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Metodos Matematicos Avanzados

Segundo de Fısicas — 18 de Diciembre de 2006

Ejercicio 1 Expresar los numeros complejos−3 + 2i

5 + iy 23−i en forma cartesiana.

Ejercicio 2 Resolver la ecuacion z2 + (2 + 2i)z + 4i = 0.

Ejercicio 3 Determinar (en caso de existir) las funciones f(z) holomorfas en lC tales queIm(f(z)) = 2 cos (x) cosh (y)−x2+y2, con z = x+iy, que ademas verifican f(i) = 3+i(1+e+e−1).

Ejercicio 4

a) Dar un ejemplo (en caso de existir) de una funcion compleja de variable compleja que tengaun polo en z = 1 − i con residuo 0.

b) Dar un ejemplo (en caso de existir) de una funcion compleja de variable compleja que tengaun polo en z = 2 con residuo 3i y otro en z = 3i con residuo 2, simultaneamente.

Ejercicio 5 Determinar razonadamente el valor de la integral I =

∫C

z2

e2z + 1dz cuando:

a) C = {z ∈ lC : |z| = 2} b) C = {2 + eiθ : θ ∈ [0, 2π]} c) C = {z ∈ lC : |z − 4i| = 1}

Ejercicio 6 Calcular la siguiente integral real, utilizando el Teorema de los residuos:∫

2π

0

dx

1 + sin2 (x)

Ejercicio 7 Calcular la siguiente integral real, utilizando el Teorema de los residuos:∫

+∞

−∞

sin (x)

x2 − 4x + 5dx

Valor de los ejercicios:

• 1 punto para cada uno de los ejercicios del 1 al 4,

• 2 puntos para cada uno de los ejercicios del 5 al 7.

Tiempo: 2 horas


Segundo de Fısicas — Primer Parcial — 30 de Enero de 2007

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cuestion 1 Determinar el valor de los parametros a, b, c y d para que la funcion de variablecompleja f(z) = f(x + iy) = (x2 + axy + by2) + i(cx2 + dxy + y2) sea derivable en todo lC.

Cuestion 2 Determinar razonadamente el valor de la integral I =

∫C

eizdz

(z − π)3, en los casos:

a) C = {z ∈ lC : |z + i| = 4}, b) C = {z ∈ lC : |z + 3| = 1}.

Cuestion 3 Determinar (en caso de existir) un numero complejo z verificando a la vez

| sin (z)| > 1 y | cos (z)| > 1.

Cuestion 4 Representar graficamente el conjunto de los numeros complejos z que satisfacenla condicion:

|z − 1|

|z + 1|≤ 1.

Cuestion 5 Determinar la funcion holomorfa f(z), con z = x+ iy, cuya parte real viene dadapor u(x, y) = x3 − 3xy2 y verifica f(1 + 2i) = −11 + 7i.

Cuestion 6 Determinar si alguna(s) de las siguientes expresiones define(n) solucion(es) de laEDP xuxx(x, y) − xuyy(x, y) + 2ux(x, y) = 0, cuando x 6= 0.

a) u(x, y) = 2x +y2

xb) u(x, y) = x −

2y2

xc) u(x, y) = 2x +

2y2

x

Cuestion 7 Determinar razonadamente una funcion g(x) para la cual el siguiente problemaNO tenga solucion y otra para la que tenga INFINITAS soluciones. No se pide resolverlos.

xux(x, y) + yuy(x, y) = 5u(x, y), u(x, x) = g(x).

Cuestion 8 Indicar el tipo de la EDP uxx(x, y) + (x − 1)uxy(x, y) + uyy(x, y) = 0 y como vaa ser su forma canonica, en cada region del plano . No se pide calcularlas.

Cuestion 9 Dada una EDP del tipo 4uxx(x, y)+β ·uxy(x, y)+uyy(x, y) = 2, donde β es unaconstante desconocida para nosotros, SOLAMENTE UNA de las siguientes expresiones puededefinir su solucion general, determinar razonadamente cual es.

a) u(x, y) = K1(x + y) + K2(x + 4y) +x2

4b) u(x, y) = K1(2x + y) + K2(x + 4y) − 3x

c) u(x, y) = K1(2x + 8y) + K2(x + 4y) + y2

donde K1 y K2 son funciones arbitrarias. Finalmente, calcular el valor de β.

