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1 Universidad de Alcalá Departamento de Ecología MÉTODOS DE ANÁLISIS DE DATOS EN ECOLOGÍA Prácticas de Ecología Licenciaturas de Biología y Ciencias Ambientales Curso 2004-2005
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Universidad de Alcalá
Departamento de Ecología
MÉTODOS DE ANÁLISIS DE DATOS EN ECOLOGÍA
Prácticas de Ecología
Licenciaturas de Biología y Ciencias Ambientales
Curso 2004-2005
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1. INTRODUCCIÓN 4
1.1. Distribuciones de datos 4
1.2. Pruebas de contraste de hipótesis 6
2. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS: TEST DE LA χ2 7
2.1. Requisitos e hipótesis de trabajo 7
2.2. Procedimiento de cálculo 7
2.3. Contraste de hipótesis 9
2.4. Caso práctico 9
3. TESTS DE COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS 10
3.1. Selección del test 10
3.2. Test paramétrico: t de Student 10 3.2.1. Requisitos 10 3.2.2. Hipótesis 11 3.2.3. Procedimiento de cálculo 11 3.2.4. Caso Práctico 11
3.3. Test no paramétrico: U de Mann-Whitney 12 3.3.1. Requis itos 12 3.3.2. Hipótesis 12 3.3.3. Procedimiento de cálculo 12 3.3.4. Caso práctico 13
4. TESTS DE COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MEDIAS 13
4.1. Selección del test 14
4.2. Test paramétrico: Análisis de la Varianza (ANOVA) 14 4.2.1. Requisitos 14 4.2.2. Hipótesis 14 4.2.3. Procedimiento de cálculo 14 4.2.4. Caso Práctico 15
4.3. Test no paramétrico: Kruskal-Wallis 16 4.3.1. Requisitos 16 4.3.2. Hipótesis 16 4.3.3. Procedimiento de cálculo 16 4.3.4. Caso práctico: 17
3
5. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS: ÍNDICES DE CORRELACIÓN 18
5.1. Rangos de variación de los coeficientes 18
5.2. Hipótesis 18
5.3. Selección del test 19
5.4. Correlación paramétrica: r de Pearson 19 5.4.1. Procedimiento de cálculo 19 5.4.2. Caso práctico 19
5.5. Correlación no paramétrica: r de Spearman 20 5.5.1. Procedimiento de cálculo 20 5.5.2. Caso práctico 20
6. TABLAS ESTADÍSTICAS 22
6.1. Tabla de valores críticos del estadístico χ2 22
6.2. Tabla de valores críticos del estadístico t de Student 23
6.3. Tabla de valores críticos de l estadístico U de Mann Whitney 24
6.4. Tabla de valores críticos del estadístico F de Snedecor 28
6.5. Tabla de valores críticos de l estadístico H de Kruskal-Wallis 29
6.6. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Pearson (r) 30
6.7. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman (rs) 31
4
1. INTRODUCCIÓN La estadística es una disciplina que proporciona a la Ecología las herramientas
necesarias para el análisis de los datos. Dado que no podemos hacer estudios en toda la población (no es posible contar todos los ácaros que hay en un suelo, ni es posible medir el área foliar de todas las hojas de los árboles de un bosque, ni medir la longitud del cuerpo de todas las carpas que tiene un lago), la estadística nos permite cuantificar la probabilidad de cometer error al extrapolar los resultados obtenidos de una serie de muestras al conjunto de la población. Por tanto, la estadística permite cuantificar el error que cometemos al aceptar nuestros resultados obtenidos a partir de muestras (“encuestas”) de una población generalmente muy extensa.
Hay dos tipos de estadística, la estadística descriptiva, que reúne un conjunto de técnicas que facilitan la organización, resumen y comunicación de datos; y la estadística inferencial, que permite hacer pruebas de contraste de hipótesis.
1.1. Distribuciones de datos Cuando tenemos una colección de datos como resultado de un trabajo científico que
hemos realizado, es importante conocer el tipo de distribución que siguen esos datos para poder decidir posteriormente qué herramientas estadísticas son más adecuadas para el análisis de los mismos.
Los histogramas de frecuencias son una herramienta de representación de datos que nos permiten observar cómo se distribuyen los mismos. Están formados por rectángulos adyacentes que tienen por base cada uno de los intervalos de la variable medida y por altura las frecuencias absolutas (nº de veces que aparecen datos dentro de ese intervalo). La superficie de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia de cada una de las clases y el área total lo será al número de individuos en la muestra. El número de intervalos a utilizar (k) se puede calcular según la regla de Sturges (1926): K = 1 + 3.322 * log (n), donde n es el tamaño de muestra.
Figura 1: Representación gráfica de la distribución de frecuencias de la variable longitud del ala en una población de aves
Asimismo, para conocer mejor cómo se distribuyen unos datos es importante conocer cuál es valor central de los mismos así como el grado de dispersión de los datos alrededor de ese valor central. Para ello existen una serie de parámetros que informan acerca de estas características de las distribuciones de datos.
00,5
11,5
22,5
33,5
44,5
3,3* 3,4* 3,5* 3,6* 3,7* 3,8* 3,9* 4,0* 4,1* 4,2* 4,3* 4,4* 4,5*
Longitud del ala (cm)
Fre
cuen
cia
5
Medidas de tendencia central: indican alrededor de qué valores se agrupan los datos observados. Distinguimos: 1. Media aritmética: es el centro de gravedad de la serie de datos y se calcula como ∑xi/n.
µ- media de la población x- media de la muestra.
2. Mediana: es el punto medio de una serie ordenada de datos 3. Moda: es el valor más frecuente de la serie de datos.
Medidas de dispersión: indican si los valores de la variable están muy dispersos o se concentran alrededor de la medida de centralización. Son:
- Rango. Diferencia entre el valor máximo y el mínimo observado.
Rango: xmax-xmin
- Varianza. Expresa la dispersión de valores entorno a la media
σ2- varianza de la población σ2
n
xxi∑ −=
2)(
s2-varianza de la muestra s2
1
)( 2
−
−= ∑
n
xxi
- Desviación estándar. Es la raíz cuadrada de la varianza
σ - desviación estándar de la población
s - desviación estándar de la muestra
De entre todas las distribuciones posibles que puedan seguir unos datos, la distribución normal es la más interesante desde el punto de vista estadístico, pues reúne unas propiedades que han hecho posible que a partir de ella se desarrollaran numerosos métodos de análisis de datos. En ella, los valores cercanos a la media son los más abundantes y a medida que nos alejamos de la media, los datos presentan una frecuencia cada vez menor. Por este motivo, el histograma de frecuencias adopta una forma de campana de Gauss:
Figura 2. Representación de la media (mean), mediana y moda en cuatro distribuciones.
6
La distribución normal posee una serie de características: - Corresponde a variables cuantitativas continuas. - Se caracteriza por dos medidas: media y desviación típica. - Es unimodal. - Es simétrica alrededor de la media. Por tanto, media, mediana y moda coinciden. - Tiene forma acampanada, sin un pico excesivo. - El área bajo la curva = 1.
El 50% de las observaciones se encuentran por debajo de la media y el 50% por encima.
