1 MTODOS NUMRICOS ANLISIS NUMRICO. Unadefinicindeanlisisnumricopodraserelestudiodeloserroresenlosclculos;error aqu no quiere decir un disparate, equivocacin u omisin, sino ms bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los nmeros o frmulas. Otra definicin de anlisis numrico podra ser el diseo, uso y anlisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o funcin. Un especialista de anlisis numrico se interesa en la creacin y comprensin de buenos mtodos queresuelvanproblemasnumricamente.Unacaractersticaimportantedelestudiodelos mtodos es su variacin. Elanlisisnumricoconsisteenprocedimientosqueresuelvenproblemasyrealizanclculos puramente aritmticos. Pero hay que tomar en cuenta las caractersticas especialesy limitaciones delosinstrumentosdeclculo(comolascomputadoras)quenosayudanenlaejecucindelas instrucciones del algoritmo. Sibiennonosinteresalaconstruccindetaldispositivoolamaneraenquefunciona,sinos importarnlossistemasnumricosdemquinasencontraposicinconnuestrosistemade nmeros reales, y los errores resultantes de cambiar de uno a otro sistema. Unabuenaraznparaestudiarelanlisisnumricoesmejorarnuestracomprensindelos conceptosdelasmatemticas(puras)observandocomoalgunosdeellosdebenmodificarse necesariamente en las matemticas computacionales. Despus de todo, el anlisis numrico es importante porque es necesario en la solucin de muchos problemas del mundo real. MTODOS NUMRICOS. Losmtodosnumricossontcnicasmediantelascualesesposibleformularproblemas matemticosdetalformaquepuedanresolverseusandooperacionesaritmticas.Haymuchos tiposdemtodosnumricos,ycompartenunacaractersticacomn:invariablementesedeben realizar un buen nmero de tediosos clculos aritmticos. Los mtodos numricos son herramientasmuy poderosas para a solucin de problemas. Pueden manejarsistemasdeecuacionesgrandes,nolinealidadesygeometrascomplicadas,comunesen la ingeniera. Tambin es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga mtodos numricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teora bsicadeestosmtodos;ademshaymuchosproblemasquenopuedenplantearsealemplear programas hechos, conociendo bien los mtodos numricos se puede disear programas propios y 2 as no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximacin que son inseparables de los clculos numricos a gran escala. Los mtodos numricos son unmedio para reforzarla comprensin delasmatemticas, porque profundizanenlostemasquedeotromodoresultaranobscuros,estoaumentasucapacidadde comprensin y entendimiento en la materia. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. Cuandoseempleaunnmeroenunclculo,debehaberseguridaddequepuedausarsecon confianza.Elconceptodecifrassignificativastienedosimplicacionesimportantesenelestudio de los mtodos numricos.1.-Losmtodosnumricosobtienenresultadosaproximados.Porlotanto,sedebedesarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos nmeros representannmero especficos,no se pueden expresarexactamente con un nmero finito de cifras. PRECISIN Y EXACTITUD Precisin se refiere a la dispersin del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de unamagnitud.Cuantomenoresladispersinmayorlaprecisin.Unamedidacomndela variabilidadesladesviacinestndardelasmedicionesylaprecisinsepuedeestimarcomo una funcin de ella. Exactitudserefiereaquetancercadelvalorrealseencuentraelvalormedido.Entrminos estadsticos,laexactitudestrelacionadaconelsesgodeunaestimacin.Cuantomenoresel sesgo ms exacta es una estimacin. Laexactitud(accuracyeneldibujo)indicalosresultadosdelaproximidaddelamedicincon respectoalvalorverdadero,mientrasquelaprecisinconrespectoalarepetitibilidado reproductibilidad de la medida En ingeniera, ciencia, industria y estadstica, exactitud y precisin no son equivalentes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.10.20.30.40.50.6densidad de PROBABILIDAD VALOR DE REFERENCIAEXACTITUDPRECISIN3 Cuandoexpresamoslaexactituddeunresultado seexpresamedianteelerrorabsolutoqueesla diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero. EJEMPLO Varias medidas son como disparadas hacia un objetivo. La exactitud describe la proximidad de las flechas al centro del objetivo. Las flechas que impactaron ms cerca del centro se consideran ms exactas. Cuanto ms cerca estn las medidas a un valor aceptado, ms exacto es un sistema. Laprecisin,enesteejemplo,eseltamaodelgrupodeflechas.Cuantomscercanasentres estnlasflechasqueimpactaronelobjetivo,msprecisoserelsistema.Hayquenotarqueel hecho de que las flechas estn muy cercanas