Método RVR en la simulación de medidas de confiabilidad en redes

5/13/2018 Método RVR en la simulación de medidas de confiabilidad en redes - slidepdf.com

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INFORME DE INVESTIGACION

CURSO : ESTUDIOS DE CASOS EN I.O.

TEMA : METODO RVR EN LA SIMULACIONDE MEDIDAS DE CONFIABILIDADDE REDES

INTEGRANTES:

RICARDO ANTONIO DIAZ ROQUE

PROFESOR : MG. RICARDO LOPEZ GUEVARA



Método RVR en la simulación de medidas deconfiabilidad en redes

1.- Introducción

Una red está compuesta por un conjunto de nodos y un conjunto de aristas

que comunican pares de nodos. La confiabilidad de una red es una medida querefleja la capacidad de la misma de continuar operativa frente a posibles fallos dealgunos de sus componentes, y se define como la probabilidad de comunicaciónexitosa entre cierto conjunto de nodos de la red, dadas las probabilidades defuncionamiento de los componentes y la topología de la red. La evaluación exactade esta medida es un problema NP-difícil, por lo que los algoritmos de cálculoexacto se hacen impracticables para redes de tamaño considerable. Una alternativaes utilizar métodos de simulación y en particular el método Monte Carlo. Elalgoritmo Monte Carlo estándar, directo o crudo requiere de un gran esfuerzocomputacional para lograr estimaciones precisas en redes muy confiables. Por estemotivo es de interés el estudio de algoritmos denominados de reducción devarianza. En este trabajo se estudia en particular la técnica de Reducción Recursivade la Varianza aplicada al cálculo de confiabilidad en redes. Se realiza un estudiocomparativo de tres algoritmos: el algoritmo exacto de Generación Completa deEstados y los algoritmos estimativos Monte Carlo Crudo y Reducción Recursiva de laVarianza. Se presentan los detalles de implementación de los algoritmos, los casosde prueba seleccionados para su testeo y los resultados numéricos obtenidos, así como las conclusiones extraídas a partir de los mismos. También se muestra laincorporación de las implementaciones realizadas a la herramienta HEIDI y laconstrucción de un sitio web para la difusión de este trabajo.

2.- P lanteamiento del problema.

Este trabajo trata sobre el tema confiabilidad en redes. Las entidades relevantesen una red son nodos y conexiones entre nodos, y en general el principal objetivobuscado es lograr una comunicación segura entre nodos de la red. Las aplicacionesde modelos de redes se dan en los siguientes contextos:

Redes telefónicas y de comunicación de datos. Redes de transporte. Arquitecturas de computadores. Redes de energía eléctrica. Sistemas de comando y control.

Los principales problemas a resolver en el análisis y el diseño de redes son, agrandes rasgos, los siguientes:

1. Dado un conjunto de nodos que se desean comunicar entre sí, obtener una redóptima en algún sentido (por ejemplo, obtener la máxima cantidad posible decaminos distintos entre pares de nodos), sujeto a determinadas restricciones (por

ejemplo, costo de conexión entre pares de nodos).2. Dada una red, evaluar de algún modo su confiabilidad (en el sentido de lacomunicación entre nodos). Este tipo de problemas están fuertemente relacionadoscon problemas del tipo 1, donde en el proceso de búsqueda de la red óptima sedeben comparar las confiabilidades de dos redes para escoger la mejor, o luego deobtener un resultado a partir de cierto procedimiento se debe evaluar suconfiabilidad. Este caso de Investigación de Operaciones se centra en la solucióndel tipo 2.



Cabe aclarar que el modelo utilizado se adecua a realidades donde la información acomunicarse entre dos nodos se rutea de forma dinámica a través de la red. Estosignifica que si bien puede existir un camino predeterminado para comunicar dosnodos, se puede escoger un camino alternativo en caso de falla de algúncomponente intermedio del camino predeterminado (pensar en el ruteo depaquetes entre dos hosts de Internet). Se dejan de lado detalles como el controlde congestión y retrasos en la comunicación (problemas clásicos en redes de datos

y de transporte.Al trabajar con nodos y conexiones entre nodos, para la construcción de un modeloformal se utilizan grafos (en lo que sigue se utilizarán las palabras red y grafo comosinónimo s). En particular interesa definir una medida (o índice) de confiabilidadpara una red, que esté basada en su topología y en la confiabilidad de suscomponentes. La forma de obtener dichos índices varía dependiendo de los datoscon que se cuente. Un dato imprescindible es el referente a la topología de la red,pero según se cuente o no con datos sobre las confiabilidades elementales de loscomponentes, se pueden adoptar dos enfoques:

Solidez o resistencia a fallos: Es un índice calculado en base a parámetrosusuales de grafos (cintura, cohesión, conectividad y otros). Se asume que todoslos componentes son idénticos desde el punto de vista de sus eventuales fallos,

por lo que este enfoque es útil cuando no se cuenta con información acerca dela confiabilidad de cada componente por separado. Confiabilidad: Se calcula la probabilidad de funcionamiento de la red en base a

las confiabilidades elementales de cada componente, dadas medianteprobabilidades de funcionamiento de los mismos.

El enfoque a tomar en este taller es el segundo, considerándose un modeloprobabilístico basado en un grafo estocástico (se asignan probabilidades defuncionamiento a nodos y aristas). Sobre grafos de este tipo, existen básicamentetres medidas de interés:

Rv (confiabilidad global): Probabilidad de existencia de por lo menos un caminoentre todo par de nodos del grafo.

Rst (confiabilidad fuente-terminal): Probabilidad de existencia de por lo menosun camino entre los nodos s y t.

Rk (confiabilidad entre terminales): Probabilidad de existencia de por lo menosun camino entre todo par de nodos del subconjunto K de nodos (denominadosterminales). En algunos casos se trabaja con las contrapartes de estas medidasdesde el punto de vista de la anti confiabilidad, definidas como:

Qv = 1 - Rv

Qst = 1 - Rst

Qk = 1 – Rk

Los cálculos exactos de estas medidas son problemas NP-difíciles, por lo tanto, nose conocen algoritmos de orden polinómico en la cantidad de componentes delgrafo para resolverlos. Existen algoritmos exactos eficientes para tipos particulares

de redes, pero en el caso general los métodos exactos se hacen impracticables porsus excesivos tiempos de ejecución, para redes relativamente grandes. Unaalternativa es utilizar métodos de simulación. La opción más simple es utilizar elmétodo Monte Carlo estándar o crudo como forma de simular el comportamientoestocástico del sistema. En el contexto del cálculo de confiabilidad en redes, elmétodo Monte Carlo crudo consiste en sortear un estado del grafo (equivalente asortear el funcionamiento de sus nodos y aristas) y verificar su conexidad (o lacondición que defina a la red como operativa o funcionando correctamente).Realizando varias replicaciones del mismo experimento, se obtiene una estimaciónde la medida requerida como la frecuencia de aparición del suceso "la red se



encuentra en estado operativo". La desventaja importante de este método es laexcesiva varianza de las estimaciones (que como consecuencia aumenta el tamañodel intervalo de confianza), lo que hace que sus resultados sean poco precisos. Enparticular esto se da para redes de alta confiabilidad, donde se hace necesariorealizar un número considerable de replicaciones para obtener estados de falla o nooperativos. Esto motiva el estudio de métodos de reducción de la varianza para lasimulación de medidas de confiabilidad. En particular, en este trabajo se estudia el

método de reducción recursiva de la varianza (RVR, siglas en inglés de "recursivevariance reduction"). El mismo surge como una alternativa dentro de la familia dealgoritmos de reducción de varianza, donde para los ya conocidos, se observan lassiguientes características:

Utilización excesiva de memoria. Excesivo tiempo de ejecución (ya sea por la complejidad del algoritmo o por los

tiempos de pre procesamiento requerido en algunos). Buena performance solo para algunas clases de topologías y valores particulares

de confiabilidades elementales de los componentes.

