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ResumenLa presente investigacin est orientada a la

ejemplificacin y desarrollo del mtodo de eliminacin sucesiva

como aplicacin al modelo de matriz de admitancia. Previamente,

se hace un estudio breve de las generalidades del modelo de redes

de transmisin mediante la matriz de admitancia.

Adicionalmente, se mencionan mtodos alternativos para la

solucin de los sistemas de ecuaciones para redes de transmisin

modeladas bajo esta perspectiva. Finalmente, mediante un

ejemplo ilustrativo, se menciona el procedimiento para resolver

dicha matriz mediante el mtodo estudiado.

Palabras claveAdmitancia de rama (branch admittance),

ecuaciones de nodo (node equations), eliminacin gaussiana

(gaussian elimination

), factorizacin triangular (triangular

factorization), impedancia de rama (branch impedance), matriz de

admitancia (admittance matri x), modelo de matriz de admitancia

(admittance matriz model), red de transmisin (transmission

network), reduccin de Kron (Kron reduction), sustitucin inversa

(in verse substitu tion).

I. NOMENCLATURA

Ya Admitancia de ramaYjk Admitancia mutuaYjj Admitancia propiaI Corriente de ramaE Fuerza electromotrizZa Impedancia de rama

Ybarra Matriz de admitancias de barra

II. INTRODUCCIN

N el anlisis de los sistemas de potencia, se pueden modelar,en forma de matriz, las caractersticas elctricas de los

componentes de la red, sin requerir ni proveer informacin de laforma en la que se encuentran interconectados los componentes

para formar la red.Dichas redes estn extendidas geogrficamente y en muchas

ocasiones incluyen varios cientos de subestaciones, plantasgeneradoras y centros de carga. Las matrices Ybarrapara estasgrandes redes de miles de nodos tienen asociados sistemas deecuaciones de nodos que se resuelven para un correspondiente

nmero de voltajes de barra desconocidos.Con el fin de resolver tales redes, se requieren tcnicas

numricas basadas en el uso de computadoras que eviten lainversin directa de la matriz, con lo cual disminuye elesfuerzo computacional y la capacidad de memoria requerida.

III. GENERALIDADES DEL MODELO DE MATRIZ DE ADMITANCIA

A. Equivalente de fuentes [1]

Las componentes de los sistemas de transmisin de potenciase modelan y representan, para el anlisis monofsico, pormedio de impedancias pasivas o admitancias equivalentes que

se acompaan, cuando es necesario, por fuentes activas devoltaje o corriente. Por ejemplo, un generador se puede

presentar en el estado estable por un circuito como el de la Fig.1.

Fig. 1. Circuito que ilustra la equivalencia de fuentes: a) equivalente deThevenin, b) equivalente de Norton.

Si el circuito tiene una fem constante Es, una impedancia serie Zay un voltaje en terminales V, la ecuacin ser como se describe en(1).

s a

E IZ V (1)

Al dividir cada trmino de (1) entre Za, se obtiene la ecuacin decorriente en (2).

s

a

a

EI I VY

Z (2)

Las fuentes Es e Is pueden considerarse como aplicadasexternamente en los nodos de las redes transmisin.

B. Impedancia de rama y admitancia de rama [1]

Para modelar la red, una rama tpica ase puede representar porla impedancia de rama Zao por la admitancia de rama Ya, segnconvenga, tambin llamadas impedancia elemental o admitanciaelemental, respectivamente. Las ecuaciones que caracterizan a la

rama se definen en (3) y (4).

a a a

V Z I (3)

a a aY V I (4)

Donde Ya es el reciproco de Za y Va es la cada de voltaje atravs de la rama en la direccin de la corriente de la rama Ia.