El 68% de las observaciones se encuentran dentro del intervalo x ± s El 95% de las observaciones se encuentran dentro del intervalo x ± 1,96 s El 99% de las observaciones se encuentra dentro del intervalo x ± 2,57 s.
1.2. Pruebas de contraste de hipótesis Debido a esta propiedad de poder conocer la probabilidad de que un valor determinado
forme parte de la distribución normal, se han desarrollado numerosos tests estadísticos que permiten realizar pruebas de contraste de hipótesis a partir de la distribución normal, son las pruebas paramétricas. Sin embargo, no siempre los datos que obtenemos en un trabajo científico se ajustan a la distribución normal, por lo que para hacer pruebas de contraste de hipótesis necesitaremos recurrir a la estadística no paramétrica.
La aplicación del método científico no nos permite demostrar la veracidad de una hipótesis sino su falsedad, es decir, que las hipótesis ecológicas (Hecol) que proponemos se dan por válidas siempre y cuando no se demuestre que son falsas. En las pruebas de contraste de hipótesis, las diferentes pruebas estadísticas utilizan la llamada hipótesis nula (H0) para verificar la validez de las hipótesis ecológicas. La hipótesis nula siempre presupone que la distribución de los datos es al azar, es decir, que no existen diferencias entre los grupos o asociación entre las variables debidas a factores ecológicos. Dicho de otra forma, la H0 es la negación de la hipótesis ecológica. Por tanto, cuando realizamos cualquier test estadístico de contraste de hipótesis, nuestro objetivo será rechazar la H0, lo que nos permite seguir dando por válida la hipótesis ecológica.
El grado de significación estadística (p) es el parámetro que cuantifica el error que se estamos cometiendo al aceptar nuestros resultados. Concretamente, lo que indica es la probabilidad de que rechacemos la H0 siendo cierta. Cuanto más pequeño sea el valor de ‘p’ menor será la probabilidad de que H0 sea cierta, y por tanto mayor es la probabilidad de que Hecol sea la correcta. Para tomar una decisión respecto a cuál sea la hipótesis ‘verdadera’, el investigador fija el nivel máximo de error que se permite al aceptar Hecol (a). En general, se ha fijado por convenio el umbral de p=0.05 como válido, es decir, nos permitimos un error máximo del 5% en nuestra afirmación de la hipótesis ecológica. En cualquier caso, conviene señalar que lo más importante es dar a conocer el error de nuestros resultados.
En función del número de variables implicadas en un análisis estadístico, distinguimos tres tipos de métodos de análisis de datos:
Métodos monovariantes: Se han registrado los valores de una sola variable, o de dos variables pero al menos una de ellas es cualitativa Métodos bivariantes: Se han registrado los valores de dos variables cuantitativas Métodos multivariantes: Se han registrado los valores de tres o más variables
En el siguiente cuadro se muestran de forma resumida las diferentes pruebas estadísticas que la estadística paramétrica y la no paramétrica proporcionan a los
7
investigadores para realizar las pruebas de contraste de hipótesis necesarias en los trabajos científicos:
2. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS: TEST DE LA χ2
El test de la χ2 se utiliza para analizar la asociación entre dos variables cualitativas (por ejemplo, la presencia de una especie con el tipo de suelo, o la presencia de individuos en estado de flor con una época del año, etc...). Lo que hace el test es comparar la distribución de frecuencias observadas de la asociación entre las variables con la distribución de frecuencias esperadas en caso de que no existiera asociación (es decir, si las dos variables cualitativas no están asociadas sino que se distribuyen al azar). Para analizar la asociación entre las variables cualitativas multiestado se utilizan las tablas de contingencia. A nivel general, este test sirve para comparar frecuencias, por lo que puede utilizarse para verificar si una colección de datos se distribuye de acuerdo a algún tipo de distribución específica.
2.1. Requisitos e hipótesis de trabajo La aplicación de este test requiere que las muestras estén tomadas al azar y que las
frecuencias esperadas sean superiores a 5. Como se trata de un test que relaciona variables cualitativas, no hay ningún requisito acerca de la distribución de las variables.
Las hipótesis de trabajo serán del tipo:
Hecol: Existe relación entre las variables
H0: Las dos variables son independientes (no hay asociación entre ellas)
2.2. Procedimiento de cálculo Supongamos, por ejemplo, que queremos saber si existe asociación entre la presencia
de la especie A (un invertebrado acuático) y el tramo del río (alto, medio y bajo) para el caso del río Henares. Para ello hemos hecho un muestreo a lo largo del río y en cada tramo hemos registrado la presencia (+) o ausencia (-) de la especie en 15 muestras de agua tomadas al azar. Los resultados obtenidos son:
Variable 1 Variable 2 Métodos paramétricos Métodos no paramétricos
Cualitativa
Cualitativa
Test de la χ2 (tablas de contingencia)
Cuantitativa
Cualitativa
t de Student t de Student para datos pareados Análisis de la Varianza
U de Mann-Whitney Prueba de los rangos de Wilcoxon Prueba de Kruskal-Wallis
Cuantitativa Cuantitativa Coeficiente de Correlación de Pearson
Coeficiente de Correlación de Spearman
8
Tramo Alto Tramo Medio Tramo Bajo
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
-
-
+
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
A partir de estos datos construiríamos una tabla de contingencia con los datos observados en campo de la siguiente manera:
Tramo del río
Alto Medio Bajo
+ 13 2 1 Especie A
- 2 13 14
A continuación se calcula el estadístico 2
calχ siguiendo la siguiente fórmula:
o = frecuencias observadas en el inventario e = frecuencia esperada de una celda, suponiendo que no hubiese asociación
( ) 22( , .)gl
o eeαχ−
= ∑ N
fce tt *
=
ct = total de la columna donde está la celda ft = total de la fila donde está la celda N = nº total de casos
gl. (grados de libertad) = (nº columnas-1)*(nº filas-1)
En nuestro ejemplo, el cálculo del estadístico 2
calχ se haría de esta forma:
9
* Tramo del río
Alto Medio Bajo Total
+ 13 (5.3) 2 (5.3) 1 (5.3) 16 Especie A
- 2 (9.7) 13 (9.7) 14 (9.7) 29
Total 15 15 15 45
* Entre paréntesis aparecen las frecuencias esperadas calculadas
Caso especial: En las tablas de contingencia de 2x2, como la de la figura:
Variable 1
A B Total filas
+ (a) (b) (a+b) Variable 2
+ (c) (d) (c+d)
Total columnas (a+c) (b+d) (a+b+c+d)
el estadístico 2
calχ se puede calcular también de esta forma :
Si N ≥ 30 Si N < 30 (Corrección de Yates)
)(*)(*)(*)(*)**( 2
2
dbcadcbaNcbda
cal ++++−
=χ )(*)(*)(*)(
)2/|**(|* 22
dbcadcbaNcbdaN
cal ++++−−
=χ
2.3. Contraste de hipótesis
Se compara el valor obtenido de 2
calχ con el valor 2
critχ correspondiente al número de grados de libertad apropiados y al valor de α previamente seleccionado (normalmente, α=0.05 ó 0.01):
Si 22critcal
χχ ≥ , se rechaza la H0 (hay asociación entre las variables)
Si 22
critcal χχ < , se acepta la H0 (no hay asociación entre las variables)
2.4. Caso práctico Continuamos con el ejemplo que hemos empezado antes, en el que queremos estudiar si existe
asociación entre la presencia de la especie A y el tramo del río Henares donde esta especie vive. Recordemos que, en nuestro caso: Hecol: Existe relación entre la presencia de la especie A y el tramo del río H0: La presencia de la especie A es independiente del tramo del río
A partir de la tabla de contingencia elaborada en el apartado 2.2, calculamos el estadístico 2
calχ de la
siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8.23
2
7.9
7,9142
7.9
7,9132
7.9
7,922
3.5
3,512
3.5
3,522
3.5
3,5132 =−
+−
+−
+−
+−
+−
=calχ
10
?2 crít (2 g.l., a=0.05) = 5.99è ?2 cal > ?2 crít èSe rechaza H0; por tanto, concluimos que la especie A aparece
preferentemente en los tramos altos del río.
