Metodología de Superficie de Respuesta.

Introducción.

En las unidades anteriores hemos presentado diseños

experimentales que permiten estimar efectos que sobre

una variable respuesta tienen factores individuales y/o

sus interacciones, así como la estimación de la variable

respuesta.

Otro objetivo de suma importancia es el identificar qué

condiciones hacen que la variable respuesta estimada

alcance un valor óptimo.

Objetivo.

Para el cumplimiento de este objetivo es

necesario un enfoque metodológico que

combine el uso de los diseños experimentales

antes vistos y las técnicas de modelaje del

análisis de regresión, pero adicionando técnicas

matemáticas de optimización.

A esta combinación se le ha dado el nombre

general de:

Metodología de Superficie de Respuesta (MSR).

Antecedentes.

La MSR se desarrolló inicialmente por Box y Wilson (1951). Hill

y Hunter (1966) llevan a cabo una excelente revisión de sus

fundamentos. Myers (1971) fue el primer libro sobre este tema.

La evolución de la computación hizo que esta técnica cobrara

un gran impulso y así, en estudios más recientes Khuri y

Cornell (1987), Box y Draper (1987) y Myers y Montgomery

(1995) publicaron notables trabajos acerca de la metodología.

La MSR es una herramienta que se ha utilizado ampliamente en

el desarrollo de procesos industriales y en el desarrollo

tecnológico, por ejemplo en la elaboración de alimentos.

Beetner (1974) emplea un diseño 23

en el estudio de la

degradación en el cocinado de extrusión de tiamina y

riboflavina.

• Conocer el funcionamiento de un sistema o proceso.

• Encontrar las condiciones óptimas de funcionamiento.

• Mejoras en costo, tiempo, eficiencia, productividad y/o calidad.

Originada por el trabajo de Box y Wilson (1951) Box, G. E. P., Wilson, K. G. (1951),“On the experimental attainment of optimum conditions”, Journal of the Royal Statistical Society, B 13, 1-45

Desarrollo teórico y primeras aplicaciones (década 1990):

o Box y Draper (1987).o Cornell (1991).o Montgomery y Myers (1996).o Araujo y Brereton (1996).

Conjunto de técnicas matemáticas y

estadísticas

Construir un modelo

𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2)

Datos experimentales

Diseño de experimentos

Analizar el comportamiento de una

respuesta

𝑥1 𝑥2

Niveles

Optimizar

𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2)

Representación gráfica del modelo:

Encontrar el óptimo

Cada línea de contorno está formada por todas las combinaciones de los factores que producen una misma respuesta.

Buscando las mejores condiciones:

Producción

• Experimentos exploratorios• Selección de factores

Buscando las mejores condiciones:

Producción• Experimentos exploratorios• Selección de factores

Factores significativos / niveles:

A Temperatura 20 – 60 °CB Tiempo de incubación 24 – 48 Hrs.

T (°C) Tiempo (Horas)

Rendimiento (g/L)

20 24 20.6

24 24 26.1

28 24 32

32 24 36.3

36 24 39.2

40 24 42

44 24 42.9

48 24 43.8

52 24 42.5

56 24 41.5

Valor óptimo

Condiciones óptimas de temperatura T = 48°C R = 43.8 g/L

Una misma respuesta puede depender de más de dos factores.

𝑦 = 𝑓 𝑥1… . , 𝑥𝑘 + 𝜀

¿Cuál es el óptimo?

Técnicas de optimización.

Requerimientos de la MSR

• Creación de un diseño de experimentos.• Ajuste de un modelo.• Utilización de una Técnica de Optimización.

*Explorar el modelo para obtener información sobre el óptimo.

Diseños y modelos matemáticos para MSR.

Diseños y modelos matemáticos para MSR.

• Para construir el modelo se necesitan como mínimo la misma cantidadde puntos experimentales diferentes que coeficientes a estimar.

• Para evaluar la falta de ajuste se deben incluir repeticiones de un puntodel diseño.