entre s es independiente al hecho que estn cerca del centrodelobjetivo.Ens,sepuededecirquelaprecisineselgradoderepetitividaddel resultado. Se podra resumirque exactitud es el grado de veracidad,mientras que precisin es el grado de reproductibilidad. Alta exactitud, pero baja precisin Alta precisin pero baja exactitud EJEMPLO Unrelojanalgico,demanecillas,desplazasuminutero"slodeminutoenminuto",sibienlo haceenabsolutasincronaconelhorario oficialo"real"(queeselobjetivo).Unsegundoreloj utilizaminutero,segundero,inclusoestdotadodeunsistemademedicindedcimasde segundo. Si observamos que su horario, no coincide plenamente con el horario oficial o real (que siguesiendoelobjetivodetodoreloj),concluiremosqueelprimerrelojesaltamenteexacto, aunquenoseapreciso,mientrasqueelsegundo,esaltamentepreciso,aunquenosemuestra exacto...al menos en nuestro ejemplo. ERROR. Engeneral,paracualquiertipodeerror,larelacinentreelnmeroexactoyelobtenidopor aproximacin se define como: Error = Valor real -valor estimado Enocasiones,sesabrexactamenteelvalordelerror,quedenotaremoscomoEv,odeberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definirlamagnitud del error, o que incidencia tiene en el clculo elerror detectado, podemos normalizar su valor: 4 Er =Error relativo (fraccin) = error estimado /valor verdadero Como el valor de Er puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber ms la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. UncasomuyinteresanteesunainvestigacinquerealizaScarborough,enquedeterminel nmero de cifras significativas que contiene el error porcentual como: ( ) % 10 5 . 02 nsx E= SireemplazamosEsenlaecuacin.Obtendremoselnmerodecifrassignificativasenquees confiable el valor aproximado obtenido. As, si queremos que nuestro clculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener nmeros que correspondan a menos de: Es=(0.5x 10 2-2)%=0.5% Esto nos servir para determinar cuntos trminos sern necesarios en un clculo aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen especificado en Es ERROR DE REDONDEO Muchasveces,loscomputadorescortanlosnmerosdecimalesentree17y12decimal introduciendo as un error de redondeo Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito. Sicortamoselnmeroen2.71828182(8cifrassignificativasluegodelpuntodecimal)estamos obteniendo un error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008... Sin embargo, como no consideramos que el nmero que segua al corte era mayor que 5, entonces nos convena dejar el nmero como 2.71828183, caso en el cual el error sera solo de E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002. , que en trminos absolutos es mucho menor que el anterior. Engeneral,elerrordecortedelascomputadorassermuyinferioralerrorintroducidoporun usuario, que generalmente corta a un menor nmero de cifras significativas. 5 ERRORES DE TRUNCAMIENTO. Los errores de truncamiento tienen relacin con elmtodo de aproximacin quese usarya que generalmentefrenteaunaserieinfinitadetrminos,setenderacortarelnmerodetrminos, introduciendoenesemomentounerror,pornoutilizarlaseriecompleta(quesesuponees exacta).Enunaiteracin,seentiendecomoelerrorpornoseguiriterandoyseguiraproximndoseala solucin. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de clculos sobre l, se asocia al nmero de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces. ERROR NUMERICO TOTAL Elerrornumricototalseentiendecomolasumadeloserroresderedondeoytruncamiento introducidos en el clculo. Pero aqu surge un gran problema.Mientrasmsclculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se ir incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento sepuedeminimizaralincluirmstrminosenlaecuacin,disminuirelpasooproseguirla iteracin ( o sea mayor nmero de clculos y seguramente mayor error de redondeo). Entonces,qucriterioutilizamos?...loidealseradeterminarelpuntoenqueloserroresde donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. Pero como se ha dicho antes,esloideal; enla prctica debemos considerarque hoy porhoylos computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total. CONCLUSIONES Elestudiodelosmtodosnumricos,esmuytilyporendeimportanteparaquienquieraque necesiteherramientaspararesolveroperaciones,lascualessesabequepuedenresultar complicadaspormsquesedominenlosmtodostradicionales,estosmuchasvecespuedenno ser suficientes, sin embargo, esto no quiere decirque la operacin sea imposible de solucionar,y es ah donde los mtodos numricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. Elhechodequesetomentanencuentaloserrores,nonosdejacercadelaperfeccinperoal considerarlos,.almenosnodaunaideadeconquecontamosyconqueno,aspodemostomar decisiones informadas y por lo tanto pienso yo que mejores. Adems pasando a la parte prctica, su estudio nos puede ayudar a modificar, entender e incluso simplificar algn tipo de software que los maneje, esto resulta mucha ventaja para el usuario, pues si conoces lo que haces lo puedes usar con ms provecho y optimizacin.Enpocaspalabraslasaplicacionesdelosmtodosnumricossonmuyvariadasynecesarias, especialmentepartalasingenierascomoyaloexpresanteriormente,conesto,puedoconcluir 6 que me interesa su estudio, y sobre todo aprenderlos y manejarlos bien, porque ahora veo que en un futuro no muy lejano es muy probable que los necesite aplicar. TAREA I 1.Definelossiguientes conceptos: : Errorde redondeo, Errorde truncamiento,errorinherente, exactitud, precisin y cifras significativas 2.Explica brevemente la propagacin de errores bajo la suma3.Explica brevemente la propagacin de errores bajo el producto (multiplicacin) 4.Explica brevemente la propagacin de errores bajo la divisin 5.Explica brevemente la propagacin de errores bajo laevaluacin de funciones 6.Explica el orden de precedencia de las operaciones en la computadora POLINOMIO DE TAYLOR 1.- Emplea la expansin de la serie de Taylor para predecirf(2) en88 7 6 25 ) (2 3 + = x x x x fa) Desde cero hasta tercer orden b) Calcula el error verdadero porcentual c) Calcula el error aproximado y analice el resultado 2.- Use la expansin de la serie de Taylor para estimar f(3) si f(x)=ln x utilizando x=1 como punto base.a) De cero al cuarto orden b) Calcule el error relativo porcentual para cada aproximacin analice el resultado. 3.-ObtengaelpolinomiodeTaylordetercerorden3p (x)paralafuncinf(x)= 1 + x entorno a0x =0 aproxime5 . 1 , 25 . 1 , 75 . 0 , 5 . 0usando ,) (3x p y calcule los errores reales. 4.-determinepolinomiodeTaylordesegundo 2p (x)paralafuncinx e x fxcos ) ( = ,entorno0ax =0 a) Use 2p (0.5) para aproximar f(0.5).b) Calcula el error verdadero porcentual c) Calcula el error aproximado y analice el resultado 5.-DetermineeltercerpolinomiodeTaylor 3p (x)paralafuncinx x x f ln ) 1 ( ) ( = respetoa 10 = xa) Use 2p (0.5) para aproximar f(0.5).b) Calcula el error verdadero porcentual c) Calcula el error aproximado y analice el resultado 7 SERIE DE TAYLOR. Si( ) x fes unafuncin analtica (esto es, tiene uninfinito nmero de derivadas)en el punto 0x , entonces se puede proponer la siguiente expresin ( ) ( )nonnx x a x f = =0( ) ( ) ( ) + + + + =332211 0 o o ox x a x x a x x a a conocida como serie polinomial, la cual indica que la funcin( ) x f se puede escribir mediante un polinomio de grado infinito. Paradeterminarelvalordelosrespectivoscoeficientes na delaseriesepuedeprocederdela siguiente manera: Paran =0,evaluando la funcin( ) x fen 0x x =( ) ( ) ( ) ( ) + + + + =30 0 320 0 210 0 1 0 0x x a x x a x x a a x f( ) ( ) ( ) + + + + =332211 00 0 0 a a a a 0a = , por lotanto( )0 0x f a = Para n =1, Derivando primero la funcin( ) x frespecto de x, y aplicando la propiedades lineales de la derivada ( ) ( ) ( ) ( ) | | + + + + = '30 320 210 1 0 0x x a x x a x x a adxdx f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )((

+ + + + = 30 320 210 1 0x x adxdx x adxdx x adxdadxd ( ) ( ) ( ) + + + + + =30 420 310 2 14 3 2 0 x x a x x a x x a a

Evaluando la derivada ( ) x f 'en 0x x =( ) ( ) ( ) ( ) + + + + = '30 0 420 0 310 0 2 1 04 3 2 x x a x x a x x a a x f( ) ( ) ( ) + + + + =342312 10 4 0 3 0 2 a a a a1a = por lotanto( )0 1x f a ' = Paran=2,obteniendolasegundaderivadadelafuncin( ) x f respectodex,yaplicandola propiedades lineales de la derivada 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | + + + + = ' = ' '30 420 310 2 1 04 3 2 x x a x x a x x a adxdx fdxdx f( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) + + + + =30 520 410 3 25 4 4 3 3 2 2 x x a x x a x x a a Evaluando la segunda derivada ( ) x f ' 'en 0x x =( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) + + + + = ' '30 0 520 0 410 0 3 2 05 4 4 3 3 2 2 x x a x x a x x a a x f( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) + + + + =352413 20 5 4 0 4 3 0 3 2 2 a a a a22a = por lotanto( )0 221x f a ' ' =El proceso anterior se repite para obtener cada uno de los coeficientes na , el resultado general es ( )0!1x fnann = , entonces la frmula general para la serie es ( )( )( )( )nononx xnx fx f = =0! La cual es conocida como serie de Taylor Puestoqueelcoeficientesedivideentreeln!larelevanciadelostrminosvadisminuyendo rpidamente,adems,noesposibleconsiderarunasumainfinita,solosepodrconsiderarn trminos, por lo que la serie se divide en dos partes ( ) ( ) ( ) x R x P x f + = donde( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )oonooo o ox xnx fx xx fx x x f x f x P + + ' '+ ' + =! ! 