3. TESTS DE COMPARACIÓN DE DOS MEDIAS Sirven para comparar las medidas de tendencia central (media o mediana) de dos
grupos de datos distintos, para determinar si las diferencias entre dichas medidas se deben al azar del muestreo o a diferencias reales entre los grupos que se están comparando. Relacionan una variable cualitativa de dos casos (variable independiente) con otra cuantitativa (variable dependiente). Los dos estados de la variable cualitativa son los que designan los grupos. Si quisiéramos estudiar, por ejemplo, si existen diferencias en el potencial hídrico de las encinas entre el día y la noche, y hubiéramos tomado muestras de potencial hídrico en encinas de día y otras muestras en encinas por la noche, para analizar los datos utilizaríamos un test de este tipo. En ese caso, la variable cualitativa es la hora del día, que es la variable independiente que define los dos grupos de datos; y el potencial hídrico sería la variable dependiente y cuantitativa.
3.1. Selección del test Para seleccionar el test apropiado para analizar nuestros datos, una vez realizado el
muestreo se construye un diagrama de frecuencias (o se realiza un test estadístico si se dispone de software apropiado) para comprobar la normalidad de la variable cuantitativa en cada uno de los dos grupos. Asimismo, se realiza el test de la F de Snedecor* para comprobar la homogeneidad de las varianzas entre los dos grupos.
Si la variable cuantitativa sigue la distribución normal en todos los casos y las varianzas no son significativamente distintas, se utilizará el test paramétrico: t de Student
En cualquier otro caso se realizará el test no paramétrico: U de Mann-Whitney
3.2. Test paramétrico: t de Student Se utiliza para detectar la existencia de diferencias significativas entre las medias de
una determinada variable cuantitativa en dos grupos de datos.
3.2.1. Requisitos
• Datos distribuidos según una distribución normal en cada grupo
• Las varianzas de las dos muestras han de ser iguales
• Muestras independientes y tomadas al azar
* Prueba de comprobación de varianzas iguales: F de Snedecor
Se calculan las varianzas de cada una de las dos muestras: 21s y 2
2s Se calcula el estadístico Fcal a partir de la siguiente fórmula:
2
2
menor
mayorcal s
sF =
grados libertad: n1-1, n2-1 (n1 tamaño de la muestra de varianza mayor) Ho: varianzas iguales. Si Fcal ≥Fcrít (La Fcrít se busca en las tablas, ver sección dedicada al ANOVA), se rechaza la Ho, es decir, se concluye que las varianzas no son iguales.
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3.2.2. Hipótesis
a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los dos grupos considerados, sin presuponer cuál de las dos medias es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medias.
Hecol: µ1 ? µ2
H0: µ1 = µ2
b) HIPÓTESIS DE UNA COLA:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los grupos considerados, presuponiendo que una de las dos medias es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medias, o que las diferencias van en sentido contrario a como han sido expresadas en la hipótesis ecológica.
Hecol: µ1 > µ2 ⇒ H0: µ1 ≤ µ2
Hecol: µ1 < µ2 ⇒ H0: µ1 ≥ µ2
3.2.3. Procedimiento de cálculo
Se calcula el estadístico tcal a partir de la siguiente fórmula:
21
21
11nn
Sc
xxtcal
+
−= donde:
221
222
211
−++
=nn
snsnSc
n1 y n2= tamaños de las muestras 1 y 2 respectivamente
1x y 2x = medias de las muestras 1 y 2 respectivamente 21s y 2
2s = varianzas de las muestras 1 y 2 respectivamente
A continuación se mide la significación del estadístico tcal , comparando ese valor con el valor de un estadístico tcrit que se obtiene mirando las tablas correspondientes. Para identificar el tcrit que nos corresponde hemos de fijarnos en el número de colas que tiene nuestra hipótesis (una cola: one-tailed; dos colas: two-tailed), en el nivel de significación (a) con el que pretendemos rechazar la hipótesis nula (normalmente a = 0.05 ó 0.01); y en los grados de libertad del test (n1 + n2 - 2).
- Si tcal≥ tcrit (a=0.05 o inferior) ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (las medias son diferentes)
- Si tcal< tcrit (a=0.05) ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medias son iguales)
3.2.4. Caso Práctico Queremos saber si la humedad del suelo en un determinado lugar varía en función de la cubierta vegetal
del mismo (tomillar o suelo desnudo), pues suponemos que la cubierta vegetal contribuye a aumentar la humedad del suelo por disminución de la evaporación. Para ello se ha realizado un muestreo en el que se ha medido la humedad de suelo (en % del volumen) en seis muestras distribuidas al azar bajo tomillares y en 8 muestras también distribuidas al azar en la misma zona, pero en condiciones de suelo desnudo.
Variables: - Cobertura de suelo (cualitativa, independiente) - Humedad del suelo (cuantitativa, dependiente) Hipótesis ecológica: Hecol: la humedad de suelo es mayor bajo el tomillar: µtomillar >µsuelo desnudo Se trata, por tanto, de un test de una cola.
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Hipótesis nula: H0: µtomillar ≤ µsuelo desnudo Tras el muestreo se obtienen los siguientes datos:
Cobertura Humedad de suelo (%) n Media 2s
tomillar 73.0 74.2 75.0 75.3 75.5 75.8 6 74.8 1.04 suelo desnudo 71.0 71.5 72.0 72.4 73.5 74.0 74.3 75.2 8 72.9 2.20
• Cálculo del estadístico tcal :
36.2
81
61
42.1
9.728.74 =
+
−=calt
• Comprobación de la significación del estadístico tcal :
tcal = 2.36 > tcrít (a=0.05, 12 gl, una cola) = 1.782 Por tanto, se rechaza la H0, y se acepta la Hecol, es decir, se concluye que existen diferencias
significativas en la humedad del suelo en función de la cobertura vegetal, siendo mayor en condiciones de cubierta vegetal de tomillar que en condiciones de suelo desnudo.
3.3. Test no paramétrico: U de Mann-Whitney Compara las diferencias entre dos medianas, por lo que se basa en rangos en lugar de
en los parámetros de la muestra (media, varianza). Se emplea cuando los datos no siguen la distribución normal, en lugar del test de la t de Student (paramétrico).
