Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre”

Vice Rectorado “Luís Caballero Mejías”

Maestría en Ingeniería Mecánica

Asignatura: Métodos Aproximados en Ingeniería

Profesor: Ing. Pablo Rodríguez, PhD.

Caracas, Agosto de 2004

ii

CONTENIDO

Página

Agradecimiento

v

Sección I Revisión Breve de algunos tópicos matemáticos

1

Sección II Solución numérica de polinomios y funciones

transcendentales

7

Sección III Interpolación y aproximación. Polinomio

Interpolante de Lagrange

28

Sección IV Mínimos cuadrados, Aproximación polinómica

33

Sección V Método de eliminación de Gauss-Jordan para

resolver ecuaciones simultáneas lineales

43

Sección VI

Sección VII

Sección VIII

Métodos iterativos aplicados a sistemas de

ecuaciones lineales

Integración Numérica

Diferenciación Numérica

51

56

84

iii

Sección IX

Sección X

Anexo A

Anexo B

Anexo C

Anexo D

Anexo E

Anexo F

Anexo G

Anexo H

Anexo I

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales

Parciales Mediante Diferencias Finitas

Uso de Aproximaciones Mediante Elementos

Finitos en Análisis Numéricos

Algoritmo Tridiagonal

Solución de Problemas Mediante los Métodos

Explícito e Implícito

Algoritmo de una Matriz Triangular

Solución de una Ecuación Diferencial Mediante el

Método de Elementos Finitos

Error Absoluto. Error Relativo. Cifras

Significativas y Número de Decimales Correctos

Diferencias Divididas, Polinomio Interpolante de

Newton

Programas Computacionales

Principales Instrucciones en Basic Usadas para

Resolver Problemas de Análisis Numérico

Tareas

95

129

138

145

153

160

175

180

202

216

226

iv

Referencias

Trabajos

Complementarios

Simulación del Proceso de Forja en Caliente de

Codos sin Costura.

Método de Elemento Finito.

Solución Implícita simple para la Ecuación de

Conducción del Calor.

Ecuación de un Elemento para Una Barra

Calentada.

Modelado en Elementos Finitos del Viaducto 1

Caracas – La Guaira.

Solución de una Ecuación Diferencial mediante el

Método de Elementos Finitos aplicando

Funciones de Peso a los Residuos con el Método

Especial de Galerkin.

Método de Elemento Finito para la Simulación de

las temperaturas nodales en un tabique para

fuegos.

Distribución de Temperatura en una Barra Larga

y Delgada (Método Explícito).

Simulación Numérica de Procesos.

238

240

v

AGRADECIMIENTO

El manual original fue preparado gracias a la colaboración de las

siguientes personas: Lucía Rojas quien participó en la redacción, el Ingeniero

Emilio Santana elaboró los programas computacionales, el Técnico Justino

Rojas hizo la totalidad de los dibujos, y la Señora Carmen Rosa Guerra

mecanografió el texto.

La elaboración de la nueva versión de este manual fue posible gracias

al trabajo de los Estudiantes la Asignatura Métodos Aproximados en

Ingeniería de la Maestría en Ingeniería Mecánica de la UNEXPO, Vice

Rectorado “Luis Caballero Mejías” durante el primer período del año 2.004,

los cuales se mencionan a continuación: Ing. Varosky Cediel, Ing. Daniele

Spinosa, Ing. Héctor Urbina, Ing. Gilberto Durán, Ing. Edson Ballen, Ing.

Jesús González, Ing. Nancy Chacón, Ing. Javier Liste, Ing. José Baldes, Ing.

Eduardo Mendoza, Ing. Ronald Galea e Ing. José Sosa; todos bajo la

coordinación del Profesor de la asignatura PhD. Pablo Rodríguez.

vi

I REVISIÓN BREVE DE ALGUNOS TOPICOS MATEMATICOS

vii

1.1 INTRODUCCION.

El objetivo de esta sección es revisar los conceptos usados con mayor

frecuencia en el texto. Ellos son los siguientes: la pendiente de una función,

el teorema del valor medio para derivadas, el teorema de Rolle, la formula de

Taylor con residuo y el teorema fundamental de álgebra.

viii

f(b)

f(x)

f(a)

1.1.1. Pendiente de una Función

x

Fig. 1-1 Función de pendiente constante

Fig. 1-2 Función de pendiente nula

Fig. 1-3 Función de pendiente variable

f(b) f(x)

f(a)

f(b) f(x)

f(a)

ab

afbf

dx

df )()( Pendiente

constante

(1-1)

a b x

y

ab

afbf

dx

df )()( Pendiente igual

a cero

(1-2)

Sea f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b) f(x)

b

a

)()()( `

fab

afbf

dx

dfX

f(x)

f(x)

a b ξ

x

Tangente en el punto X = ξ

ix

1.1.2. Teorema del valor medio para derivadas (o valor intermedio)

Si f(x) es continua sobre el intervalo cerrado y finito ba, y

diferenciable para bxa , entonces existe por lo menos un valor de

x

donde:

ab

afbff

'

(1-4)

Fig. 1-4 Función de pendiente nula en el punto x

Usando el teorema del valor medio para derivadas:

