Método IADIP.....(Cont.)

8/3/2019 Mtodo IADIP.....(Cont.)

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En el mtodo ADIP, como se vio, es para usarse cuando hay dependencia del tiempo, tambinse puede aplicar cuando no hay dependencia del tiempo y se conoce como proceso iterativode direccin alterante. Se aplica a la solucin de EDPE.

( ) ( ),, ,t

i j bi j i j

PT P Q V C

t

= (N.C.1)

ADIP (P-R) Peaceman-Rachford(D-R) Douglas-Rachford

Veamos ahora como se puede resolver aplicando el mtodo ADIP a la siguiente ecuacin:

( ) ,, 0i ji jT P Q = (N.C.2)

EDPE (Ecuaciones Diferenciales Parciales Elpticas)

2 ) 0P = Es la solucin continua (a largo plazo) de:

2 )P

Pt

= (N.C.3)

Ecuaciones en diferencias finitas:

12

n nP PP

t

+

= (N.C.4)

Cuando 1n nP P+ = Se tiene la solucin del problema 2 ) 0P =

Procedimiento

( )2 1 1n n n k P P P H + + = (N.C.5)

kH : Parmetro de iteracin (Se puede visualizar como un inverso de t )

k: Numero de iteracin

Lo que se busca con kH es obtener la solucin lo ms rpido posible (es como un factor deaceleracin)

Veamos como aplicar la tcnica iterativa de Peaceman-Rachford.

De nuevo se hace en dos pasos:

( )2 * 2 *k k x y k P P H P P + = (N.C.6)

( )2 * 2 1 1 *k k x y k P P H P P + + + = (N.C.7)


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El *P Se usa para buscar el 1kP +

kH Es igual en ambos pasos, pero puede variar en cada iteracinPor experiencia y por anlisis se ha encontrado que la convergencia se acelera si se tiene unconjunto de parmetros ( 1H LH ) que se pueden usar por ciclos hasta cuando se

obtenga la convergencia. Es decir para la primera iteracin se usara 1H , para la segundaiteracin 2H , para la iteracin L, para la L+1, LH , y se empieza nuevamenteCmo se seleccionan los parmetros?Guas para obtenerlos:Supongamos la siguiente ecuacin:

( ) ,i jT P B = (N.C.8)

( ) ( ) ( )2 * 2 * ,k k

x y k i jT P T P H P P B + = (N.C.9)

( ) ( ) ( )2 * 2 1 1 * ,k k

x y k i jT P T P H P P B+ + + = (N.C.10)

Si los xT son constantes para un bloque determinan o sea:

1 1 1 1, , , , , , , ,

2 2 2 2

, , ,x i j x i j y i j y i j

T T T T + + Constantes, se podra tener:

( ) ( ) ( )2 * 2 *,

k kkx y

i j

H P P P P

T

+ = , ( )k kx H h T =

(N.C.11)

1 1 1 1, , , , , , , ,

2 2 2 2x i j x i j y i j y i j

T T T T T + +

= + + + (N.C.12)

Sea i= Numero de bloques en la direccin xj= Numero de bloques en la direccin y

( )min , 1 2,i jh Min m m= Donde,

2

1 21

21 y

x

mTI

T

=+ (Se busca el mnimo en la direccin x)

2

2 2

1

2 1 xy

mTJ

T

=

+ (Se busca el mnimo en la direccin y)

max

1_ _

2 _ _ _ _

x y

x y y x

si T T h

si T T o T T

= =

= f f f f


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Entre minh y maxh se escogen los dems parmetros y se espacian de tal manera que queda unaprogresin geomtrica.

Si el nmero de parmetros es L

1

1

LLh

h =

maxLh h=

1 minh h= 1max

min

Lh

h =

max

min

ln

ln1

h

h

L

=

El valor de L depender del rango de variacin entre maxh y minh

Si el rango de variacin (0.01-2.0) L=4-5(0.0001-2.0) L=6-8

El parmetro critico es el minh

Se recomienda que se compare inicialmente dentro de varios conjuntos de parmetros deaceleracin y luego se escoja el ms indicado (Se efectan algunos pasos iniciales con cadaconjunto y luego se comparan resultados y se decide por el que d mejores resultados)

Ejemplo:

I=20 J=10 100xk mD= 50yk mD=

Hallar los parmetros de integracin kH

4000'200'

20x = =

200'20'

10x = =

( )

( )

2

2

xx

y y

k yT

T k x

=

Aplicando definiciones de iT

2100 20

0.0250 200

x

y

T

T

= =

Si las Transmisibilidades varan de bloque a bloque habra que encontrary

x

T

Ten cada bloque

para hallar el valor mnimo.