Este trabajo surge con el objetivo de contar con una implementación de la técnicaRVR aplicada al cálculo de confiabilidad en redes, y poder evaluar la misma (en

base a resultados numéricos) frente a otras técnicas. Concretamente se deseanestudiar los tiempos de ejecución, varianzas y performance general con respecto atopologías particulares y valores particulares de confiabilidades de loscomponentes.

3.- Formulación de objetivos

Objetivo General

El objetivo de estas pruebas es comparar la performance del algoritmo RVR frente aotros conocidos (básicamente MCC). También interesa estudiar para que casosparticulares (de topologías, confiabilidades elementales, probabilidades de cortes)el algoritmo tiene comportamientos diferentes en términos de error relativo ytiempos de ejecución. Se utilizaron topologías particulares y valores particularespara las confiabilidades de los componentes.

4.- Población de estudio ó muestra

El presente estudio se ha realizado sobre los siguientes tipos de grafos, que nospermite la validacio0n del modelo y la posterior implementación del algoritmoestudiados, estos grafos son:



La estrategia propuesta para las mismas es la siguiente:

Considerar redes de tamaño relativamente pequeño (confiable y no confiable). Calcular el índice de confiabilidad de forma manual (utilizando por ejemplo el

algoritmo de enumeración completa de estados, o en casos en que sea posible,en forma analítica).

Comparar con los resultados proporcionados por los algoritmos.

5.- Iden tificación de variables

Red K-conexa: una red G = (V, E) con un conjunto de terminales asociado KÍVes K-conexa cuando existe por lo menos un camino entre todo par de nodos delconjunto K (red en estado operativo).

Q (G): anti-confiabilidad de G (probabilidad de que la red G no sea K-conexa). Un conjunto D Ì VÈE es un K-corte extendido de G si la subred G'=(V - D, E - D)

no es K-conexa. Para una arista e Î E en G = (V, E) con terminales en K, G - e es la red cuyo

conjunto de nodos es V y cuyo conjunto de aristas se obtiene a partir de E

eliminando e. El conjunto de terminales de G - e es igual a K. Para un nodo v Î V en G = (V, E) con terminales en K, G - v es la red cuyoconjunto de nodos es V - {v} y cuyo conjunto de aristas se obtiene a partir de Eeliminando todas las aristas incidentes a v. El conjunto de terminales de G - ves igual a K - {v}.

Sea G = (V, E) con terminales en K y d un componente (nodo o arista) de lamisma. Se denota G | da la red derivada de G seteando la probabilidad defuncionamiento de d a 1 (d será un componente perfecto).

Sea G = (V, E) con terminales en K y d un componente (nodo o arista) de lamisma. Se denota G * d a la red derivada de G seteando la probabilidad de



funcionamiento de d a 1. Si luego se halla una arista e=(v1, v2) (si d es unaarista será e=d; si d es un nodo será v1=d ó v2=d) tal que re=rv1=rv2=1 sedebe realizar la contracción de la misma, esto es, eliminando e, fundiendo susextremidades v1 y v2 en un nuevo nodo w y seteando el nuevo conjunto determinales a K - {v1, v2}È{w} si v1 o v2 pertenece a K, o simplemente K sininguno es terminal.

6.- Fuentes de In formación

6.1.- Secundarias

Cancela H., Petingi L., Rubino G., y Urquhart M.E. (1996) HEIDI: unaherramienta de apoyo a la evaluación y diseño de redes. VIII CLAIO (CongresoLatino-Ibero-Americano de Investigación Operativa), pág. 581-586, Rio deJaneiro, Brasil. ALIO - SOBRAPO.

Cancela H. (1998) Simulación en estado transitorio de sistemas altamenteconfiables. Anales del IX CLAIO (Congreso Latino-Íbero-Americano de

Investigación Operativa e Ingeniería de Sistemas), Buenos Aires, Argentina.SADIO.

Direcciones electrónicas

http://www.infovis.net/printMag.php?num=137&lang=1

http://usuarios.multimania.es/tutoinformatica/arpanet.html

http://docencia.udea.edu.co/regionalizacion/teoriaderedes/tiposu1.html

http://bochica.udea.edu.co/~rflorez/ed1/grafos/grafos01.html

http://hgv9651etica.blogspot.com/2008/02/grafo-bipartito.html

http://es.wikipedia.org/wiki/ARPANET

http://www.gratisweb.com/plasticaasorey/photo_copia(4).htm

http://www.educacionplastica.net/phzz.html

http://web.singnet.com.sg/~owrigami/modular.htm





















7.- Análisi s estadístico.

Caso 1: ARPANET



Caso 2: Grafo bipartito comp leto con fuente y terminalLos resultados y conclusiones son similares a los del caso anterior.

Caso 3: Red telefónica de fibra óptica de Montevideo (1992)

Caso 4: DodecaedroLos resultados más interesantes de las pruebas con esta topología tienen que vercon la comparación de los errores relativos para MCC y RVR en el cálculo de QV yQst.

Resultados para QV

Se puede observar que para RVR existen menos zonas donde los errores sonaltos. En particular estos se dan para confiabilidades medio-bajas para aristas ymedio-altas para nodos, mientras que para MCC se dan para confiabilidadesaltas en nodos y cualquier confiabilidad en aristas.

También se puede ver que los errores para RVR (máximo igual a 3,0E-02) sonmenores que para MCC (máximo igual a 7,0E-02).



Resultados para Qst

En general se observan las mismas zonas de precisión para el cálculo de Qst que para Qv en ambos algoritmos.

Eficiencias relativas (Qv y Qst)

Para Qv, se puede observar que para confiabilidades bajas en nodos y altas enaristas el trabajo de MCC es mayor, mientras que para confiabilidades altas ennodos y bajas en aristas el trabajo es mayor en RVR y en general para redesmuy confiables es mayor el trabajo para MCC.

Para Qst, se puede observar que la zona donde el trabajo es mayor para RVR esla misma que para Qv (nodos muy confiables y aristas poco confiables) mientrasque cambian las zonas de mayor esfuerzo para MCC (observar que el pico

corresponde a redes muy confiables lo que confirma la conveniencia de RVRpara redes de este tipo).



8.- Conclusiones

8.1 Conclusiones Generales

El algoritmo GCE admite una implementación sencilla y da resultados exactos,pero resulta prohibitivo en términos de tiempo de ejecución para redes detamaño medio-grande (su orden de complejidad es exponencial en la cantidad

de componentes de la red). Para redes pequeñas (confiables o no) es sin dudasla opción más adecuada.

El algoritmo MCC también admite una implementación sencilla y da resultadosrazonablemente precisos para redes de confiabilidad medio-baja. El orden decomplejidad del algoritmo es lineal con respecto a la cantidad de componentesde la red. Para redes muy confiables (cualquiera sea su tamaño) debenrealizarse gran cantidad de replicaciones para obtener resultados aceptables,por lo que el tiempo de ejecución aumenta en función de la confiabilidad de lared. Por lo tanto, este algoritmo es adecuado para redes de cualquier tamaño yconfiabilidad medio-baja.

El algoritmo RVR no es tan sencillo de implementar (se deben tener en cuentaalgunas sutilezas e implementar varias funciones auxiliares). Los resultados sonmás precisos que para MCC (básicamente la varianza es menor) pero los

tiempos de ejecución son mayores (el orden de complejidad es cuadrático en lacantidad de componentes de la red). Este algoritmo es adecuado para el cálculode confiabilidad en redes muy confiables de cualquier tamaño (si bien pararedes grandes los tiempos de ejecución son bastante mayores que para MCC,no son imposibles como en GCE).

