al multiplicar los términos de esta misma ecuación.

agrupando términos, donde

(3)

Interpolación cuadrática…

Para encontrar b0, se evalúa la ecuación (3) con x = x0 para obtener

La ecuación (4) se sustituye en la (3), después se evalúa en x = x1 para tener

(4)

Por último, las ecuaciones (4) y (5) se sustituyen en la (3), después se evalúa

en x = x2 y (luego de algunas manipulaciones algebraicas) se resuelve para:

(5)

Observe que la ecuación (3) comienza a manifestar una estructura semejante

a la expansión de la serie de Taylor.

(6)

Ejemplo 2: Interpolación cuadrática

1

Ejemplo 2: Interpolación cuadrática…

(4)

(5)

(6)

(3)

Ejemplo 2: Interpolación cuadrática…

La solución anterior representa un error relativo de ξt = 18.4%. Así, la curvatura

determinada por la fórmula cuadrática (siguiente grafica) mejora la interpolación

comparándola con el resultado obtenido antes al usar las líneas rectas del

ejemplo de interpolación lineal.

El uso de la interpolación

cuadrática para estimar ln 2.

Para comparación se presenta

también la interpolación lineal

desde x = 1 hasta 4.

Forma general de los polinomios de interpolación de

Newton

El análisis anterior puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-ésimo

grado a n + 1 datos. El polinomio de n-ésimo grado es

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos

asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para

un polinomio de n-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1,

f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para

evaluar los coeficientes:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)


Newton…

donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son

diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita

en forma general se representa como:

(12)

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos

primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como:

(13)


Newton…

En forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es

(14)

Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes en las ecuaciones (8) a

(11), los cuales se sustituirán en la ecuación (7) para obtener el polinomio de

interpolación:

(15)

que se conoce como polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas


Newton…

Representación gráfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas

finitas.

Ejemplo 3: Polinomios de interpolación deNewton en diferencias divididas

2

Ejemplo 3: Polinomios de interpolación deNewton en diferencias divididas…

(7)

(12)

(13)

Ejemplo 3: Polinomios de interpolación deNewton en diferencias divididas…

(14)

(7) (7)

Errores de la interpolación polinomial de Newton

La ecuación (15) es similar a la expansión de la serie de Taylor en el sentido de

que se van agregando términos en forma secuencial. Los términos son

diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones de las derivadas

de orden superior. También, como en el caso de la serie de Taylor, es posible

obtener una formulación para el error de truncamiento.

(16)

donde x está en alguna parte del intervalo que contiene la incógnita y los datos.

Como la función es desconocida se usa una diferencia dividida finita para

aproximar la (n + 1)-ésima derivada:

Errores de la interpolación polinomial de Newton…

Donde ƒ[x, xn, xn–1,. . . , x0] es la (n + 1)-ésima diferencia dividida finita. Debido a

que la ecuación (17) contiene la incógnita f(x), no permite obtener el error. Sin

embargo, si se tiene un dato más, f(xn+1), la ecuación (17) puede usarse para

estimar el error como sigue:

(17)

(18)

Ejemplo 4: Estimación del error para el polinomiode Newton

2( 18)

2.

Ejemplo 4: Estimación del error para el polinomiode Newton

2

(18),

3.

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación

del polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se

representa de manera concisa como

Donde

(19)

(20)

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE…

donde Π designa el “producto de”. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es

y la versión de segundo grado es

(21)

(22)

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE…

Descripción visual del razonamiento

detrás del polinomio de Lagrange.

Esta figura muestra un caso de

segundo grado. Cada uno de los

tres términos en la ecuación (22)

pasa a través de uno de los puntos

que se tienen como datos y es cero

en los otros dos. La suma de los

tres términos, por lo tanto, debe ser

el único polinomio de segundo

grado f2(x) que pasa exactamente a

través de los tres puntos.

Ejemplo:Polinomios de interpolación de Lagrange

Ejemplo:Polinomios de interpolación de Lagrange

21

22

Obtención del polinomio de Lagrange directamente apartir del polinomio de interpolación de Newton

El polinomio de interpolación de Lagrange se obtiene de manera directa a

partir de la formulación del polinomio de Newton. Por ejemplo, la primera

diferencia dividida es

se reformula como

(a)

(b)

Obtención del polinomio de Lagrange directamente apartir del polinomio de interpolación de Newton…

La ecuación (b) es conocida como la forma simétrica. Al sustituir la ecuación

(b) en la formula de interpolación lineal, se obtiene

Por último, al agrupar términos semejantes y simplificar se obtiene la forma

del polinomio de Lagrange

INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES)

consiste en colocar polinomios de grado inferior en subconjuntos de los

datos. Tales polinomios conectores se denominan trazadores o splines.

Por ejemplo, las curvas de tercer grado empleadas para unir cada par de

datos se llaman trazadores cúbicos. Esas funciones se pueden construir de

tal forma que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes resulten

visualmente suaves.

