Presentacin de PowerPoint

Introduccin a las ProbabilidadesLic. Helga Kelly Quiroz Chavil

Probabilidades El trmino Probabilidad se refiere al estudio del azar y la incertidumbre, en aquellas situaciones en las cules se puede producir uno de varios resultados posibles, la Teora de la Probabilidad provee mtodos para cuantificar la chance de ocurrencia de cada uno de ellos.Definiciones:ExperimentoEs cualquier proceso o accin que genera observaciones y que puede ser repetible.Por ejemplo: Arrojar un dadoSeleccionar un individuo, registrar su peso y su alturaSeleccionar una muestra de productos elaborados por una empresa para hacer un control de calidad.Seleccionar un da al azar y registrar el nmero de veces que se satura un servidor.Definiciones:Espacio Muestral Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. A cada elemento del espacio muestral se denomina punto muestral. El espacio muestral se describe por :S={w/w es un punto muestral}Los Espacios Muestrales con un nmero grande o infinito de puntos muestrales se describen mediante un enunciado o regla. Ejemplo:

Ejemplo

Ejercicio:Dados los siguientes experimentos, indicar su espacio muestral:E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior.E2: Lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior.E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas rojas R y bolas verdes V.E4: Designar un delegado de un grupo de 50 personas a travs de un sorteo.Eventos o Sucesos: Eventos o Sucesos: Los eventos compuestos, consisten de dos o ms eventos elementales.El evento seguro o cierto, contiene a todos los eventos elementales posibles.

Ejemplo:Sea el espacio muestral: E1: Lanzar una moneda y observar la cara superior, entonces un evento seria: A = sale cara A = {cara} A = {1}

Ejemplo:Se el espacio muestral: E2: Lanzar un dado y observar el nmero que aparece en la cara superior, entonces un evento seria: B = se lanza el dado y sale un nmero par B = {2, 4, 6}.

Conteo de Puntos Muestrales Regla de la multiplicacin Si A y B son dos eventos finitos, entonces, el nmero de elementos del evento producto cartesiano AxB es igual al nmero de elementos de A multiplicado por le nmero de elementos de B. Esto es :

n(AxB)=n(A)xn(B)Ejemplo:Cuntos puntos muestrales tiene el espacio muestral que resulta de lanzar dos dados a la vez?

Solucin

A es el evento resultados del dado 1 entonces n(A)=6B es el evento resultados del dado 2 entonces n(B)=6Luego: n(E)= n(A)xn(B)=6x6=36

Variaciones SimplesVariaciones SimplesSolucin Solucin Variaciones con repeticinEjemplo:Permutaciones Ejemplo:Permutaciones CircularesEjemplo:CombinacionesEjemplo:En una clase de 20 alumnos se quiere elegir un comit formado por tres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar?Solucin:Noentran todos los elementos.Noimporta el orden: Juan, Ana.Nose repiten los elementos.Solucin:Combinaciones con RepeticinEjemplo:En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. De cuntas formas se pueden elegir cuatro botellas?Solucin:Noentran todos los elementos. Slo elije 4.Noimporta el orden. Da igual que elija 2 botellas de ans y 2 de aceite, o que 2 de aceite y 2 de ans.Sse repiten los elementos. Puede elegir ms de una botella del mismo tipo.

Solucin:Probabilidades Probabilidades EjemploSolucin Axiomas y Teoremas de Probabilidad Axiomas y Teoremas de Probabilidad Ejemplo:Sea un experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire dos dados, y se considera espacio muestral el resultado de la suma de los valores obtenidos, calcular:Espacio muestral S:La probabilidad del suceso A={2}La probabilidad del suceso B={par}Ejemplo:La probabilidad del suceso C={10, 11, 12}La probabilidad del suceso D={4, 5, 6, 7}P(AUB)

Solucin Solucin Solucin Solucin Solucin Probabilidad Condicionada PropiedadesEjemplo:Un club consiste de ciento cincuenta miembros. Del total, 3/5 son hombres y 2/3 son profesionales. Adems, 1/3 de las mujeres no son profesionales. Si se elige al azar un socio del club, calcule la probabilidad de que:Sea hombre y profesional.Sea hombre dado que es profesional.Sea mujer y profesionalSea mujer dado que no es profesional

Solucin Solucin Gnero/ Ocupacin Profesional (P)No profesional(N)TotalHombre(H)Mujer (M)