22 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) + ++ + ++ +++++2211! 2 ! 1noonnoonx xnx fx xnx fx R ( ) x P es un polinomio de orden nllamadopolinomio de Taylor,y( ) x Res el residuo.Comolos coeficientesdelpolinomiodependende !1n,laparteimportantedeldesarrolloenseriese encuentra en( ) x P .Mientras que el valor del trmino( ) x Rpuede aproximarsea9 ( )( )()( )( )nonx xnE fx R +=+! 11 para algn valor E, tal quex E xo< < , As,siunafuncinescontinuaydiferenciabledentrodelintervalodeinters,puedeserescrita como una serie de potencia finita, o serie de Taylor. Este mtodo se utiliza paratransformar funcionesyaconocidasy diferenciablesa unasdems fcil manejo. Existen ciertas observaciones que deben conocerse al aplicar esta frmula. Por ejemplo, para tener unamejoraproximacindelafuncinaunintervalo[a,b],elvalordexodebeelegirseloms cercano posible al centro de dicho intervalo. De esta manera se minimiza la contribucin mxima del trmino (x - xo) n+l del residuo en el clculo de R(x) entre a x ,entonces, Error =( )()( )( )101! 1max+++nnx xnE f=( )1! 1++nxxne Enestecaso,precisamenteelvalor xe eselquesequieredeterminarconlaevaluacindel polinomio y se utiliza, por lo tanto el valor obtenido con la serie hasta el trmino n. EJEMPLO Utiliceelresultadoanterioryobtengaelvalorde( )xe x f = ,para1 = x parn=4,trminosysu error estimado. SOLUCIN 11 Evaluando + + + + + + = ==! 5 ! 4 ! 3 ! 21!5 4 3 20x x x xxnxennx,par ax= 1 y n=4,! 41! 31! 211 14 3 21+ + + + ~ e 24161211 1 + + + + =2465==2 .708333333 Por su parte el error estimado es para x=1,n = 4, 2465~xe Error 1 =( )()( )( )101! 1max+++nnx xnE f=( )1! 1++nxxne( )1 41! 1 42464++=57613= = 0.0226 El error porcentual correspondiente es As se tiene que solamente las dos primeras cifras son correctas, esto es 2.7 =%e ~ = 100 *70833 . 20226 . 0100 *r valo mejorerror0.83 % Otraformadecompararelresultadoesutilizarunvalormsexacto,porejemplo, 1e =2.718281828elcualesobtenidoporunacalculadoraycomparandoconelcalculado previamente, as se tiene un error Error 2 =2465718281 . 2* = V V =0.009948 =%e ~ = 100 *718281 . 2009948 . 0100 *valor mejorerror0.37 % En muchos casos no se conoce un valor tan exacto por lo que se utilizar el error porcentual mayor. EJEMPLO (a) Halle el polinomio de Taylor para la funcin dada . 4 , 1 , ln ) (0= = = n x x x fLa frmula del desarrollo de Taylor es ( )( )( )nnnx xnx fx f000!) ( == (b) Utilice el resultado anterior y obtenga( ) ( ) 5 . 1 ln 2 = fy su estimacin del error porcentual. SOLUCIN Para ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ln ln 00= = = = x f x x f n12

( ) ( ) 111 110= = ' = ' = x fxx f n

( ) ( )( )111 122 0 2 = = ' ' = ' ' = x fxx f n

( ) ( )( )212 23303= = ' ' ' = ' ' ' = x fxx f n

( )( )( )( )( )61! 3 2 34404 = = = = x fxx f nIV IV Sustituyendo ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 20001! 461! 321! 211! 110!) ( + + ~ ~ =x x x x x xnx fx fnnn ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21411311211 + = x x x x Este resultado se puede generalizar para cualquier grado n observando que ( )( ) ( )( )nn nxnx f n! 111 = + ( )( ) ( )( )( ) ( )! 1 11! 11 11 1 = = + +nnfnnn n sustituyendo en la frmula general ( )( )( )( )nnnx xnx fx000!ln ===( ) ( ) ( )nnnxnn1!! 1 111 =+=( )( )nnnxn1111=+ (b) evaluando en el polinomio previo2 = x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21411311211 ln + ~ x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 21 5 . 1411 5 . 1311 5 . 1211 5 . 1 2 ln + ~=1274131211 = + =0.401041 el residuo puede para este caso es ( )( ) ( )( )1121111++++=nnnxnEx R, donde| | 2 , 1 e E , paraelcalculodelerrorsebuscaelvalordeEqueconduceamayorabsoluto( ) x R ,paraeste caso particular ese valor es E =1, entonces Error 1 =( )()( )( )101! 1max+++nnx xnE f= ( ) ( )( )( )1 41 421 5 . 11 4111++++n= 0.00625,13 locualindicaquecontotalseguridadlasdosprimerascifrasdecimalessoncorrectas,elerror porcentual correspondiente es100 *401041 . 000625 . 