)(')()(

fab

afbf

(1-5)

Si ),()( bfaf entonces:

00)()(

0)('

abab

afbff

Tangente a f(x) en el punto x

f(b)

f(x)

f(a)

x

1.1.3. Teorema de Rolle.

Sea f(x) continua sobre el intervalo bxa y diferenciable sobre el intervalo

.ba Entonces,

Si ),()( bfaf existe por lo menos un valor de x de tal manera que

ba y 0)(' f (1-6)

Observe que puede existir varios valores ,1 ,2 n donde

0)(')(')(' 21 nfff (1-7)

1.1.4. Fórmula de Taylor con residuo.

Sea una función )(xf que posea )1( n derivadas continuas en el intervalo

ba, y sea c un punto cualquiera en dicho intervalo. Entonces podemos

escribir:

)(!

))((

!2

))((''))((')()( 1

)(2

xRn

cxcfcxcfcxcfcfxf n

nn

(1-8)

donde:

dssfsxn

xR n

n

c

n

n

)()(!

1)( )1(

1

(1-9)

Un ejemplo del desarrollo de la fórmula de Taylor es:

Xexf )(

(1-10)

xi

Usando (1-8) se obtiene:

)!1(!!21

12

n

ex

n

xxxe

nnX

para algún valor de entre 0 y x.

1.1.5. Teorema fundamental del álgebra.

Sea )(xp un polinomio de grado .1n Es decir:

n

n xaxaxaaxp 2

210)( (1-11)

donde los coeficientes ,0a ,1a

n

n xaa ,,2 pueden ser números reales o

complejos y .0na En este caso )(xp tiene por lo menos una raíz. Esto

equivale a la expresión:

0)( p (1-12)

donde )( es un número complejo.

Por definición:

0lim

xdx

df

0lim

)()(

xx

xfxxf

x

f

xii

II.- SOLUCIÓN NUMÉRICA DE POLINOMIOS Y FUNCIONES

TRANSCENDENTALES.

2. 1. Introducción.

2. 2. Problemas y soluciones.

2. 3. Criterios a consolidar para terminar un proceso de iteración.

xiii

2.1 Introducción.

Generalmente, el ingeniero se ve en la necesidad de resolver funciones

transcendentales como por ejemplo:

02)( Xxexf (2-

1)

o, polinomios como por ejemplo:

0542)( 2

2 xxxP (2-2)

Es de hacer notar que la ecuación (2-1) es implícita en x y la ecuación (2-2)

es explícita en x.

Entre los métodos usados para resolver estas ecuaciones se puede

mencionar los siguientes: tanteo, bisección, falsa posición, gráfico y Newton-

Raphson. De cada uno de ellos presentamos ejemplos y en algunos casos

los fundamentos teóricos. El lector que desee profundizar la teoría puede

consultar las referencias (1), (2) y (3).

2.2. Problemas y soluciones.

2.2.1. Problemas usando el método de tanteo.

Problema n° 1:

Use el método de tanteo para encontrar la raíz positiva más pequeña de

1)( 3 xxxf

xiv

con dos cifras significativas.

Solución.

Tabla 2-1.

x 3x 1)( 3 xxxf

0 0 -1

1 1 -1

1,2 1,728 -0,472

1,3 2,197 -0,103

1,4 2,744 +0,344

1,5 3,475 +0,975

La raíz positiva más pequeña está entre 3,1x y 4,1x (ver figura n°. 2.1).

2.2.2. Problemas usando el método de bisección.

Problema n° 1:

Encontrar la raíz positiva más pequeña de 1)( 3 xxxf usando el

método de bisección. Repita el proceso durante 5 etapas.

Solución:

Primera condición del método de bisección:

Si )(xf es continua y si )( 0af ,0)( 0 bf

entonces )(xf debe anularse

en el intervalo 00 ,ba

xv

0,5 1,5

m3= 1,31875 m4= 1,3125

a0 b0 1,3 1,35 1,4

Fig. 2-1 Método de tanteo, solución gráfica (problema n° 1)

Fig. 2-2 Método de bisección, representación gráfica del proceso iterativo (problema 1)

Raiz positiva más pequeña

x

f(x) = x3-x-1

f(x)

2

1

0

-1

-2

x

f(x)

m4

m0=b1

m1=1,325

xvi

Segunda condición del método de bisección:

Por definición:

2

)( nn

n

bam

0)()( nn mfafSi

Se debe continuar los cálculos con:

nn aa 1 y

nn mb 1

En otros casos usar

nn ma 1 y

nn bb 1

en el problema se encontró que:

103,0)3,1()( 0 faf

344,0)4,1()( 0 fbf

Por lo tanto: )( 0af 0)( 0 bf

xvii

Suponiendo que )(xf es continua para 00 bxa y como se sabe que

)( 0af 0)( 0 bf se puede aplicar la primera condición. Es decir, )(xf

debe anularse en el intervalo 00 ,ba

.