8.2 Conclusiones Específicas

Implementaciones de los algoritmosEl algoritmo GCE admite dos mejoras importantes: Llevar el cálculo de la probabilidad del sub-grafo (o estado de la red) acumulado

y modificarlo en cada invocación (ya que lo único que varía es la presencia o no

de un componente). Esto evitará la invocación a la función que calcula laprobabilidad del sub-grafo en cada estado generado de la red. Se pueden agregar predicados de poda al algoritmo de Backtracking utilizado,

de forma de no examinar ciertos estados para los cuales se puede predecir queno son operativos.

Para el algoritmo RVR: Si en la ejecución de varias replicaciones del algoritmose han recorrido todos los caminos desde la raíz del árbol de la computaciónhasta alguna hoja (ver ejemplo de RVR) no es necesario seguir ejecutando másreplicaciones. Se puede entonces controlar esta condición de forma de norealizar replicaciones innecesarias.

Para el caso particular de la medida Rst y para algunas topologías particularesse podría mejorar la performance del algoritmo condicionando el cálculo a uncamino s-t y no a un corte. Esto se puede ver observando que la varianza de la

variable aleatoria utilizada para estimar la medida Q es igual a (Q(G) -QD)R(G), por lo que la reducción de la varianza está directamente ligada a laprobabilidad de falla del corte extendido D. De forma análoga, en el cálculo deRst condicionando a un camino s-t, la reducción de varianza está ligada a laprobabilidad de funcionamiento de dicho camino. Por lo observadoanteriormente, para el caso particular del cálculo de la medida Rst, se puedeevaluar el uso de un condicionamiento por cortes o por caminos, dependiendode las probabilidades del corte "menos confiable" y del camino "más confiable".



HEIDI, automatización de pruebas y sitio webLas mejoras que admite la herramienta HEIDI tienen que ver básicamente con suinterface gráfica: Actualización de los componentes utilizados (menús, botones y cajas de texto) a

los del nuevo entorno gráfico. Utilización del botón derecho del mouse en el editor, para realizar algunas

acciones tales como cambiar las propiedades de nodos y aristas. Agrupación de componentes en una red mediante ventanas. Con respecto al procesamiento de los datos de las pruebas, una opción

interesante es la construcción de macros para la herramienta Microsoft Excelcon las acciones más frecuentes. La principal mejora a incorporar al sitio webtiene que ver con el servidor de cálculo, al cual podría integrarse un editorgráfico (similar al de HEIDI) que permita dibujar la red, asignar valores a loscomponentes y marcar nodos terminales. Este editor puede construirse como unapplet en lenguaje Java, el que sustituiría a la actual caja de texto donde debeingresarse el texto del caso en formato de exportación/importación de HEIDI(que de no disponer el usuario de tal herramienta, debe generarlo de formamanual).

9.- Bibliografía

Rosen K.H.,Matemática discreta y aplicaciones,Editorial McGraw-Hill

Johnsonbaugh, R.,Matemáticas discretas,Prentice Hall

Grassman, W.K. and Tremblay, J.P.,Matemática discreta y Lógica,Prentice Hall

Grimaldi, R.P.,Matemáticas discretas y combinatorias,Prentice Hall

Elaine Rich & Kevin Knight: Artificial Intelligence McGraw-Hill, 1991.

Patrick Henry Winston: Artificial Intelligence.Addison – Wesley, 1992.

Nils J. Nilsson: Principles of Artificial Intelligence.Morgan Kaufmann, 1986.

Daniel Jurafsky & James H. Martin: Speech and Language P rocessing. Prentice Hall, 2008



ANEXO 1: DIAZ ROQUE; RICARDO ANTONIO

Método RVR en la simulación de medidas deconfiabilidad en redes

INTRODUCCION

Una red está compuesta por un conjunto de nodos y un conjunto de aristas quecomunican pares de nodos. La confiabilidad de una red es una medida que refleja lacapacidad de la misma de continuar operativa frente a posibles fallos de algunos desus componentes, y se define como la probabilidad de comunicación exitosa entrecierto conjunto de nodos de la red, dadas las probabilidades de funcionamiento delos componentes y la topología de la red. La evaluación exacta de esta medida esun problema NP-difícil, por lo que los algoritmos de cálculo exacto se hacenimpracticables para redes de tamaño considerable.

S2-DEFINICION DE TOPOLOGIAS

El término topología se refiere a la forma en que está diseñada la red,bien físicamente (rigiéndose de algunas características en su hardware) obien lógicamente (basándose en las características internas de su software).

La topología de red es la representación geométrica de la relación entre todoslos enlaces y los dispositivos que los enlazan entre sí (habitualmentedenominados nodos).



Topología

DCE: equipo portador de datosDTE: equipo terminal de datos

Topologías de redes

Punto−a−punto:

Difusión:



RED BUS

Red cuya topología se caracteriza por tener un único canal de comunicaciones(denominado bus, troncal o backbone) al cual se conectan los diferentesdispositivos. De esta forma todos los dispositivos comparten el mismo canal paracomunicarse entre sí.

RED ANILLO

Topología de red en la que cada estación está conectada a la siguiente y la últimaestá conectada a la primera. Cada estación tiene un receptor y un transmisor quehace la función de repetidor, pasando la señal a la siguiente estación. En un anillodoble, dos anillos permiten que los datos se envíen en ambas direcciones. Estaconfiguración crea redundancia (tolerancia a fallos).

RED MALLALa topología en malla es una topología de red en la que cada nodo está conectado atodos los nodos. De esta manera es posible llevar los mensajes de un nodo a otropor diferentes caminos. Si la red de malla está completamente conectada, no puedeexistir absolutamente ninguna interrupción en las comunicaciones. Cada servidortiene sus propias conexiones con todos los demás servidores.



RED ESTRELLA

Una red en estrella es una red en la cual las estaciones están conectadasdirectamente a un punto central y todas las comunicaciones se han de hacernecesariamente a través de éste. Dado su transmisión, una red en estrella activatiene un nodo central activo que normalmente tiene los medios para prevenirproblemas relacionados con el eco.

RED ARBOL

La topología en árbol puede verse como una combinación de varias topologías enestrella. Tanto la de árbol como la de estrella son similares a la de bus cuando elnodo de interconexión trabaja en modo difusión, pues la información se propagahacia todas las estaciones, solo que en esta topología las ramificaciones seextienden a partir de un punto raíz (estrella), a tantas ramificaciones como seanposibles, según las características del árbol.

Las topologías utilizadas fueron las siguientes:



Definición del problema y aplicaciones

Este trabajo trata sobre el tema confiabilidad en redes. Las entidades relevantes enuna red son nodos y conexiones entre nodos, y en general el principal objetivobuscado es lograr una comunicación segura entre nodos de la red.

Las aplicaciones de modelos de redes se dan en los siguientes contextos:

► Redes telefónicas y de comunicación de datos.► Redes de transporte.► Arquitecturas de computadores.► Redes de energía eléctrica.► Sistemas de comando y control.

Los principales problemas a resolver en el análisis y el diseño de redes son, agrandes rasgos, los siguientes:1. Dado un conjunto de nodos que se desean comunicar entre sí, obtener una redóptima en algún sentido (por ejemplo, obtener la máxima cantidad posible decaminos distintos entre pares de nodos), sujeto a determinadas restricciones (por

ejemplo, costo de conexión entre pares de nodos).2. Dada una red, evaluar de algún modo su confiabilidad (en el sentido de lacomunicación entre nodos). Este tipo de problemas están fuertemente relacionadoscon problemas del tipo 1, donde en el proceso de búsqueda de la red óptima sedeben comparar las confiabilidades de dos redes para escoger la mejor, o luego deobtener un resultado a partir de cierto procedimiento se debe evaluar suconfiabilidad. Nuestro trabajo se centra en la resolución de problemas del tipo 2.