0% = e= 1.56 % Considerando el punto medio como valor ms adecuado, se tiene un error porcentual =34.28 % RAICESDEECUACIONES DE UNA SOLA VARIABLE Lasolucindeproblemasencienciaseingenierarequiereenocasionesdelasolucinde encontrarlarazoracesdeunafuncindeunavariabley=f(x),estoesenformaanaltica resolver la ecuacin f (x) = 0 Lasolucin de estaecuacinenmuchos casosno sepuede resolverenformaanaltica,porlo que es necesario utilizar otros medios para encontrar sus races, por ejemplo se puede recurrir a la grfica de funcin aplicar un mtodo numrico. MTODO GRFICO DE BSQUEDA DE RACES Como se sabe, la grfica de una funcin y =f(x) es una curva en el plano xy, por lo que las races de la ecuacin f(x) = 0 son las intersecciones de la grfica con el eje de las abscisas. Por lo tanto, para obtener la raz de una funcin se debe proceder a obtener la respectiva grfica en el intervalo a < x < b, donde se encuentre la raz y a partir de la observacin de la misma y/o utilizandoherramientasdeprogramaseleccionadoparagraficaraproximarsealvalorms adecuado de la raz. En lo que sigue se utilizar MATLAB como el programa de graficacin. EJEMPLO. Encuentre de manera grfica la raz (o races) de la funcin( ) ( ) x x x f ln + = SOLUCION Puesto que 1932 . 021ln2121 = |.|

\|+ = |.|

\|fy ( ) ( ) 1 1 ln 1 1 = + = f , 14 Puesto quelafuncines continua,lafuncindebe tenerforzosamente almenos una razenel intervalo 0.5 b fII.( ) 0 > a fy( ) 0 < b f La figura 8 muestra cada uno de de los casos (a)(b) Figura 8. (a) Caso I para el mtodo de biseccin12 = x x y , (b) caso II82 3+ + = x x yEn ambos casos se cumple que ( ) ( ) 0 < b f a f Estoes,losvaloressonelegidosaybsondetalformaqueelproductodelasfunciones evaluadas enesospuntosseanegativo, es decir,quelasfuncionesenesospuntos tengansigno 0 1 2 3-2-10123450 1 2 3-10-8-6-4-2024681026 diferente,locualunidoalhechodequelasfuncin( ) x f y = escontinua,garantizaqueenel intervalo| | b a,hay al menos una raz. Elmtodoconsisteendividirelintervalo| | b a, variasvecesalamitadensubintervalosde | |d ix x , ylocalizarencadapasocualdelasdosmitadesenquesehadivididoelintervalo previo contiene a la razque contenga a x. Elcasoinicialn=0,consisteenasignarlosvaloresdeiniciodelmtodo,estoes,a xi = yb xd = . Posteriormente se obtiene el punto medio mediante 2d imx xx+= Al evaluar la funcin en el punto mediomxse pueden presentar alguno de los siguientes casos: a)( )mx f tiene elmismosigno que ( )ix f , entonces, para el siguiente paso se reemplaza xipor xmyse aplica nuevamente el mtodo para el intervalo| |d mx x , .b)( )mx f tieneigualsignoque( )dx f ,entoncessereemplazaxdporxmysecontina trabajando con el intervalo| |m ix x , .c)puede suceder el caso( ) 0 =mx f , con lo cualxm es la raz exacta de la ecuacin( ) 0 = x f . De acuerdo almtodo de biseccinla convergencia delmismo esta garantizada, esto es, para la primeraiteracin elintervalo seha reducido alamitad| | 2 / , b a ;enlasegundaiteracin,a lacuartaparte| |22 / , b a yassucesivamente,enlan-simaiteracinelintervaloseha reducido 2n veces, entonces se cumple que 12 =n nnx xa b Considerandoqueelcriteriodeconvergenciac < 1 n nx x ,indicaqueparalan-sima iteracinla raz se encuentra en intervalo( )1 n nx x , entonces, c a bn 27 Laexpresinanteriorsepuedeutilizarparasaberdeantemanoelnmerodeiteraciones requeridas por el mtodo para lograr una aproximacin deseada. EJEMPLO Encuentrela raz (o races) delafuncin( ) ( ) x x x f ln + =utilizando enmtodo delabiseccin para encontrar una raz con una exactitud del orden 10-5. Constryase una tabla donde se indique n, xi, xd , ( )ix f ,( )dx fy 1 =n n nx x c . El diagrama de flujo es mostrado ms adelante. El programa en MATLAB respectivo es % Mtodo de la biseccin a=input('introduceel valor a ='); b=input('introduceel valor b ='); epsilon=input('introduce el valor epsilon ='); xi=a; xd=b; Nmax=100; n=0; error=abs(b-a); disp(' nxi xd f(xi) f(xd)error') while n=epsilonfi=xi+log(xi); fd=xd+log(xd); fprintf('%4.0f%4.6f%4.6f%4.6f%4.6f%4.6f\n',n, xi,xd,fi, fd, error) xm=(xi+xd)/2; fm=xm+log(xm); if fm*fi 0 xi=xm; else xi=xm; xd=xm; disp('la raiz es exacta') end end error= abs(xd-xi); n=n+1; end fprintf('la raz es xr = %4.6f, con error = %4.6f\n',xm, error) 28 Diagrama de flujo del mtodo de BISECCIN SI NO FIN NO La raiz exacta xm INICIO a, bepsilon SI nepsilon xia xdb Nmax 100 n 0 error |xd-xi| Error=abs(b-a) fi f(xi) fdf(xd) n,xi, xd, fi,, fd error xm(xi+xd))/2 fmf(xm) fm*fi< 0 SI NO fm*fi>0 xdxm xixm xixm xdxm La raiz esxm error|xd-xi| nn+1 29 La corrida del programa se realiza con los valores a = 0.5 ( ( ) ( ) 1932 . 0 5 . 0 ln 5 . 0 5 . 