El procedimiento es el siguiente:

1º etapa

2

nn

n

bam

por lo tanto 2

00

0

bam

35,12

4,13,1

nm

; 1104,0)35,1()( 0 fmf

)( 0af 0)1104,0)(103,0()( 0 mf; por lo tanto use

3,101 aa y

35,101 mb

2º etapa

325,12

35,13,1

2

111

bam

; 0012,0)( 1 mf

)( 1af )3,1()( 1 fmf 0)0012,0)(103,0()1325,0( f

use 3,112 aa y 325,112 mb

xviii

3º etapa

3125,1

2

325,13,1

2

222

bam

; 0515,0)( 2 mf

)( 2af )3,1()( 2 fmf 0)0515,0)(103,0()3125,0( f

use 3125,123 ma

y 325,123 bb

31875,13 m

4º etapa

)( 3af

)3125,1()( 3 fmf )0515,0()31875,1( f 0)253.0(

use 31875,134 ma

y 325,134 bb

5º etapa

321875,14 m

que es el valor de la raíz al final de la quinta etapa,

(ver figura n° 2-2)

xix

Problema n°.2:

Use un método de tanteo para obtener la raíz positiva más pequeña de

2)( Xxexf

Con una cifra significativa

Solución:

Tabla n°.2-2

x Xe Xxe 2)( Xxexf

0 1 0 -2

0,5 1,6487 0,8243 -1,1756

0,8 2,2255 1,7804 -0,2196

0,9 2,4596 2,2136 +0,2136

(ver figura n°. 2-3)

La raíz más pequeña está entre 0,8 y 0,9.

2.2.3. Problemas usando el método de la falsa posición.

Problema n°. 1:

Obtenga la raíz positiva más pequeña de 2)( Xxexf usando el método

de falsa posición. Repita el proceso hasta lograr un raíz con cuatro cifras

significativas.

xx

Solución:

Primera condición del método de falsa posición:

Si )(xf es continua y si)( 0af 0)( 0 bf

, el valor de )(xf debe anularse en el

intervalo 00 ,ba

.

2)( xexxf

x F(x)

0,5 -1,18

0,6 -0,91

0,7 -0,59

0,8 -0,22

0,9 0,21

1 0,72

-1,2

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

f(x)

Fig. n° 2-3 Solución gráfica al (problema n°2)

.5 .6 .7 .8 .9 1 X

xxi

Segunda condición del método de falsa posición:

Por definición:

)()(

)()(

nn

nnnn

nafbf

afbbfaW

Tercera condición de falsa posición:

Si )( naf

0)( nWf

Se debe continuar los cálculos con

nn aa 1 y

nn Wb 1

En cualquier otro caso usar:

nn Wa 1 y

nn bb 1

En el problema 2 se obtuvo:

9,00 b;

2136,0)9,0()( 0 fbf

8,00 a;

2196,0)8,0()( 0 faf

xxii

Por lo tanto 0)()( 00 bfaf

Como 2Xxe es una función contínua en el intervalo 9,08,0 x y, )( 0af

0)( 0 bf se puede usar el método de falsa posición.

)()(

)()(

nn

nnnn

nafbf

afbbfaW

2196,02136,0

)2196,0)(9.0()2136,0)(8,0(

)()(

)()(

00

0000

0

afbf

afbbfaW

1° etapa:

851,00 W

00697,0)851,0( f

0)00697,0)(2196,0()()( 00 Wfaf

Tomar 851,001 Wa

9,001 bb

)()(

)()(

11

11111

afbf

afbbfaW

00697,02136,0

)00697,0)(9,0()2136,0)(851,0(1

W

8526,01 W

que es el valor de raíz positiva más pequeña y con 4 cifras significativas ( ver

figura n° 2-4)

xxiii

2.2.4. Significado físico del método de falsa posición.-

(ver figura n° 2.5)

La pendiente de la recta que va del punto (1) a punto (2) es:

Pendiente (1) a (2)

nn

n

nn

nn

Wb

bf

ab

afbf )(()(

Por lo tanto, despejando :nW

)()(

)()()()(

nn

nnnnnnnn

nafbf

bfabfbafbbfbW

)()(

)()(

nn

nnnn

nafbf

afbbfaW

(2.3)

xxiv

Fig. 2-4 Representación gráfica del método de falsa posición (problema 1)

Fig. 2-5 Representación gráfica del método de falsa posición

a1= W0 = 0,851

0,9 x

b0 = b1 = 0,09 f(x) = x.e

x - 2

0,8

a0 = 0,8

f(x)

0,3

0,2

0,1

0

-0,1

-0,2

-0,3

f(x)

f(bn)

f(bn)

bn

Wn

Aproximación de f(x)

1

x

f(x)

an

xxv

Pendiente (1) a (2)

nn

n

nn

nn

wb

bf

ab

afbf ()()(

Por lo tanto, despejando wn:

)()(

)()()()(

nn

nnnnnnnnn

afbf

bfabfbafbbfbw

)()(

)()(

nn

nnnnn

afbf

afbbfaw

2.2.5. Método de Newton-Raphson.

2.2.5.1 Bases Teóricas.

Sea 00 bXa

Si f(x) tiene una serie de Taylor alrededor del punto X0, entonces podemos

escribir que:

(2-4)

donde: 000 bxa

Por lo tanto para 1xx

Donde: 010 bxa

............2

1)()()(

00

2

22

000

XXXX dx

fdxx

dx

dfxxxfxf

xxvi

............2

1)()()(

00

2

22

010101

XXXX dx

fdxx

dx

dfxxxfxf

(2-

5)

Si x1 es una raiz de f(x), entonces: 0)( 1 xf (2-6)

Si 201 xx

es muy pequeña, podemos despreciar los términos de la

ecuación (2-5) que sean iguales y mayores al segundo orden.