ALGORITMOS HA ESTUDIAR

Exactos: Realizan una evaluación exacta de la medida requerida. Estimativos: Realizan una estimación de la medida en base a métodos de

simulación Función estructura: en nuestro caso particular, el estado de la red depende del

estado de sus componentes (nodos y aristas que pueden estar o no enfuncionamiento), y se considera un estado como operativo cuando se cumple lacondición de convexidad (entre todo par de nodos, entre s y t, o entre todo parde terminales del conjunto K, dependiendo de la medida de interés).

Algoritmo de Generación Completa de Estados► Este algoritmo realiza el cálculo exacto de la medida de confiabilidad generando

todos los 2|V|+|E| estados posibles del grafo y evaluando cuales sonoperativos. Para aquellos que lo son se acumula su probabilidad de ocurrencia(calculada como el producto de las probabilidades de los componentes quefuncionan y los complementos de las probabilidades de los que no funcionan).En otras palabras, se acumulan las probabilidades de todos los estados quesuman en la probabilidad del suceso "la red se encuentra en estado operativo".Para su implementación se utiliza la técnica de Backtracking.

► La complejidad del algoritmo es O (2|V|+|E|) ya que se deben generar todoslos estados posibles del grafo.

HEIDI

Calcula la confiabilidad Rk exacta del grafo, utilizando el: algoritmo deGeneración Completa de Estados.



ANEXO 2: BERNARDO CABANA GARCIA

SIMULACIÓN MONTE CARLO

Los métodos de Monte Carlo abarcan una colección de técnicas que permitenobtener soluciones de problemas matemáticos o físicos por medio de pruebasaleatorias repetidas. En la práctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por

resultados de ciertos cálculos realizados con números aleatorios.

Bajo el nombre de Método Monte Carlo o Simulación Monte Carlo se agrupan unaserie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usandosimulación de números aleatorios. El Método de Monte Carlo da solución a una granvariedad de problemas matemáticos haciendo experimentos con muestreosestadísticos en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo deproblema, ya sea estocástico o determinístico. Generalmente en estadística losmodelos aleatorios se usan para simular fenómenos que poseen algún componentealeatorio. Pero en el método Monte Carlo, por otro lado, el objeto de lainvestigación es el objeto en sí mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio seusa para estudiar el modelo. A veces la aplicación del método Monte Carlo se usapara analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explícito; en estos

casos un parámetro determinista del problema se expresa como una distribuciónaleatoria y se simula dicha distribución. Un ejemplo sería el famoso problema de lasAgujas de Bufón. La simulación de Monte Carlo también fue creada para resolverintegrales que no se pueden resolver por métodos analíticos, para solucionar estasintegrales se usaron números aleatorios. Posteriormente se utilizó para cualquieresquema que emplee números aleatorios, usando variables aleatorias condistribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertosproblemas estocásticos y determinísticos, donde el tiempo no juega un papelimportante.

Algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro

El algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro está fundamentado en lageneración de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cualse basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias:

Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas (F) Generar un número aleatorio uniforme (0,1). Determinar el valor de la V.A. para

el número aleatorio generado de acuerdoa las clases que tengamos.

Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma. Analizar resultados para distintos tamaños de muestra.

Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando la variable aleatoria no esdirectamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables es

la siguiente:

Diseñar el modelo lógico de decisión Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias

relevantes. Incluir posibles dependencias entre variables. Muestrear valores de las variables aleatorias. Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración) y

registrar el resultado Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa



Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones Calcular media, desvío. Analizar los resultados

Las principales características a tener en cuenta para la implementación outilización del algoritmo son:

El sistema debe ser descripto por 1 o más funciones de distribución deprobabilidad (fdp). Generador de números aleatorios: como se generan los números aleatorios es

importante para evitar que se produzca correlación entre los valoresmuestrales. Iterar tantas veces como muestras necesitamos.

Establecer límites y reglas de muestreo para las fdp: conocemos que valorespueden adoptar las variables.

Definir Scoring: Cuando un valor aleatorio tiene o no sentido para el modelo asimular.

Estimación Error: Con que error trabajamos, cuanto error podemos aceptar paraque una corrida sea válida?

Técnicas de reducción de varianza. Paralelización y vectorización: En aplicaciones con muchas variables se estudia

trabajar con varios procesadores paralelos para realizar la simulación.

EJEMPLO PRÁCTICO ITenemos la siguiente distribución de probabilidades para una demanda aleatoria yqueremos ver que sucede con el promedio de la demanda en varias iteraciones:

Utilizando la distribución acumulada (F(x) es la probabilidad que la variablealeatoria tome valores menores o iguales a x) podemos determinar cual es el valorobtenido de unidades cuando se genera un número aleatorio a partir de unadistribución continua uniforme. Este método de generación de variable aleatoria sellama Transformación Inversa.



Generando los valores aleatorios vamos a ver como se obtiene el valor de lademanda para cada día, interesándonos en este caso como es el orden de apariciónde los valores. Se busca el número aleatorio generado en la tabla de probabilidadesacumuladas, una vez encontrado ( si no es el valor exacto, éste debe se menor queel de la fila seleccionada pero mayor que el de la fila anterior), de esa fila tomadacomo solución se toma el valor de las unidades (Cuando trabajamos en Exceldebemos tomar el límite inferior del intervalo para busca en las acumuladas, parapoder emplear la función BUSCARV(), para 42 sería 0, para 43 0,100001 y así

sucesivamente). Ejemplo:Supongamos que el númeroaleatorio generado sea 0,52, ¿a quévalor de unidades corresponde? Nosfijamos en la columna de frecuenciasacumuladas, ese valor exacto noaparece, el siguiente mayor es 0,70y corresponde a 48 unidades.Se puede apreciar mejor en elgráfico, trazando una recta desde eleje de la frecuencia hasta queintercepta con la línea de la funciónacumulada, luego se baja a lacoordenada de unidades y seobtiene el valor correspondiente; eneste caso 48. Cuando trabajamos

con variables discretas la funciónacumulada tiene un intervalo o salto para cada variable ( para casos prácticos hayque definir los intervalos y luego con una función de búsqueda hallar el valor). Parafunciones continuas se puede hallar la inversa de la función acumulada. De estaforma logramos a partir de la distribución de densidad calcular los valores de lavariable aleatoria dada.



En la siguiente tabla, vemos como a medida que aumenta el numero desimulaciones, el valor simulado se acerca al valor original de la media y desviaciónestándar, además de la disminución del error típico.

Simulación MC con Variables Discretas

Veamos un ejemplo algo más complejo del uso de Excel para construir modelos deSimulación MC cuando las variables aleatorias sean discretas:

Supongamos que trabajamos en un gran almacén informático, y que nos pidenconsejo para decidir sobre el número de licencias de un determinado sistemaoperativo que conviene adquirir – las licencias se suministrarán con los ordenadoresque se vendan durante el próximo trimestre, y es lógico pensar que en pocosmeses habrá un nuevo sistema operativo en el mercado de característicassuperiores.

Cada licencia de sistema operativo le cuesta al almacén un total de 75 dólares,mientras que el precio al que la vende es de 100 dólares. Cuando salga al mercadola nueva versión del sistema operativo, el almacén podrá devolver al distribuidor laslicencias sobrantes, obteniendo a cambio un total de 25 dólares por cada una.Basándose en los datos históricos de los últimos meses, los responsables delalmacén han sido capaces de determinar la siguiente distribución de probabilidadespor lo que a las ventas de licencias del nuevo sistema operativo se refiere:



A partir del modelo anterior es posible también realizar “what‐if” análisis (análisisde escenarios o preguntas del tipo “¿qué pasaría si cambiamos tal o cual input?”).Para ello es suficiente con ir cambiando los valores de las celdas C11:C14 (inputsdel modelo en este ejemplo). Asimismo, podemos ampliar fácilmente el número deiteraciones (observaciones muestrales) sin más que repetir los procesos deseleccionar y “arrastrar”. En el caso actual, hemos optado por tomar 1.000

iteraciones para cada una de los posibles inputs asociados a la cantidad de pedido(estos posibles inputs son: 100, 150, 200, 250, y 300). Si se realizase elexperimento, se obtendrían unos resultados similares a los que se muestran acontinuación (ya que 1.000 es un número ya bastante considerable para esteejemplo):

A partir de los resultados, parece claro que la decisión óptima es hacer un pedidode 150 unidades, ya que con ello se consigue el beneficio máximo.