0 = + = f ),b = 1 ( ( ) ( ) 1 1 ln 1 1 = + = f ) yepsilon = 0.000001. Los resultados de la corrida son introduceel valor a =0.5 introduceel valor b =1 introduce el valor epsilon =0.000001 nxixdf(xi)f(xd)error 00.5000001.0000000.1931471.0000000.500000 10.5000000.7500000.1931470.4623180.250000 20.5000000.6250000.1931470.1549960.125000 30.5625000.6250000.0128640.1549960.062500 40.5625000.5937500.0128640.0724530.031250 50.5625000.5781250.0128640.0301600.015625 60.5625000.5703130.0128640.0087420.007813 70.5664060.5703130.0020370.0087420.003906 80.5664060.5683590.0020370.0033580.001953 90.5664060.5673830.0020370.0006620.000977 100.5668950.5673830.0006870.0006620.000488 110.5671390.5673830.0000130.0006620.000244 120.5671390.5672610.0000130.0003250.000122 130.5671390.5672000.0000130.0001560.000061 140.5671390.5671690.0000130.0000720.000031 150.5671390.5671540.0000130.0000290.000015 160.5671390.5671460.0000130.0000080.000008 170.5671420.5671460.0000020.0000080.000004 180.5671420.5671440.0000020.0000030.000002 la raz es xr = 0.567143, con error = 0.000001 La convergencia se debe alcanzar en la iteracin ( ) ( )( ) 2 lnln ln c >a bn = ( ) ( )( ) 2 ln000001 . 0 ln 5 . 0 1 ln > n =18.9316 ~ 19 MTODO DE NEWTON-RAPHSON El mtodo de Newton-Raphson es uno de los ms poderosos y utilizados en resolver el problema de encontrarraces de ecuaciones delaformaf (x) =0,adems, estas races pueden serreales o complejas; aunque, es necesario conocer en el caso de las races complejas si estas lo son. LaideabsicadelmtododeNewton-Raphsonesmostradoenlafigura9.Estbasadoen aproximar la funcin f(x) mediante una recta tangente. 30 Figura 9. Ilustracin del mtodo de Newton-Raphson La ecuacin de la recta tangente con pendientem y que pasa por el punto( )0 0, y xes ( )0 0y x x m y + = Lapendientedelarectaenelpunto( )0 0, y x sepuededeterminarapartirde( )0x f m ' = ,y utilizandoademsque 0x esunpunto tangentea( ) x f ,estoes,( )0 0x f y = ,laecuacinqueda como ( )( ) ( )0 0 0x f x x x f y + ' = Por otra parte, para 0 = y en la recta se tiene que 1x x = , entonces ( )( ) ( )0 0 00 x f x x x f + ' = De donde, despejando a 1x ( )( )000 1x fx fx x' = 1xse considerala primer aproximacin ala raz de la ecuacin( ) 0 = x f .El proceso anteriorse puede repetir utilizando ahora el punto 1xpara obtener la siguiente aproximacin 2xmediante la ecuacin 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-100-500501001502000x1x( )0 0y x x m y + =( ) x f y =31 ( )( )111 2x fx fx x' = , generalizando el resultado se tiene la ecuacin recursiva ( )( )nnn nx fx fx x' =+1 EJEMPLO Obtengalascuatroprimerasaproximacionesalarazdelafuncin( ) ( ) x x x f ln + = utilizando como punto inicial10 = x SOLUCION Derivandodelafuncin( ) ( ) x x x f ln + = ,setiene( )xx f11+ = ' ,entonceslafrmularecursiva para este problema particular es ( )nnn nxx xx x11ln1++ =+ Evaluando Para 0 = ny10 = x ( )500000 . 0211111 ln 111= =++ = x1 = ny500000 . 01 = x ( )0.5643825 . 0115 . 0 ln 5 . 05 . 02=++ = x2 = ny0.5643822 = x ( )0.5671390.564382110.564382 ln 0.5643820.5643823=+ + = x3 = ny0.5671393 = x ( )0.5671430.567139110.567139 ln 0.5671390.5671394=+ + = x Comparando los ltimos valores se observa que coinciden en las primeras 4 cifras decimales, los cuales se pueden considerar como cifras correctas para la raz buscada, el error se considera como 0.00001/2=0.000005 EJEMPLO 32 Realiceunprogramaparaobtenerlarazdelafuncin( ) ( ) x x x f ln + = conunaexactitudde7 cifras decimales correctos. Paraconseguirlaaproximacinindicada(ytalvezms)seproponeunvalordecontrolpsilon =0.000000001. El cdigo del programa para MATLAB se muestra a continuacin % programa Newton-Raphson funcin f(x)=x+ln(x) x0=1; n=0; error=1; epsilon=0.000000001; f0=x0+log(x0); disp(' nxn f(xn) error') while error>epsilon fprintf('%4.0f%3.12f%3.12f%3.12f \n',n, x0, f0,error); x1=x0-(x0+log(x0))/(1+1/x0); error=abs(x1-x0); x0=x1; f0=x0+log(x0); n=n+1; end fprintf('%4.0f%3.12f%3.12f%3.12f \n',n, x0, f0,error); La corrida del mtodo se muestra a continuacin