G. O. Ayala, R. J. Guardadoy F. A. Martnez

Redes de transmisin modeladas mediantematriz de admitancia de nodos: Mtodo de

eliminacin sucesiva (31 Octubre 2015)

E

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C. Matriz de admitancia [1], [2]

1) Ecuaciones de nodo

Se llaman nodosa las uniones formadas cuando dos o mselementos (R, L, C, o una fuente ideal de voltaje o corriente)se conectan en sus terminales. La formulacin sistemtica deecuaciones, determinada en los nodos de un circuito al aplicarla ley de corrientes de Kirchhoff, es la base de algunasexcelentes soluciones computacionales de los problemas desistemas de potencia.

Fig. 2. Diagrama de circuito en que se muestran las fuentes de corriente enlos nodosy; los dems elementos son admitancias.

Con el fin de examinar algunos aspectos de las ecuaciones denodo, se empezar con el diagrama del circuito simple de laFig. 2, en el que se muestran los nmeros de nodo dentro delos crculos. Las fuentes de corriente estn conectadas a losnodos y , y los dems elementos se representan comoadmitancias. La notacin de un subndice se usa para designarel voltaje de cada nodo con respecto al nodo de referencia .Al aplicar al nodola ley de corrientes de Kirchhoff, con lasuma de corrientes saliendo del nodo igual a la suma decorrientes que entran al nodo desde las fuentes, se obtiene (5).

1 3 1 2 1 4 0c d fV V Y V V Y V V Y (5)

Para el nodose muestra en (6).

3 3 2 3 1 3a b c

V Y V V Y V V Y I (6)

Al reordenar (5) y (6) se obtiene:

- En el nodo.

1 2 3 4 0c d f d c f V Y Y Y V T V Y V Y (7)

- En el nodo.

1 2 3 3c b a b c V Y V Y V Y Y Y I (8)

Ecuaciones similares se pueden formar para los nodos y, y las cuatro ecuaciones se pueden resolversimultneamente para los voltajes V1, V2, V3y V4. Todas lascorrientes de rama se pueden encontrar cuando se conocenestos voltajes y una ecuacin para el nodo de referencia nodara informacin adicional. De aqu que el nmero requerido

de ecuaciones independientes de nodo es uno menos el nmerode nodos.

No se han escrito las ecuaciones para los nodos y porque ya se ha visto cmo formulas las ecuaciones de nodoen notacin estndar. Es manifiesto de (7) y (8) que lacorriente que fluye dentro de la red, desde las fuentesconectadas a un nodo, es igual a la suma de varios productos.En cualquier nodo, un producto es el voltaje de ese nodo por la

suma de las admitancias que terminan en ese mismo nodo. Esteproducto toma en cuenta que la corriente que sale del nodo siel voltaje es cero en cada uno de los otros nodos. Cada uno delos otros productos es igual al negativo del voltaje en otronodo por la admitancia que est conectada directamente entreese nodo y el nodo del cual se est formulando la ecuacin.Por ejemplo, para el nodoen (8) un producto es V2Yb, quees la corriente que sale del nodo cuando todos los voltajes,excepto el del nodo, son cero.

El formato acostumbrado para la matriz de cuatroecuaciones independientes correspondientes a la Fig. 2 escomo se muestra en (9).

11 12 13 14 1 1

21 22 23 24 2 2

31 32 33 43 3 3

41 42 43 44 4 4

Y Y Y Y V I

Y Y Y Y V I

Y Y Y Y V I

Y Y Y Y V I

(9)

2) Construccin de la matriz de admitancia Ybarra

La simetra de las ecuaciones descritas en (9) las hace msfciles de recordar y resulta evidente su extensin a cualquiernmero de nodos. El orden de los subndices de Yes el de causa-efecto; esto es, el primer subndice es el del nodo del que seexpresa la corriente, mientras que el segundo subndice es el del

voltaje que causa esta componente de corriente. A la matriz Yse ledenomina Ybarray se le llama matriz de admitancias debarra. Lasreglas usuales para formar los elementos tpicos de Ybarrason:

- Los elementos de la diagonal Yjjson iguales a la suma de

las admitancias que estn directamente conectadas alnodo.

- Los elementos fuera de la diagonal Yij son iguales al

negativo de la admitancia total conectada entre losnodosy.