24

1 min

12.41*10 0.0024

1002*400 12

m h = = =

+


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2

2 max

10.048 0.048

22*100 1100

m h

= = =+

min

0.0024h

2L

h

, pues x yT Tf f

Se utilizan 7 parmetros de iteracin debido a que el rango de variacin de 1m y 2m es alto.

L=7 max

min

ln

ln1

h

h

L

=

4.5 =

Y por tanto, los parmetros son:

1 0.00024h =2

0.00024* 4.5 0.00108h = =3

0.00108*4.5 0.0048h = =

40.0048*4.5 0.0218h = =

50.0218*4.5 0.098h = =

60.098*4.5 0.443h = =

70.443*4.5 2.0h = =

El mtodo iterativo ADIP (IADIP) es bastante utilizado, el LSOR tambin al igual que losmtodos directos.

El mtodo IADIP, tambin se puede aplicar a EDPP (IADIP de P-R a EDPP)

( ) ( ), , 1,b i j n n

i j

cVT P Q P P

t

+ =

(N.C.13)

( )1

, , , ,

,

n n

b i j b i j

i j

cV P cV P T P Q

t t

+

= +

(N.C.14)

Constante

( )

1

,,

n

i ji jPT P

t

+

= (N.C.15)

Y esto se aplica el mtodo iterativo ADIP

( ) ( ) ( )*

,* *

,

i jk k

x x y y k i j

PT P T P H P P B

t

+ =

(N.C.16)

( ) ( ) ( )1

,* 1 1 *

,

k

i jk k

x x y y k i j

PT P T P H P P B

t

++ + + =

(N.C.17)

Este proceso iterativo se hace hasta cuando * 1kP P +=


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El IADIP perminte mayores t que el ADIP y por esto se prefiere

kP = Presin a la iteracin k o sea:1 1n kp P+ +=

Cuando Max ( )

1k kP P +

p

Generalmente se requiere de uno a dos ciclos para tenerconvergencia.

IADIP DE D-R PARA DOS DIMENSIONES

( ) ( ) ( )*

,* *

,

i jk k

x x y y k i j

PT P T P H P P B

t

+ =

(N.C.18)

( ) ( ) ( )1

,* 1 1 *

,

k

i jk k

x x y y k i j

PT P T P H P P B

t

++ + + =

(N.C.19)

Para tres dimensiones:

( ) ( ) ( ) ( ),* * ,k

i jk k k

x x y y z z k i j

PT P T P T P H P P B

t

+ + =

(N.C.20)

( ) ( ) ( ) ( )**

,* ** **

,

i jk k

x x y y z z k i j

PT P T P T P H P P B

t

+ + =

(N.C.21)

( ) ( ) ( ) ( )

1

,* ** 1 1

,

k

i jk k k x x y y z z k i j

PT P T P T P H P P Bt

++ +

+ + = (N.C.22)

Tambin se podra aplicar en dos dimensiones para fluidos ligeramente compresibles.

Flujo bifsico Incompresible

Esta situacin que se presenta en casos como: Inyeccin de agua Produccin de crudo y/o agua

En dos dimensiones:

Se requieren de las siguientes ecuaciones:

Ecuacin para el agua:

rw w ro w ww vw

w w

khk d khk d dS d dhB q h

dx dx dy dy dt

+ =

(N.C.23)

Ecuacin para el petrleo:


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ro o ro o oo vo

o w

khk d khk d dS d dhB q h

dx dx dy dy dt

+ =

(N.C.24)

Ecuaciones de saturacin:

1.0o w

S S+ =

Ecuaciones de potencial:

w w wP z = = w = Gradiente del agua

o o oP z = = o = Gradiente del petrleo z= Altura positivo hacia abajo

Ecuacin de presin capilar:

c w o P P P = (N.C.25)

Ecuacin de tasas:

o w tq q q+ = (N.C.26)

Tal como se plantea el problema, tambin se puede resolver el caso de un yacimientoinclinado:

Aplicando diferencias finitas:

1 1

1, , 1, , 1 1, 1,2 ,

2

2i i i i rw

jwx i j

i j i j i i j i j i w i j

h h k k k T y

h k x h k x u

+ +

++ + + +

= +

(N.C.27)

1 1

1, , 1, , 1 1, 1,2 ,

2

2i i i i ro

jox i j

i j i j i i j i j i w i j

h h k k k T y

h k x h k x u

+ +

++ + + +

= +

(N.C.28)

1 11, , 11, 1, , , 12 ,

2

2i i i i rw j

wx i ji j i j i i j i j i w i j

h h k k k T yh k x h k x u

+

= + (N.C.29)