Usando (2-5) y (2-6) y esta última posición, nos queda que:

),(')(0 0010 xfxxxf

donde

0

)(' 0

XXdx

dfxf

(2-7)

La ecuación (2-7) también puede escribirse de la siguiente manera:

)('

)(

0

001

xf

xfxx

(2-8)

Si resulta que x1 no es una raíz sino una aproximación, podemos continuar el

proceso iterativo con

)('

)( 112

nxf

xfxx

(2-10)

Esta fórmula se conoce con el nombre de Newton-Raphson.

xxvii

2.2.5.2. Problema n° 1:

Obtenga la mayor raíz de:

1

1)()(

x

xxSenxf

Usando:

a) Un método gráfico.

b) El método de Newton-Raphon con siete cifras significativas.

Solución:

A. Método gráfico cuando x es una raíz f(x)= 0; por lo tanto:

1

1)(

x

xxSen

Para valores de 1x

11

1

x

x

para x= 1 existe una indeterminación.

El mayor valor del Sen(x) es 1.Por lo tanto para valores de 1x no existe

raíz posible.

Existe un número infinito de raices negativas. Por lo tanto, el método gráfico

muestra que la mayor raíz de f(x)= 0, es aproximadamente:

4,0x

(ver figura n° 2-6)

Este valor se usa en la parte B) para obtener mayo número de cifras

significativas.

xxviii

B. Método de Newton-Raphson.

1

1)()(

x

xxSenxf

21

2)()('

)(

xxCosxf

dx

xdf

1

1

x

x

1

1

x

x para x>1

(valores positivos)

para x<1

Las raíces son todas negativas

sen (x)

r2 r1

r3

Fig. 2-6.- Solución gráfica del problema Nº 1

xxix

Usando la ecuación (2-10):

)('

)(1

n

nnn

xf

xfxx

2

1

1

2)(

1

1)(

n

n

n

nn

nn

xxCos

x

xxSen

xx

Por lo tanto, para n= 0

X X1 = 1.015

-800

-500

500

1000

f(x)

f(x)

f(x1) = 1000

f(x0) = -800

X0 = 1.01

Fig. 2-7.- Demostración de que el criterio absoluto de la raíz no siempre es suficiente.

xxx

2

0

0

0

00

01

1

2)(

1

1)(

xxCos

x

xxSen

xx

Tabla 2-3

n xn f(xn) f’(xn) f(xn)/f’(xn)

0 -0,4000 0,039153 1,94147 0,0201070

1 -0,4201 0,000500 1,90478 0,0002625

0201,04,0)(')( 0001 xfxfxx

4201,01 x

0002625,04201,0)(')( 1112 xfxfxx

4203625,02 x

2.3. Criterios a considerar para terminar el proceso de iteración.

Existen varios criterios que se complementan con la experiencia.

2.3.1. Criterio de error absoluto de la raíz.

Considera que la iteración termina cuando:

XTOLxx nn 1

donde XTOL es un valor prefijado.

Este criterio puede cumplirse y, aún así, f(xn) ser un valor muy grande.

xxxi

Esto se puede apreciar en la figura n° 2-7

Para este caso: XTOLxx 005,001,1015,101

Sin embargo: FTOLxf 1000)( 1

Es decir, para este caso se cumple la condición: ,1 XTOLxx nn

Pero la condición FTOLxf n )(

es contraria a lo deseado.

2.3.2. Criterio de error absoluto de la función.

Supone que la iteración termina cuando: FTOLxf n )(

En la figura n°2-8 se observa que se cumple que:

FTOLxf )( 2

pero:

,02,01201 xx lo que es contrario a lo deseado.

X X1 = 1.0

f(x)

f(1) = 0.002 f(2) = -0.001

X0 = 2.0

Fig. 2-8.- Demostración de que el criterio absoluto de la función no es suficiente en todos los casos.

xxxii

2.3.3. Criterio de error relativo.

Según este criterio se puede usar un error un error relativo definido de la siguiente forma:

FTOLFTAM

xf n

(

ó )(1 nnn xXTOLxx

donde:

FTAM= magnitud de f(x) en alguna proximidad de la raíz establecida.

2.3.4. Caso especial.

)()(

)()(

nn

nnnnn

afbf

afbbfaW

(2-3)

(ver figura N° 2-9)

En este caso especial:

0

valorW

Por lo tanto, un criterio general es terminar la iteración si se presenta el caso

de dividir por cero.