nxnf(xn)error 01.0000000000001.0000000000001.000000000000 10.500000000000-0.1931471805600.500000000000 20.564382393520-0.0076408610090.064382393520 30.567138987715-0.0000118893330.002756594195 40.567143290399-0.0000000000290.000004302684 50.567143290410-0.0000000000000.000000000010 Al comparar los ltimos dos valores se tiene que coinciden en 10 decimales, esto es, el valor de la raz es xr =0.567143290 con un error mximo posible =0.0000000001 Comoseobserva,elmtododeNewtonRaspntieneunagranvelocidaddeconvergencia comparadoconlosmtodosdescritosanteriormente,sinembargo,lavelocidaddeconvergencia se ve alterada cuando la raz corresponde a un mnimo o cuando se interpone un mnimo entre el valordeinicio 0x ylarazbuscada.Lafigura10muestraelcasoenqueelmtodoNewton Raphsonfalla si no se tiene cuidado. 33 Figura 10. Situacin donde el mtodo de Newton Raphson falla MTODO DE LA SECANTE El mtodo de Newton Raphson requiere conocerla pendientem de la recta tangenteen el punto 0x , para obtenerla se utilizala derivada( )0x f m ' = , en algunos casos puede ser muy complicado obtener la derivada, para estos casos se puede aproximar la derivada por la secante, esto es ( )( ) ( )11= 'n nn nx xx f x fx f Sustituyendo en la formula de Newton Raphson ( )( )nnn nx fx fx x' =+1=( )( )( ) ( )11 =n nn n nnx f x fx x x fx Ahora no se requiere la derivada, pero es necesario dar dos puntos 0xy 1xcomo valores iniciales que se encuentren del lado positivo ( negativo) para aplicar el mtodo de la secante. La figura 11 muestra el caso 0x2x1x-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-10-5051015202530354034 EJEMPLO ApliqueelMtododelasecanteparaencontrarlarazlafuncin( ) ( ) x x x f ln + = conuna exactitud de 7 cifras decimales correctos. SOLUCIN Para conseguirla aproximacinindicada (y talvezms)se propone unvalorde control psilon =0.000000001. los valores iniciales propuestos son x0=2, x1=1; La tabla siguiente muestra los resultados de aplicar el mtodo de la secante nxn-1 xnf(xn)error 02.0000000000001.0000000000001.0000000000001.000000000000 11.0000000000000.409383890850-0.4837180638701.000000000000 20.4093838908500.6019350821890.0943294058050.590616109150 30.6019350821890.5705133730410.0092947039980.192551191338 40.5705133730410.567078828326-0.0001781295620.031421709148 50.5670788283260.5671434123750.0000003370160.003434544715 60.5671434123750.5671432904140.0000000000120.000064584049 70.5671432904140.567143290410.0.0000000000000.000000121961 80.5671432904100.567143290410.0.0000000000000.000000000004 Al comparar los ltimos dos valores se tiene que coinciden en 11 decimales, esto es, el valor de la raz es xr =0.56714329041 con un error mximo posible =0.000000000005= 5 x 10-12. -3 -2 -1 0 1 2 3 4-20246810121416180x2x1x35 USO DE COMANDOS DE MATLAB A continuacin se describen algunos comandos que permitenmanejar polinomios deformamuy rpida, realizar algunas operaciones entre ellos,por ejemploobtener sus racesy grficas Un polinomio se representa por un vector fila con sus coeficientes en orden descendente; se deben incluir los trminos con coeficientes nulos. El polinomio 0 12211..... a x a x a x a x a pnnnnnn+ + + + + + = se representa por el vector p = [an, an-1, an-2,..., a1, a0] Las raices de un polinomio se encuentran utilizando la funcin roots(p). MATLABadoptaelconveniodequelospolinomiossonvectoresfilaylasracessonvectores columna. Dadaslasracesdeunpolinomio,esposibleconstruirlospolinomiosasociadosmediantela funcin poly(r). OTRAS CARACTERSTICAS MATLAB ofrece muchas capacidades para la manipulacin de polinomios: -conv(a,b) multiplica los dos polinomios a y b. -deconv(c,b) divide el polinomio b entre c. -polyder(p) calcula la derivada del polinomio p. -polyval(p,x) evala el polinomio p en todos los valores de x. -residue(n,d)calcula el desarrollo enfraccionessimples delcociente de n a d,donde ny d son polinomios. -polyder(n,d) calcula la derivadadel cociente de n a d, donde n y d son polinomios. MATLAB no tiene incorporada una funcin para sumar polinomios. Sin embargo, es fcil sumar los polinomios con la creacin de una funcin. EJEMPLO >> p=[1 -12 0 25 116]% Incluimos t6rminos con coeficientes nulos. p= p = 1 -12 025 116 > > r=roots(p)% races del polinomio p. r = 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i >> pp=poly(r)% Polinomios asociados. 