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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN

LABORATORIO DE INVESTIGACIÓN EN ENERGÍAS RENOVABLES

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Metodología visual de enseñanza de los sistemas de numeración

Elizabeth Fonseca Chávez, Mario Alfredo Ibarra Carrillo* RESUMEN El tema de los sistemas de numeración, es muy común en libros de computación y sistemas digitales; su forma de enseñanza es la misma para la mayoría que toca este tema, es simple y no profundizan. En este artículo se parte del sistema decimal, para resaltar las propiedades necesarias a generalizar, y entonces se aplica el método visual. Luego aplicando las propiedades ya establecidas se aplica el método para bases específicas: bases menores a diez y bases mayores a diez. En el presente artículo tiene especial atención la base dos debido a su importancia en el desarrollo de Sistemas Digitales y en el desarrollo de nuevas teorías sobre la Computación Cuántica, por lo tanto se presenta a continuación de lo planteado. Con este método de trabajo cuando el alumno llega a base dos, desarrolla el sistema de numeración sin dudar. Al final se extrapola para mostrar el sistema de numeración de una base ortogonal (partida del código GRAY) y el sistema de numeración de Qubits. ABSTRACT The issue of numbering systems, is very common in computer books and digital systems, their teaching is the same for most touching this subject is simple and does not deepen. This article is part of the decimal system, to highlight the properties necessary to generalize, and then applies the visual method. Then by the properties already established method is applied to specific bases: bases less than ten and greater than ten bases. In the present article is based on two special attention because of its importance in the development of digital systems and the development of new theories of quantum computing is there fore presented below as proposed. With this method work when the student gets on base two numbering system develops without hesitation. At the end is extrapolated to show the numbering system of an orthogonal basis (starting GRAY code) and the numbering system of Qubits. Palabras claves: metodología visual, Sistema de Numeración, bases numéricas, numeración ortogonal, Qubits.

* UNAM, Facultad de ingeniería, Telecomunicaciones y Computación , [email protected] UNAM, Facultad de ingeniería, Telecomunicaciones , [email protected]

INTRODUCCIÓN El tema de los sistemas de numeración, es muy común en libros de Computación y de Sistemas Digitales; su forma de enseñanza es la misma para la mayoría que toca este tema, es simple y no profundizan. En consecuencia, a los alumnos de las materias básicas de Computación y de Diseño Digital, les cuesta trabajo pensar cómo crear los sistemas de numeración, mínimo para base dos, ocho y dieciséis. Con el método de trabajo visual, cuando el alumno llega a base dos, desarrolla el sistema de numeración sin dudar sobre su forma correcta de escribirse. Aprovechando el potencial del método visual, al final del artículo se realiza una extrapolación basado en el sistema de numeración binario para presentar el sistema de numeración ortogonal y el sistema de numeración empleado para representar los Qubits.

Los autores y profesores no profundizan en un tema que el alumno debe tener claro como base de conocimientos iniciales. Los sistemas de numeración son mencionados en la escuela primaria, su primera aparición comienza en aprender a contar con el sistema decimal. Por supuesto en la escuela primaria nos muestran un panorama de algunos sistemas de numeración en el mundo, por ejemplo los sistemas de numeración aditivos, Santiago [5], como ejemplo los egipcios (Unidades 10, 100, 1000, 10000 y 1000 000), y los griegos (Unidades 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000) donde suman las unidades requeridas para llegar a la cantidad dada utilizando sus símbolos específicos. También se tienen los sistemas numéricos híbridos (Aditivos y multiplicativos ) como ejemplo el sistema de numeración Chino: Unidades multiplicativas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 más unidades aditivas (10,100, 1000 y 10000) del uno al nueve multiplica por las unidades aditivas donde cada multiplicación se suma para obtener la cantidad dada. Finalmente se tienen los sistemas numéricos posicionales donde la posición de la cifra representa decenas, centenas etc. Trabajaban con este sistema en la india, babilonia, chinos (una versión sin el cero) y mayas; los árabes propagaron el sistema de numeración y su forma de cálculo. En este artículo se parte del sistema decimal que se maneja comúnmente, después se resalta las propiedades necesarias a generalizar, y se trabaja el método para bases específicas, utilizando estas propiedades, primero para bases menores a diez y




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luego para bases mayores a diez; después se habla de la base dos, y con el mismo método se desarrolla la numeración. Con este método de trabajo cuando el alumno llega a base dos, desarrolla el sistema de numeración sin dudar.

2 METODO TRADICIONAL Un numero expresado en un sistema de base r, tiene coeficientes multiplicados por potencias de r. En la ecuación 1, se muestra la ecuación que comúnmente se escribe, Mano [1] a0*r

n +a n-1*r n-1+…+a2*r

2 +a1*r +a 0+a1*r-1+a2*r

-2+…+am*r -m (1) Donde: r es cardinalidad o raíz, Mano[1]. an son cada uno de los coeficientes que varían entre 0 y r-1. Mientras Brown [2], ofrece la ecuación 2 exclusivamente para base 10 con coeficientes d, y solo para su ejemplo del número: 8547. d n-1 10 n-1+d n-2 10 n-2+…+d1 10 1+d0100 (2) La forma de trabajo es mediante el sistema posicional, En la base 10 cualquier número contenido en este sistema es un múltiplo de potencia de 10, Brown[2], Por ejemplo el número: 3456=> 3000 + 400 + 50 + 6 => 3x103 +4x102 +5x101 +6x100 Ambos autores tratan de sugerir que un número puede representarse por sus coeficientes y sus potencias respectivas a su base. Visualmente se mostrará a continuación lo que ambos autores comentan, adicionándole nuestra forma visual a la idea con la recta numérica. Primero presentamos en la figura 1, la representación básica de la base 10, con el numero 3456. Los valores de las potencias “n” se colocan de acuerdo a la recta numérica. Con “n=0” le corresponde la base “r” a la potencia 0. En ambas direcciones el número de la potencia se incrementa uno a uno, la única diferencia es que a la izquierda se tiene números negativos de las potencias. Por otro lado los coeficientes se asignan respecto a la potencia que corresponde su número de columna, a la izquierda se escribirían los decimales y por lo tanto el centro cuando n=0 correspondería al punto del coeficiente que representa un número real.

