8/19/2019 Metodos de Un Paso Para El Problema de Cauchy

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Caṕıtulo 2

Métodos de un paso para el problema de

Cauchy (P.V.I.)

Consideramos el Problema de Cauchy,y = f  (x, y)

y (a) = µ  (2.1)

supondremos, a lo largo del caṕıtulo, que f (x, y) es Lipschitziana respecto de y de modo que exista soluci ón

única en el intervalo [a, b]. Un método de un paso para (2.1) respecto a la partición  {x0  = a < x1  

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2   Métodos de un paso.

 El desarrollo de Taylor de una función,  g, de dos variables en un punto genérico (x, y) viene expresado

por la igualdad (donde  g  =  g(x, y)):

g (x + h, y + k) = g  + D(h,k)g + · · · +  1

 p!

D p(h,k)

g + Resto =  T  p(g; h, k) + Resto   (2.4)

  Finalmente, las derivaciones sucesivas de la solución,  y(x), conducen a las igualdades siguientes:

y =   f 

y =   f  = f x + f yy = f x + f yf  = F 

y =   f  = F  = F x + F yf  = G + f y · F 

yiv) =   f  = (f )x + f  (f )y  = H  + 3F  (f  ·  f yy  + f xy) + f y (G + f yF )

...

(2.5)

2.1 Método de Euler. Variantes del método.

El   método de Euler   es un método elemental para la búsqueda de una solución numérica del problema

(2.1) que se explicita como sigue:

Para la partición del intervalo [a, b]:   {a  =  x0  < x1  <  · · · < xN   =  b}  con  xn  =  a  + nh  y   h  =  b−aN 

  es el

paso del método, se define la solución numérica  {yn}N n=0  siguiente:

y0 =  µ

yn+1  =  yn + hf  (xn, yn)  (2.6)

Este método, aproxima la solución en xn+1  por el valor de la recta, que pasa por (xn, yn) y de pendiente

f (xn, yn), en x  =  xn+1. Dicha recta es una aproximación de la recta tangente a la curva solución en el punto

(xn, yn).

Si en lugar de usar la recta anterior usamos la de pendiente f (xn+1, yn+1) obtenemos el método de Euler

impĺıcito siguiente:

y0 =  µ

yn+1  =  yn + hf  (xn+1, yn+1)  (2.7)

Es sencillo comprobar que los métodos (2.6-2.7) son consistenten con (2.1) y su error de truncatura localson:

Rn+1   =   y (x + h) − y (x) − hf  (x, y(x)) = (por desarrollo de Taylor para  y (x)) =

=   hy(x) +   h2

2  y(x) + O

h3 − hf  (x, y(x))   =

↑

y=f 

h2

2  y(x) + O

h3

y

Rn+1   =   y (x + h) − y (x) − hf  (x + h, y(x + h)) =

=   y (x + h) − y (x) − hy(x + h) = (por desarrollo de Taylor para  y(x) e y(x)) =

=   hy(x) +   h2

2  y(x) + O h

3

 − h y(x) + hy(x) + O h

2

 =  −h2

2  y (x) + O h

3

respectivamente. Por lo tanto, ambos métodos tienen orden p  = 1.

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Apuntes de J. Lorente    3

Podemos mejorar el error de truncatura local realizando algunas sencillas modificaciones, entre las que

menciaonaremos dos:

Método de Euler Mejorado:

y0 =  µ

yn+1 =  yn + hf 

xn +  h2 , yn +

  h2 f  (xn, yn)

  (2.8)Este método tiene un error de truncatura local:

Rn+1   =   y(x + h) − y(x) − hf 

x +   h2 , y(x) +  h2 f  (x, y(x))

  =

↑notamos y=y(x),   f=f(x,y(x))

= (por desarrollo de y (x) y  f (x, y)) =

=   hy +   h22  y +   h36  y

+ O

h4 − h

T 2

f ;  h2 , h2 f 

 + O

h3

 =

=   h3

16 y

−   18 G

+ O

h4

 =   h3

6

14 G + f yF 

+ O

h4

Luego, el método es de orden 2 por lo que será más preciso (teóricamente).

Método de Euler Modificado:

y0 =  µ

yn+1 =  yn +  h2 [f  (xn, yn) + f  (xn + h, yn + hf  (xn, yn))]

  (2.9)

El error de truncatura local del método (2.9) es:

Rn+1   =   y(x + h) − y(x) −  h2 [f  (x, y(x)) + f  (x + h, y + hf  (x, y(x)))] =

=   . . .   =   16 y −   14 G + O

h4

 =   h3

6

−12 G + f yF 

 + O

h4

Ası́, este método también es de orden 2.

Los métodos anteriores pueden deducirse usando integración numérica para la función  f (x, y(x)) en el

intervalo genérico [xn, xn+1] sin más que tener en cuenta la igualdad:

y(xn+1) − y(xn) =   xn+1xn

y(t)dt =   xn+1xn

f (t, y(t))dt

Más concretamente, (2.8) se obtiene usando la fórmula de I.N. del punto medio y usando Euler con paso

h/2 para aproximar el valor  y(xn + h/2) que aparece en la fórmula. Si se usa la fórmula del trapecio y se

aproxima el valor  y (xn+1) usando el método de Euler con paso h, obtenemos (2.9).