Algoritmo Monte Carlo Crudo como función de fiabilidad

Dado un grafo G, un estado o subgrafo G' de G en un instante particular queda

definido por los componentes originales de G que en ese instante funcionan. La idea

de este algoritmo se basa en obtener una estimación del valor de la confiabilidad R

de la red mediante el sorteo de N estados G'i del grafo original G. En definitiva, la

confiabilidad de la red se calcula como la frecuencia de ocurrencia del suceso "todos

los nodos terminales funcionan y están conectados entre sí". La esperanza de este

estimador es igual a R y la varianza es R(1-R)/N (esperanza de la suma de N

variables de Bernoulli independientes e idénticamente distribuidas), la cual se

estima mediante la expresión Rest(1-Rest)/(N-1), donde Restes la estimación

obtenida y N es la cantidad de replicaciones. El algoritmo implementado recibe el

grafo, un identificador de semilla para el generador de números seudo-aleatorios y

la cantidad de replicaciones N. Se utiliza para todas las replicaciones el mismo

torrente de números seudo-aleatorios ya que el período del generador es lo

suficientemente grande (se utiliza la biblioteca estándar drand48 incluida en el

lenguaje C).



La complejidad del algoritmo es O (|V|+|E|). Se puede ver observando que se deberealizar un sorteo para cada nodo y arista más una recorrida en profundidad, la cual

tiene una complejidad lineal en la cantidad de nodos del grafo.

Algoritmo de Reducción Recursiva de la Varianza

El algoritmo Monte Carlo estándar produce resultados aceptables para redes de medianaconfiabilidad, pero para redes altamente confiables se deben realizar muchas

replicaciones para obtener estados no operativos (la cantidad de replicaciones necesariaspara obtener un resultado para una precisión dada, es inversamente proporcional a la

anti-confiabilidad de la red).

Se propone este algoritmo, que reduce el problema original a un problema en una redmás pequeña construida a partir de la original, condicionada a uno de sus cortes. El

proceso es recursivo y se detiene cuando la red se encuentra siempre en estado operativoo no operativo, independientemente del estado de sus componentes. La construcción del

método se realiza para obtener una estimación de la medida Q k (anti-confiabilidad para

un conjunto K de terminales), pero se puede generalizar para todas las restantes.

Definiciones y notación

Red K-conexa: una red G=(V,E) con un conjunto de terminales asociado KVes K-conexa cuando existe por lo menos un camino entre todo par de nodos del

conjunto K (red en estado operativo).

Q (G): anti-confiabilidad de G (probabilidad de que la red G no sea K-conexa).

Un conjunto D VE es un K-corte extendido de G si la subred G'=(V - D, E -

D) no es K-conexa.

Para una arista e E en G=(V, E) con terminales en K, G - e es la red cuyo

conjunto de nodos es V y cuyo conjunto de aristas se obtiene a partir de Eeliminando e. El conjunto de terminales de G - e es igual a K.



Para un nodo v V en G=(V, E) con terminales en K, G - v es la red cuyo

conjunto de nodos es V - {v} y cuyo conjunto de aristas se obtiene a partir de E

eliminando todas las aristas incidentes a v. El conjunto de terminales de G - v es

igual a K - {v}.

Sea G=(V, E) con terminales en K y d un componente (nodo o arista) de lamisma. Se denota G | d a la red derivada de G seteando la probabilidad de

funcionamiento de d a 1 (d será un componente perfecto). Sea G=(V, E) con terminales en K y d un componente (nodo o arista) de la

misma. Se denota G * d a la red derivada de G seteando la probabilidad defuncionamiento de d a 1. Si luego se halla una arista e=(v1, v2) (si d es una arista

será e=d; si d es un nodo será v1=d ó v2=d) tal que re=rv1=rv2=1 se debe realizarla contracción de la misma, esto es, eliminando e, fundiendo sus extremidades v1

y v2 en un nuevo nodo w y seteando el nuevo conjunto de terminales a K - {v1,

v2}{w} si v1 o v2 pertenece a K, o simplemente K si ninguno es terminal.

El objetivo ahora, es construir un estimador con igual esperanza que el utilizado en

MCC y con menor varianza. Si Y(G) es el estimador de la confiabilidad para el

algoritmo MCC, el objetivo de la técnica RVR es construir una variable aleatoria Z(G)

con la misma esperanza de Y(G) y menor varianza. Dicha variable aleatoria se

construye a partir de un K-corte extendido D, y se expresa en términos de |D| variablesaleatorias Y (Gi) correspondientes a estados de la red original.

Propiedad

Para una red G donde los terminales no fallan sean:

D = {d1, d2, ..., d|D|} un K-corte extendido en G

AD el evento "todos los componentes en D fallan"

QD = probabilidad del evento AD (producto de las probabilidades de falla de loscomponentes que lo forman)

Bi el evento "todos los componentes en Di = {d1, d2, ..., di-1} fallan y d i funciona"

Gi = (G - d1 - ... - di-1) * di

V variable aleatoria discreta independiente de las Y(Gi) con

entonces la variable aleatoria :

verifica :E {Z(G)} = Q(G) (a)

Var {Z(G)} = (Q(G) - QD)R(G) Q(G)R(G) = Var {Y(G)} (b)

Esta Propiedad muestra que la variable aleatoria Z tiene la misma esperanza, y menor

varianza que la original Y. A grandes rasgos, la justificación de la igualdad (a) se

obtiene observando que el suceso AD y los sucesos Bi constituyen una partición del



suceso "la red se encuentra en estado no operativo" cuya probabilidad Q se desea

calcular, y utilizando el teorema de probabilidades totales; la reducción de varianza se

puede ver observando que en la estimación de la medida Q, siempre se tienen en cuenta

estados de falla (suceso AD).

En base a lo anterior, se construye en forma recursiva la siguiente variable aleatoria F:

y el siguiente algoritmo denominado RVR para obtener una muestra de F para una red

G :

Algoritmo RVR

1 Chequear fin de recursión:

Si G es siempre K-conexo (|K|=1) retornar 0

Si G no es K-conexo (evaluando la función de estructura) retornar 1

2 - Encontrar un K-corte extendido D de G: D = {d1, d2, ..., d|D|}

3 - Calcular QD (probabilidad de que todos los componentes en D fallen)

4 - Sortear una muestra v de la variable aleatoria V

5 - Construir GV = (G - d1 - ... - dv-1) * dv (eliminaciones y contracción)

6-Paso recursivo: retornar QD + (1 - QD)*RVR(GV)

Ejemplo

El siguiente ejemplo muestra la ejecución del algoritmo RVR en una red con tres nodos

(de los cuales dos son terminales) y dos aristas. La computación se muestra en forma de

árbol, donde los hijos de un nodo interno son los posibles resultados del sorteo de la

variable aleatoria V (los sucesos Bi). Las hojas del árbol corresponden a situacionesdonde se cumple alguna condición de parada (red siempre K-conexa o no K-conexa).

Una replicación del algoritmo solamente genera un camino desde la raíz hasta algunahoja.



