Metodo Monte Carlo

Simulacin Universidad Cooperativa

Mtodo Monte Carlo.Los mtodos de Monte Carlo abarcan una coleccin de tcnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemticos o fsicos por medio de pruebas aleatorias repetidas. En la prctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos clculos realizados con nmeros aleatorios. Palabras clave Estocstico: Se denomina estocstico a aquel sistema que funciona, sobre todo, por el azar. Las leyes de causa-efecto no explican cmo acta el sistema (y de modo reducido el fenmeno) de manera determinista, sino en funcin de probabilidades. Proceso estocstico: En matemticas de probabilidades, un proceso estocstico es un proceso aleatorio que evoluciona con el tiempo. Determinstico: En estadstica, un fenmeno determinstico es aquel en que se obtiene siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales. La relacin causa-efecto se conoce en su totalidad. Por ejemplo, todos los fenmenos que siguen las leyes de la fsica clsica, como puede ser la cada de un cuerpo. Lo contrario de un fenmeno determinstico es un fenmeno aleatorio. Sistema discreto: Una funcin, variable o sistema es discreto, en contraposicin a continuo, si es divisible un nmero finito de veces. As, el conjunto de los nmeros naturales es un conjunto discreto, as como la energa de los estados cunticos. N -> {1,2,3,4,5,..., } Entre cada uno de los miembros del conjunto no puede haber ms trminos. Como se ve en los naturales se puede llegar a una sucesin indivisible de nmeros. Sistema continuo: Una funcin, variable o sistema es continuo, en contraposicin a discreto si ste entre dos puntos cualesquiera distintos existe una infinidad de puntos, y adems tiene la propiedad de completitud, es decir, si la distancia entre los dos puntos tomados mide d, para cada nmero entre 0 y d podemos encontrar un punto cuya distancia del primero mida exactamente a ese nmero. Por ejemplo, es el caso de los nmeros reales as como el espacio-tiempo segn la relatividad. Introduccin Bajo el nombre de Mtodo Monte Carlo o Simulacin Monte Carlo se agrupan una serie de procedimientos que analizan distribuciones de variables aleatorias usando simulacin de nmeros aleatorios. El Mtodo de Monte Carlo da solucin a una gran variedad de problemas matemticos haciendo experimentos con muestreos estadsticos en una computadora. El mtodo es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocstico o determinstico. Generalmente en estadstica los modelos aleatorios se usan para simular fenmenos que poseen algn componente aleatorio. Pero en el mtodo Monte Carlo, por otro lado, el objeto de la investigacin es el objeto en s mismo, un suceso aleatorio o pseudo-aleatorio se usa para estudiar el modelo. A veces la aplicacin del mtodo Monte Carlo se usa para analizar problemas que no tienen un componente aleatorio explcito; en estos casos un parmetroPablo Elas Velsquez Perilla Docente


determinista del problema se expresa como una distribucin aleatoria y se simula dicha distribucin. Un ejemplo sera el famoso problema de las Agujas de Bufn. La simulacin de Monte Carlo tambin fue creada para resolver integrales que no se pueden resolver por mtodos analticos, para solucionar estas integrales se usaron nmeros aleatorios. Posteriormente se utiliz para cualquier esquema que emplee nmeros aleatorios, usando variables aleatorias con distribuciones de probabilidad conocidas, el cual es usado para resolver ciertos problemas estocsticos y determinsticos, donde el tiempo no juega un papel importante.

Historia El mtodo fue llamado as por el principado de Mnaco por ser "la capital del juego de azar", al tomar una ruleta como un generador simple de nmeros aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemtico de los mtodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora. Sin embargo hay varias instancias (aisladas y no desarrolladas) en muchas ocasiones anteriores a 1944. El uso real de los mtodos de Monte Carlo como una herramienta de investigacin, proviene del trabajo de la bomba atmica durante la Segunda Guerra Mundial. Este trabajo involucraba la simulacin directa de problemas probabilsticos de hidrodinmica concernientes a la difusin de neutrones aleatorios en material de fusin. An en la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislao Ulam refinaron esta curiosa "Ruleta rusa" y los mtodos "de divisin". Sin embargo, el desarrollo sistemtico de estas ideas tuvo que esperar el trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo ao, Fermi, Metropolos y Ulam obtuvieron estimadores para los valores caractersticos de la ecuacin de Schrdinger para la captura de neutrones a nivel nuclear. Alrededor de 1970, los desarrollos tericos en complejidad computacional comienzan a proveer mayor precisin y relacin para el empleo del mtodo Monte Carlo. La teora identifica una clase de problemas para los cuales el tiempo necesario para evaluar la solucin exacta al problema crece con la clase, al menos exponencialmente con M. La cuestin a ser resuelta era si MC pudiese o no estimar la solucin al problema de tipo intratable con una adecuacin estadstica acotada a una complejidad temporal polinomial en M. Karp(1985) muestra esta propiedad para estimar en una red plana multiterminal con arcos fallidos aleatorios. Dyer(1989) utiliza MC para estimar el volumen de un convex body en el espacio Euclidiano M-dimensional. Broder(1986), Jerrum y Sinclair (1988) establecen la propiedad para estimar la persistencia de una matriz o en forma equivalente, el nmero de matching perfectos en un grafo bipartito. Modo de Uso La clave de la simulacin MC consiste en crear un modelo matemtico del sistema, proceso o actividad que se quiere analizar, identificando aquellas variables (inputs del modelo) cuyo comportamiento aleatorio determina el comportamiento global del sistema.