1.0000-12.0000 -0.0000 25.0000116.0000 36 EJEMPLO >> a=[1 2 3 4]; b=[1 4 9 16];% Introduccin de polinomios del mismo grado >> c=conv(a,b) % Multiplicacin. c = 1 62050758464 >> d=a+b% Sumad = 2 61220 >> e=c+[0 0 0 d] % Seiguala primero el grado de los polinomiose = 1 62052819684 >> f=c+[0 0 0 -d]% Resta f = 1 62048697244 >> [q,r]=deconv(c,b)% Divisinq = 1 2 3 4 r = 0 0 0 0 0 0 0 >> g=polyder(f)% Derivada del polinomio g = 63080 144 13872 EJEMPLO >> x=linspace(1,3); % Se generan 100 puntos de datos entre -1 y 3. >> p=[1 4 -7 -10]; % Definimos el polinomio p. >> v= polyval(p,x); % Evaluamos p(x) en los valores de x y se guarda en v >> plot(x,v) >> title('x^3 + 4x^2 - 7x - 10') >> xlabel('x') 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3-15-10-505101520253035x3 + 4x2 - 7x - 10x37 TAREA II METODO GRFICO 1. Encuentre todas las races por el mtodo grafico para las siguientes funciones, con cuatro cifras de precisin. a)0 3 = x ex b)0 1 22 3= + x x xc)0 3 3 42 3 4= + + x x x xd)( ) 0 1 tan = + x x METODO DE PUNTO FIJO 2. f(x) = ex - 3x2 = 0, tiene tres races. Una agrupacin obvia es 3xex =Muestre,comenzandoconx0=0,queconvergiraunarazcercanaa-0.5siseutilizaunvalor negativo,yqueconvergiraunarazcercanaa1.0,siseutilizaelvalorpositivo.Mostrar,sin embargo, que esta forma no converge a la tercera raz cercana a 4.0 aun cuando se utilice un valor inicial casi exacto. Encuentre otra forma que converja a la raz cercana a 4.0. 3. Una raz de la ecuacin cuadrtica x2 + x 1 = 0 = x(x + 1) 1 esta en x = 0.6180. La forma equivalente x = 1/(x + 1) converge a esta raz comenzando con x0 = 1. Acarreando cuatro o cinco decimales,cuantospasosserequierenparallegaralaraz(conunaprecisinhastadecuatro decimales)? 4. La ecuacin cbica 2x3 + 4x- 2x 5 = 0 tiene una raz cercana a x = 1. Encuentre al menos tres reordenaciones que converjan a esta raz comenzando con x0 = 1.0. METODO DE BISECCION 5. La ecuacin x2 - 2 = 0 tiene las races obvias = 1.414214. Utilice seis iteraciones del mtodo delabiseccinparaevaluarlarazpositivacomenzandoconelintervalo[1,2].Cuantas iteracionesserequerirnparaevaluarlasracescorrectashastaconcincodgitossignificativos? Despusdeestasiteraciones,cualesellimiteparaelerrormedidoporlamitaddelultimo intervalo? (No tiene que realizar las iteraciones para responder las ultimas dos preguntas.) 6. Por supuesto, la ecuacin cuadrtica (x -0.4)(x - 0.6) = .x2 -x+ 0.24, tiene ceros en x = 0.4 y x = 0.6.Observequelospuntosextremosdelintervalo[0,1]nosonsatisfactoriosalcomenzarel mtododelabiseccin.Hagalagrficadelafuncin,ydeestodedzcanseloslimitesdelos intervalos que van a converger a cada uno de los ceros. Si los puntos extremos del intervalo [0.5, 1.0]seutilizanparacomenzarlabsqueda,culesunlmiteparaelerror,despusdecinco iteraciones?Culeselerrorrealdespusdecincorepeticionesdelmtododebiseccinde intervalos? 7Elmtododebiseccindelintervaloseaplicaacualquierfuncincontinua,nosoloa polinomios. Encuentre en dondeseintersecanlasgraficas dey = 3xy dey = ex,encontrandola raz deex-3x = 0 hasta cuatro decimales. 38 8.Utilceseelmtododelabiseccinparaencontrarlarazpositivamspequeadeestas ecuaciones. En cada caso, determnese primero un intervalo adecuado y luego calcule la raz con una precisin del 0.5%. a)tanx-x-1=0b) x3-x2-2x+1=0 c) 2e-x - sen x = 0d) 3x3 + 4x2 - 8x - 1 = 0 METODO DE NEWTON RAPHSON Y SECANTE 9.Escribaelalgoritmoparael,mtododelasecante,siguiendoelmodelodeotrosalgoritmos presentados en este capitulo. 10.Encuentreunarazcercanaax=-0.5delaecuacinex - 3x2=0pormediodelmtodode Newton, con precisin hasta de seis dgitos. 11 La ecuacin ex - 3x2 = 0, no solo tiene una raz cercana a x = -0.5, sino tambin cercana a x = 4.0. Encuentre la raz positiva por medio del mtodo de Newton y de la secante, con una precisin relativa de 0.01%. 12.GrafiquecadaunodelossiguientespolinomiosparacontarconlosvaloresinicialesylocalizarlasracesutilizandoelmtododeNewtonparaencontrarlasracesdelossiguientes polinomios: a) x32x+1=0b) x4 +x34x23x+3=0 c) x4 - 4.4x3 + 9.43 x2 -14.86x + 7.15 = 0 13.(x 1)3(x 2)=x4 -5x3 + 9x2 -7x + 2= 0 tiene obviamente una razen x = 2,y una raz triple en x = 1. Comenzando con x = 2.1, utilice el mtodo de Newton una vez, y observe el grado demejora.Luegocomienceconx=0.9,yobservelaconvergenciamuchomaslentaalaraz triple,aunqueelerrorinicialesdesolo0.1encadacaso.Utiliceelmtododelasecante comenzandoconf(0.9)yf(1.1)yobservequesolounaaplicacinconduceaunvalormuy cercano a la raz en contraposicin al mtodo de Newton. Explique. USO DE COMANDOS DE MATLAB Obtenga las grficas y races correspondientes para cada uno de los polinomios siguientes. 14.. Encuentre los ceros de los polinomios de Legendre de sexto orden: P6(x) = (1/48 )(693x6 - 945x4 + 315x2 - 15). (Nola. Todos los ceros de los polinomios de Legendre son menores que uno en valor absoluto y, para los polinomios de orden son simtricos alrededor del origen.) 15.LospolinomiosdeLegendredelproblema51sonunconjuntodeunaclasedepolinomios conocidoscomopolinomiosortogonales.OtroconjuntosonlospolinomiosdeLeguerre. Encuentre los ceros de los siguientes polinomios: a)L3(x) = x3 - 9x2 + 18x - 6b) L4(x) = x4- 16x3 + 72 x2 96 x + 24