1 1

1, , 11, 1, , , 12 ,

2

2 i i i i roj

ox i ji j i j i i j i j i w i j

h h k k k T y

h k x h k x u

= +

(N.C.30)

, , 1 , , 1

1, , 1, , , 1 , 1 , 1 ,2 ,

2

2i j i j i j i j rw

iwx i j

i j i j i j i j i j i j w i j

h h k k kT x

h k y h k y u

+ +

+ + + +

= +

(N.C.31)


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, , 1 , , 1

1, , 1, , , 1 , 1 , 1 ,2 ,

2

2i j i j i j i j ro

iox i j

i j i j i j i j i j i j w i j

h h k k kT x

h k y h k y u

+ +

+ + + +

= +

(N.C.32)

Para hallar los rik :

( ) ( ) ( ) ( )1, , 1,

2

1rw rw rwi j i j i j

k W k W k + +

= + (N.C.33)

La escogencia de W depende del proceso que se tenga. Otras veces se hace de la siguienteforma:Si el flujo es de i i+1 entonces W=0Si el flujo es de i+1 i entonces W=1

Conociendo las expresiones para las trasmisibilidades se puede pasar a diferencias finitas:

( ) ( ) ( )p xx wx x w y wy y w w t wV

T T q S t

+ =

(N.C.34)

( ) ( )p

w w w t w

VT q S

t =

(N.C.35)

Y para petrleo la ecuacin queda:

( ) ( ) ( )p x ox x o y oy y o o t oV

T T q S

t

+ =

(N.C.36)

( ) ( )p

o o o t o

VT q S

t =

(N.C.37)

Las ecuaciones a resolver son las de petrleo y agua:

En pozos de inyeccin:

, ,w i jq Valor negativo especificando

, ,0

o i jq =

En pozos de produccin:

Se da ,i jq

, , , , ,i j w i j o i jq q q= + Ambos valores se desconocen

( )

, ,

, ,1

wi j w i j

oi j w i j

q f q

q f q

=

= Si no hay conificacin


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1

1

rw

ww

rw ro ro

w oo

rw

w

k

fk k k

k

= =+

+

(N.C.38)

O sea que conociendo las curvas de rik se puede obtener wf

Para resolver las ecuaciones para el agua y el petrleo se desconocen o , w

Mtodos de Solucin:

1. Soluciones simultaneas2. Soluciones secuenciales (IMPES) IMPLICIT PRESSURE EXPLICIT SATURATION

En el mtodo (1) se calculan simultneamente las presiones de todas las fases presentes. En elmtodo (2) se calcula primero la presin de una fase y luego de la otra fase hasta completartodas las fases del sistema.

METODO IMPES

Suponiendo que z aumenta hacia abajo

o o oP z = i : Gradiente de presin del fluido i

o o oP z =

c o w P P P = 1

o wS S= dso = -dsw

( ) ( )p

w o c w w t w

VT P P z q S

t =

(N.C.39)

( ) ( )po o o w t wV

T P z q S t

= (N.C.40)

Sumando las ecuaciones (N.C.39) y (N.C.40) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0w o o o w c w w o oT P T P T P T z T z q + = (N.C.41)

[ ] [ ] [ ] [ ]o w c w w o oT P q T P T z T z = + + + (N.C.42)

Calculando a una saturacin constante al tiempo n

w oT T T= + (N.C.43)


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[ ]oT P B = (N.C.44)

De la ecuacin (N.C.37)

( ), 1 ,o n o n o o op

tS S T qV

+

= + (N.C.45)

Saturacin en el bloque i,j al tiempo n+1

oq Se evaluar en forma explicita V. fr. wf correspondiente a n

El IMPES trabaja bastante bien en la mayora de los casos. El anterior es el esquema delIMPES y los pasos a seguir del mtodo son:

i. Se expresan todas las ecuaciones en funcin de una sola faseii. Se eliminan los trminos de la saturacin

iii. Se resuelve presiniv. Finalmente se tiene una ecuacin de saturacin que se resuelve en forma directa.