604030209060Total10050150Solucin SolucinSolucinSolucinTeorema de Bayes

Ejemplos:Slo el 60% de la mercadera que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadera que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad de produccin del fabricante B es limitada, y por esta razn slo el 30 % de la mercadera le es permitido adquirir del fabricante B, mientras que el resto lo adquiere de A. Si se inspecciona un embarque que acaba de llegar y si resulta que es de calidad excepcional, cul es la probabilidad de que provenga del fabricante A? Solucin Sea:A = fabricante AB = fabricante BC= calidad excepcionalNC = no es de calidad excepcional Solucin C 0.6 0.7 A 0.4 NC C 0.3 B 0.9 0.1 NCSolucin Ejemplos:Una mquina produce un tipo de objeto en distintos periodos. Si la mquina est bien ajustada en un periodo, el 80 % de los objetos producidos pasan el control de calidad, de otro modo slo pasan el 60 % . Se ha determinado que el 90 % de los periodos la mquina est bien ajustada. Si se inspecciona los objetos y resulta que no pasan por el control de calidad, cul es la probabilidad que provenga de la mquina mal ajustada? Solucin Sea BA= mquina bien ajustadaMA = mquina mal ajustada CC= pasan al control de calidadNC= no pasan al control de calidadSolucin CC 0.8 BA 0.9 0.2 NC CC 0.6 0.1 MA

0.4 NCSolucin Distribuciones de probabilidadLic. Helga Kelly Quiroz Chavil

Distribuciones Discretas de ProbabilidadDistribucin Binomial Unadistribucin binomial tiene las siguientes caractersticas:En cada prueba del experimento slo son posiblesdos resultados:xitoyfracaso.Laprobabilidad de xito es constante, es decir, que no vara de una prueba a otra. Se representa por p, laprobabilidad de fracasotambin esconstante, y representa por q = 1 pDistribucin Binomial

Lavariable aleatoria binomial,X, expresa elnmero de xitos obtenidosen lasnpruebas. Por tanto, los valores que puede tomarXson:0, 1, 2, 3, 4, ..., n.Ladistribucin binomialse expresa porB(n, p)

Clculo de probabilidades en una distribucin binomialEjemploLa ltima novela de un autor ha tenido un gran xito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han ledo. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura, Cul es la probabilidad de que en el grupo, hayan ledo la novela 2 personas?Datosn = 4p = 0.8q = 0.2K=2B(4, 0.8)

Solucin Parmetros de la distribucin binomialEjemploLa probabilidad de que un artculo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envi un cargamento de 10.000 artculos a unos almacenes. Hallar el nmero esperado de artculos defectuosos, la varianza y la desviacin tpica.Solucin: n = 10 000 p = 0.02 q = 0.98

Solucin Solucin Distribucin HipergeomtricaUn experimento hipergeomtrico consiste en escoger una muestra al azar de tamao n, uno a continuacin del otro y sin reposicin de un conjunto de N elementos, que tiene A elementos designados como xitos y con N-A elementos designados como fracasos. Ladistribucin Hipergeomtrica se expresa porH(N, A, n)Clculo de Probabilidades en una Distribucin HipergeomtricaEjemplo:Supngase que en una semana se fabrican 50 chips de computadoras. Operan 40 sin problemas y 10 tuvieron al menos un defecto. Si se selecciona una muestra aleatoriamente de 5 chips, cul ser la probabilidad de que 3 de los 5 chips funcionen perfectamente? Solucin Solucin Distribucin de Poison La distribucin de Poison es una distribucin de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado nmero de eventos durante cierto periodo de tiempo. La distribucin de poison se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles, en otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. Distribucin de Poison Distribucin de Poison Medidas de Resumen Ejemplo:Suponga que llegan en forma aleatoria de una serie de llamadas a una central telefnica con un promedio de 3 llamadas en intervalo de un minuto. Calcule la probabilidad de que en cualquier periodo de un minuto no ocurra llamada alguna. Datos: k = 0 = 3

Solucin Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuasDonde La media y la varianza Representacin grafica Campana de GaussUnadistribucin normaldemedia ydesviacin tpica se designa porN(, ). Su grfica es lacampana de Gauss:

El readel recinto determinado por la funcin y el eje de abscisases igual a la unidad.

Distribucin normal estndarLadistribucin normal estndar, o tipificada o reducida,es aquella que tiene pormediael valorcero, =0, y pordesviacin tpica la unidad, =1. N(0,1)

La probabilidad de la variable X depender del rea del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla

Tipificacin de la variableClculo de probabilidades en distribuciones normalesBsqueda en la tabla de valor de k

rea a la derecha de a

Clculos Los clculos con una determinada distribucin se trasladan a la N(0,1) mediante una estandarizacin

Ejemplos:Solucin

Distribucin T studentMuchas veces los tamaos de las muestras son muy pequeos, y frecuentemente no conocemos la desviacin estndar de la poblacin. Cuando estos problemas ocurren, en estadstica se recurre a una distribucin conocida como la t de student.La distribucin t de student se puede usar cuando cualquierade las siguientes condiciones se cumplen:La distribucin de la poblacin es normal La distribucin de la muestra es simtrica, unimodal, sin puntos dispersos y alejados, adems el tamao de la muestra es de 15 o menosEl tamao de la muestra es mayor de 30, sin puntos dispersos (aunque en este caso tambin se puede usar la distribucin normal).

Distribucin t de student