Experiencia en programación permite tomar precauciones adicionales como

son las siguientes:

a) Tiempo máximo de computación en parte o totalidad del programa.

b) Número máximo de páginas que se deben imprimir.

c) Imprimir resultado parciales para su análisis.

d) Fijar número máximo de iteraciones.

xxxiii

III.- INTERPOLACION Y APROXIMACIÓN. POLINOMIO

INTERPOLANTE DE LAGRANGE

3.1. Fundamentos teóricos.

3.2. Problemas y soluciones.

3.1. Fundamentos teóricos.

xxxiv

Vamos a suponer que nos dan x0,x1,…..xn puntos distintos (n+1) en el eje real

en algún intervalo ,,baI de tal manera que se conocen los valores de

f(x0), f(x1),….. f(xn).

Queremos construir un polinomio Pn(x) de la forma siguiente:

)(1)(..........)(1)()(1)()( 1100 xxfxxfxxfxP nnn (3-1)

n

k

kk xxf0

)(1)(

(3-2)

Este es el polinomio interpolante de Lagrange. La curva representada por el

polinomio Pn(x) pasa por los (n+1) puntos distintos. Es decir:

);()( 000 xfxP ..,),........()( 111 xfxP

)()( nnn xfxP (3-3)

para que la ecuación (3-3) se pueda cumplir es necesario que se cunpla lo

siguiente:

;1)(1 00 x

;0)(1 01 x

;0)(1 00 x

;0)(1 10 x ;1)(1 11 x

;0)(1 1 xn (3-4)

;0)(10 nx

;0)(11 nx

;1)(1 nn x

Observando la ecuación (3-4) podemos concluir que:

)(1 ik x 1 si ki

0 si ki

xxxv

Los valores de )(1 xk pueden obtenerse directamente de la siguiente

ecuación:

n

i ik

ik

xx

xxx

0

)(1

nk ,.....,1,0 (3-6)

ki )(xik es de grado n

3.2. Problemas y soluciones.

Problema No. 1

Si n= 3

¿Cuales son los valores de ),(10 x

),(11 x ),(12 x )(13 x usando ecuación

(3-6)?

Solución:

302010

3210 )(1

xxxxxx

xxxxxxx

(3-7-A)

312101

3201 )(1

xxxxxx

xxxxxxx

(3-7-B)

321202

3102 )(1

xxxxxx

xxxxxxx

(3-7-C)

231303

2103 )(1

xxxxxx

xxxxxxx

(3-7-D)

xxxvi

Problema n° 2

Sea x0= 2, x1=3, x2= 6 y x3 = 7. Suponga n= 3.

Obtenga ),(10 x

),(11 x ),(12 x )(13 x.

20

763)(10

xxxx

12

762)(11

xxxx

12

732)(12

xxxx

20

632)(13

xxxx

Problema n° 3

k xk f(xk)

0 0 -5

1 1 1

2 3 25

Use la tabla n° 3-1 para encontrar el polinomio interpolante de Lagrange de

segundo grado, que pasa por los puntos dados en dicha tabla.

3

34

3010

31)(1

2

0

xxxxx

xxxvii

2

3

3101

30)(1

2

1

xxxxx

61303

10)(1

2

2

xxxxx

Por lo tanto, usando (3-2) podemos escribir lo siguiente:

)(1)()(1)()(1)()( 221002 xxfxxfxxfxP x

)(125)(11)(15)( 2102 xxxxP

542)( 2

2 xxxP

xxxviii

IV.- MINIMOS CUADRADOS – APROXIMACIÓN POLINÓMICA.

4.1. Introducción.

4.2. Bases teóricas del método.

4.2.1 Problema.

4.2.2 Mínimos cuadrados generalizados.

xxxix

4.1. Introducción.

En la sección anterior se construyó un polinomio P(x) que pasa exactamente

por (n+1) puntos críticos distintos. A este polinomio se le llama polinomio

interpolante de Lagrange. En esta sección se desea obtener una ecuación de

una curva que no pasa por todos los puntos (n+1) dados, sino cerca de ellos.

La idea principal consiste en buscar una aproximación a las funciones y(x) de

manera que minimice los cuadrados de los errores (positivos y negativos)

(Ver figura n° 4-1)

4.2. Bases teóricas del método.

Estas se discuten mediante la resolución de un problema sencillo.

4.2.1. Problema.

Un ingeniero mide en el campo varios valores de presión(y) en función de

tiempo (x). El desea saber cual es la mejor línea que puede dibujar usando

estas mediciones. Ellas son las siguientes:

X 0 1 2 3 4 5 6

y 2 3 5 5 9 8 10

Solución:

Antes de resolver el problema es deseable hacer un gráfico de los puntos

medidos (ver figura n° 4-2).

A primera vista parece razonable usar una aproximación:

xl

Fig. 4-1.- Lagrange y minimos cuadrados.

x

f(x)

Curva obtenida mediante el método

de los mínimos cuadrados

Polinomio interpolante de Lagrange

Fig. 4-2.- Línea recta usando una aproximación gráfica a puntos experimentales.

x

f(x)

Y0 = k0 + k1*x

0 1 2 3 4 5

2

4

6

8

xli

xkkY 10 (4-1)

Al representar los puntos medidos es necesario recordar que las mediciones

de campo contienen cierta cantidad de error. Este error puede ser originado

por el equipo usado para la medición, asi como por otros factores (lectura

incorrecta).