Figura 1. Visualización de cómo se asignan los coeficientes con

sus potencias respectivas, en la recta numérica.

En la figura 2 se ilustra el numero decimal: 3454.27 en la recta numerica referenciadose, abajo, por las ecuaciones de los autores Mano[1] y Brown[2], vemos que el autor Mano presenta una ecuacion completa y Brown plasmó su ecuacion unicamente para un ejemplo; la tecnica la sigue utilizando con otros ejemplos, para 3454, con 4 cifras, n=4, se tiene n-1=3, n-2=2 y n-3=1, n-4=0 , y por lo tanto la ultima cantidad (3) se multiplicara por 10n-1, es decir 3x103.

Figura 2.Visualizacion de la recta numerica, con un numero real confrontado con las ecuaciones de los dos autores Mano y

Brown




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Ahora en la figura 3 se presenta la base 2 con referencia a la recta numérica. Tambien en la potencia cero representamos el punto junto, para separar los enteros de las fracciones. Figura 3. Visualizacion de cómo se asignan numeros binarios y

potencias de dos en la recta numerica.

Los libros de diseño digital y lenguajes de computación se dedican exclusivamente a presentar los números de bases 2, 8 y 16; hasta un número limitado y entonces muestran algunos ejemplos mínimos de otras bases pero por conversión de sistemas de numeración Mano[1], Brown[2], Lloris[3], Deitel[4], Tocci[5]. En la tabla 1 se despliegan diez y seis números para las bases 10, 2, 8 y 16; los cuales comúnmente se muestran en los libros mencionados arriba.

Tabla 1. Sistema de Numeración para bases 10,2, 8 y 16

3 PROPIEDADES DE LAS BASES.

Definición 1. Propiedad número 1. Todas las bases se expresan empleando los símbolos arábigos y las letras mayúsculas del alfabeto latino. Definición 2. Propiedad número 2. Una base queda expresada, por comprensión, usando la palabra “base” seguida de la raíz (cardinalidad) de la misma. A su vez, una base queda expresada, por extensión, como una ordenación de números arábigos. Ejemplo1.

[ ][ ]

[ ]5,6,7,8,90,1,2,3,4,10

5,6,70,1,2,3,4,8

0,12

=base

=base

=base

Definición 3. Propiedad número 3. Toda base comienza con el cero. Definición 4. Propiedad número 4. El último elemento de la base es igual a la raíz de la base menos uno. Definición 5. Propiedad número 5. Para bases mayores a 10 se acostumbra utilizar las letras de la “A” a la “Z”. Se usan tantas letras como se necesitan para completar la base. La tabla número 2 nos ilustra la conformación de la base 13, con una referencia en su equivalente decimal (base 10). Tabla 2. Se exhibe el sistema de numeración de base 13 con su referencia respectiva en base 10.

Ejemplo2 Base 11=>11-1=10=>: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Ejemplo3 Base 20=>20-1=19=>: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J Donde para saber cuál es la letra, referenciamos siempre con respecto a un número decimal a partir del 10 (en decimal) A=>10, B=>11, C=>12, D=>13, E=>14, F=>15, G=>16, H=>17 I=>18 y J=>19. Definición 6. Propiedad número 6. Para realizar conteos mayores a los permitidos por la raíz de la base, se crea una ordenación nueva mediante el producto cartesiano de la base consigo misma. Se realizan tantos productos cartesianos según se requiera Ejemplo 4. Considere la base 3. Con esta base sólo es posible contar de cero a dos. Pero si desea contar más allá se realiza el siguiente producto cartesiano, el cual está ilustrado en la figura 3.




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[ ],21,220,11,12,2000,01,02,133 =BaseBase ×

Entonces la cardinalidad de los elementos de la ordenación formada a partir del producto cartesiano de la base tres consigo misma se calcula como:

raíz2=32

=9 (3) Si se desea aumentar la capacidad de conteo, se realiza un triple producto cartesiano, es decir,

Base 3×Base 3×Base 3=[000 001 002 010 011 012 020 021 022

100 101 102 110 111 112 120 121 122

200 201 202 210 211 212 220 221 222

]

4 METODO VISUAL El formato de trabajo para mantener estas propiedades se presenta mediante un arreglo bidimensional donde la cabecera de las columnas representa a la base de interés, y la columna izquierda representa a los renglones de la misma base de interés. 4.1 Para un espacio de trabajo, mostramos la figura 2 donde se despliega la base 10.

Figura 4. Desglose de los elementos de la base 10

4.2 Para dos espacios de trabajo (base10xbase10): mostramos la figura 5 la cual despliega la técnica de colocar la base de interés en renglón y en columna, adentro desarrollamos el sistema de numeración sin equivocación.

Figura 5. Se muestra BASE10xBASE10

Se debe notar que en el costado lateral izquierdo y en la cabecera se tiene escrita la base únicamente para referencia, así se presentara en adelante las diferentes bases, como se recalca en la figura 6.