Pablo Elas Velsquez Perilla Docente


Una vez identificados dichos inputs o variables aleatorias, se lleva a cabo un experimento consistente en (1) generar muestras aleatorias con ayuda del ordenador- (valores concretos) para dichos inputs, y (2) analizar el comportamiento del sistema ante los valores generados. Tras repetir n veces este experimento, dispondremos de n observaciones sobre el comportamiento del sistema, lo cual nos ser de utilidad para entender el funcionamiento del mismo: obviamente, el anlisis ser tanto ms preciso cuanto mayor sea el nmero n de experimentos que se lleven a cabo.

Mtodo de Monte Carlo. Calcular reas bajo una curvaLos mtodos de Montecarlo abarcan una coleccin de tcnicas que permiten obtener soluciones de problemas matemticos o fsicos por medio de pruebas aleatorias repetidas. En la prctica, las pruebas aleatorias se sustituyen por resultados de ciertos clculos realizados con nmeros aleatorios. Un ejemplo de uso de esta tcnica es calcular el rea bajo una curva como se ve en la imagen.

Por lo general para calcular el rea debajo de una curva (generada por una ecuacin), es hacer la integral de esa ecuacin y valorarla entre los lmites definidos. Sin embargo, si la ecuacin es muy compleja que dificulta o impide hacer la integral entonces hay un mtodo que permite dar con el valor del rea.

Paso 1: Dibuje un rectngulo que contenga en su interior el rea a calcular. Las medidas del rectngulo (largo y ancho) son conocidas, por lo que el rea de ese rectngulo tambin es conocida.



Paso 2: Coloque varios puntos al azar dentro del rectngulo, cuente los puntos que caen dentro del rea de la curva

Paso 3: El clculo del rea bajo la curva es: rea bajo la curva = rea del rectngulo * (Nmero puntos dentro del rea de la curva / Total Puntos). El error de esta aproximacin es: 1/RaizCuadrada(Total Puntos)

Mtodo de Monte Carlo. Consultas diarias.Una forma de hacer pruebas de Monte Carlo es con una hoja de clculo como Microsoft Excel. En el ejemplo se muestra un anlisis histrico de 200 das sobre consultas realizadas en un sistema de informacin. La tabla muestra el nmero de consultas diarias (de 0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (# de das por cada frecuencia), las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas.



Se puede interpretar estos datos de esta forma: "Hay una posibilidad del 30% que tenga 3 consultas diarias" Cmo encontrar el valor medio de consultas? Una forma directa es haciendo la operacin Valor Medio = sumatoria (#de visitas*Probabilidad de que ocurran) = 0*0,05+1*0,1+2*0,2+3*0,3+4*0,2+5*0,15=2,95 Por otro lado se puede usar una simulacin Monte Carlo para deducirla. Para ello se tiene en cuenta las frecuencias relativas acumuladas de esta manera: [0,00 [0,05 [0,15 [0,35 [0,65 [0,85 a a a a a a 0,05) 0,15) 0,35) 0,65) 0,85) 1,00) para para para para para para el el el el el el suceso suceso suceso suceso suceso suceso 0 1 2 3 4 5

Luego al generar un nmero aleatorio uniforme entre (0 y 1) podemos saber que suceso ocurri. Ejemplo: Nmero aleatorio 0,790445391 0,312774232 0,024507237 0,159714866 0,863044148 0,896856087 0,442375306 0,349415073 0,084318782

Suceso(*) 4 2 0 2 5 5 3 2 1



0,006141327

0

Se prueba con un nmero considerable de nmeros aleatorios (esa es la razn por la cual debe haber un periodo largo) y se deduce el promedio en la columna de sucesos. Al final debe dar un valor muy parecido al que se encontr en el Valor Medio. (*) En Excel el comando IF es =SI(...) o BUSCARV pero no es muy sencillo de usar en simulaciones complejas. Descargue archivo en Excel



Estimacin del nmero PI

En la figura se muestra un cuadrado encerrando un circulo, dividido en cuartos, esto es para calculas el numero PI de acuerdo a la probabilidad de encontrar un punto dentro de un cuarto de circulo.