PH (𝒙𝟏)

Temperatura (𝒙𝟏)

mg/g (𝒚)

0 -1 43-1 1 651 0 490 1 69-1 -1 211 -1 431 1 62-1 0 450 0 570 0 540 0 610 0 57

Experimentos para la extracción de un alcaloide.

PH (𝒙𝟏)

Temperatura (𝒙𝟏)

mg/g (𝒚)

0 -1 43-1 1 651 0 490 1 69-1 -1 211 -1 431 1 62-1 0 450 0 570 0 540 0 610 0 57

Experimentos para la extracción de un alcaloide.

Lineal

Lineal con interacción

Cuadrático

𝑦 = 52.2 + 3.8 𝑥1 + 14.8 𝑥2

𝑦 = 52.2 + 3.8 𝑥1 + 14.8 𝑥2 − 6.2𝑥1𝑥2

𝑦 = 56.9 + 3.8 𝑥1 + 14.8 𝑥2 − 6.2𝑥1𝑥2 − 9.2𝑥12 − 0.2𝑥2

2

Evaluación del modelo (ANOVA).

Evaluación de los coeficientes.

Evaluación de los coeficientes.

Utilizar el modelo más simple que describa el comportamiento del sistema.

Técnicas para depurar los modelos.

• Manual.

• Eliminación Backward.• Modelo completo Modelo depurado

• Adición Forward.• Modelo depurado Modelo depurado

Categoría de modelos.

Un modelo es Jerárquico cuando contiene todos los términos más simples que componen los términos de mayor orden que están en el modelo.

Categoría de modelos.

Los modelos Jerárquicos tienen un comportamiento más estable que los no Jerárquicos.

Modelo lineal o de Primer Orden.

Modelo lineal con interacción.

Modelo cuadrático o de segundo orden.

Modelo cúbico o de tercer orden.

Modelo cúbico o de tercer orden.

Pasos en la MSR.

1. Definir los objetivos de la optimización.Plantear adecuadamente el problema a resolver y seleccionar la respuesta a evaluar.

2. Seleccionar los factores que resultan significativos.3. Establecer la región de operatibilidad.

Considerar las posibilidades instrumentales y la información sobre el sistema.

4. Seleccionar un entorno experimental.Definir la región del espacio de los factores en donde

vamos a planear los experimentos.

Pasos en la MSR.

5. Construir un diseño experimental de optimización.Recabar datos experimentales.

6. Elaborar un modelo matemático.Graficar la Superficie de respuesta y evaluar resultados.Repetir los pasos 4, 5 y 6 si fuera necesario.

7. Localizar el óptimo buscado para la respuesta. Utilizar herramientas gráficas y/o matemáticas.

8. Verificar el valor de la respuesta utilizando los niveles óptimos de los factores.

Región de operabilidad y entorno experimental.

Región de operabilidad.• Condiciones en donde el proceso o

equipo puede ser operado.

Región de operabilidad y entorno experimental.

Entorno experimental.• Limitado por los niveles seleccionados

para los factores.

Región de operabilidad y entorno experimental.

Entorno experimental.

Región de Operabilidad.

• Si sabemos poco del sistema, el punto óptimo puedeencontrarse fuera del entorno experimental inicial.

• El entorno experimental debe moverse hacia la localizacióndel óptimo.

Planificación de los experimentos.

La MSR se considera una técnica secuencial.

La superficie que corresponde a este modelo

Las curvas de nivel son particularmente útiles porque permiten crear,

varios escenarios en donde la respuesta del proceso sea cercana al

óptimo. Por ejemplo, si el investigador decide que un índice de absorción

de agua es adecuado en 7.0, entonces en cualquier punto de la segunda

elipse concéntrica en las curvas de nivel se tendrán soluciones adecuadas

para este proceso. En términos prácticos esto quiere decir que se podrá

ajustar el proceso a diferentes temperaturas y tiempos, tal decisión

dependerá de los intereses del investigador.

Las curvas de nivel en la superficie