Figura 6. Resalta los ejes de referencia para columnas y renglones como forma visual de desplegar un sistema de

numeración

Es evidente esta información para base 10, ya que se ha visto desde la escuela primaria, sin embargo, es muy importante notar las propiedades anteriormente mencionadas, para saber utilizarlas en general y construir un sistema de numeración. De forma general se muestra la figura 7 para hacer notar las diferencias entre bases. Todas las bases comienzan por cero, todas terminan con la base-1. En cada base dada, nunca aparece su número de base correspondiente. Después de utilizar un digito el numero siguiente debe contener dos dígitos y generalmente es el numero 10. Figura 7. Muestra visual del desarrollo de diferentes bases: 10,

2, 3, 5, 11, 17. Haciendo énfasis visual que todas las bases continúan con el “10” al empezar a utilizar otro digito.




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A continuación se muestra en la figura 8, la “base 3” con todas sus posibilidades, para una dimensión, para dos(base x base) , tres(base x base x base) y cuatro espacios de trabajo(base4) Notemos en esta figura que la referencia de la raíz vista en renglones y columnas nos sirve de referencia para armar el sistema de numeración, como por ejemplo, después del numero 222, el numero siguiente es el 1000, después del 1222, sigue el 2000, y que entonces después del 2222 seguirá el 10 000.

Figura 8. Despliegue de la base 3 para basen

5 BASES MENORES A 10 5.1 Base 5 Para construir el sistema de numeración partimos de la base a desarrollar: 5. Si se trabajara en base 5, requerimos primero presentar la base de trabajo. La base comienza en cero y llega hasta 5-1=4. Se escribe la base 5: 0 1 2 3 4 Ya teniendo la base se sugiere trabajar gráficamente, acomodando esta base inicialmente en un renglón y a su izquierda nuevamente

se escribe la base pero ahora en columna, esto nos sirve de referencia. Teniendo la base por renglón y columna como referencia, se colocan los datos relacionados en la intersección de columnas y renglones respectivos esto es base5xbase5, como en la figura 9. Figura 9. Despliegue de la base 5 x base 5, aunque al terminar de utilizar los dos espacios: 44, el numero siguiente se muestra

solo para ejemplificar que para tres espacios (base5xbase5xbase5) comienza con 100 cualquier base.

El grupo de números siguientes de este sistema de numeración es la combinación derivada del segundo elemento de la base: 1 y se combina con cada una de la base (0, 1, 2, 3, 4), es decir, 1,0 1,1, 1,2 1,3 1,4 Después para obtener el siguiente grupo de números, utilizamos el tercer elemento de la base: 2 y se combina con todos los elementos de la base (0, 1, 2, 3, 4), es decir 2,0 2,1 2,2 2,3 Se seguirán combinando cada elemento de la base siguiente hasta terminar de haber utilizado todos sus elementos. Desglosemos las ideas. Para un espacio o digito el sistema de numeración da: 0, 1, 2, 3, 4 Para dos espacios o dos dígitos, el sistema de numeración da: 00 01 02 03 04, 10 11 12 13 14, 20 21 22 23 24, 30 31 32 33 34, 40 41 42 43 44. Para tres espacios de trabajo o dígitos da: 000 001 002 003 004 010 011 012 013 014 020 021 022 023 024 030 031 032 033 034 040 041 042 043 044 100 101 102 103 104 110 111 112 113 114




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120 121 122 123 124 130 131 132 133 134 140 141 142 143 144 200 201 202 203 204 210 211 212 213 214 220 221 222 223 224 230 231 232 233 234 240 241 242 243 244 300 301 302 303 304 310 311 312 313 314 320 321 322 323 324 330 331 332 333 334 340 341 342 343 344 400 401 402 403 404 410 411 412 413 414 420 421 422 423 424 430 431 432 433 434 440 441 442 443 444 Para cuatro espacios de trabajo o tres dígitos tendríamos el inicio con 0000 0001 0002 0003 0004… después 444, 1000 1001 1002 1004,… Y terminaría con 4440,4441 4442 4443 y 4444. 5.2 Base 2 Esta base es la más común de utilizar en ingeniería. Los espacios de trabajos o dimensiones a utilizar se les llaman bit, como unidad mínima de información. Base: 2 tenemos dos elementos, comienza por cero y termina con 2-1=1. Base 2: 0 1 Para un bit tenemos el siguiente sistema de numeración: 0 1 Para dos bits 00 01 10 11 Para tres bits 000 001 010 011 100 101 110 111 Para cuatro bits 0000 0001 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1011 1100 1101 1110 1111 Para 5 bits: 00000 00001… 10111,… 11110,11111, Para n bits 00000 00001…

000000 000001… 0000000 0000001… 00000000 0000001… 000000000 0000001… …. Presentamos en la figura 10, la muestra de la base con filas y columnas para dos bits y el inicio del siguiente bit. Figura 10. Se despliega la base dos, en el inciso a, para dos bits

y se muestra en el inciso b, con su referencia en columna y renglón, la misma base dos, mas el comienzo del espacio de

trabajo con tres bits (100)

La siguiente figura 11 nos muestra los resultados de la construcción del sistema de numeración en base 2, y la idea de cómo va armándose al ir aumentando los bits.

Figura 11. Despliegue de la base dos para “n” bits.

Con esto es posible comprender mejor como se construye el sistema de numeración binaria.