Cuestion 10 Un estudiante de 2◦ de Fısicas necesita resolver una EDP. Primero la resuelvecon MAPLE y obtiene que la solucion general viene dada por u(x, y) = −3 + xK(y/x); luego, laresuelve “a mano” obteniendo que u(x, y) = 3x−3+yK(y/x), donde K es una funcion arbitraria.Explicar si es posible que ambas soluciones sean correctas. Indicar el tipo de EDP que se estaqueriendo resolver.

NOTA: Todas las cuestiones tienen el mismo valor. SOLO SE TENDRAN EN

CUENTA LAS RESPUESTAS QUE ESTEN RAZONADAS.


Segundo de Fısicas — Primer Parcial — 30 de Enero de 2007

Ejercicio 1 Resolver las siguientes ecuaciones, determinando z en forma cartesiana.

a) e2z + 2ez− 3 = 0

b)1

z − i+

2 + i

1 + i=

1 + i

2

Ejercicio 2 Calcular las siguientes integrales reales

a)

∫+∞

−∞

x

(x2 + 4x + 13)2dx b)

∫2π

0

sin (x)

4 + sin (x)dx

Ejercicio 3 Resolver los siguientes problemas

a) ux(x, y) + 2uy(x, y)− 2u(x, y) = 4y, u(x, x) = sin (x).

b) ut(x, t)− 3t2ux(x, t) = 2, u(x, 0) = x3.

Ejercicio 4 Reducir la siguiente EDP lineal de segundo orden a su forma canonica, haciendotodos los cambios de variable en detalle y resolverla (si es posible):

uxx(x, y) + 4uxy(x, y) + 3uyy(x, y) + 2ux(x, y) + 10uy(x, y)− 8u(x, y) = 2.

NOTA: El valor de los ejercicios es el siguiente:

• Ejercicio 1-a): 1 punto. Ejercicio 1-b): 1 punto

• Ejercicio 2-a): 1.5 puntos. Ejercicio 2-b): 1.5 puntos

• Ejercicio 3-a): 1.25 puntos. Ejercicio 3-b): 1.25 puntos

• Ejercicio 4: 2.5 puntos


Segundo de Fısicas — 26 de Abril de 2007

Ejercicio 1 [1 punto] Sabiendo que

1 − x =∞∑

n=1

2

nπsin(nπx), x ∈ (0, 1),

representar graficamente la funcion definida por la serie de Fourier anterior cuando x varıa enel intervalo (3, 6).

Ejercicio 2 [1.5 puntos] Determinar el valor de la serie

∞∑

n=1

1

(2n − 1)4,

utilizando el desarrollo en serie de Fourier de la funcion f(x) = |x| en [−π, π].

Ejercicio 3 [1 punto cada apartado]

a) Calcular la Transformada de Fourier de la funcion

f(x) =1

x2 + 81.

b) Determinar el valor de la integral

∫ +∞

−∞

10 cos (ξπ/10)

25 − ξ2dξ, usando que 10 cos (ξπ/10)

25−ξ2 = F(f)(ξ),

con

f(x) =

{

cos (5x) si |x| < π/100 en otro caso

Ejercicio 4 [1 punto cada apartado]

a) Determinar la Transformada de Laplace de la solucion del problema de Cauchy

x′(t) − 60x(t) = t10 + et cos (−3t), x(0) = 2.

b) Calcular la Transformada inversa de Laplace de la funcion

F (s) =se−7s

s2 + 1+

4

s2 + 2s.

Ejercicio 5 [1.5 puntos] Resolver el siguiente problema utilizando el metodo de separacionde variables

utt(x, t) = uxx(x, t),u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = x − 3 x ∈ (0, 1)

Ejercicio 6 [2 puntos] Resolver el siguiente problema utilizando el metodo de separacionde variables

uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0,ux(0, y) = ux(π, y) = 0, y ∈ (0, 1)u(x, 0) = 0, u(x, 1) = f(x), x ∈ (0, π)

en los casos f(x) = x y f(x) = 8.

Tiempo: 2 horas


Segundo de Fısicas — Segundo Parcial — 12 de Junio de 2007

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cuestion 1 Determinar razonadamente si la siguiente igualdad es verdadera o falsa:

π

4=

∞∑

n=1

sin ((2n − 1)x)

2n − 1∀ x ∈ (0, π).