La probabilidad de que un punto pertenezca al cuarto de crculo es la siguiente: Probabilidad = rea del cuarto de crculo / rea del cuadrado Probabilidad = (PI/4) / (1) Probabilidad = PI / 4 El procedimiento para estimar PI es el siguiente: 1. Generar dos nmeros aleatorios r1 y r2 (que sera la coordenada X,Y del punto) 2. Evaluar . Si este valor es menor que 1 entonces el punto cae dentro del cuarto de crculo. Adicione 1 al acumulado de puntos que caen dentro. 3. Repita tantas veces los puntos 1 y 2 4. El valor de PI se calcula de esta manera: PI = 4*nmero_de_puntos_dentro_del_cuarto_de_crculo / total_puntos_generados;



Mtodo de Monte Carlo. Problema del viajeroUno de los problemas difciles de resolver es el problema del viajero: Dado un nmero N de ciudades a recorrer, cual es el camino con el menor costo dada la tabla que se ve a continuacin?:

Este fue un camino seleccionado, su costo es

(1-2) + (2-8) + (8-3) + (3-7) + (7-6) + (6-10) + (10-5) + (5-4) + (4-9) = 3 + 4 + 3 + 4 + 9 + 8 + 5 + 3 + 3 = 42 Este problema tiene N! posibles soluciones (un nmero muy grande) que aumenta enormemente por cada ciudad adicionada. La solucin utilizando Mtodo Monte Carlo es: 1. Genere una ruta inicial y evalelaPablo Elas Velsquez Perilla Docente


(1-2) + (2-8) + (8-3) + (3-7) + (7-6) + (6-10) + (10-5) + (5-4) + (4-9) = 3 + 4 + 3 + 4 + 9 + 8 + 5 + 3 + 3 = 42

2. Haga un cambio aleatorio a esa ruta y vuelva a ensayarla, si es mejor entonces esa nueva ruta se selecciona, si no entonces se deja la ruta anterior. En el ejemplo se intercambia las ciudades 3 y 4 y esta es la nueva ruta.

3. Determinar si es suficientemente buena la seleccin en caso contrario vuelva al paso 2.



Distribucin TriangularEjemplo (Fuente: http://www.geocities.com/SiliconValley/Horizon/8685/estaticos.html ): Un proyecto tiene la siguiente red de tareas:

La duracin en das de las tareas B y D son 4 y 2 respectivamente. La duracin en das de la tarea A tiene distribucin triangular con parmetros: Tarea A C Mnimo 3,5 5,2 Ms probable 4 6 Mximo 6 8

Se pueden duplicar los recursos de las tareas A y C, con lo que se estima que sus parmetros (en das) sern: Tarea A C Mnimo 2 3 Ms probable 3 4 Mximo 6 8

Pero duplicar los recursos implicara un costo adicional de $100 por cada tarea que se acelere. El proyecto debe estar finalizado en 7 das, y tiene un costo de penalizacin de $800 si no se cumple con el plazo. Las alternativas posibles son:

1. 2. 3. 4.

No acelerar ninguna tarea Acelerar slo la tarea A Acelerar slo la tarea C Acelerar ambas tareas.

Se trata de determinar, mediante simulacin, cul alternativa minimiza el costo esperado.



Transporte de MercancaTomado del libro: Simulacin. Un enfoque prctico. Ral Coss B. La empresa TIBASA (Fabricante de Tinas de Bao) tiene asignado un camin especial para el transporte de tinas terminadas. Dicho camin transporta diariamente 5 tinas. El peso de cada tina sigue una distribucin de probabilidad triangular (a=190, b=210, c=230). Si la capacidad del camin es de 1 tonelada. Cul es la probabilidad de que el peso de las tinas exceda la capacidad del camin? Suponga que cada vez que la capacidad del camin es excedida, una tina es enviada a travs de otra compaa a un costo de $200/tina. Tambin suponga que el costo promedio anual de un nuevo camin es de $60.000. Si se trabajan 5 das a la semana y 52 semanas al ao cul de las dos alternativas mencionadas es la mejor? 6. Simulacin grfica http://phet.colorado.edu/web-pages/simulations-base_es.html http://www.falstad.com/mathphysics.html http://www.ambromley.co.uk/fizz.html http://www.myphysicslab.com/ http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/rjn_bht.html http://www.homowebensis.com/bichos.html http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/ (distribuciones) http://www.shodor.org/interactivate/activities/RabbitsAndWolves/?version=unknow n&browser=Opera&vendor=unknown http://www.sodaplay.com/ http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

Versin original Tomada de: http://docencia.50webs.com/index.html


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