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6 BASES MAYORES A 10. 6.1 Base 11 Para base 11, ya se considera mayor a la base 10 por lo tanto requerimos asignar las letras necesarias para completar la base, en este caso se utiliza “A” que corresponde al elemento 10. Base 11: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Para un digito o dimensión: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Para dos dígitos o dimensiones: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A … 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 9A A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA Obsérvese el sistema de numeración completo en la figura 12. Referencia en horizontal y vertical, los números ceros en la columna izquierda representa el inicio de la siguiente combinación, nótese al final de esta columna el número 1 junto con el inicio de la repetición de la RAIZ es decir el cero, ya combinamos una vez, tenemos otro cero, por lo tanto se tiene el siguiente número: 100.

Figura 12. Despliegue de la base 11, con sus referencias en columnas y renglones, adicionalmente se muestra el número

siguiente inmediato de tres espacios (100).

Como es evidente la construcción de la tabla de esta forma es más visible saber que numero continua de cual. 6.2 Base 13 De forma arbitraria se escoge utilizar esta base, solo para corroborar la forma de construcción del sistema de numeración.

Se utilizan las letras A, B, C que corresponde al número de elemento 10,11 y 12 respectivamente. El número máximo debe ser: base-1=> 13-1=12. Base 13: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C Para una dimensión: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C Para dos dimensiones: 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0A 0B 0C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2A 2B 2C ..etc 98 99 9A 9B 9C .. A8 A9 AA AB AC … B8 B9 BA BB BC … C8 C9 CA CB CC Veamos completos los datos del sistema de numeración, en la figura 13, en forma bidimensional. Figura 13. Despliegue de la base 13 con sus referencias en columnas y renglones, adicionalmente se muestra el número siguiente inmediato de tres espacios (100).

7 SISTEMA DE NUMERACION ORTOGONAL BASADO EN EL CODIGO GRAY El código gray o código reflejado esta construido especialmente para que de un estado a otro sólo se ejecute un cambio de un solo bit exclusivamente. Se muestra a continuación la tabla 3 que comúnmente colocan los autores de libros de diseño lógico.




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Tabla 3. Tabla de código Gray para cuatro bits.

Algunos autores mencionan determinadas aplicaciones del código gray en el proceso de convertir un sistema físico a un sistema discreto Mano[1]. El código gray es muy utilizado en mapas de karnaugh para minimizar funciones booleanas, y para crear visualmente hipercubos que sirven también para minimizar funciones boolenas. La transición de un solo bit entre un estado y otro nos permite corregir errores digitales (estados no esperados) por ejemplo del numero 3 al 4 en decimal, en binario tenemos 011 y 100, para pasar un circuito del 3 al 4 en binario se va cambiando bit por: 011 010 000 100, estos estados no eran los pedidos y puede afectar nuestro sistema mandando algún control no pedido a algún otro sistema conectado. Ahora si no los vemos como índices de estados sino como valores, el cambio de un bit solamente nos permite trabajar con bases ortogonales. Comenzamos por explicar cómo se construye este código reflejado. Se parte de un bit 0,1, luego para construir dos bits se aumenta un cero a la izquierda en este primer par 0 0, 0 1 y se asigna un 1 en el siguiente par, con el “reflejo de los bits anteriores, es decir se coloca el ultimo bit 1 y luego el 0, quedándolos pares de esta manera: 1 1, 1 0. Obsérvese la tabla siguiente para el armado de los primeros dos bits. Tenemos la figura 14, con una representación de espejo que intenta mostrar que el bit menos significativo se intercambia y repite abajo del espejo mientras que el otro bit solo cambia de cero a uno. Después tenemos la figura 15, donde vemos los números y un espejo solo representado por una línea. Para tres bits, en la figura 16 tenemos el código gray con tres bits y su representación de espejo con líneas horizontales.

Figura 14. Representación Visual de la formación del código gray mediante la utilización de un espejo virtual.

.

Figura 15. Representación del espejo virtual con una línea horizontal, para dos bits.

.

Figura 16. Representación del código gray para tres bits con líneas horizontales que representan un espejo virtual.

De esta manera se continua el código a cuatro bits, nuevamente se refleja una parte y la otra se sigue expandiendo.

7.1 Sistema de numeración Binario ortogonal (GRAY). Si es un código, puede limitarse a los bits establecidos, en general trabajan hasta 4 bits, dependiendo del código. En el caso de construirlo como sistema de numeración se vuelve casi ilimitado. Este singular sistema que estamos creando está basado en la base 2 pero la base completa de este sistema de numeración ortogonal comienza con DOS bits. Por lo tanto su construcción será




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exclusivamente cada 2, 4, 8, 16, etc pares de bits. Pero existen todos los números. El sistema bidimensional es como un mapa de karnaugh (métodos de minimización para funciones booleanas). Base binaria ortogonal: 00 01 11 10. Con intercambios reflejados. Para 2 bits: 00 01 11 10 Para 4 bits: 0000 0001 0011 0010 0100 0101 0111 0110 1100 1101 1111 1110 1000 1001 1011 1010 Para 8 bits: 0000 00001 0000 00011 0000 00010 0000 00110 0000 00111 0000 00101 0000 00100 0000 01100 … etc. Gráficamente tenemos la figura 17 con la visualización con mapas de karnaugh para dos bits y con flechas de orientación de por donde se continúa la numeración. Figura 17. Muestra el trabajo de formación del código gray en

una representación de mapas de karnaugh para dos bits.

En la grafica 18 tenemos el mapa de karnaugh para 4 bits adentro de cada casillero tenemos el conteo de la numeración. Figura 18. Muestra del código gray en un mapa de karnaugh

De este mapa de Karnaugh se debe notar como va avanzando la numeración, como en ZIGZAG, se muestra a continuación en la figura 19, marcado con flechas sobre cómo va avanzando la numeración en este formato.