La diferencia entre un valor de yi medido y su correspondiente aproximación

Yi es entonces: (Yi – yi).

El criterio de los mínimos cuadrados requiere que la suma de los cuadrados

de las desviaciones (Yi – yi) sea lo más pequeña posible. Por lo tanto

podemos minimizar la suma:

7

1

2

i

ii yYS (4-

2)

Los valores de Yi – yi son los llamados residuos o desviaciones.

Usando (4-1) y (4-2) podemos escribir:

7

1

2

10

i

ii yxkkS (4-3)

Observe que en este caso xi e yi son valores fijos; por lo tanto se desea

encontrar los valores de k0 y ki que hagan de la S la suma mínima. Por esta

razón, S es función de k0 y de ki:

10,kkSS

xlii

Una manera de obtener el valor mínimo de S consiste en derivar

parcialmente con respecto a k0 y ki e igualar a cero las derivadas parciales.

Entonces:

00

k

S

y

01

k

S

(4-4)

Si la ecuación (4-4) se cumple, es mínimo cuadrado.

Usando (4-1), (4-2) y (4-4) obtenemos:

02

0

7

1 00

iii

i

yxkkkk

S

022

0

7

1

iii

i

yxkk

(4-

5)

02

0

7

1 11

iii

i

yxkkkk

S

022

0

7

1

iiii

i

yxkkx

(4-6)

De las ecuaciones (4-5) y (4-6) se obtiene:

7

1

0

7

1

7i

ii

i

i xkky

(4-7)

(4-8)

7

1

2

1

7

1

0

7

1 i

i

i

ii

i

i xkxkyx

xliii

Entonces, para poder obtener la mejor aproximación basada en los mínimos

cuadrados es necesario satisfacer las ecuaciones (4-7) y (4-8).

Vamos a tabular ii yx

7

1 y

7

1

2

ix

Tabla 4-1

Valores de ii yx

7

1 y

7

1

2

ix

i xi yi xiyi 2

ix

1 0 2 0 0

2 1 3 3 1

3 2 5 10 4

4 3 5 15 9

5 4 9 36 16

6 5 8 40 25

7 6 10 60 36

Totales

21

7

1

ix

42

7

1

iy

164

7

1

ii yx

91

7

1

2 ix

Usando las ecuaciones (4-7) y (4-8) los valores obtenidos en la tabla n° 4-1

construimos las siguientes ecuaciones normales*:

10 21742 kk (4-9)

xliv

10 9121164 kk (4-10)

La solución de este sistema de dos ecuaciones algebraicas y simultáneas es:

929639,10 k (4-11)

356787,11 k (4-12)

*Ecuaciones normales es el nombre que se da a las ecuaciones que

relacionan los coeficientes k0, k1,.......kn

Por lo tanto, sustituyendo (4-11 y (4-12) (4-1) nos queda que:

xY 356787,1929639,1 (4-13)

que es la ecuación de la línea recta buscada.

Una manera de verificar los resultados consiste en comprobar la ecuación

(4-5). Es decir:

07

1

i

ii yY

(4-14)

Tabla n° 4-2

Valores de

7

1i

ii yY

xi yi Yi Yi -yi

0 2 1,929639 0,070361

1 3 3,286426 -0,286426

2 5 4,643213 0,356787

3 5 6,000000 -1,000000

4 9 7,356787 1,643213

5 8 8,713574 -0,713574

6 10 10,070361 -0,070361

xlv

7

1

000000,0ii yY

Esto verifica la aproximación obtenida.

Se puede comprobar 140722,4

7

1

i

ii yY

4.2.2. Mínimos cuadrados generalizados.

Es posible que la línea recta que se construyó en la sección 4.2.1. no sea la

representación adecuada de los puntos medidos en el campo. En este caso

se puede suponer que un polinomio de grado “m” puede ser un entero

cualquiera es mejor representación. El procedimiento es similar al de la línea

recta:

2

1

2

2110

2

1

......

n

i

i

m

imi

n

i

ii yxkxkxkkyYS

(4-15)

donde n= número de datos

m

imiii xkxkxkkY .........2

210 (4-16)

Se desea que S sea un mínimo, observe que:

mkkkkSS ,.......,, 210 (4-17)

es decir, que S es función de (m+1) variables.

xlvi

Para minimizar a S hay que derivar parcialmente esta función e igualar a cero

cada una de las derivadas parciales:

0........21

2

210

0

n

i

i

m

imii yxkxkxkkk

S

(4-18)

0........21

2

210

1

n

i

i

m

imiii yxkxkxkkxk

S

(4-19)

.

.

.

0........21

2

210

n

i

i

m

imii

m

i

m

yxkxkxkkxk

S

(4-20)

Desarrollando las sumatorias dadas en las ecuaciones (4-18) a (4-20) se

obtiene un sistema lineal de ecuaciones:

0.....2

210 i

m

imii yxkxkxknk

0..... 13

2

2

10

ii

m

imiii yxxkxkxkxk

0..... 224

2

3

1

2

0

ii

m

imiii yxxkxkxkxk

0.....2

2

1

10

i

m

i

mm

im

m

i

m

i

m

i yxxkxkxkxk

xlvii

donde Σ representa la sumatoria desde 1i hasta .ni

Este sistema lineal de ecuaciones puede escribirse de la siguiente manera:

m

i

m

i

m

i

m

i

m

iii

m

iiii

m

iii

xxxx

xxxx

xxxx

xxxn

221

24

1

32

132

2

...