Otras formas de resolver el problema:

Tomando como variable o

w w w o c w P z P P z = = (N.C.46)

Restando y sumando oz

( )w w w c w o P z P z = (N.C.47)

( )'o cP z=

Reemplazando w en la ecuacin se tiene

[ ]p

w w w t w

VT q S

t =

(N.C.48)

( )( )' pw w c w t wV

T P z q S t

= (N.C.49)

Ahora

[ ]p

o o o t w

VT q S

t =

(N.C.50)

Sumando las dos ecuaciones anteriores, se tiene


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[ ] [ ] ( ) 0o w c wT T P T z q = (N.C.51)

Y la ecuacin a resolver es entonces

[ ] [ ] ( )'o w c wT q T P T z = + + (N.C.52)

Este trmino se toma a saturacin constante

Tambin pudo haberse hecho resolviendo para el potencial del agua

o o o c w w P z P P z = = + (N.C.53)

Sumando y restando wz

( )o c w w w o P P z z = + + (N.C.54)

( )o c wP z = + + (N.C.55)

Y de esta manera se reemplaza o en la ecuacin

[ ]p p

o o o t o t w

V VT q S S

t t = =

(N.C.56)

Y la ecuacin resultante se suma con

[ ]p

w w w t w

VT q S

t =

(N.C.57)

Obtenindose al final:

[ ] [ ] ( ) 0w o c oT T P T z q + + = (N.C.58)

[ ] [ ] ( )w o c oT q T P T z = (N.C.59)

Calculado a una saturacin constante en el tiempo n

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones anterior se pasa a calcular la saturacin de agua de:

( ), 1 ,w n w n w w wp

tS S T q

V+

= + (N.C.60)

En el sistema a resolver


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[ ] [ ] ( )w o c oT q T P T z = + (N.C.61)

Si se considera 0cP = queda:

[ ] [ ]' 0w oT q T z = = (N.C.62)

Si se aplica ahora IADIP en direccin x, las ecuaciones para cada etapa serian:

( ) ( )1 1

2 2k kk k

x x w y y w o k w wT T T z q H T

+ + + + = (N.C.63)

( ) ( )1 1

12 2k kk k

x x w y y w o k w wT T T z q H T + ++ + + = (N.C.64)

Los valores ( ){ }oT z q permanecen constantes para un intervalo de tiempo dado.

Problema:

Figura (N.C.1)

Nx=20, Ny=10

Pozo # 1 2 3 4 5 6 7 8i 1 3 6 9 9 12 17 20

j 9 4 1 2 10 4 1 3Q (BPD) -3000 -2500 1000 1000 500 1000 1000 1000

Tabla (N.C.1)

0.20 = (Constante) h=45 (Constante) 0.44w = cp 0.44o = cp

k varia solamente en la direccin de y


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j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10k (mD) 1 2 5 10 20 40 80 160 300 700

Tabla (N.C.2)

La tabla de valores de wTS , rwTk y roTk es:

wTS 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 1.0

rwTk 0.0 0.01 0.01 0.02 0.05 0.2 0.3 1.0

roTk 1 0.99 0.8 0.5 0.2 0.01 0.0 0.0

Tabla (N.C.3)

Figura (N.C.2)

Suponer que el agua esta uniformemente distribuida una cada bloque. Suponer Pc = 0.0

Como varan las saturaciones en los bloques?Como varan las tasas de produccin en los pozos?RAP em cada pozo produtor?Produccin acumulada de H2 O y petrleo en cada pozo?Cual es la produccin acumulada en todo el campo?Resolver por IMPES (IADIP)

SugerenciasHay que definir donde va a quedar el WOC para las trasmisibilidades se debe conocer haciadonde es el flujo y esto se sabe comparando los potenciales

IF ( ), 1, 1 ,,2

, ____________*wi j wi j rwi jw i

T K++

= (N.C.65)

IF ( ), 1, 1 1,,2

, ____________*wi j wi j rwi j

w iT K+ +

= (N.C.66)

,rwi jK y 1,rwi jK + Se toman en forma Explcita.

Flujo bifsico compresible:

Sistema Gas-Petrleo (No hay agua) Dos Dimensiones

No hay buzamiento (ngulo de buzamiento = 0 Fronteras externas cerradas


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La ecuacin para el flujo de petrleo es:

( )( )o oo o o o o o

vo CN

d b Sk hb dP k hb dP d dh q h

dx dx dy dy dt

+ =

(N.C.67)

Teniendo en cuenta que:

1o

o

bB

= y1

g

g

bB

=

Y la ecuacin de flujo para el gas es:

( )( )( )

g g g g g g o o s o o o s o

g o g o

g g o o s

vo CN

k hb dP k hb dP k hb R dP k hb R dP d d d d

dx dx dx dx dy dy dy dy

d b S b S Rh q h

dt

+ + +

+

=

(N.C.68)

Estas son las ecuaciones a resolver y pueden ser por mtodos secuenciales (IMPES) osimultneas.