Figura 19. Rutas de cómo se va dirigiendo el sistema de numeración dentro del mapa de karnaugh

Finalmente para n bits, tenemos la figura 20, que nos muestra solo una idea como se seguiría formando el código gray.

Figura 20. Ejemplo ilustrativo de como se formaría

visualmente el sistema de numeración de base ortogonal Gray para n bits.




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8 HIPERCUBO El hipercubo se representa con un sistema de numeración ortogonal. Específicamente utiliza el código gray, ya que se pide que cada vértice deba estar unido al siguiente vértice por solamente UN CAMBIO de bit. En la figura 21 se visualiza la construcción del cubo base con un bit, solo se construye una línea de dos vértices (dos posibilidades) en el inciso a; si se trabaja con dos bits solo podemos construir una cara del cubo conteniendo 4 vértices, la trayectoria de construcción de generación de numeración se escogió en sentido anti horario, como se observa en la figura 21 inciso b.

Figura 21. La Representación del hipercubo para un bit se muestra en el inciso a y para dos bits en el inciso b.

En la figura 22, inciso a, tenemos 3 bits, 8 posibilidades y representa un cubo. En el inciso b, tenemos 4 bits 16 posibilidades.

En la figura 23 tenemos la representación del hipercubo con 5 bits y 32 posibilidades; 2N. (Las mismas combinaciones que el sistema binario pero ordenado de otra manera). Para un hipercubo de 6 bits tendríamos 64 posibilidades, etc. BASE: CUBO Se repite el cubo tantas veces requiramos aumentar la dimensión o bit. Un bit: Una línea. Figura 21 inciso a. Dos bits: Un cuadrado. Figura 21 inciso b. Tres bits: Un CUBO. Figura 22 inciso a. Cuatro bits: Un CUBO base dentro de un CUBO más grande. Nótese que los vértices del cubo pequeño deben conectarse al cubo grande. Figura 22 inciso b. Cinco bits: CUBO base dentro de cubo grande, y este dentro de cubo más grande. Todos los vértices se conectan en cascada. Obsérvese en la figura 23.

Figura 22. La Representación del hipercubo para tres bit se muestra en el inciso a y para cuatro bits en el inciso b.




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Figura 23. La Representación del hipercubo para cinco bits.

En el apéndice B se explica cómo se minimiza una función boolena con hipercubos. 9 QUBITS Con un Qubit o bit cuántico, tenemos una combinación lineal que vale 0 y 1 al mismo tiempo. Por su puesto al ser medido este dato solo da ó cero ó uno. Todas las posibilidades para un bit es el Qubits, arreglado como combinación lineal. Se utilizara el sistema ortogonal binario, solo para representar visualmente un Qubit, donde sus coeficientes del conjunto deben de tener ciertas cualidades una de ellas es ortogonal (espacio de Hilbert), De la peña [7]. Sin embargo se resalta que en este párrafo solo se trabaja con los números de estados posibles no con los valores contenidos. En la figura 24 tenemos un Qubits 0,1 o 1,0

Figura 24. Se muestra las dos posibles combinaciones que puede tener UN QUBIT PURO de un bit.

Para DOS Qubits partimos de dos bits y presentamos todas sus posibilidades así como esta en la figura 25

Figura 25. Representación en matriz para todas las posibles combinaciones para 2 qubits puros.

Para TRES Qubits mostramos todas las posibilidades trabajando en la figura 26. Figura 26. Representación en matriz para todas las posibles combinaciones para 3 qubits puros.

Ahora se muestra, en la figura 27, una tabla de cómo se va expandiendo el sistema de numeración.




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Figura 27. Expansión con método ortogonal de combinaciones de qubits puros con respecto al número de bits utilizados

9.1 TABLA RAPIDA DE OBTENCION DEL SISTEMA DE NUMERACION ORTOGONAL BINARIA DE QBITS. Así como se muestra la forma rápida de obtención del sistema binario como se presenta en el apéndice A, aquí se muestra también la detección del patrón visual, específicamente para este sistema. El sistema ortogonal binario no funciona por ponderación “completamente”, porque fueron intercambiados determinados bits, sin embargo, se continuara con la notación con ponderación por columna 24 23 21 20, con la precaución debida.

Se detecta este patrón. Para la columna 20. 20=1. Tenemos el primer bit (1) es cero y después se deben presentar, 11, 00,11, 00, 11 etc. (Dos “unos”, dos “ceros”, dos “unos” dos “ceros”…) Para la columna 21. 21=2. Tenemos dos bits (2), los primeros que valen cero, después se presenta este secuencia: 1111, 0000, 1111 0000etc. (cuatro “unos”, cuatro “ceros”, cuatro “unos”, cuatro “ceros”…) Para la columna 22. 22=4. Tenemos 4 bits (4), los primeros que valen cero, después se presenta este secuencia:,11111111, 00000000, 11111111 etc. (8 ceros, 8 unos, 8 ceros, 8 unos…) Para la columna 23. 23=8. Tenemos 8 bits (8), los primeros que valen cero, después se presenta este secuencia: 1111111111111111, 0000000000000000, 1111111111111111 etc. (16 unos, 16 ceros, 16 unos, 16 ceros…) En la siguiente figura se muestra el patrón para un Qbits de 4 bits.

Figura 28. Muestra de detección de un patrón para poder determinar rápido los estados posibles del qbits para cuatro

bits.




