PROFR. MARCO ANTONIO VÁZQUEZ MONTESMÉTODO TRIGONOMÉTRICO PARA LA SUMA DE VECTORES

INSTRUCCIONES PARA EL USO DE ESTE MATERIAL:o DESCÁRGALO EN TU COMPUTADORAo OBSÉRVALO EN EL MODO DE PRESENTACIÓN CON DIAPOSITIVAS Y CON BOTÓN PRIMARIO

DEL MOUSE O LAS FLECHAS DE DIRECCIÓN DEL TECLADO AVANZA EN EL DESARROLLO DE LOS PROBLEMAS.

o ANTES DE VER LOS RESULTADOS REALIZA TUS PROPIOS CÁLCULOS Y POSTERIORMENTE COMPRUÉBALOS CON LOS QUE SE MUESTRAN. ESTO ES IMPORTANTE POR QUE TE PERMITIRÁ SABER SI ESTÁS APRENDIENDO EL PROCEDIMIENTO.

EJEMPLO No. 1:Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores como lo muestra la figura siguiente, sabiendo que las fuerzas de tensión son de T1=3500N y T2=3000N. encontrar el valor de la fuerza resultante y la

dirección que tendrá ésta con respecto al eje horizontal.

30°

70°

T1

T2

70°

30°

30°

𝑻 𝟏

𝑻 𝟐

Primero empleamos el método del triángulo para ubicar los elementos que necesitamos conocer (para este caso no es muy importante establecer una escala exacta ni realizar las medidas en forma muy precisa).

Es importante conocer el ángulo que forman los dos vectores de magnitudes conocidas

80°

Estos dos ángulos son alternos internos y por lo tanto iguales

Una vez conocido el ángulo entre los vectores, empleamos la ley de cosenos para calcular la magnitud del vector resultante

𝑻 𝑹

|𝑻 𝑹|=√|⃗𝑻 𝟏|𝟐+|𝑻𝟐|

𝟐−𝟐|𝑻 𝟏||𝑻 𝟐|𝒄𝒐𝒔𝟖𝟎°

|𝑻 𝑹|=√ (𝟑𝟓𝟎𝟎𝑵 )𝟐+ (𝟑𝟎𝟎𝟎𝑵 )𝟐−𝟐 (𝟑𝟓𝟎𝟎𝑵 ) (𝟑𝟎𝟎𝟎𝑵 )𝒄𝒐𝒔𝟖𝟎°

|𝑻 𝑹|=𝟒𝟏𝟗𝟓 .𝟔𝟑𝑵

El ángulo se puede calcular por medio de la ecuación:

𝜽𝑻𝑹

𝜽𝑻𝑹

=𝟑𝟔𝟎° −𝜶

𝜶

A su vez el ángulo se calcula con la expresión

𝜶=𝜷−𝟑𝟎°

𝜷

Primeramente calculamos , después y finalmente

Para aplicamos la ley de senos

𝒔𝒆𝒏𝜷

|𝑻 𝟐|=𝒔𝒆𝒏𝟖𝟎°

|𝑻 𝑹|

𝜷=𝒂𝒏𝒈𝒔𝒆𝒏|𝑻𝟐|𝒔𝒆𝒏𝟖𝟎 °

|𝑻𝑹|

Despejamos

Observamos que el ángulo que determina la dirección del vector es mayor a 270° y menor a 360°

Sustituimos los datos conocidos y obtenemos

=

Podemos ahora calcular fácilmente el valor de 𝜶=𝜷−𝟑𝟎°¿𝟒𝟒 .𝟕𝟔° −𝟑𝟎°¿𝟏𝟒 .𝟕𝟔°

Por lo tanto

𝜽𝑻𝑹

=¿𝟑𝟔𝟎° −𝟏𝟒 .𝟕𝟔° =

Los valores buscados son:

|𝑻 𝑹|=𝟒𝟏𝟗𝟓 .𝟔𝟑𝑵 𝜽𝑻𝑹

=𝟑𝟒𝟓 .𝟐𝟒°

EJEMPLO No. 2:Calcula la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la armella que se muestra a

continuación.