3.3.1. Requisitos
• Variable cuantitativa que no cumple los requisitos de normalidad y/o homogeneidad de varianzas, o variable semicuantitativa.
• Muestras independientes y al azar.
3.3.2. Hipótesis
a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas (M) de los dos grupos considerados, sin presuponer cuál de las dos medianas es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas.
Hecol: M1 ? M2
H0: M1 = M2
b) HIPÓTESIS DE UNA COLA:
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas de los grupos considerados, presuponiendo que una de las dos medianas es mayor que la otra. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas, o que las diferencias son en sentido contrario a lo expresado en la hipótesis ecológica.
Hecol: Μ1 > M2 ⇒ H0: Μ1 ≤ M2
Hecol: Μ1 < M2 ⇒ H0: Μ1 ≥ M2
3.3.3. Procedimiento de cálculo
• Asignación de rangos a cada dato. Para ello se ordenan todos los datos (juntando los dos grupos) en orden creciente. El rango de cada dato será el número de orden que le
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corresponde a cada dato. Cuando se repita el mismo valor numérico, el rango que se asigna a esos datos es la media aritmética de los rangos que les corresponderían en función del número de orden que ocupan.
• Se suman los rangos de cada uno de los inventarios (grupos) y se calcula la suma de los rangos de los datos de cada uno de los grupos (R1 y R2)
• Se calculan los estadísticos U1 y U2 a partir de las siguientes fórmulas:
2
22
1 2)1(
21 Rnn
nnU −+
+⋅= 1
11
2 2)1(
21 Rnn
nnU −+
+⋅=
• Se obtiene el estadístico Ucal escogiendo el valor más grande entre U1 y U2 .
• Se comprueba la significación estadística del estadístico Ucal comparando este valor con el valor de un estadístico Ucrít obtenido a partir de las tablas correspondientes.
Si Ucal ≥ Ucrít (a=0.05 o inferior) ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (las medianas son diferentes)
Si Ucal < Ucrít (a=0.05) ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medianas son iguales)
3.3.4. Caso práctico Se quiere estudiar si el número de especies de ácaros edáficos se ve influido por un incendio de baja
intensidad. Para ello se simuló un incendio de baja intensidad en una parcela de un territorio homogéneo, y se tomaron 6 muestras al azar de la zona incendiada y 7 muestras también al azar de la zona no incendiada, contándose el número de especies de ácaros edáficos en cada muestra.
Variable dependiente: número de especies de ácaros edáficos (cuantitativa) Variable independiente: ocurrencia de un incendio (cualitativa) H0= La mediana del número de especies de ácaros edáficos es igual en la parcela quemada que en la no
quemada: Mquemada = Mno quemada Hecol= La mediana del número de especies de ácaros edáficos varía dependiendo de que se haya
producido un incendio: Mquemada ? Mno quemada . Por tanto, de acuerdo con nuestra hipótesis ecológica, vamos a hacer un test de dos colas.
Los datos obtenidos en el muestreo son los siguientes:
Parcela Número de especies de ácaros edáficos n quemada 6 9 12 12 15 16 6
no quemada 10 13 16 16 17 19 20 7 - Asignación de rangos a cada dato:
dato * 6 9 10 12 12 13 15 16 16 16 17 19 20 rango 1 2 3 4’5 4’5 6 7 9 9 9 11 12 13
* en negrita los valores correspondientes al inventario de la parcela quemada - Se suman los rangos de cada grupo: R1=28 R2=63 - Cálculo del estadístico Ucal :
U1=6x7+[(7x8)/2]-63=7 U2=6x7+[(6x7)/2]-28=35 è Ucal
- Comprobación de la significación del estadístico Ucal : Ucal = 35 < Ucít (a=0.05) = 36 è No se rechaza la H0, concluimos que el número de especies de
ácaros edáficos no se ve influido significativamente por la ocurrencia de un incendio de baja intensidad.
4. TESTS DE COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MEDIAS Sirven para comparar las medidas de tendencia central (media o mediana) de más de
dos grupos de datos distintos, para determinar si las diferencias entre dichas medidas se deben al azar del muestreo o a diferencias reales entre los grupos que se están comparando.
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Relacionan una variable cualitativa de más de dos casos (variable independiente) con otra cuantitativa (variable dependiente). Los estados de la variable cualitativa designan dichos grupos. Un ejemplo de problema científico en el que utilizaríamos este tipo de tests sería determinar si existen diferencias significativas en la densidad de escarabajos (variable dependiente, cuantitativa) que encontramos en un determinado lugar en las cuatro estaciones del año (variable independiente, cualitativa, define los grupos).
4.1. Selección del test La selección del test apropiado para analizar nuestros datos se hace a través del
siguiente procedimiento: Una vez que se ha hecho el muestreo y se ha medido la variable cuantitativa en cada uno de los grupos de la población, se construye un diagrama de frecuencias (o se realiza un test estadístico si se dispone de software apropiado) para comprobar la normalidad de la variable cuantitativa en cada uno de los grupos. Asimismo, se realiza el test de la F de Snedecor para comprobar la homogeneidad de las varianzas entre los distintos grupos.
Si la variable cuantitativa sigue la distribución normal en todos los casos y las varianzas no son significativamente distintas, se utilizará el test paramétrico: ANOVA
En cualquier otro caso se realizará el test no paramétrico: Kruskal-Wallis
4.2. Test paramétrico: Análisis de la Varianza (ANOVA) Se utiliza para detectar la existencia de diferencias significativas entre las medias de
una determinada variable cuantitativa en tres o más grupos de datos.
4.2.1. Requisitos
• Datos distribuidos según una distribución normal
• Las varianzas de las distintas muestras han de ser iguales
• Muestras independientes y tomadas al azar
4.2.2. Hipótesis
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medias de los grupos considerados, es decir, que al menos dos de las medias serán distintas. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medias.
Hecol: No todas las medias son iguales
H0: µ1 = µ2 = ... = µk
4.2.3. Procedimiento de cálculo
La valoración de las diferencias entre las medias de los distintos grupos se basa en la descomposición de la variabilidad total del conjunto de datos en dos términos: variabilidad debida a las diferencias entre los grupos (variabilidad entre grupos), y variabilidad debida al azar del muestreo (variabilidad dentro de grupos).
La variabilidad entre datos se puede estimar con la varianza (s2), y con Suma de Cuadrados (SS), que es el cociente entre la varianza y los grados de libertad (g-l.). Por tanto:
SStotal = SSentre grupos + SSdentro grupos
Variabilidadtotal = Variabilidadentre grupos + Variabilidaddentro grupos
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Las diferentes sumas de cuadrados se obtienen a partir de las siguientes fórmulas:
( )∑ ∑−=
N
xxSS total
2
2 ( ) ( ) ( ) ( )
N
x
n
x
n
x
n
xSS
k
kgruposentre
22
2
22
1
21 ... ∑∑∑∑ −
+++=
x = cada uno de los datos de cada grupo
El cálculo de la suma de cuadrados dentro de grupos es más laboriosa y por ello la obtenemos despejando de la ecuación:
- Cálculo de los grados de libertad de las sumas de cuadrados:
1.. −= NSSlg total 1.. −= kSSlg guposentre kNSSlg gruposdentro −=..