IMPES

Expresar las ecuaciones en funcin de una sola fase Eliminar saturacin Resolver para presin y luego regresar a calcular S

Las ecuaciones para gas y petrleo expresadas en forma vectorial quedan:

( ) ( )( )

. o oo o o CN

d b Sb h q h

dt

=uur

(N.C.69)

( ) ( )( )( )

.g g o S o

g g o s o o CN

d b S b R S b b R h q h

dt

+ + =

uur uur(N.C.70)

La forma de escalar de estas ecuaciones es la que se tena antesLas ecuaciones en forma de diferencias finitas quedan:

La ecuacin para el petrleo:

[ ]( )

( )o o bo o o t t o o oS P V

T P q h T x b S t t

= =

(N.C.71)

Y la ecuacin para el gas:


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[ ]( ) g g o s o

g g o s o g t

b S b R S T P T R P q h x y

t

+ + =

(N.C.72)

o xo yoT T T= + (N.C.73)

g xg yg T T T= + (N.C.74)

Suponiendo que k, h constantes:

1, , 1

,22

ro o

o i ji jo

kk hb yT

x+ +

= (N.C.75)

1, , 1,2

2

rg g

g i ji jg

kk hb y

T x+ +

= (N.C.76)

rok , rgk se pueden evaluar de varias maneras, por ejemplo:

( ) ( ) ( )11

2

(1 )ro ro roi i i

k W k W k + +

= + 0 1W (N.C.77)

(Forma Ponderada)

O tambin se puede hacer teniendo en cuenta la direccin de flujo (El potencial); cuando el

flujo es de i-1 a i 1 12 2

roi roik k

+ =

Figura (N.C.3)

Las ik se calculan en los centros de cada bloque, los ib se calculan en los extremos y setoman como el promedio de los valores en los bloques en contacto. Lo mismo se hace con laviscosidad.Para modificar las anteriores ecuaciones en diferencias finitas, veamos lo siguiente:

( ) 1 1 1 1n n n n n n n nt ab a b a b a b a b+ + + + = + (N.C.78)

( ) ( ) ( )1 1 1n n n n n n

t ab b a a a b b

+ + +

= (N.C.79)


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( ) 1n nt t tab b a a b+ = (N.C.80)

Aplicando lo anterior a:

( ) ( )t o o t b S ab

= (N.C.81)

Siendo: oa b= ob S=

( ) ( ) ( ) ( )1n

t o o o t o on t ob S b S S b + = + + (N.C.82)

Tambin pudo ser:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1n n

t o o o t o o t ob S S b b S

+ = + (N.C.83)

(N.C.82) Nos da un valor de ( )1n

ob+

(N.C.83) Nos da un valor de oS en el tiempo 1n +

Es preferible (N.C.82) a (N.C.83), pues en (N.C.82) se puede eliminar saturacin, en cambio(N.C.83) no es posible

Aplicando el mismo procedimiento de ( )t ab a ( )t ob se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1n n

t o t o o t b b b + = + (N.C.84)

( )( )1b r iC P P = + (N.C.85)

( )b r t oC P = (N.C.86)

Se han tomado las presiones con respecto al petrleo porque se considera que este es el fluidodominante

( )'t o o t ob b P = (N.C.87)

1

1

n n

o ot o n n

o o

b bb

P P

+

+

=

(N.C.88)

( )1

'

1

n n

o oo t on n

o o

b bb P

P P

+

+

=

(N.C.89)

( ) ( )1 1 'n n n

t o o o t o o o t o on b r t ob S b S S b P b C P

+ + = + + (N.C.90)

( ) ( )

1 1 'n n n n

t o o o t o o o o b r t ob S b S S b b C P

+ +

= + + (N.C.91)


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( ) 10 11t o o t o t ob S C P C S = + (N.C.92)

Donde,

( )

1 '

10

n n

on o o b r C S b b C

+

= + (N.C.93)

( )1

11

n

oC b+= (N.C.94)

Y adems, haciendo

10

'

10

bV

C Ct

=

(N.C.95)

11

'

11

bV

C C t= (N.C.96)

Se tiene:

( ) ( ) ' '10 11b

t o o o t o o t o t o

VT P q b S C P C S

t = = +

(N.C.97)

Para la ecuacin del gas, se tiene:

( ) ( )1bt o o o t o s o g oV

T P q b R S b S

t

= +

(N.C.98)

' ' 1.0o g w

S S S= + = (Tomando Saturaciones con respecto a total)

1.0o g

S S+ = (Tomando Saturaciones solamente con respecto a mvil)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 '1

11 '

1

1

t g o s o t o s o g o

n nn n

g t o o o s o s b r t o

nn n n

g t o o g t g g b r t o

b b R S b R S b S

b S S b R b R C P

b S S b P b C P

+ +

++

+ = +

= + +

+ +

(N.C.99)

c g o P P P = g c o P P P = +

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 '1

11 ' 1 '