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En la figura 29 se muestra una comparación entre sistemas ortogonales y Qbits.

Figura 29. Muestra visual de comparación de Hipercubo,

ortogonal gray y posibilidades de estados de qbits.

10 ESTADOS DE QUBITS Un Qubit representa un átomo con núcleo de espín 1/2, como el átomo Hidrogeno, la generalidad en el mundo real es que el átomo no está solo; forma parte de una molécula. Por lo tanto No hay qubits independientes. Un Qubit puede ser 0 a 1.

Figura 30. Representación visual de un qubit

10.1 MATRIZ DENSIDAD La forma de caracterizar el sistema es mediante una matriz de densidad, que junta todos los estados.

ρ= ρ1 ρ2 ρ3… (4)

Significa producto tensorial. En la figura 31 se observa como opera el producto tensorial, cada elemento de la primera matriz “a,” se multiplica por toda la matriz “b” (elemento por elemento).

Figura 31. Cómo funciona el producto tensorial

La dimensión (DIM) de la matriz de densidad Rho es igual a 2Nx2N de la i-ésima molécula que contiene N Qubits. Si tenemos: 1Qubits {0,1} o {1,0} Entonces DIM(Rho)=21x21=4 átomos, dimensión de rho=2x2. Es decir: La matriz de densidad de una molécula compuesta de 4 átomos, cada átomo es la matriz de dimensión 2x2. 2Qbits {00, 01,10 11} DIM(Rho)=22x22; 16 estados obtenidos 3Qbits {000 001 010 011 100 101 110 111} DIM(Rho)=23x23; 64 estados obtenidos 4qbits DIM(Rho)=24x24; 256 estados obtenidos




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5qbits DIM(Rho)=25x25; 1024 6qbits DIM(Rho)= 26x26; 4096 7qbits DIM(Rho)=27x27; 16384 ETC. La construcción de la matriz de densidad es una suma convexa con sus probabilidades ωs respectivas. En la esfera de Bloch de la figura 32 observamos la representación de Rho para un Qubit y su ecuación 5, respectiva, que representa una combinación lineal de estados. ρ=a|1> <1|+ d|2> <2 | ρ= ω1 |1> <1|+ ω2 |2> <2 | (5)

Figura 32. La esfera de Bloch para dos estados.

Las probabilidades ωs se obtienen de la frecuencia con que aparecen estos estados. En la ecuación 6 notamos el desglose de la matriz de densidad en dos estados puros.

(6) 10.1.2 OPERADOR DENSIDAD |a><a| Ahora se crea un sistema de 1qubit x 1qubit, se obtendrá 4 elementos. En la ecuación 7 se muestra la obtención de todos los estados de un producto tensorial de un sistema de un Qubit contra otro. En la figura 33 tenemos ese resultado visto de diferentes maneras, a) en matriz de una columna, b) en brakets de dos bits o visto como c) operadores densidad (se comenta a continuación) [9]Zvigniew.

{|0>,|1>} {|0>,|1>}= {|00>, |01>, |10>, |11>} (7)

Figura 33. Forma de presentar los estados puros. a) Como vector b) como bras c) como operadores

Si en la matriz de densidad se tienen todos los estados presentes y conocidos, el sistema se denomina completo, pero si no, es incompleto. Un estado real de un qubits puede descomponerse en una base de operadores con números complejos, como se observa en la ecuación 8. Aquí notamos que podemos representar cada matriz como un operador que pertenece a un grupo de operadores que juntos forman una matriz de densidad real. Las letras a, b, c y d; representan las probabilidades de que aparezca ese estado.

(8) De la ecuación 8 se hace notar que, no todos los elementos de esta descomposición son estados. Solo |1> <1| y |2> <2| son estados; ya que la traza (suma de la diagonal) de cada matriz, da UNO. Quedando un polinomio mínimo el cual se observa en la ecuación numero 9 siguiente.

(9) Esta nomenclatura |1> <1| representa una matriz armada de una multiplicación tensorial de un vector renglón |1> con un vector columna <1|; se le llama “operador de proyección”. En la ecuación 10 se despliega dos vectores a y b y se obtiene su producto tensorial, este resultado representa un estado, es un operador de densidad.

(10) Los Qubits tienen estados que son puros y mixtos. 10.2 ESTADO PURO Todo el sistema o matriz de densidad que representa los estados de los qubits deben tener determinadas características para ser trabajados. De inicio, todo el sistema debe trabajar con estados independientes (ortonormales). Sobre los operadores de proyección, se precisa que deban ser:

1) traza (ρ)=1 2) Hermitianos ρ*=ρ




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3) idempotentes ρ2=ρ Sus operadores por supuesto son mutuamente ortogonales con eigenvalores no negativos. Se considera el sistema completo porque se conoce todas sus conexiones. 10.3 ESTADO MIXTO Si la matriz de densidad no cumple con la traza es un estado mixto, el cual no se tiene todas las conexiones completas y se le llama incompleto. Una forma de comprobar si es mixto es que la traza ρ=1 y además si traza (ρ2) <1. 10.4 SISTEMA DE NUMERACION ESTADOS PUROS Conocemos el sistema completo y la traza (rho)=1. Los pesos (omega) todavía no los utilizamos. Aquí se muestra la evolución de los operadores de densidad. 1 Qubit=> DIM(Rho)=4: Partimos de 4 posibilidades 00, 01, 10 y 11; sin embargo de estas solo tenemos dos estados 00 y 11; como se observa en la figura 34 inciso a (hipercubo), con esto tenemos una matriz de densidad solo con omega1 y 2 como se observa en el inciso b; y comparamos con la esfera de Bloch, en el inciso c).