- Conversión de las sumas de cuadrados (SS) en varianzas:
1..2
−==
k
SS
lg
SSs gruposentre
gruposentre
gruposentregruposentre
kN
SS
lg
SSs gruposdentro
gruposdentro
gruposdentrogruposdentro −
==..
2
- Cálculo del estadístico F:
2
2
gruposdentro
gruposentre
s
sF =
Si en la población de la que proceden las muestras no hay diferencias reales entre los grupos definidos por la variable cualitativa, la varianza entre grupos será similar a la varianza dentro de grupos (por tanto el cociente entre ambas estará cerca de 1). En el caso de que existan diferencias reales entre los grupos (lo que presupone la hipótesis ecológica) la varianza entre grupos será mayor que la varianza dentro de los grupos (el cociente entre ambas será mayor de 1). El estadístico que nos dice si las desviaciones respecto a ese valor de 1 son significativas es F.
El contraste de hipótesis se realiza comparando el valor de la Fcal con el valor Fcrít obtenido a partir de la tabla para el valor de α previamente establecido (normalmente α=0.05 o inferior). La búsqueda de dicha Fcrít requiere del número de grados de libertad del numerador y del denominador. La forma habitual de notación que se usa en las tablas lleva el valor de α entre paréntesis, y los grados de libertad del numerador y del denominador a continuación, en orden consecutivo y separados por comas. Por ejemplo, Fcrít (0.05) 3, 22. significa el valor del estadístico F de las tablas para un α=0.05, con 3 grados de libertad en el numerador y 22 en el denominador.
- Si Fcal ≥ Fcrít ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (alguna de las medias es diferente)
- Si Fcal < Fcrít ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medias son iguales)
4.2.4. Caso Práctico Se quiere saber si el tipo de cobertura de suelo (suelo desnudo, piedras, hojarasca y pastizal) influye
sobre la densidad de hormigueros. Para ello se ha realizado un muestreo en el que se ha medido el número de hormigueros en diez muestras distribuidas al azar dentro de cada una de las zonas con diferente cobertura.
grupocadaen datosdenúmero...,,,datos de totalnúmero grupos denúmero 21 === knnnNkg r u pc a d ae n d a t o sd en ú m e r o. . . ,,,d a t o s d e t o t a ln ú m e r o g r u p o s d en ú m e r o 21 === knnnNk g r u p oc a d ae n d a t o sd en ú m e r o. . . ,,,d a t o s d e t o t a ln ú m o g r u p o s d en ú m e r o 21 === knnnNk
SSdentro grupos = SStotal – SSentre grupos
16
- Variables: cobertura de suelo (cualitativa, independiente) y densidad de hormigueros (cuantitativa, dependiente)
- Hecol: Alguna de las medias es diferente (la cobertura de suelo influye sobre la densidad de hormigueros)
- H0: µsuelo desnudo = µpiedras =µhojarasca = µpastizal - Tras el muestreo se obtienen los siguientes datos:
Cobertura Densidad de hormigueros n Media Σx (Σx)2 Σx2 suelo desnudo 78 88 87 88 83 82 81 80 80 89 10 83.6 836 698896 70036
piedras 78 78 83 81 78 81 81 82 76 76 10 79.4 794 630436 63100 hojarasca 79 73 79 75 77 78 80 78 83 84 10 78.6 786 617796 61878 pastizal 77 69 75 70 74 83 80 75 76 75 10 75.4 754 568516 57006 Total 40 3170 252020 • Cálculo de la suma de cuadrados total:
SST = 252020 - (3170)2/40 = 797.5 • Cálculo de la variabilidad entre grupos (SSentre grupos):
SSentre = 698896/10 + 630436/10 + 617796/10 + 568516/10 - 31702/40 = 341.9 • Cálculo de la variabilidad dentro de los grupos (SSdentro grupos):
SST = SSentre + SSdentro ⇒ SSdentro = SStotal - SSentre = 797.5 – 341.9 = 455.6 • Determinar los grados de libertad de cada una de las suma de cuadrados estimadas:
SST = N - 1 = 40 - 1 = 39 SSentre grupos = k - 1 = 4 - 1 = 3 SSdentro grupos = N - k = 40 - 4 = 36 • Estimación de las varianzas dividiendo las SS por los grados de libertad:
s2entre grupos = 341.9/3 = 113.97 s2
dentro grupos = 455.6/36 12.66 • Cálculo del estadístico Fcal y comparación con el estadístico Fcrít:
Fcal = s2entre grupos /s
2dentro grupos =113.97/12.66 = 9.002
Fcrít (0.05) 3, 36 < 2.92
4.3. Test no paramétrico: Kruskal-Wallis Se basa en rangos en lugar de los parámetros de la muestra (media, varianza). Se
emplea cuando los datos no siguen la distribución normal y/o tienen varianzas distintas, en sustitución del ANOVA paramétrico. Cuando el número de grupos es 2 es idéntico a la U de Mann-Whitney.
4.3.1. Requisitos
• Variable cuantitativa que no cumple los requisitos de normalidad y/o homogeneidad de varianzas, o variable semicuantitativa.
• Muestras independientes y al azar.
4.3.2. Hipótesis
La hipótesis ecológica establece que existen diferencias entre las medianas (Μ) de los grupos considerados, es decir, que al menos dos de las medianas serán distintas. La hipótesis nula establece que no existen diferencias entre dichas medianas.
Hecol: Las medianas no son todas iguales
H0: Μ1 = Μ2 = ... = Μk
4.3.3. Procedimiento de cálculo
- Asignación de rangos: se realiza exactamente igual que para la U de Mann-Whitney.
Fcal > Fcrít ⇒ Rechazamos Ho La abundancia de hormigueros no es la misma en todas las zonas con distinta cobertura de suelo
17
- Cálculo del estadístico H:
Cuando existen rangos ligados (dos o más números con el mismo rango) se aplica un factor de corrección, siendo Hc el estadístico que se utiliza en lugar de H, calculado según la siguiente expresión:
El valor crítico del estadístico calculado (H o Hc) se consulta en la tabla de la χ2 si N≥15, o si k > 5, para (k-1) grados de libertad. Si N<15 y k<5 se consulta en la tabla específica para H.
- Si Hcal ≥ Hcrít (χ2crít) ⇒ se rechaza H0 y se acepta Hecol (alguna de las medianas es
diferente)
- Si Hcal < Hcrít (χ2crít) ⇒ se acepta H0 y se rechaza Hecol (las medianas son iguales)
4.3.4. Caso práctico: Se quiere estudiar si el pH de cuatro charcas situadas sobre sustratos diferentes es distinto. Para ello se
obtuvieron 8 muestras de agua procedentes de cada una de las charcas, midiéndose el pH en cada una de ellas. Los datos de pH se ordenaron de forma ascendente para cada charca. (Una muestra de agua de la charca nº 3 se perdió, de forma que n3=7; pero el test no requiere igualdad en el número de datos de cada grupo). Los rangos se muestran entre paréntesis.