20 21 22

n nn n

t g o s o o s t o o o s o s b r

nn n n n n

g t o g g g b r t o g g t c

t o t o t c

b b R S b R S S b R b R C

b S S b b C P S b P

C P C S C P

+ +

+ + +

+ = + + +

+ + +

= + +

(N.C.100)

( ) ' '10 11t o o o t o t oT P q C P C S = + (N.C.101)


17/26

( ) ( ) ' ' '20 21 22t g g t o s o g t o t o t cT P T R P q C P C S C P + = + + (N.C.102)

Donde,

' '20 20

bV

C Ct=

' '21 21

bV

C Ct=

' '22 22

bV

C Ct=

Las ecuaciones (N.C.101) y (N.C.102) son las ecuaciones a resolver aplicando IMPES.

Paso 1: Ya se ha hecho Paso 2: Eliminar Saturaciones

Como se considera presin implita y saturacin explicita 0.0t cP = , y el sistema deecuaciones queda:

( ) ' '10 11t o o o t o t oT P q C P C S = + (N.C.103)

En la ecuacin (N.C.102) se expresa todo en funcin de una sola fase

g c o P P P = +

( ) ( ) ( ) ' '20 21t g g t g c t o s o g t o t oT P T P T R P q C P C S + + = + (N.C.104)

1 2 0c cP P +

El paso siguiente es eliminar saturaciones, multiplicando (N.C.103) por'

21'

11

Ca

C= y

sumando con (N.C.104) queda:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '10 20t o o t g o t g c t o s o o g t oa T P T P T P T R P aq q aC C P + + + = + (N.C.105)

Y llamando:

o o s g T aT T R T = + + '

10 20C aC C = + o gq aq q= +

Nos queda:

( ) ( )t o t g c t oT P T P q C P + = (N.C.106)

Este es el sistema de ecuaciones que se resuelve y una vez resuelto se va a la ecuacin(N.C.103) y de ah se despeja oS

( ) ( )1 nn nt o t g c t oT P T P q C P + + = (N.C.107)


18/26

En la ecuacin (N.C.107) se tiene una sola variable (La presin)

Resuelto el anterior sistema de ecuaciones se pasa a calcular 1noS+ as:

1 '

10'

11

1n no o t o o o t oS S T P q C P C

+

= + ,i j (N.C.108)

1 11

n n

g oS S+ += ,i j (N.C.109)

La cP estar dada por la saturacin de aceite en este punto

( )c o P f S = (N.C.110)

Este mtodo IMPES tiene algunos refinamientos que amplan la cobertura del mtodo.

METODOS SECUENCIALES:

Resuelven un sistema de ecuaciones simultneas. Tienen en cuenta la variacin de lasaturacin durante el intervalo de tiempo.

Mtodo de solucin simultnea (SS) (IMPIS) Saturacin Implcita, Presin ImplcitaSe vera en 2-D de dos fases incompresibles (Petrleo-Agua). Bsicamente el mtodo consisteen:

1. Las derivadas de saturacin se expresan en funcin de las presin de la fases( ) ( ),o w cS f P P f P

2. El sistema resultante tiene como variables a resolver las iP para cada uno de losbloques del yacimiento. El numero de ecuaciones a resolver ser 2N, siendo N elnumero de bloques ( si son tres fases el numero de ecuaciones ser 3N)

La gran diferencia con IMPES es que el nmero de ecuaciones aumenta bastante haciendoque el mtodo resulte mucho mas complejo. Estos mtodos, por tanto, slo se usan cuando esnecesario tener la saturacin en forma implcita.

Actualmente se usan bastante IMPES, IMPES modificado y SS.

Para el potencial se presenta la siguiente definicin:

0

1ePe e

e

dP z

= (N.C.111)

e = Se refiere a la fasez+ Positivo hacia abajo= Gradiente de Presin

Las ecuaciones diferenciales de flujo van a estar dadas por:


19/26

( ). wrw

w w w vw

w

d Skk h B hq h

dx

=

(N.C.112)

( ). orw

o o o voo

d Skk h B hq h

dx

=

(N.C.113)

Suponiendo constantes a: , , , ,k h x y y adems,

1, , 1

2 ,2

rww

w i jw i j

kk h yT

x

++

=

(N.C.114)

1, , 1

2 ,2

roo

o i j

o i j

kk h yT

x

++

=

(N.C.115)

Las ecuaciones de flujo en forma de diferencias finitas quedan como:

( )t w w w t wV

T q ST

=

Para el Agua (N.C.116)

( )t o o o t oV

T q ST

=

Para el Petrleo (N.C.117)

El lado derecho de las ecuaciones (N.C.116) y (N.C.117) se puede escribir en funcin de lacP

11 12t w t w t o

VS C C

T

= +

(N.C.118)

21 22t o t w t o

VS C C

T

= +

(N.C.119)

Como hallar 11 12 21 22, , ,C C C C ?