Figura 34. Representación de dos estados en a)hipercubo b)matriz de densidad y c)esfera de Bloch

Después mostramos los simples resultados de cómo se obtienen las 4 posibilidades 00, 01, 10 y 11 en la figura 35.

Figura 35. Obtención con programa en computadora para 2 qubits con sus cuatro posibilidades y su operador de densidad

Notando de esta figura 35 que los únicos estados son rho11 y rho22 (traza=1). 2qubits=> DIM(Rho)=16: Para 16 posibilidades mostramos la figura36 con la multiplicación de UNICAMENTE los que son estados.

Figura 36. Obtención del operador de densidad a partir de qubits de 2.

Con esto tenemos la figura 37 que nos muestra lo obtenido en la esfera de bloch inciso a), en el hipercubo b) y la matriz Rho c).




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Figura 37. Representación de 4 estados en a)hipercubo

b)matriz de densidad y c)esfera de Bloch

Enseguida ya tenemos nuestra generalización únicamente con el hipercubo, para 3bits en el inciso a, y 4 bits en el inciso b; comprobando que todas las operaciones se basan en la diagonal y se obtienen resultados únicamente para diagonales o lo que es lo mismo para estados aceptados.

Figura 38. Generalización de estados obtenidos para 3 y 4 qubits

4qubits=> DIM(rho)=32: Con 32 posibilidades logramos percibir los posibles resultados en la matriz de densidad para la combinación de estados puros de 4x4 qubits. En la figura 39, 40, 41 y 42 tenemos las cuatro combinaciones posibles de los estados son sus resultados enseguida. Figura 39. Obtención del operador de densidad a partir de qubits de 4, primera combinación

Figura 40 Obtención del operador de densidad a partir de qubits de 4, segunda combinación

Figura 41 Obtención del operador de densidad a partir de qubits de 4, tercera combinación

Figura 42 Obtención del operador de densidad a partir de

qubits de 4, cuarta combinación




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De aquí tenemos, evidentemente nuestro hipercubo a) y con la esfera de bloch b). Con sus resultados obtenidos.

Figura 43 Representación de 16 estados en a) hipercubo b) esfera de Bloch

Como se observa se continúa la numeración de la misma forma. 10.4.1 EJEMPLOS Se crear la matriz de densidad para algunos ejemplos, utilizando un programa, hecho por los autores. Un sistema tiene dos estados dados

|15

2|0

5

1| <+<=<ψ

(11) El operador densidad es || ψψρ ><= (12)

Debemos checar traza (ρ ) y traza ( 2ρ )=1

En la figura 44 tenemos la corrida de este ejemplo con los pesos de probabilidades a 1. Traza (ρ )=1 y traza ( 2ρ ) <1 Conclusión: es

un estado Mixto.

Figura 44 Corrida de programa de la ec. 11

Como siguiente ejemplo, en la ecuación 13 y 14 tenemos ahora dos estados diferentes. Con probabilidades de aparecer del 40% paraψ

y del 60% para φ , se observa en la figura 45 los cálculos,

encontrándose las traza de rho y rho^2 =1.

Conclusión: es un estado Puro.

>+>=< 1|3

20|

3

1|ψ

(13)

>+>=< 1|2

30|

2

1|φ

(14)

Figura 45 Corrida de programa de las ec. 13 y 14.

10.5 SISTEMA DE NUMERACION ESTADOS MIXTOS La matriz de densidad está en función de dos cosas: los pesos de las probabilidades y los estados puros con sus operadores de densidad. De la ecuacion9 y 10 tenemos que ρ= ω1 |1> <1|+ ω2 |2> <2 | Vamos a crear la matriz de densidad para algunos ejemplos, utilizando un programa, hecho por los autores. Partimos de un operador de densidad dado:

||4

1||

4

3| −><−++><+=< ρ

(15) Se quiere checar el tipo de estado que es. Debemos checar traza ( ρ ) y traza ( 2ρ )=1. En la figura 46 esta la corrida del programa

donde se observa que la traza (rho)=1, pero traza(rho^2)= <0.6250 esto es traza(rho^2)<1; por lo tanto es un estado mixto. Tenemos los valores de las probabilidades diferentes a 1.




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Figura 46 Corrida de programa de la ec. 15.

El siguiente ejemplo tenemos el operador densidad directamente

−

=

3

2

3

33

1

i

i

ρ

(16) Con los resultados siguientes: traza de rho es 1 y traza de rho^2<1, por lo tanto se habla de un estado mixto. Conclusión: es un estado Mixto.

Figura 47 Corrida de programa de la ec. 16.

Para un sistema de dos partes, no entrelazado (es más complejo si lo fuera), pero sí, mixto; se tendría caracterizado por la matriz de densidad junto con un conjunto de probabilidades pi y un par de qubits dados como se observa en la ecuación 17

ii

iip 21ρρρ ∑= (17)