Variable dependiente: pH (cuantitativa) Variable independiente: tipo de sustrato sobre el que cada charca (cualitativa) H0= el pH es el mismo en las cuatro charcas Hecol= el pH no es el mismo en las cuatro charcas
Charca 1 Charca 2 Charca 3 Charca 4 7.68 (1) 7.71 (6*) 7.74 (13.5*) 7.71 (6*) 7.69 (2) 7.73 (10*) 7.75 (16) 7.71 (6*)
7.70 (3.5*) 7.74 (13.5*) 7.77 (18) 7.74 (13.5*) 7.70 (3.5*) 7.74 (13.5*) 7.78 (20*) 7.79 (22)
7.72 (8) 7.78 (20*) 7.80 (23.5*) 7.81 (26*) 7.73 (10*) 7.78 (20*) 7.81 (26*) 7.85 (29) 7.73 (10*) 7.80 (23.5*) 7.84 (28) 7.87 (30) 7.76 (17) 7.81 (26*) 7.91 (31)
n1=8 n2=8 n3=7 n4=8 R1=55 R2=132.5 R3=145 R4=163.5
* Rangos ligados
)1(3)1(
12
1
2
+−+
= ∑=
NnR
NNH
k
i i
i
i grupo elen datos de número datos de totalnúmero N
grupos de número
===
in
k
CH
Hc =NN
ttC
m
iii
−
−−=
∑=
31
3 )(1
ligados rangos de grupos de número
grupo cadaen ligados rangos de número
=
=
m
ti
18
5. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS: ÍNDICES DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación cuantifica el grado de asociación entre dos variables cuantitativas.
ρ es el coeficiente de correlación real que existe entre dos variables en el conjunto de la población.
r y rs son los coeficientes medidos sobre la muestra.
5.1. Rangos de variación de los coeficientes Los coeficientes de correlación varían entre –1 y 1 del siguiente modo: a) 1≥ ρ > 0 : correlación positiva. b) −1 ≤ ρ < 0 : correlación negativa. c) ρ ≈ 0 : no hay correlación, los valores de x e y varían de forma independiente.
Cuanto más cerca esté el coeficiente de 1 ó –1, más fuerte es la correlación
5.2. Hipótesis a) HIPÓTESIS DE DOS COLAS
Existe correlación entre las variables x e y, ya sea positiva o negativa. La hipótesis nula dice que no existe correlación entre las variables.
Hec: ρ ≠ 0 (ρ < 0 ó ρ > 0)
318788 =+++=N
876.11)32(38
5.1637
1458
5.1328
55)32(31
12)1(3
)1(12 2222
1
2
=−
+++=+−
+= ∑
=
NnR
NNH
k
i i
i
168)33()22()33()44()33()33()22()( 3333333
1
3 =−+−+−+−+−+−+−=−∑=
i
m
ii tt
7 ligadosrangos degrupos de Número == m
9944.0297601681
31311681
)(
133
1
3
=−=−
−=−
−
−=∑
=
NN
tt
C
m
iii
943.1109944
876.11 ===CHH c 31 =−= kν 815.72
3,05.0 =χ
Se rechaza H0
El pH no es el mismo en todas las charcas ⇒
2crítc calH χ>
19
−×
−
×−
=
∑∑∑∑
∑ ∑∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=2
11
22
11
2
1 11
in
ni
in
ni
in
ni
in
ni
ni
i
ni
iii
ni
iii
yynxxn
yxyxn
r
H0: ρ = 0
b) HIPÓTESIS DE UNA COLA
Existe correlación positiva o negativa entre las variables x e y. La hipótesis nula dice que no hay correlación o que ésta es del signo contrario al esperado en la hipótesis ecológica.
Hecol: ρ > 0 ⇒ H0: ρ ≤ 0
Hecol: ρ < 0 ⇒ H0: ρ ≥ 0
5.3. Selección del test Para seleccionar el tipo de correlación con el que analizaremos nuestros datos
(paramétrica o no paramétrica), seguiremos los siguientes pasos: una vez que se haya realizado el muestreo y hayamos medido las variables x e y en la muestra, representaremos los pares de datos en un diagrama x-y. A continuación comprobaremos la normalidad de las variables (construyendo el diagrama de frecuencias o utilizando un software apropiado).
Si las dos variables cuantitativas siguen una distribución normal, utilizaremos la correlación de Pearson (paramétrica).
Si alguna de las dos variables cuantitativas no sigue una distribución normal, utilizaremos la correlación de Spearman (no paramétrica).
5.4. Correlación paramétrica: r de Pearson
5.4.1. Procedimiento de cálculo
El cálculo del índice de correlación de Pearson se hace a partir de la siguiente fórmula:
n- nº de pares de muestras
xi- valores de la variable x
yi- valores de la variable y
A continuación, se comprueba la significación del índice de correlación calculado comparándolo con el valor de un estadístico rcrit obtenido a partir de la tabla correspondiente, para una a = 0.05 o inferior y las colas que establezca la hipótesis.
Si rcal ≥ rcrit (a=0.05 o inferior) à Se rechaza la hipótesis nula. à Existe correlación.
5.4.2. Caso práctico Un ornitólogo está interesado en conocer la longitud del pico de una población de aves que estudia. Sin
embargo esa medida resulta más costosa de tomar que el peso corporal. Por ello quiere saber si ambas variables se correlacionan para estimar la primera a partir de la segunda.
- Variables: x- longitud del pico; y –peso corporal. Ambas son cuantitativas y normales. - Hipótesis de dos colas:
Hecol: ρ ≠ 0 (ρ < 0 ó ρ > 0) H0: ρ = 0
- Tras tomar una muestra de 10 individuos se obtienen los siguientes datos:
20
Obs. Longitud del pico
(mm)
Peso corporal (g)
x2 y2 xy
1 33.5 51 1122 2601 1708 2 38.0 59 14444 3481 2242 3 32.0 49 1024 2401 1568 4 37.5 54 1406 2916 2025 5 31.5 50 992 2500 1575 6 33.0 55 1089 3025 1815 7 31.0 48 961 2304 1488 8 36.5 53 1332 2809 1935 9 34.0 52 1156 2704 1768 10 35.0 57 1225 2349 1995
SUMA 342 528 11752 27990 18119 n = 10; r = 0.779, rcal = 0.779 > r crit (0.01) n=10 = 0.765. Se rechaza H0 y se acepta Hecol Por tanto, se puede concluir que existe una correlación positiva entre el peso corporal y la longitud del
pico de esa población de aves. Esto significa que los cambios en peso corporal de esas aves son un fiel reflejo de los cambios en la longitud del pico.
5.5. Correlación no paramétrica: r de Spearman
5.5.1. Procedimiento de cálculo
Para calcular la r de Spearman hay que realizar los siguientes pasos:
- Ordenar los pares de datos en función del valor de x y asignar rangos a x.
- Repetir la ordenación en función de y y asignar rangos a y.