Cuestion 2 Sabiendo que la transformada de Fourier de la funcion f(x) =x4e−5|x|

1200esta entre

las siguientes funciones, determinar razonadamente cual es:

a) f(ξ) =ξ4 − 50ξ2 + 125

(ξ2 + 25)5b) f(ξ) =

ξ4 − 50ξ2 + 125

(ξ2 + 25)2c) f(ξ) =

ξ4 − 50ξ2 + 125i

(ξ2 + 25)5

Cuestion 3 Sabiendo que∞∑

k=0

8 sin ((2k + 1)πx)

π3(2k + 1)3es la serie de Fourier asociada a la funcion

f(x) = x(1 − |x|) en el intervalo (−1, 1), determinar el valor de la serie∞∑

k=0

1

(2k + 1)6.

Cuestion 4 Dada f ∈ C1([0, +∞)) tal que f ′(t) es de orden exponencial cuando t → +∞ ,demostrar la igualdad

lims→+∞

sL(f)(s) = f(0).

Cuestion 5 Determinar la Transformada de Laplace de la solucion del problema de Cauchy

x′′(t) − x′(t) + 2x(t) = t sin(t), x(0) = 3, x′(0) = 1.

Cuestion 6 Desarrollar en serie de Fourier-Legendre la funcion f(x) = 2x + x2 − 5x3.

Cuestion 7 Determinar razonadamente (en caso de existir) los valores (−3)! y (−2.5)!.

Cuestion 8 Determinar razonadamente cuantas soluciones tiene el problema de contorno

x′′(t) + 40000x(t) = h(t), x(0) = 0, x(π) = 0,

en los casos a) h(t) = sin (200t), b) h(t) = sin (199t).

Cuestion 9 Transformar la EDO x′′(t) +x′(t)

t+

(

4t2 −4

9t2

)

x(t) = 0, mediante el cambio

de variable s = t2 y expresar su solucion general, utilizando funciones especiales.

Cuestion 10 Dado el siguiente Problema Regular de Sturm-Liouville

x′′(t) +3

tx′(t) +

λ

t2x(t) = 0, x(1) = 0, x(e3) = 0,

establecer la condicion de ortogonalidad que verifica la familia de sus autofunciones.No se pide calcular los autovalores y las autofunciones.




Segundo de Fısicas — Segundo Parcial — 12 de Junio de 2007

Ejercicio 1

a) (1 punto) Calcular la transformada de Fourier de la funcion

f(x) =

x si |x| ≤ 2

0 si |x| > 2

b) (1.5 puntos) Calcular la transformada inversa de Laplace de la funcion

F (s) =s

s2 − 2s + 3+

e−s

s(s − 1)

Ejercicio 2 (2.5 puntos) Resolver el siguiente problema utilizando el metodo de separacionde variables

uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0,

u(0, y) = f(y), u(π, y) = 0, y ∈ (0, 1)u(x, 0) = 0, u(x, 1) = 0, x ∈ (0, π)

en los casos f(y) = sin (y) y f(y) = 1 − y.

Ejercicio 3 (1.5 puntos) Determinar la funcion de Green para el problema de contorno

tx′′(t) − x′(t) = f(t), x′(1) = x(2) = 0.

Resolverlo para f(t) = 3t4.

Ejercicio 4 (2 puntos) Resolver el siguiente problema de contorno, utilizando el metodo deseparacion de variables:

ut(x, t) = uxx(x, t), t > 0, x ∈ (0, 5)ux(0, t) = 0, u(5, t) = 0, t > 0,

u(x, 0) = f(x) x ∈ (0, 5),

en los casos f(x) = 2 sin

(

3πx

10

)

y f(x) = −6 cos

(

7πx

10

)

.

Ejercicio 5 (1.5 puntos) Suponiendo que {µk}∞

k=1son los ceros positivos de J1(t), desarrollar

en el intervalo [0, 1] la funcion

f(t) =

t3 si t ∈ [0, 1

3]

2t si t ∈ (1

3, 1]

en serie de Fourier-Bessel del tipo∑

∞

k=1 akJ1(µkt).