Con esto, aun no tenemos los datos completos para realizar el planteamiento preciso de un sistema de numeración. 11 CONCLUSIONES Se presentó en este artículo un nuevo método visual que mejora la enseñanza de los sistemas de numeración, para las materias de computación para ingenieros y diseño de sistemas digitales de las carreras de ingeniería, para abordar sin ambigüedades el sistema binario; así como también nos ayudó a crear otros sistemas de numeración y entender los nuevos sistemas de numeración que nos están llegando, como son los sistemas de numeración ortogonales y los Qbits. El método visual donde una imagen dice más que mil palabras, para este caso funciona muy bien. La forma de trabajo se ha ido mejorando en las exposiciones con los alumnos, evidentemente en los exámenes sobre base 2, 8 y 16 el alumno rápidamente desarrolla el sistema de numeración. El entendimiento con las conversiones entre bases y las operaciones binarias es muy rápido, con respecto a otras clases donde no se utiliza este método. Se realizó el sistema de numeración ortogonal, para compararlo con sistema del hipercubo y los Qubits de forma visual y utilizando el método. Sobre los Qubits se estudió desde el nacimiento del Qubit como combinación lineal de dos datos 0 y 1 al mismo tiempo; y se observo como se va generando esta propagación con respecto al aumento de número de bits, y una forma rápida de escribir este sistema. Después se estudió los estados cuánticos puros y un poco mixtos, como se obtienen dada su matriz de densidad, pudimos generar un sistema de numeración respecto a la matriz de densidad de estados cuánticos puros y para obtenerlos para mixtos aun falta información por completar en investigación, el cual se presentará en artículos próximos. APENDICE A Tabla rápida por columna para los sistemas de numeración binaria . Una forma muy rápida para hacer el sistema de numeración, específicamente, para el sistema binario, dicen los autores y que se corroborara es notando algunos patrones que por visualización se nota fácilmente. Primero se nota que en el bit menos significativo(20) el valor del cero y uno se van cambiando SIEMPRE, 01,01,01,01,01,01,…etc. Después tenemos la siguiente columna (21) donde se nota que el patrón es dos ceros, dos unos. 00 11 00 11 00,…etc. Para la comuna siguiente (22) el patrón encontrado es 4 ceros 4 unos, 4 ceros 4 unos etc., y el cuarto bit (23) el patrón es 8 ceros 8 unos 8 ceros 8 unos. Este valor puede obtenerse con el valor de




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ponderación que se le da a cada bit. Se muestra en la figura 48 siguiente. Figura 48. Muestra Visual de detección de patrón para escribir más rápido el sistema binario para cuatro bits, en el inciso a,

tenemos la muestra para indicar solo lo que pasa en la columna ultima, en el inciso b) solo para la columna representativa de 22 en c) para representar a la columna 21 y d= para representar a

la primera columna.

APENDICE B Forma de minimizar el Hipercubo. Lo interesante es que para minimizar, solo se marcan los vértices, cuando dos vértices cercanos crean una línea se tiene una relación entre datos y se reduce. Aun se reduce más si los vértices forman un plano. En la figura 49 siguiente tenemos dos grupos de valores que valen 1 Figura 49 forma de minimizar con la tabla de verdad, solo se

resalta los vértices que valen 1 y se une esa línea.

Y el resultado es checando si los bits se repiten en la figura 50. Figura 50. Si tenemos una línea su función booleana de AB es

el bit que mantiene el mismo valor por lo tanto el cero a la izquierda se mantiene en ambos vértices asi el resultado es A

negada.

Ahora para tres bits, se observa en la figura 51.




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Figura 51. Ejemplo de obtención de A negada de las

combinaciones de tres bits, aquí se forma un plano con los resultados UNOS de la tabla de verdad, y notamos que el único

bit que se mantiene en cada vértice es el de la izquierda, que representa a una A negada, por supuesto.

REFERENCIAS [1]Morris Mano. Diseño digitales. Tercera edición. (También en todas sus ediciones) pág. 1-35. [2] Brown Stephen –Vranesic Zvonko. Cap. 5. Representación de números. Fundamentos de Logica digital con VHDL, segunda edición. Mc Graw Hill Pag. 245-249 [3]Lloris, -Prieto-Parrilla. Sistemas Digitales.2003, ed. Mc Graw Hill pag.173-186 [4]Deitel, Apéndice E, Como programar en c/c++, segunda edición, Prentice Hall, pag.892-906. [5]Ronald J. Tocci Cap.2 Sistemas Numéricos y códigos. SISTEMAS DIGITALES principios y aplicaciones Sistemas, pag. 20-44 [6] Santiago Casado, Los sistemas de Numeración a la largo de la historia, [email protected] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html [7] Luis de la Peña, capitulo 3.Ecuacion estacionaria de Schrodinger, introducción a la mecánica cuántica, UNAM/fondo de cultura económica. Pag. 62. [8] Ivan S. Oliveira, NMR Quantum Informatión Processing, Ed.ELSEVIER, 2007; pag. 114. [9] David McMahon, Quantum Computing Explained, Wiley-Interscience. 2007. [10] Zbigniew Oziewicz,Jose Hugo Max, oarrafo 3.1 Dirac bra-ket, pag.11. [11] Zbigniew Oziewicz, BIRKHOFF’S THEOREMS VIA TREE

OPERADS, parrafo2: Algebras in Graphic, pag. 2 Bulletin of the Section of Logic Volume 28/3 (1999), pp. 1–14.

INFORMACIÓN ACADÉMICA Elizabeth Fonseca Chávez. Ingeniera Mecánica Electricista egresada de la Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán de la UNAM, Maestra en Ingeniería orientación Sistemas egresada de la División de Estudios de posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Actualmente profesora de asignatura del departamento de Computación y del departamento en Telecomunicaciones de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Mario Alfredo Ibarra Carrillo , Ingeniero Mecánico Electricista egresado de la Facultad de Ingeniería UNAM, Maestro en Ingeniería orientación en procesamiento de señales egresado de la División de Estudios de posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Profesora asociado del departamento de Telecomunicaciones de la Facultad de Ingeniera UNAM. .

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