- Calcular el coeficiente:
nn
dr
ni
ii
s−
−=∑=
=3
1
261
n = nº de pares de datos
di = diferencia de rangos en las variables del par i
Para comprobar la significación estadística del índice de correlación se consulta en la tabla correspondiente el valor crítico de rs para n pares de datos, para p=0.05 o inferior y para el número de colas acorde con la hipótesis. Si rs cal ≥ rs crít, se rechaza H0.
5.5.2. Caso práctico Se sospecha que la abundancia de la especie de gramínea Poa bulbosa en los pastizales mediterráneos
depende en gran medida de la humedad que hay en el suelo. Para comprobar la hipótesis se realiza un muestreo con una cuadrícula de 20 cm de lado, que se dispone 12 veces al azar sobre la comunidad de pasto. En cada cuadrícula se mide la cobertura de la especie y la humedad del suelo mediante un TDR.
Variables: Cobertura de la especie y humedad del suelo. Ambas son cuantitativas, y no siguen una
distribución normal. Hipótesis de una cola: existirá una correlación positiva entre la cobertura de Poa y la humedad. Hec: ρ > 0 è H0: ρ ≤ 0 Tras realizar el muestreo se obtienen los siguientes datos:
21
Obs. Cobertura Humedad Rango cob. Rango hum. d d2 1 82 42 2 3 -1 1 2 98 46 6 4 2 4 3 87 39 5 2 3 9 4 40 37 1 1 0 0 5 116 65 10 8 2 4 6 113 88 9 11 -2 4 7 111 86 8 10 -2 4 8 83 56 3 6 -3 9 9 85 62 4 7 -3 9 10 126 92 12 12 0 0 11 106 54 7 5 2 4 12 117 81 11 9 2 4 Suma 52
82.01212
5261
3=
−
×−=sr > rs crit (0.05) = 0.503 --> Se rechaza H0, hay correlación positiva entre la
cobertura de Poa bulbosa y la humedad del suelo. Es importante destacar que este muestreo no es una demostración de una relación causa-efecto entre
las variables, es decir, que con este muestreo no podemos concluir que la mayor humedad de suelo es la causa de la mayor abundancia de Poa bulbosa. Para determinar relaciones de causa-efecto se necesita realizar experimentos controlados y otros tests estadísticos que verifiquen ese tipo de relación.
22
6. TABLAS ESTADÍSTICAS 6.1. Tabla de valores críticos del estadístico χ2
23
6.2. Tabla de valores críticos del estadístico t de Student One tailed: hipótesis de una cola
Two tailed: hipótesis de dos colas
24
6.3. Tabla de valores críticos del estadístico U de Mann Whitney
α una cola α dos colas n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 31 32 32 33 33 34 34 35 35 36 36 37 37 38 38 39 38 39 40 39 40
2 2 3 4 5 10 6 12 7 14 8 15 16 9 17 18 10 19 20 11 21 22 12 22 23 13 24 26 25 14 25 28 27
α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01 2 15 27 30 29 16 29 32 31 17 31 34 32 18 32 36 34 19 34 37 36 38 20 36 39 38 40 21 37 41 39 42 22 39 43 41 44 23 41 45 43 46 24 42 47 45 48 25 44 49 47 50 26 46 51 48 52 27 47 52 50 53 28 49 54 52 55 29 51 56 54 57 30 53 58 55 59 31 54 60 57 61 32 56 62 59 63 33 58 64 61 65 34 59 65 63 67 35 61 67 64 69 36 63 69 66 71 37 64 71 68 73 38 66 73 70 75 39 68 75 71 76 40 69 77 73 78
3 3 9 4 12 5 14 15 6 16 17 7 19 21 20 8 21 24 22 9 23 26 25 27 10 26 29 27 30 11 28 32 30 33 12 31 34 32 35 13 33 37 35 38 14 35 40 37 41 15 38 42 40 43 16 40 45 42 46 17 42 47 45 49 18 45 50 47 52 19 47 53 50 54 20 49 55 52 57 21 52 58 55 60 22 54 60 57 62 23 56 63 60 65 24 59 66 62 68 25 61 68 65 70 26 63 71 67 73 27 66 74 70 76 28 68 76 72 79 29 70 79 74 81
α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01 3 30 73 81 77 84 31 75 84 79 87 32 77 87 82 89 33 80 89 84 92 34 82 92 87 95 35 84 94 89 97 36 87 97 92 100 37 89 100 94 103 38 91 102 97 105 39 94 105 99 108 40 96 107 102 111
4 4 15 16 5 18 20 19 6 21 23 22 24 7 24 27 25 28 8 27 30 28 31 9 30 33 32 35 10 33 37 35 38 11 36 40 38 42 12 39 43 41 45 13 42 47 44 49 14 45 50 47 52 15 48 53 50 55 16 50 57 53 59 17 53 60 57 62 18 56 63 60 66 19 59 67 63 69 20 62 70 66 72 21 65 73 69 76 22 68 77 72 79 23 71 80 75 83 24 74 83 79 86 25 77 87 82 90 26 80 90 85 93 27 83 93 88 96 28 86 96 91 100 29 89 100 94 103 30 92 103 97 107 31 95 106 100 110 32 98 110 104 114 33 101 113 107 117 34 104 116 110 120 35 107 120 113 124 36 110 123 116 127 37 113 126 119 131 38 116 130 122 134 39 118 133 125 137 40 121 136 129 141
5 5 21 24 23 25 6 25 28 27 29 7 29 32 30 34 8 32 36 34 38 9 36 40 38 42
25
α una cola α dos colas n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01 5 10 39 44 42 46 11 43 48 46 50 12 47 52 49 54 13 50 56 53 58 14 54 60 57 63 15 57 64 61 67 16 61 68 65 71 17 65 72 68 75 18 68 76 72 79 19 72 80 76 83 20 75 84 80 87 21 79 88 83 91 22 82 92 87 96 23 86 96 91 100 24 91 100 95 104 25 93 104 98 108 26 97 108 102 112 27 100 112 106 119 28 104 116 110 120 29 107 120 113 124 30 111 124 117 128 31 115 128 121 133 32 118 132 125 137 33 122 136 128 141 34 125 140 132 145 35 129 144 136 149 36 132 148 140 153 37 136 152 144 157 38 140 156 147 161 39 143 160 151 165 40 147 164 155 169
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26
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27
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α una cola α dos colas