Se puede ver que en cada paso recursivo, el problema original se reduce a uno (y solo

uno) más pequeño, ya que en el paso 5 del algoritmo se reduce la cantidad de

componentes de la red original (mediante eliminaciones y contracciones). Así, la

cantidad de invocaciones recursivas se puede acotar por |V|+|E| y observando que la

operación más costosa en cada paso es la evaluación de la función de estructura fi (de

orden O(|V|)), el orden del algoritmo RVR tendrá orden de complejidad O(|V| *(|V|+|E|)).

Para realizar varias replicaciones de la simulación, el algoritmo anterior es invocado

varias veces mediante una iteración. La esperanza de F(G) se estima mediante elcociente de la suma de los resultados de todas las replicaciones sobre la cantidad de las

mismas:

y la varianza se estima mediante la siguiente expresión

que por comodidad para su cálculo se puede llevar a



El algoritmo implementado para el cálculo de la confiabilidad utilizando RVR recibe elgrafo, un identificador de semilla para el generador de números seudo-aleatorios (se

utiliza de la misma forma que en MCC) y una cantidad N de replicaciones.



ANEXO 3: SALAZAR TORRES; TOSHIRO

Análisis Estadístico y Pruebas de eficiencia

El objetivo de estas pruebas es comparar la performance del algoritmo RVR frente aotros conocidos (básicamente MCC). También interesa estudiar para que casosparticulares (de topologías, confiabilidades elementales, probabilidades de cortes)

el algoritmo tiene comportamientos diferentes en términos de error relativo ytiempos de ejecución. Se utilizaron topologías particulares y valores particularespara las confiabilidades de los componentes. Las topologías seleccionadas son lassiguientes:

1. ARPANET2. Grafo bipartito completo con fuente y terminal3. Red telefónica de fibra óptica de Montevideo4. Dodecaedro5. Malla dispersa6. Malla densa

A continuación se describen brevemente cada una de las topologías, las pruebas

realizadas y los resultados obtenidos. Estos se presentan en tablas conteniendovalores de confiabilidad, varianza, tiempos de ejecución y eficiencia relativa(producto de los cocientes de varianzas y tiempos: W = Var * T). Esta últimamedida se utiliza para comparar la performance general entre algoritmos.

Caso 1: ARPANET

ARPANET nació como una red dedicada al servicio del Departamento de Defensa delos Estados Unidos de Norteamérica, cuyo propósito era crear un medio decomunicación alterno y diferente al sistema telefónico tradicional. Se decidió que siel sistema telefónico era una red de tipo "circuit switched", en la cual si una centralera dañada las conversaciones no tendrían forma de continuar debido a que seinterrumpían las conexiones punto a punto, entonces una red donde los datos de lacomunicación pudieran ser divididos en paquetes y éstos viajar de maneraindependiente (incluso por rutas diferentes), cuando un elemento de intercambio(switcheo) se dañara, el paquete podría ser retransmitido por una ruta alterna, locual constituye una red de tipo "packet switched". Las ventajas de este nuevo tipode red fue adoptada por el Departamento de Defensa y se conoció como ARPANET.

El ARPANET se concibió como una "subred" (conjunto de dispositivos de red queconforman el medio físico de comunicación entre nodos) y un conjunto de nodosque intercambiaban información.



Cada nodo estaba conectado a otros dos elementos: otro nodo o algún elemento dela subred. Se necesitaron dos protocolos: un protocolo nodo a nodo y otro de nodoa IMP (Interface Message Processor).

Conclusiones

Claramente los tiempos de ejecución crecen (en función del tamaño de la red)en forma más acentuada para el algoritmo RVR. La conclusión más importante extraída de las pruebas con este caso es que elalgoritmo GCE resulta impracticable para una red con 15 nodos y 19 aristas (y porlo tanto, también para redes de mayor tamaño). La finalidad del proyecto ARPANET fue por la necesidad de una red decomunicaciones descentralizada e intercomunicada para evitar la perdida absolutade comunicación en caso de avería de cualquiera de los componentes.

Caso 2: Grafo bipartito comple to con fuen te y terminal

Un grafo, G, es un par ordenado de V y A, donde V es el conjunto de vértices onodos del grafo y A es un conjunto de pares de vértices, a estos también se lesllama arcos o ejes del grafo. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero todaarista debe unir exactamente a dos vértices.Los grafos representan conjuntos de objetos que no tienen restricción de relaciónentre ellos. Un grafo puede representar varias cosas de la realidad cotidiana, talescomo mapas de carreteras, vías férreas, circuitos eléctricos, etc.La notación G = A (V, A) se utiliza comúnmente para identificar un grafo.Los grafos se constituyen principalmente de dos partes: las aristas, vértices y loscaminos que pueda contener el mismo grafo.

Aristas

Son las líneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que seconstruyen también caminos.Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo ay b los vértices que une.Si {a ,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos. Aristas Adyacentes: Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en elmismo vértice. Aristas Paralelas: Se dice que dos aristas son paralelas si vértice inicial y el finalson el mismo. Aristas Cíclicas: Arista que parte de un vértice para entrar en el mismo.



Cruce: Son dos aristas que cruzan en un punto.

Vértices Son los puntos o nodos con los que esta conformado un grafo.Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es extremo. Sedice que un vértice es `par' o `impar' según lo sea su grado. Vértices Adyacentes: si tenemos un par de vértices de un grafo (U, V) y si

tenemos un arista que los une, entonces U y V son vértices adyacentes y se diceque U es el vértice inicial y V el vértice adyacente. Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero. Vértice Terminal: Es un vértice de grado 1.

Caminos Sean x, y " V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una sucesión finitano vacía de aristas {x, v1}, {v1, v2},..., {vn, y}. En este caso x e y se llaman los extremos del camino El número de aristas del camino se llama la longitud del camino. Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple. Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un camino simpleentre ellos.

Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito ocamino cerrado. Llamaremos ciclo a un circuito simple Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un camino entre ellos.Todo vértice es accesible respecto a si mismo

Un grafo bipartido completo si V=V1V2 y dos vértices de V están unidospor una arista de E si y solo si un vértice está en V 1 y el otro en V2. Sedenota por Kr,s al grafo bipartido completo donde V1 tiene r vértices y V2 tiene s vértices



Caso 3: Red telefón ica de fibra óptica de Montevideo (1992)

Esta topología es una versión parcial de la red telefónica de fibra óptica deMontevideo (año 1992Está formada por 14 nodos y 21 aristas. La medida de interésen este caso es RV.

El principal objetivo de este caso de prueba es realizar comparaciones conresultados obtenidos en trabajos anteriores. Se realizaron en total 36 pruebasvariando las probabilidades de funcionamiento de nodos y aristas sobre el conjuntode valores {0,9-0,95-0,98-0,99-0,999-1,0}.

Conclusiones

Un resultado interesante para esta prueba tiene que ver con la estimación de la

confiabilidad de la red con valores de confiabilidad 1 en nodos y 0,999 en aristas.Para esta prueba, el algoritmo MCC obtuvo una media de 1 con varianza 0 en unared que no es perfecta, mientras que RVR obtuvo un valor muy cercano a 1 con unapequeña varianza.

También se realizaron comparaciones con resultados obtenidos en trabajosanteriores, en particular para los algoritmos de Ahmad (algoritmo exacto) yAntitético Generalizado donde se realizaron pruebas con nodos perfectos yconfiabilidades en aristas para los valores 0,9-0,99-0,999 con 105, 106, 107 replicaciones respectivamente. Los resultados obtenidos son coherentes con losexistentes, y en la siguiente tabla se muestra una comparación de los erroresrelativos para estas tres pruebas.