Segundo de Fısicas — Final — 25 de Junio de 2007

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cuestion 1 Determinar razonadamente el valor de la integral I =

∫

C(2z + 9)dz, cuando

a) C = {2 + eiθ : θ ∈ [0, π/2]} b) C = {1 + 2eiθ : θ ∈ [0, 2π]}

Cuestion 2 Determinar (si es posible) una EDP para la cual la expresion

u(x, y) = K1(y + 2x) + K2(x +y

2) + ex,

donde K1 y K2 son funciones arbitrarias, defina su solucion general.

Cuestion 3 Dado el problema

xux(x, y) + 2yuy(x, y) + (y2 − x4)u(x, y) = 3x3, u(x, x2) = g(x),

determinar (si es posible) una funcion g(x) para la cual NO TENGA SOLUCION y otra g(x)para la cual tenga INFINITAS SOLUCIONES. No se pide resolver los problemas.

Cuestion 4 Determinar (en caso de existir) los puntos donde la funcion de variable complejaf(z) = x4 + iy2, con z = x + iy, es derivable. Calcular su derivada en dichos puntos.

Cuestion 5 Determinar la EDO que debe verificar ϕ(r) para que la funcion

u(x, y) = ϕ(y/x),

sea armonica para x > 0. Calcular las funciones armonicas del tipo anterior.

Cuestion 6 Determinar la funcion de Green asociada al problema de contorno

x′′(t) + x′(t) = f(t), x(0) = 0, x′(1) = 0.

Cuestion 7 Sabiendo que la transformada de Laplace de la funcion J0(t) (funcion de Besselde primera clase y orden 0) viene dada por L(J0)(s) = 1√

s2+1, determinar la transformada de

Laplace de las funciones tJ0(t) y tJ1(t).

Cuestion 8 Determinar el valor de la integral

∫ ∞

0

e−t3t8dt, utilizando la funcion Gamma.

Cuestion 9 Dada la funcion f(t) = t16−3t4+1, determinar cuales de los siguientes enunciadosson ciertos y cuales falsos, justificando la respuesta:

a) f(t) se puede desarrollar en serie de Fourier solo de {sin(

nπt2

)

}+∞n=1 para t ∈ (−2, 2).

b) f(t) se puede desarrollar en serie de Fourier solo de {sin(

nπt4

)

}+∞n=1 para t ∈ (0, 4).

c) f(t) se puede desarrollar en serie de Fourier solo de {cos(

nπt6

)

}+∞n=0 para t ∈ (−6, 6).

Cuestion 10 Sabiendo que x3 =∞∑

n=1

2(n2π2 − 6)(−1)n+1

n3π3sin (nπx), x ∈ (−1, +1), determi-

nar razonadamente el valor de la serie∞∑

k=0

((2k + 1)2π2 − 6)(−1)k

(2k + 1)3.


CUENTA LAS RESPUESTAS QUE ESTEN RAZONADAS. Las cuestiones 1 a 5 corres-

ponden al Primer Parcial; el resto al Segundo Parcial.


Segundo de Fısicas — Final — 25 de Junio de 2007

Ejercicio 1 Calcular la integral

∫

2π

0

cos (x)

26 − 10 sin (x)dx (1.8 puntos)

Ejercicio 2 Resolver el problema

yux(x, y) + xuy(x, y) = 3x − 2y, u(x, 0) = x3− 2x.

(1.2 puntos)

Ejercicio 3 Reducir la siguiente EDP lineal de segundo orden a su forma canonica y resolverla(si es posible):

4uxx(x, y) − 16uxy(x, y) + 7uyy(x, y) + 2ux(x, y) + 17uy(x, y) − 12u(x, y) = 0.

(2 puntos)

————————————————————————————————————————

Ejercicio 4 Resolver el siguiente problema de contorno, utilizando el metodo de separacionde variables:

utt(x, t) = uxx(x, t), si x ∈ (0, 1), t > 0u(0, t) = 0, ux(1, t) = 0, si t > 0u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), si x ∈ (0, 1),

en los siguientes casos:

a) f(x) = sin (3πx), g(x) = 0,

b) f(x) = 0, g(x) = x(x − 2).

(2.5 puntos)

Ejercicio 5 Determinar los autovalores y las autofunciones del siguiente Problema Regularde Sturm-Liouville:

t2x′′(t) + λx(t) = 0, x(1) = x(e2) = 0.