n1 n2 0.05 0.01 0.05 0.01 19 19 238 260 248 268
20 250 273 261 281 21 261 286 273 294 22 273 298 285 307 23 285 311 297 320 24 296 323 309 333 25 308 336 321 346 26 320 348 333 359 27 331 361 345 371 28 343 373 357 384 29 355 386 369 397 30 366 398 381 410 31 378 411 393 423 32 390 423 405 436 33 401 436 417 448 34 413 448 429 461 35 424 461 441 474 36 436 473 453 487 37 448 486 465 500 38 459 498 477 512 39 471 511 489 525 40 482 523 502 538
20 20 262 286 273 295 21 274 299 286 308 22 276 313 299 322 23 299 326 311 335 24 311 339 234 349 25 323 352 337 362 26 335 365 349 376 27 348 378 362 389 28 360 391 374 403 29 372 404 387 416 30 384 418 400 430 31 396 431 412 443 32 409 444 425 456 33 421 457 438 470 34 433 470 450 483 35 445 483 463 497 36 457 496 475 510 37 469 509 488 523 38 482 522 501 537 39 535 513 550 40 548 526 563
28
6.4. Tabla de valores críticos del estadístico F de Snedecor ?1: grados de libertad del numerador
?2: grados de libertad del denominador
a = 0.05
a = 0.01
29
6.5. Tabla de valores críticos del estadístico H de Kruskal-Wallis
n1 n2 n3 n4 n5 α=0.05 α=0.01 2 2 2 3 2 1 3 2 2 4.714 3 3 1 5.143 3 3 2 5.361 3 3 3 5.600 4 2 1 4 2 2 5.333 4 3 1 5.208 4 3 2 5.444 6.444 4 3 3 5.791 6.745 4 4 1 4.967 6.667 4 4 2 5.455 7.036 4 4 3 5.598 7.144 4 4 4 5.692 7.654 5 2 1 5.000 5 2 2 5.160 6.533 5 3 1 4.960 5 3 2 5.251 6.909 5 3 3 5.648 7.079 5 4 1 4.985 6.955 5 4 2 5.273 7.205 5 4 3 5.656 7.445 5 4 4 5.657 7.760 5 5 1 5.127 7.309 5 5 2 5.338 7.338 5 5 3 5.705 7.578 5 5 4 5.666 7.823 5 5 5 5.780 8.000 6 1 1 6 2 1 4.822 6 2 2 5.345 6.982 6 3 1 4.855 6 3 2 5.348 6.970 6 3 3 5.615 7.410 6 4 1 4.947 7.106 6 4 2 5.340 7.340 6 4 3 5.610 7.500 6 4 4 5.681 7.795 6 5 1 4.990 7.182 6 5 2 5.338 7.376 6 5 3 5.602 7.590 6 5 4 5.661 7.936 6 5 5 5.729 8.028 6 6 1 4.945 7.121 6 6 2 5.410 7.467 6 6 3 5.625 7.725 6 6 4 5.724 8.000 6 6 5 5.765 8.124 6 6 6 5.801 8.222 7 7 7 5.819 8.378 8 8 8 5.805 8.465 2 2 1 1 2 2 2 1 5.679 2 2 2 2 6.167 6.667 3 1 1 1 3 2 1 1 3 2 2 1 5.833 3 2 2 2 5.333 7.133 3 3 1 1 6.333 3 3 2 1 6.244 7.200 3 3 2 2 6.527 7.636 3 3 3 1 6.600 7.400 3 3 3 2 6.727 8.105 3 3 3 3 7.000 8.538
4 1 1 1 4 2 1 1 5.833
n1 n2 n3 n4 n5 α=0.05 α=0.01 4 2 2 1 6.133 7.000 4 2 2 2 6.545 7.391 4 3 1 1 6.178 7.067 4 3 2 1 6.309 7.455 4 3 2 2 6.621 7.871 4 3 3 1 6.545 7.758 4 3 3 2 6.795 8.333 4 3 3 3 6.984 8.659 4 4 1 1 5.945 7.909 4 4 2 1 6.386 7.886 4 4 2 2 6.731 8.346 4 4 3 1 6.635 8.231 4 4 3 2 6.874 8.621 4 4 3 3 7.038 8.876 4 4 4 1 6.725 8.588 4 4 4 2 6.957 8.871 4 4 4 3 7.142 9.075 4 4 4 4 7.235 9.287 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 6.750 2 2 2 2 1 7.133 7.533 2 2 2 2 2 7.418 8.291 3 1 1 1 1 3 2 1 1 1 6.583 3 2 2 1 1 6.800 7.600 3 2 2 2 1 7.309 8.127 3 2 2 2 2 7.682 8.682 3 3 1 1 1 7.111 3 3 2 1 1 7.200 8.073 3 3 2 2 1 7.591 8.576 3 3 2 2 2 7.910 9.115 3 3 3 1 1 7.576 8.424 3 3 3 2 1 7.759 9.051 3 3 3 2 2 8.044 9.505 3 3 3 3 1 8.000 9.451 3 3 3 3 2 8.200 9.876 3 3 3 3 3 8.333 10.200
30
6.6. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Pearson (r) Una cola Dos colas n α=0.05 α=0.01 α=0.05 α=0.01 3 0.988 1.000 0.997 1.000 4 0.900 0.980 0.950 0.990 5 0.805 0.934 0.878 0.959 6 0.729 0.882 0.811 0.917 7 0.669 0.833 0.755 0.875 8 0.622 0.789 0.707 0.834 9 0.582 0.750 0.666 0.798 10 0.549 0.715 0.632 0.765 11 0.521 0.685 0.602 0.735 12 0.497 0.658 0.576 0.708 13 0.476 0.634 0.553 0.684 14 0.458 0.612 0.532 0.661 15 0.441 0.592 0.514 0.641 16 0.426 0.574 0.497 0.623 17 0.412 0.558 0.482 0.606 18 0.400 0.542 0.468 0.590 19 0.389 0.529 0.456 0.575 20 0.378 0.515 0.444 0.561 21 0.369 0.503 0.433 0.549 22 0.360 0.492 0.423 0.537 23 0.352 0.482 0.413 0.526 24 0.344 0.472 0.404 0.515 25 0.337 0.462 0.396 0.505 26 0.330 0.453 0.388 0.496 27 0.323 0.445 0.381 0.487 28 0.317 0.437 0.374 0.479 29 0.312 0.430 0.367 0.471 30 0.306 0.423 0.361 0.463 32 0.296 0.409 0.349 0.449 34 0.287 0.397 0.339 0.436 36 0.279 0.386 0.329 0.424 38 0.271 0.376 0.320 0.413 40 0.264 0.367 0.312 0.403 42 0.257 0.358 0.304 0.393 44 0.251 0.350 0.297 0.384 46 0.246 0.342 0.291 0.376 48 0.240 0.335 0.285 0.368 50 0.235 0.328 0.279 0.361 52 0.231 0.322 0.273 0.354 54 0.226 0.316 0.268 0.348 56 0.222 0.310 0.263 0.341 58 0.218 0.305 0.259 0.336 60 0.214 0.300 0.254 0.330 62 0.211 0.295 0.250 0.325 64 0.207 0.290 0.246 0.320 66 0.204 0.286 0.242 0.315 68 0.201 0.282 0.239 0.310 70 0.198 0.278 0.235 0.306 72 0.195 0.274 0.232 0.302 74 0.193 0.270 0.229 0.298 76 0.190 0.266 0.226 0.294 78 0.188 0.263 0.223 0.290 80 0.185 0.260 0.220 0.286 82 0.183 0.257 0.217 0.283 84 0.181 0.253 0.215 0.280 86 0.179 0.251 0.212 0.276 88 0.177 0.248 0.210 0.273 90 0.174 0.245 0.207 0.270 92 0.173 0.242 0.205 0.267 94 0.171 0.240 0.203 0.264 96 0.169 0.237 0.201 0.262 98 0.167 0.235 0.199 0.259 100 0.165 0.232 0.197 0.257
31
6.7. Tabla de valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman (rs) a (1): hipótesis de una cola
a (2): hipótesis de dos colas