Antitético RVR

6,9E-03 7,3E-03

2,9E-02 2,4E-02

9,5E-02 7,6E-02



ANEXO 3: GARCIA VARGAS; HUGO

Caso 4: Dodecaedro

Un grafo G = (V, E) CONEXO es un GRAFO HAMILTONIANO si admiten un ciclohamiltoniano (ciclo de G que contiene todos sus vértices).Ejemplo: El grafo asociado dodecaedro será:

Y un posible ciclo hamiltoniano es el marcado con trazo más grueso.La denominación de gráfico hamiltoniano se debe al matemático inglés Sir WiliamR. Hamilton, que diseño un juego que denominó “El dodecaedro del viajero“.Donde, tal juego constaba de un dodecaedro sólido, y los vértices representabanveinte ciudades, y el juego consistía en encontrar un recorrido por todas lasciudades a través de las aristas del dodecaedro pasando una única vez por cadaciudad. En este último caso el problema de encontrar condiciones necesarias ysuficientes no se conocen, solamente se conoce las condiciones suficientes que

tienen que ver con la conexidad de los grafos asociados a los subconjuntos de susvértices.



Resultados para QV

Conclusiones

Se puede observar que para RVR existen menos zonas donde los errores sonaltos. En particular estos se dan para confiabilidades medio-bajas para aristas ymedio-altas para nodos, mientras que para MCC se dan para confiabilidadesaltas en nodos y cualquier confiabilidad en aristas.

También se puede ver que los errores para RVR (máximo igual a 3,0E-02) sonmenores que para MCC (máximo igual a 7,0E-02).

Resultados para Qst

Conclusiones

En general se observan las mismas zonas de precisión para el cálculo de Qst que para Qv en ambos algoritmos.

Eficiencias relativas (Qv y Qst)



Conclusiones

Para Qv, se puede observar que para confiabilidades bajas en nodos y altas enaristas el trabajo de MCC es mayor, mientras que para confiabilidades altas ennodos y bajas en aristas el trabajo es mayor en RVR y en general para redes

muy confiables es mayor el trabajo para MCC. Para Qst, se puede observar que la zona donde el trabajo es mayor para RVR esla misma que para Qv (nodos muy confiables y aristas poco confiables) mientrasque cambian las zonas de mayor esfuerzo para MCC (observar que el picocorresponde a redes muy confiables lo que confirma la conveniencia de RVRpara redes de este tipo).

Caso 5: Malla di spersa

Se considera una topología de red con forma de malla (10x10 nodos más 5terminales y 127 aristas. La medida de interés en este caso es Rk. Los dos objetivosprincipales de este caso son realizar pruebas con topologías con confiabilidadesdispares en sus componentes (se distinguen entre aristas horizontales, verticales y

terminales), y comparar con los resultados obtenidos en el trabajo original.



Para este caso se realizaron pruebas con valores particulares (tomados del trabajooriginal) para las confiabilidades de las aristas. Se extrajeron las siguientesconclusiones:

El algoritmo MCC da prácticamente los mismos valores para cambios sensiblesen las confiabilidades de las componentes de la red (no es el caso de RVR).

Las eficiencias relativas muestran en todos los casos mayor trabajo para RVR.

Esto se debe al tamaño relativamente grande de la red que hace que lostiempos de ejecución sean tan altos que no compensen la reducción de lavarianza.

Caso 6: Malla densa

Topología similar a la anterior, pero con 90 aristas verticales (10x10 nodos más 5terminales y 180 aristas). La medida de interés también es Rk (siendo K el mismoconjunto de terminales que para el caso anterior). El objetivo de este caso deprueba es observar el aumento de la confiabilidad de la red al aumentar la cantidadde aristas y también el aumento de los tiempos de ejecución.

Se realizaron pruebas con el mismo conjunto de valores para las confiabilidadeselementales que para el caso anterior. Las principales conclusiones extraídas sonlas siguientes:

En general los tiempos de ejecución no aumentaron demasiado (insignificantepara MCC y del orden del 2% para RVR). Las confiabilidades aumentaron en algunos casos y en otros disminuyeron, pero

se debe tener en cuenta también las varianzas y no solos las medias. Enparticular se puede observar que los valores de las medias siempre aumentan alaumentar las confiabilidades de los componentes, pero no al aumentar ladensidad de la red (si bien teóricamente el valor exacto de la confiabilidad de lared debería aumentar). Esto se puede justificar en los casos de Rk y enparticular Rst, donde la inserción de una nueva arista entre un par de vértices no



adyacentes no siempre contribuye en formar caminos alternativos a los yaexistentes entre terminales.

ANEXO 5. MIRANDA OJEDA; JULI ANA

EXPRESIVIDAD

Por expresividad se entiende la potencialidad del lenguaje para describir la realidad, en este caso el modelo de datos de grafo. Los tres lenguajes son muy distintos en cuanto a expresividad. En primer lugar, GraphML es el único que prevé especificar un conjunto de grafos en un documento XML XGMML argumenta que es posible incluir grafos extras como datosextendidos y Heidi no presenta la opción.

Los tres lenguajes (Heidi, GraphML y XGMML) permiten la especificación de loops y multiaristas por tanto el modelo de grafo en los tres casos es en realidad de un multigrafo. El concepto de aristas aristas dirigidas y no dirigidas existe únicamente en GraphML y XGMML, pero de formadistinta. En XGMML se debe especificar si las aristas son dirigidas o no para

todo el grafo, mientras que en GraphML se puede especificar para cada arista. Por tanto GraphML incluye el concepto de multigrafo mixto, en el sentido que un mismo multigrafo puede incluir aristas dirigidas y nodirigidas al mismo tiempo, XGMML permite especificar si un grafo es dirigido o no, mientras que Heidi deja a la capa de aplicación la semántica de la dirección (es decir, no se especifica).

Un puerto es la parte de un nodo donde una arista puede amarrarse. Los puertos son útiles para la visualización del grafo, pero también para el modelado (por ejemplo para circuitos eléctricos, un nodo puede ser un chip, y los puertos son las patas de dicho chip). GraphML incluye el concepto de puerto, XGMML incluye parcialmente dentro de sus propiedades de visualización un concepto similar, y Heidi carece del concepto.

Una hiperarista es un subconjunto de nodos, juntos con una clasificación de esos nodos dentro de entradas, salidas o ninguna de las dos (por ejemplo esto es útil para la teoría de circuitos). En Heidi y XGMML no es posible especificar el concepto de hiperarista. Mientras que en GraphML existe una expresión muy elegante, puesto que se especifica completamente por fuera de la definición de nodo y arista, permitiendo al común de los casos no tener que interpretar este concepto que rara vez se presenta.

Un grafo anidado es un grafo que ocurre dentro de un elemento de otro grafo. Hay muchos modelos de grafos jerárquicos, por ejemplo

permitiendo más de un grafo anidado por elemento, o grafos anidados en más de un elemento.

En GraphML cada elemento de un grafo, es decir los nodos, las aristas y las hiperaristas pueden contener un grafo anidado, contemplando de esta forma todas las variantes para el concepto de jerarquía en grafos. En XGMMLexiste el concepto de anidamiento, ontemplándose la posibilidad de incluir <graph> dentro del elemento <att>, por tanto, es posible que los nodos y las aristas incluyan grafos anidadas, pero también (y adiferencia de GraphML) un grafo puede incluir grafos anidados.



Finalmente, en Heidi no existe el concepto. La posibilidad de expresar datos específicos de cada aplicación se estudia en la siguiente sección, bajo la dimensión de extensibilidad.

En Investigación Operativa comúnmente aparecen concepto del tipo confiabilidad, costo y capacidad asociados a un nodo o una arista. Por tanto es útil que la especificación contemple previamente esto conceptos.

En Heidi todos ellos existen y son opcionales. En XGMML existe el concepto de costo asociado a una arista. Y en GraphML es necesario especificar cualquiera de ellos como datos extendidos.

Un argumento a favor de XGMML es que presenta la misma expresividad que GML [GML], formato que mantiene gran cantidad de adeptos, no presentando aparentemente problemas de modelado. En la tabla de la Figura VI-1 se presenta resumidamente los distintos aspectos de la expresividad.