Haciendo uso de las expresiones de presin capilar se tiene:

c o w P P P = ( ) ( ) ( )c o w z z z dP dP dP =

Tomando ahora la derivada de la ecuacin de potencial:

( ) ( )1

w wz zw

d dP

= (N.C.120)

Tomando z cte= , o sea en un punto dado.


20/26

( ) ( )w w wz zdP d= ( ) ( )o o oz zdP d=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c o w o o w w z z z z z dP dP dP d d = = (N.C.121)

Ahora,1

'

1

n n

w wt w t c t cn n

c c

S SS S P P

P P

+

+

= =

(N.C.122)

[ ]1

'

1

n n

w wt w t c o t o w t wn n

c c

S SS S P

P P

+

+

= =

(N.C.123)

t o t wS S = (Hay solamente dos componentes)

[ ]'t o o t o w t wS S = + (N.C.124)

Y entonces,

' '

11 w

VC S

t

=

' '

12 o

VC S

t

=

' '

21 w

VC S

t

=

' '

22 o

VC S

t

=

La ecuacin (N.C.116) y (N.C.117) quedan:

( ) 11 12t w w w t w t oT q C C = + (N.C.125)

( ) 21 22t o o o t w t oT q C C = + (N.C.126)

Estas dos ecuaciones se aplican a cada bloque y as se obtiene el sistema de ecuaciones.

Una notacin para el anterior par de ecuaciones es:

11 12

21 22

0

0

w w w w

o o o ot

T q C C

T q C C

= (N.C.127)

O sea

( )1, , ,n

i j i j t i jT q C+ = (N.C.128)

Estas expresiones son implcitas tanto en saturaciones como en presin


21/26

Supongamos que se fuera a aplicar Jacobi:

Figura (N.C.4)

Supongamos que se han desarrollado las ecuaciones y que queda:

1 1 1 1 1 1

1 , 1, 1 , , 1 1 , , 1 , , 1 1 , 1, , ,

m n m n n n n n

w i j w i j w i j w i j w i j o i j wa b c d e f D+ + + + + +

+ + + + + + + + = (N.C.129)

1 1 1 1 1 1

2 , 1, 2 , , 1 2 , , 2 , , 1 2 , 1, 2 , ,

m n m n m n m n m n m n

o i j o i j o i j o i j o i j w i j wa b c d e f D+ + + + + +

+ + + + + + + = (N.C.130)

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8W O W O W O W O W O W O W O W O

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 2 1 1

2 2 1 2 2

2 2 2 2

1 1 1 2

2 2 2 3

2 2 2 1

2 3 3

1 1 1

3

2

4 4

1 1

4 4 4

2 2 2

1

C f d e

f C f d e

b C d e

b C d e

b C f

C

a C

a f C

a

5 5 51 1

5 5 5 5 5

2 2 2 2 2

6

1

6

2

b C

a b f C d

C

C

1

1

1

1 0

2

2

2

2 0

3

3

3

3 0

4

4

4

4 0

5

5

5

5 0

6

6

7

7

8

8

9

9

*

w w

o

w w

o

w w

o

w w

o

w w

o

w

o

w

o

w

o

w

o

D

D

D

D

D

D

D

D

D

D

=

6

6

0

7

7

0

8

8

0

9

9

0

w

w

w

w

D

D

D

D

D

D

D

D

En este caso el sistema se resuelve directamente.

Cuando se quiere resolver el sistema por mtodos iterativos se procede de manera diferentepor ejemplo, en el caso de Jacobi:

1 1

1 , , 1 , , 1 , 1,.............................m m m

w i j o i j w w i jc f D a+ + + = + (N.C.131)


22/26

1 1

2 , , 2 , , 2 , 1, , 1.........................m m m

o i j w i j o o i j nc f D a+ + + + = + (N.C.132)

Resolviendo el anterior par de ecuaciones se obtiene

1

, , , 1

m

o i j n+

+1

, , , 1

m

w i j n+

+

Una vez calculados , , , 1o i j n+ , , , , 1w i j n+ se pueden hallar presiones y luego saturaciones.

0

1oPdP z

= (N.C.133)

Pz

= (N.C.134)

( )o o oP z= + ( )w w wP z= +

Esto solamente se puede hacer con fluidos incompresibles.