.......

.......

.......

...

...

...

mk

k

k

k

.

.

.

2

1

0

i

m

i

ii

ii

i

yx

yx

yx

y

.

.

.

2

(4-21)

A K B

El sistema matricial (4-21) puede escribirse de la siguiente manera:

BKA (4-22)

Este sistema matricial se puede resolver usando entre otros, el método de

eliminación de Gauss-Jordan y los métodos iterativos que se discuten en las

secciones (v) y (VI) respectivamente.

xlviii

V.- MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN PARA RESOLVER

LAS ECUACIONES SIMULTÁNEAS LINEALES.

5.1. Introducción.

5.2. Problema.

xlix

5.1. Introducción.

Los métodos para resolver un sistema lineal como el que se presenta en

ecuaciones (4-21) y (4-22) pueden dividirse en dos tipos:

A. El método directo y,

B. El método iterativo.

El método directo permite obtener una solución exacta; sin embargo, tiene la

desventaja de que los cálculos en algunos casos, puede tomar mucho tiempo

de computación.

El método iterativo, como su nombre lo indica, permite obtener soluciones

aproximadas y, en algunos casos, necesita menos tiempo computacional que

el método directo.

Uno de los métodos fundamentales para obtener soluciones directas en el

método de eliminación de Gauss-Jordan . Con el fin de examinar este

método se selecciona un sistemas de tres ecuaciones simultáneas lineales

con tres incógnitas.

5.2. Problema.

Sea el siguiente sistema de tres ecuaciones:

3763 321 xxx

l

359 31 xx (5-1)

4685 321 xxx

este sistemas lineal de ecuaciones puede escribirse así:

685

509

763

3

2

1

x

x

x

4

3

3

(5-2)

La ecuación (5-2) es similar a la ecuación (4-21) de la sección anterior.

Es decir:

BXA

donde:

4

3

3

685

509

763

3

2

1

B

X

X

X

X

A

(5-3)

Es posible unir A con B en una matriz ampliada de la forma siguiente:

li

4685

3509

3763

matriz ampliada (5-4)

El método de Gauss-Jordan se usa para llevar la matriz ampliada a la forma

siguiente:

333

222

111

00

00

00

Ca

Ca

Ca

(5-5)

y la solución buscada es:

1111 acx

2222 acx (5-6)

3333 acx

Este procedimiento es directo y puede programarse para un computador

digital.

El ejemplo numérico se resuelve y simultáneamente se generaliza el método

de Gauss-Jordan mediante un ejemplo alfanumérico.

General Ejemplo

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

4685

3509

3763

lii

Filas Columnas

Donde k es el número de la fila.

Con el fin de eliminar los coeficientes es necesario seleccionar una fila

pivote. Por ejemplo, para K= 1 se elimina a21 (en el ejemplo numérico es el

número 9).

La nueva fila es:

Segunda fila primera fila

a11 (a21 a22 a23 a24) – a21 (a11 a12 a13 a14)

Observe que:

a11 a21 - a21 a11 = 0, por lo tanto:

General Ejemplo

34333231

242322

14131211

'''0

aaaa

aaa

aaaa

4685

1878540

3763

La nueva segunda fila es el ejemplo numérico se obtiene de la siguiente

manera:

3(9 0 -5 3) - 9(3 -6 7 3) =

(27 0 -15 9) - (27 -54 63 27) =

(0 54 -78 -18)

Observe que la resta se efectúa entre los términos correspondientes.

liii

Este ejemplo fue tomado de la referencia (7), de la página 156. Mostramos el

ejemplo y el método general.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS -JORDAN

General Ejemplo

Matriz dada

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

4685

3509

3763

Paso 1:

k =1

Línea pivote= 1, elemento pivote= a11

I = 2 1 A) nueva línea 2 =

J = 1, 2, 3, 4 12 2111 líneaalíneaa

34333231

242322

14131211

'''0

aaaa

aaa

aaaa

4685

1878540

3763

I = 3 1 B) nueva línea 3 =

J = 1, 2, 3, 4 13 3111 líneaalíneaa

liv

343332

242322

14131211

'''0

'''0

aaa

aaa

aaaa

271760

1878540

3763

Paso 2:

k =2

Línea pivote= 2, elemento pivote= a’22

2 A) nueva línea 1 =

21 1222 líneaalíneaa

i =1

j = 1, 2, 3, 4

343332

242322

141311

'''0

'''0

''0'

aaa

aaa

aaa

271760

1878540

54900162

2 B) nueva línea 3 =

2'3' 3222 líneaalíneaa

I = 3

J = 1, 2, 3, 4

3433

242322

141311

''''00

'''0

''0'

aa

aaa

aaa

135045000

1878540

54900162

lv

Paso 3:

k =3

Línea pivote= 3, elemento pivote= a’33

3 A) nueva línea 1 =

3'1'' 1333 líneaalíneaa

i =1

j = 1, 2, 3, 4

3433

242322

1411

''''00

'''0

''00''

aa

aaa

aa

135045000

1878540

1458000072900

3 B) nueva línea 2 =

3'2'' 2333 líneaalíneaa

I = 2

J = 1, 2, 3, 4

3433

2422

1411

''''00

''0'0

''00'

aa

aa

aa

135045000

972000243000

1458000072900

Solución:

lvi

''