Figura VI -1. Aspectos de la dimensión exp resividad, para cada lenguaje.

En realidad un puerto puede expresarse de forma más compleja con unnivel de anidamiento de grafos. Eso se considera muy complejo para el conceptoque se busca expresar En XGMML se mezcla el significado del elemento <att>,porque principalmente está pensado para especificar datos extendidos,pero por otro lado un grafo anidado puede estar especificado dentro, siendonecesario entonces para toda aplicación interpretar este elemento para poderinterpretar completamente el modelo de grafo.

Lenguaje Concepto Heidi GraphML XGMML

Conjunto de Grafos No Si Parcialmente

Loop y Multiarista Si Si Si

Orientación en Aristas No Si Si

Aristas Mixtas No Si No

Puerto No Si Parcialmente

Hiperarista No Si No

Anidamiento No Si Parcialmente

Datos Extendidos No Si Si

Confiabilidad, costo capacidad Si No Parcialmente



Integración con la herramienta HEIDI

La herramienta HEIDI (Herramienta Inteligente para el Diseño de Redes deComunicación Confiables, fue desarrollada a través de varios proyectos deinvestigación y de grado, con el fin de contar con un software que permita testear yutilizar diversos algoritmos sobre redes (principalmente aquellos relacionados con eltema de confiabilidad), de forma sencilla. Las principales características de la

misma son:

Desde el punto de vista del usuario:

Interface gráfica que permite dibujar la topología de la red utilizando el mouse. Posibilidad de trabajar con redes orientadas y no orientadas. Posibilidad de asignar distintos valores (capacidad, costo y confiabilidad) a

nodos y aristas de forma sencilla. Cálculo de parámetros de redes como ser confiabilidad, vulnerabilidad,

conectividad y otros. Algoritmos de optimización de redes.

Desde el punto de vista del programador:

La herramienta fue desarrollada en el lenguaje C++ bajo ambiente Unix y enparticular utiliza componentes del entorno gráfico Open Windows.

Se cuenta con un diseño de la estructura de módulos adecuado para realizarextensiones.

En nuestro caso particular la extensión consistió en agregar un nuevo algoritmopara el cálculo de la confiabilidad de una red a los ya existentes. A grandes rasgos,los procedimientos necesarios para realizar la extensión fueron los siguientes:

1. Agregar una nueva opción en el menú de algoritmos.2. Conectar la selección del nuevo algoritmo con la invocación al mismo.

De esta forma se agregaron los algoritmos GCE, MCC y RVR para el cálculo de laconfiabilidad Rk a los ya existentes. Los puntos principales de la integración fueronlos siguientes:

Se conectó (mediante herencia) la jerarquía de clases C++ de nuestro trabajocon la jerarquía de HEIDI.

Se escribió una operación que realiza el pasaje de la estructura de datos deleditor gráfico a la nuestra.

Se agregaron los cambios en los archivos originales de HEIDI para incluir lainvocación a las nuevas funciones de cálculo.



Difusión de resultadosLa difusión de los resultados del proyecto se realiza por medio de la construcción deeste sitio web, el que también cuenta con un servidor de cálculo que permite a unusuario remoto ejecutar los algoritmos de cálculo con sus propios casos de prueba.Las principales características de este último son las siguientes:

Acceso remoto a la ejecución de los algoritmos (como alternativa a la

distribución del código fuente o el programa ejecutable). Los cálculos se realizan en el servidor. El usuario no necesita permanecer conectado al sitio durante el período en que

se efectúa el cálculo. Soporte de concurrencia: Pueden existir varios procesos de cálculo activos en el

servidor en un instante dado.

Para la construcción del mismo se utilizaron formularios HTML, programación CGI,lenguaje Perl y programación de shell Unix. En la siguiente figura se explica enforma esquemática el funcionamiento del mismo.

Ingreso de datos, procesamiento, y envío de resultados en servidor de cálculo



Conclusiones generales

Las principales conclusiones generales extraídas de todas las pruebas realizadasson las siguientes:

El algoritmo GCE se hace impracticable para redes de tamaño aproximado a 15nodos y 19 aristas.

Las varianzas de RVR son siempre menores que las de MCC y esta diferencia se

acentúa al aumentar la confiabilidad de la red. Los tiempos de ejecución de RVR son siempre mayores que los de MCC y la

diferencia aumenta al aumentar el tamaño de la red. Los resultados de confiabilidad en MCC son menos sensibles a los cambios en

las confiabilidades de los componentes, que en RVR. Esto se puede justificarobservando que al cambiar sensiblemente la confiabilidad de un componente,los sorteos que determinan el funcionamiento o no de un componente en MCCpueden dar el mismo resultado (que siempre será 0 o 1); este no es el caso deRVR, donde se tienen en cuenta más valores exactos (probabilidad de falla delcorte elegido) en la estimación de la medida.

Los errores relativos para ambos algoritmos, en una determinada topología, sonmayores para ciertos valores de confiabilidades de nodos y aristas (ver caso deprueba 4 -Dodecaedro-). Las zonas de errores relativos son distintas para

distintas medidas (Qv y Qst en el mismo ejemplo). En algunos casos se presentaron errores de precisión numérica, en particular enel cálculo de varianzas en RVR para redes muy confiables.

En general los resultados obtenidos son coherentes con los obtenidos entrabajos anteriores, salvo para el caso 5 (malla dispersa) donde se observarondiferencias importantes.

Los resultados obtenidos para las confiabilidades del caso 6 (malla densa)muestran (en relación a los obtenidos para el caso 5 -malla dispersa-) que nosiempre un aumento en la cantidad de componentes de la red (aristas en estecaso) se ve reflejado en un aumento en las medias de confiabilidad obtenidascon los algoritmos estimativos. En estos casos se debe prestar especial atencióna las varianzas y construir los intervalos de confianza.

► En este proyecto se ha estudiado la técnica de Reducción Recursiva de laVarianza aplicada al cálculo de confiabilidad en redes.

► Se ha implementado el modelo para la representación de grafos estocásticos enlenguaje C++, y tres algoritmos: el algoritmo exacto de Generación Completade Estados y los algoritmos estimativos Monte Carlo Crudo y ReducciónRecursiva de la Varianza.

Conclusiones con respecto a los algoritmos

► El algoritmo GCE admite una implementación sencilla y da resultados exactos,pero resulta prohibitivo en términos de tiempo de ejecución para redes de

tamaño medio-grande (su orden de complejidad es exponencial en la cantidadde componentes de la red). Para redes pequeñas (confiables o no) es sin dudasla opción más adecuada.


► El algoritmo MCC también admite una implementación sencilla y da resultadosrazonablemente precisos para redes de confiabilidad medio-baja. El orden de



complejidad del algoritmo es lineal con respecto a la cantidad de componentesde la red.

► Por lo tanto, este algoritmo es adecuado para redes de cualquier tamaño yconfiabilidad medio-baja.


► El algoritmo RVR no es tan sencillo de implementar (se deben tener en cuentaalgunas sutilezas e implementar varias funciones auxiliares). Los resultados sonmás precisos que para MCC (básicamente la varianza es menor) pero lostiempos de ejecución son mayores (el orden de complejidad es cuadrático en lacantidad de componentes de la red). Este algoritmo es adecuado para el cálculode confiabilidad en redes muy confiables de cualquier tamaño (si bien pararedes grandes los tiempos de ejecución son bastante mayores que para MCC,no son imposibles como en GCE).

Herramientas utilizadas

► Para la generación de los casos de prueba se utilizó el editor gráfico de laherramienta HEIDI, donde se pudo apreciar la ventaja de contar con este tipode herramientas.

► Los resultados se almacenaron en archivos de texto con determinado formato,que luego se procesaron en la herramienta Microsoft Excel.

Método RVR en la simulación de medidas de confiabilidad en redes

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