160°

60°

50°90°

60° Es importante conocer el ángulo que forman los dos vectores de magnitudes conocidas

Aplicamos el método del triángulo

Una vez conocido el ángulo entre los vectores, empleamos la ley de cosenos para conocer la magnitud del vector resultante

|�⃗�𝑹|=√ (𝟖𝒌𝒈 )𝟐+(𝟏𝟎𝒌𝒈 )𝟐−𝟐 (𝟖𝒌𝒈 ) (𝟏𝟎𝒌𝒈 )𝒄𝒐𝒔𝟏𝟔𝟎°|�⃗�𝑹|=𝟏𝟕 .𝟕𝟐𝒌𝒈

El ángulo se calculará por medio de la ecuación

𝜽𝑭 𝑹

El ángulo que determina la dirección del vector es mayor a 0° y menor a 90°

𝜽𝑭 𝑹

=60°−𝜶

𝜶

Para aplicamos la ley de senos𝒔𝒆𝒏𝜶

|�⃗�𝟐|=𝒔𝒆𝒏𝟏𝟔𝟎°

|�⃗� 𝑹|

𝜶=𝒂𝒏𝒈𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝒌𝒈 )𝒔𝒆𝒏𝟏𝟔𝟎°

𝟏𝟕 .𝟕𝟐𝒌𝒈

Sustituimos valores y obtenemos el resultado

Calculamos fácilmente el valor de

�⃗�𝟏

�⃗�𝟐

Despejamos

𝜶=𝒂𝒏𝒈𝒔𝒆𝒏|�⃗�𝟐|𝒔𝒆𝒏𝟏𝟔𝟎°

|⃗𝑭 𝑹|

¿𝟏𝟏 .𝟏𝟐°

𝜽𝑭 𝑹

=60°−𝟏𝟏 .𝟏𝟐° °

Los valores buscados son:

|�⃗�𝑹|=𝟏𝟕 .𝟕𝟐𝒌𝒈 𝜽𝑭 𝑹

=𝟒𝟖 .𝟖𝟖°

�⃗� 𝑹

30°

Ejemplo No. 3:

¿Cuál es la magnitud de la velocidad resultante y su dirección de las dos que actúan sobre el bote que parte del muelle oeste e intenta cruzar el río?

60°

N

E

𝑽 𝑪=𝟏𝟓𝒎𝒔

𝑽 𝑩=𝟏𝟎𝒎𝒔

60°

30°

Aplicamos el método del triángulo

𝜽𝑽 𝑹

El ángulo que determina la dirección del vector es mayor a 270° y menor a 360°

𝜶

𝑽 𝑩

𝑽 𝑪

𝑽 𝑹

𝜷

Una vez conocido el ángulo entre los vectores, empleamos la ley de cosenos para conocer la magnitud del vector resultante

|𝑽 𝑹|=√(𝟏𝟎𝒎𝒔 )

𝟐

+(𝟏𝟓𝒎𝒔 )

𝟐

−𝟐(𝟏𝟎𝒎𝒔 )(𝟏𝟓𝒎

𝒔 )𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎°¿𝟏𝟑 .𝟐𝟐𝒎𝒔

El ángulo se calculará con la ecuación:𝜽

𝑽 𝑹=𝟑𝟔𝟎° −𝜶

Y para

𝜶=𝜷−𝟑𝟎°Primeramente calculamos , después y finalmente . Para aplicamos la ley de senos

𝜷=𝒂𝒏𝒈𝒔𝒆𝒏|𝑽 𝑪|𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎°

|𝑽 𝑹| =

Podemos ahora calcular fácilmente el valor de

𝜶=𝜷−𝟑𝟎°¿𝟕𝟗 .𝟑𝟎° −𝟑𝟎°¿𝟒𝟗 .𝟑𝟎°Por lo tanto

𝜽𝑽 𝑹

=¿𝟑𝟔𝟎° −𝟒𝟗 .𝟑𝟎° =

Los valores buscados son:

|𝑽 𝑹|=𝟏𝟑 .𝟐𝟐𝒎𝒔

𝜽𝑻𝑹

=𝟑𝟏𝟎 .𝟕°