141

''

11 axa 21 x

''

242

''

22 axa 41 x

''

343

''

33 axa 31 x

VI.- METODOS ITERATIVOS APLICADOS A SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

6.1. Introducción.

6.2. Método iterativo de Gauss-Seidel.

6.3. Problemas.

lvii

6.1. Introducción.

Los métodos directos son de utilidad cuando el número de ecuaciones es del

orden de (40) ó menor*. En las páginas 38 a 43 se discutió el método directo

de Gauss-Jordan que es uno de los métodos directos más usados.

Los métodos iterativos son más apropiados que los directos, cuando el

número de ecuaciones lineales es mayor de cuarenta. Dos de los métodos

iterativos son más apropiados que los directos, cuando el número de

ecuaciones lineales es mayor de cuarenta. Dos de los métodos iterativos de

uso más frecuente son el Jacobi y el de Gauss-Seidel. La selección del

método directo o indirecto también depende de las veces que se deben

resolver las ecuaciones.

6.2. Método iterativo de Gauss-Seidel.

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

1131321211 ....... cxaxaxaxa nni

2232322221 ....... cxaxaxaxa nni

.

.

nnnnnnin cxaaxaxaxa .......33221

lviii

Despejando x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda ecuación, etc, nos

queda:

*Hay muchas variantes de este criterio, por ejemplo, en la solución de

problemas de yacimiento mediante simulación numérica se utiliza el método

de Gauss-Jordan hasta con 29 incognitas.

11

113132121

.....

a

cxaxaxax nn

22

223231212

.....

a

cxaxaxax nn

(6-2)

.

.

.

nn

nnnnnnn

a

cxaxaxax

.....2211

El proceso se indica suponiendo un conjunto de valores para las incógnitas

x1, x2,.....xn, procediéndose a calcular un nuevo conjunto de valores para las

incógnitas. En cada paso se toma el último valor calculado para cada

variable. El proceso se continúa hasta lograr satisfacer algún criterio de

convergencia. Por ejemplo, uno de esos criterios es:

1. La suma de los valores absolutos de las desviaciones relativas de dos

conjuntos sucesivos de valores de las incógnitas debe ser menor o

igual a la desviación permitida:

;1

1,,

n

n

knkn xx

: (desviación permitida)

lix

donde k: número de pasos.

n: número de ecuaciones.

2. Si no se logra convergencia, los cálculos se efectúan hasta un valor

prefijado de iteraciones. También se pueden usar criterios adicionales:

número de páginas, tiempo, etc. (Ver por ejemplo sección 2.3).

6.3. Problema n° 1

Con el fin de familiarizarse con el método se resuelve el siguiente problema.

Se pide:

Obtener la solución aproximada del siguiente sistema de ecuaciones usando

el método de Gauss-Seidel.

53 21 xx

52 21 xx

Suponga un error e= 0,9 (desviación permitida)

Solución:

3

5

3

21

xx

y 2

5

2

12

xx

El proceso se inicia suponiendo .021 xx Los resultados son tabulados en

la tabla n° 6-1.

Tabla n° 6-1

Resultados del problema n° 1

Paso k x1 x2

2

1

1,,

n

knkn xx

lx

1 0 0 -

2 5/3 5/3 10/3

3 10/9 35 1/185/18

Para k= 3 15/18<e donde e=0,9

Por lo tanto, satisface el criterio de convergencia. La solución exacta es:

11 x y 22 x

La iteración de Gauss-Seidel no siempre converge. Así, Conte y Boor anotan

(3) en la página 179 de su libro que dicha iteración converge si la matriz de

coeficiente A es diagonalmente dominante por filas 0, si A es positiva

simétrica y definida. Por definición una matriz dominante es:

n

iji

ijii aa1

donde:

n= número de filas.

Observe que aii son los términos diagonales. Por ejemplo, en el siguiente

sistema de ecuaciones:

1210 321 xxx

1210 321 xxx

1210 321 xxx

se tiene que:

en la primera fila 1110

en la segunda fila 1110

lxi

en la tercera fila 1110

La matriz es diagonalmente dominante y se puede usar Gauss-Seidel.

VII.- INTEGRACIÓN NUMÉRICA.

7.1 Métodos de integración numérica.

7.1.1 Integración numérica usando cuadraturas gaussianas.

7.1.2 Integración numérica: Regla de Newton-Cotes

7.1.2.1 Regla de trapecio.

7.1.2.2 Regla de trapecio compuesta.

7.1.2.3 Regla simple de Simpson.

7.1.2.4 Regla compuesta de Simpson.

7.1.2.5 Comentarios adicionales.