( ) ( ) ( )c o w o o w w w o P P P z = = (N.C.135)

En este mtodo se debe tener variacin de presin con saturacin.

METODO SIP (Strongly Implicit Procedure).

Propuesto en el ao 1968 por Stone (Algunos lo llaman mtodo Stone)Wiesutin, Stone Simultaneous Solution of Multiphase Reservoir Flow Equations, SPEJ,1971, SPE Reprint No 11.

El trmino implcito se refiere a que involucrando el mayor nmero de puntos es un mtodoiterativo.

AX b= Es una iteracin en este mtodo esta dada por:

( )1k k

A N X b NX +

+ = + (N.C.136)

El objetivo de la matriz es que ( )A N+ sea fcilmente factorizable en LU o sea que sepuedan obtener fcilmente una matriz superior y un inferior

L = Matriz InferiorU = Matriz Superior

Si ( )A N+ es fcilmente factorizable entonces:

1k k LUX b NX + = + (N.C.137)


23/26

1 1 1k kUX L b L NX + = + (N.C.138)

*

=

El procedimiento tiene parmetros de iteracin. El mtodo trabaja en algunos casos cuandoIADIP no funciona.

Algunos problemas en tres dimensiones se pueden llevar a problemas de dos dimensiones; porejemplo cuando se tiene equilibrio vertical, se tiene un flujo de contacto inicial gas-agua, ysuponiendo que z aumenta hacia abajo entonces:

Z=0

Contacto Inicial Gas-Agua Z=Zci

______________________________________________ Z=h

( )( )wc ci cii

S Z h Z S

h

+ = (N.C.139)

Z=0

______ ______ _______ ______ _______ _______ ___ Z=Zi______ ______ _______ ______ _______ _______ ___ Z=Zci

______________________________________________ Z=h

( ) ( )( )1wc c gr ci c cii

S Z S Z Z h Z S

h

+ + = (N.C.140)

______ ______ _______ ______ _______ _______ ___ Zci =Z


24/26

______ ______ _______ ______ _______ _______ ___ Z=Zc

______________________________________________

( )wc c cii

S Z h Z

S h

+

= (N.C.141)

Este es el concepto bsico para llevarlo a un modelo areal, dos dimensiones.Introduciran a los modelos vistosComo se calculan las rik ?

Se define una seudo-funcin llamada seudo-permeabilidad relativa

( )( )c rwgr ci c cirw

Z k Z Z h Z k

h

+ + = c ciZ Zp (N.C.142)

Esto para cuando el contacto agua-gas est por encima del inicial.

Cuando est por debajo:

( )0 c crw

Z h Z k

h

+ = c ciZ Zf (N.C.143)

Obteniendo cZ de las ecuaciones de saturacin y reemplazando en las de seudo-

permeabilidad relativa, sici

Z Zp

( ) ( )( )

( ) ( )

( )

1 1

1 1 1

rwgr ci gr wc gr cirwgr ci gr wc

rw

gr wc gr wc gr wc

k Z S S h S Z k S h Z S S k

S S h S S h S S

+ = + +

(N.C.144)

Cuando el contacto se mueve hacia abajo, se despeja Zc de la ecuacin de situacin y sereemplaza en al de seudo-permeabilidad relativa y queda:

( )

1

wc

rw

wc

S Sk

S

=

c ci

Z Zf (N.C.145)

De forma similar:

11

rg w cirg gr

gr wc

k C Zk S S

S S h

= c ciZ Zp (N.C.146)

11

rg w

rg

wc

k Ck S

S = c ci

Z Zf (N.C.147)

Se puede ahora:


25/26

Figura (N.C.5)

Se supuso 0cP = , w gP P= en el contacto. En un punto cualquiera diferente del contacto.

( ) g gc g c P P Z Z = + (N.C.148)

( )w wc w c P P Z Z = + (N.C.149)

Figura (N.C.6)

Cuando Z=0, entonces:

( ) g gc g c

g w w g c c

w wc w c

P P Z P P Z P

P P Z

= = = =

(N.C.150)

cP = Seudo-presin Capilar S


26/26

Figura (N.C.7)

Reemplazando el valor de Zc de la ecuacin de seudo-presin capilar en la ecuacin desaturacin queda:

( )11 1

wc gr gr ci

c

S S S ZS P

h h

= +

c ci

Z Zp (N.C.151)

( )1

1 wcc

SS P

h

=

(N.C.152)

Prats, PsempSey, Hundersen Vertical EEquilibrium..... SPE Repreint No 11.

Método IADIP.....(Cont.)

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