(1.5 puntos)

Ejercicio 6 Calcular la transformada de Fourier de la funcion

f(x) =sin (x)

x2 + 4

(1 punto)

NOTA: Los ejercicios 1, 2 y 3 corresponden al Primer Parcial; el resto al Se-gundo Parcial. En la calificacion se tendra en cuenta si se realizan los calculosexplıcitamente.


Segundo de Fısicas — 14 de Septiembre de 2007

Nombre: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cuestion 1 Determinar razonadamente el valor de la integral compleja

I =

∫

|z|=301

(

z148 −i

2z

)

dz.

Cuestion 2 Determinar razonadamente si alguna(s) de las siguientes expresiones define unasolucion de la EDP yuxx(x, y) + (x − y)uxy(x, y) − xuyy(x, y) = 0.

a) u(x, y) = x3 + y3 b) u(x, y) = (x − y)(x2 − y2) c) u(x, y) = (x + y)3

Cuestion 3 Determinar (en caso de existir) los puntos donde la funcion de variable complejaf(z) = |z|2z es derivable. Calcular su derivada en dichos puntos.

Cuestion 4 Determinar razonadamente cuantas soluciones tiene el problema

ux(x, y) + sin (y2)uy(x, y) =x3

3, u(x, 0) = x2.

Cuestion 5 Sabiendo que u(x, y) = e−(x2+y2)/2 [K1(x) + K2(y)] + 1, donde K1 y K2 sonfunciones arbitrarias, es la solucion general de cierta EDP, determinar (si es posible) el orden dedicha EDP, si es lineal o no y si es homogenea o no, justificando las afirmaciones.

Cuestion 6 Determinar la transformada de Laplace de la solucion del problema de Cauchy

x′′(t) + 2x′(t) + x(t) = te3t, x(0) = x′(0) = 0.

Cuestion 7 Dada una cierta funcion f ∈ L1(IR) real y par, solamente una de las siguientesexpresiones puede definir su transformada de Fourier. Determinar razonadamente cual es:

a) f(ξ) = 1 +1

ξ2 + 1b) f(ξ) =

1

(ξ − i)(ξ + i)c) f(ξ) =

1

ξ2 + ξ + 1

Cuestion 8 Suponiendo que µ es un cero positivo de J0(t), demostrar que

∫ 1

0J1(µt)dt =

1

µ.

Cuestion 9 Determinar la funcion de Green G(t, s) asociada al problema

x′′(t) − x(t) = f(t), x′(0) = 0, x′(1) = 0.

Cuestion 10 Sabiendo que cos (x/2) =2

π−

4

π

∞∑

n=1

(−1)n cos (nx)

(4n2 − 1), x ∈ (−π, +π), determinar

razonadamente el valor de la serie∞∑

n=1

1

(4n2 − 1)2.




Segundo de Fısicas — 14 de Septiembre de 2007

Ejercicio 1 Calcular el valor de la integral

∫

+∞

−∞

x2 + 1

x4 + 1dx. (1.5 puntos)

Ejercicio 2 Resolver el problema

xux(x, y) − yuy(x, y) + yu(x, y) = y2, u(x, 1) = 3x.

(1.5 puntos)

Ejercicio 3 Reducir la siguiente EDP lineal de segundo orden a su forma canonica y resolverla(si es posible):

3uxx(x, y) − 5uxy(x, y) − 2uyy(x, y) + 3ux(x, y) + uy(x, y) = 2.

(2 puntos)

Ejercicio 4 Resolver el siguiente problema utilizando el metodo de separacion de variables

uxx(x, y) + uyy(x, y) = 0, (x, y) ∈ (0, 1) × (0, 4)u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, y ∈ (0, 4)uy(x, 0) = 0, u(x, 4) = f(x), x ∈ (0, 1)

en los casos f(x) = sin (x) y f(x) = cos (2πx).

(2.5 puntos)

Ejercicio 5 Determinar los autovalores y las autofunciones del siguiente problema regular deSturm-Liouville:

d

dx

(

x3 dy

dx(x)

)

+ λxy(x) = 0, y(1) = y(e3) = 0.

(1.5 puntos)

Ejercicio 6 Calcular el valor de la integral

∫

∞

0

e−t1/3

dt. (1 punto)

NOTA: En la calificacion se tendra en cuenta si se realizan los calculos explıcita-mente, salvo en los casos en que sean los mismos que los hechos en clase, en cuyocaso bastara con indicarlo.

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