El concepto de trazador se originó en la técnica de dibujo que usa una cinta

delgada y flexible (llamada spline, en inglés)

INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES)…

La función que se ajusta presenta un incremento súbito en x = 0. Los incisos a) a c) indican

que el cambio abrupto induce oscilaciones en los polinomios de interpolación. En contraste,

como se limitan a curvas de tercer grado con transiciones suaves, un trazador lineal d) ofrece

una aproximación mucho más aceptable.

por qué un trazador aún resulta preferible ?

Trazadores lineales

Los trazadores de primer grado para un grupo de datos ordenados pueden

definirse como un conjunto de funciones lineales

donde mi es la pendiente de la línea recta que une los puntos:

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la función en cualquier punto

entre x0 y xn localizando primero el intervalo dentro del cual está el punto.

(23)

Ejemplo: Trazadores de primer grado

Ejemplo: Trazadores de primer grado

23

Trazadores (splines) cuadráticos

El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo

grado para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio

en cada intervalo se representa como

Notación utilizada para

obtener trazadores

cuadráticos. Observe

que hay n intervalos

y n + 1 datos. El

ejemplo mostrado es

para n = 3.

(24A)

Trazadores (splines) cuadráticos…

Para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n) existen n intervalos y, en consecuencia, 3n

constantes desconocidas (las a, b y c) por evaluar. Por lo tanto, se requieren

3n ecuaciones o condiciones para evaluar las incógnitas. Éstas son:

1. Los valores de la función de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodosinteriores. Esta condición se representa como para i = 2 a n. Como sólo se empleannodos interiores, las ecuaciones (24) y (25) proporcionan, cada una, n – 1condiciones; en total, 2n – 2 condiciones.

(24)

(25)


2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos extremos. Estoagrega dos ecuaciones más:

(26)

(27)

en total tenemos 2n – 2 + 2 = 2n condiciones.

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. La primeraderivada de la ecuación 24A es

Por lo tanto, de manera general la condición se representa como

(28)


para i = 2 a n. Esto proporciona otras n – 1 condiciones, llegando a un total de 2n +n – 1 = 3n – 1. Como se tienen 3n incógnitas, nos falta una condición más.

4. Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero. Como la segundaderivada de la ecuación 24A es 2ai, entonces esta condición se puede expresarmatemáticamente como

La interpretación visual de esta condición es que los dos primeros puntos se uniráncon una línea recta.

Ejemplo: Trazadores cuadráticos

Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cuadráticos a los mismos datos

que se utilizaron en el ejemplo de trazadores lineales (tabla 18.1). Con los

resultados estime el valor en x = 5.

Ejemplo: Trazadores cuadráticos…

24 25

26

27

28


Figura 18.16b

Trazadores cúbicos

El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado

para cada intervalo entre los nodos:

Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en

consecuencia, 4n incógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos,

se requieren 4n condiciones para evaluar las incógnitas. Éstas son:

(29)

1. Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2 condiciones).

2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2 condiciones).

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones).

4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1 condiciones).

5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).

Método para obtener trazadores cúbicos

la segunda derivada dentro de cada intervalo es una línea recta. La ecuación

(29) se puede derivar dos veces para verificar esta observación. Con esta

base, la segunda derivada se representa mediante un polinomio de

interpolación de Lagrange de primer grado

Después, la ecuación (C18.3.1) se integra dos veces para obtener una

expresión para fi(x).

Las constantes se evalúan tomando las condiciones de igualdad de las

funciones [f(x) debe ser igual a f(xi–1) en xi–1 y f(x) debe ser igual a f(xi) en

xi)].

Método para obtener trazadores cúbicos

observe que contiene sólo dos “coeficientes” desconocidos; es decir, las

segundas derivadas al inicio y al final del intervalo: ƒ´´(xi–1) y ƒ´´(xi).

Si podemos determinar la segunda derivada en cada nodo, la ecuación

(C18.3.2) es un polinomio de tercer grado que se utiliza para interpolar

dentro del intervalo.

Método para obtener trazadores cúbicos…

Las segundas derivadas se evalúan tomando la condición de que las

primeras derivadas deben ser continuas en los nodos:

La ecuación (C18.3.2) se deriva para ofrecer una expresión de la primera

derivada. Si se hace esto tanto para el (i – 1)-ésimo, como para i-ésimo

intervalos, y los dos resultados se igualan de acuerdo con la ecuación

(B18.3.3), se llega a la siguiente relación:


Si la ecuación (C18.3.4) se escribe para todos los nodos interiores, se

obtienen n – 1 ecuaciones simultáneas con n + 1 segundas derivadas

desconocidas. Sin embargo, como ésta es un trazador cúbico natural, las

segundas derivadas en los nodos extremos son cero y el problema se reduce

a n – 1 ecuaciones con n – 1 incógnitas.

La deducción del cuadro 18.3 da como resultado la siguiente ecuación

cúbica en cada intervalo:

Ejemplo: Trazadores cúbicos

Planteamiento del problema. Ajuste trazadores cúbicos a los mismos datos que

se utilizaron en el ejemplo de trazadores lineales (tabla 18.1). Con los resultados

estime el valor en x = 5.

Ejemplo: Trazadores cúbicos…

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