Las admitancias de la diagonal se llaman admitanciaspropiasde los nodos y las que estn fuera de la diagonal sonlas admitancias mutuas de los nodos. De las reglas

anteriores, la Ybarrapara el circuito de la Fig. 2 da (10).

0

0

c d f d c f

d b d e b e

c b a b c

f e e f g

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y

(10)

IV. MTODO DE ELMINACIN SUCESIVA [1],[3]

El mtodo de eliminacin sucesiva o tambin llamadoeliminacin gaussiana,es la base de muchos de los mtodos

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numricos que resuelven ecuaciones de los sistemas depotencia a gran escala.

Este mtodo consiste en reducir un sistema matricial de Nelementos mediante la eliminacin progresiva de variables,hasta tener una sola ecuacin con una incgnita y as, ensentido inverso, se van haciendo las sustitucionescorrespondientes para calcular cada una de las incgnitasrestantes.

La eliminacin sucesiva de incgnitas hasta que quede cadauna de ellas se le llama eliminacin de variables, mientras alproceso de sustituir por medio de los ltimos valorescalculados se le conoce comosustitucin inversa.

La eliminacin de variables comienza al seleccionar unaecuacin y eliminar de ella una variable cuyo coeficiente esdenominadopivote.

A. Procedimiento mtodo de eliminacin sucesiva

Se ejemplificara este procedimiento, eliminando V1en (11)-(14) en la manera siguiente, para un sistema de 4 busesgeneral.

11 1 12 2 13 3 14 4 1

Y V Y V Y V Y V I (11)

21 1 22 2 23 3 24 4 2

Y V Y V Y V Y V I (12)

31 1 32 2 33 3 34 4 3

Y V Y V Y V Y V I (13)

41 1 42 2 43 3 44 4 4

Y V Y V Y V Y V I (14)

1) Etapa 1

Primero, se divide cada trmino de (11) entre el pivote Y11paraobtener (15).

1312 14

1 2 3 4 1

11 11 11 11

1YY YV V V V I

Y Y Y Y (15)

Seguidamente, se multiplica (11) por Y21, Y31, Y41 y losresultados se restan de las ecuaciones (12)-(14) respectivamente,

para obtener (16)-(18).

21 1321 12 21 14 21

22 2 23 3 24 4 2 1

11 11 11 11

Y YY Y Y Y Y Y V Y V Y V I I

Y Y Y Y (16)

31 12 31 13 31 14 31

32 2 33 3 34 4 2 1

11 11 11 11

Y Y Y Y Y Y Y Y V Y V Y V I I

Y Y Y Y (17)

41 1341 12 41 14 41

42 2 43 3 44 4 4 1

11 11 11 11

Y YY Y Y Y Y Y V Y V Y V I I

Y Y Y Y (18)

De forma ms compacta, (16)-(18) se pueden reescribir de lamanera siguiente:

(1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 24 4 2Y V Y V Y V I (19)

(1) (1) (1) (1)

32 2 33 3 34 4 3Y V Y V Y V I (20)

(1) (1) (1) (1)

42 2 43 3 44 4 4Y V Y V Y V I (21)

El superndice designa el conjunto de la etapa 1 de loscoeficientes desarrollados.

1 1(1)

11

, para y 2, 3, 4j k

jk jk

Y YY Y j k

Y (22)

Y las expresiones del lado derecho de las ecuacionesmodificadas se definen en (23).

1(1)

1

11

, 2, 3, 4j

j j

YI I I para j

Y (23)

Es de observarse ahora que las ecuaciones (19)-(21) pueden serresueltas ahora para V2, V3, V4, es decir, para un sistema cuadradode 3x3 y que representa una red equivalente reducida con la barrao busausente.

2) Etapa 2

Se procede a la eliminacin de la variable V2. Para esto,primero, se dividen los trminos de (19) entre el nuevo pivote

(1)

22Y para obtener (24).

(1) (1)(1)23 24

2 3 4 2(1) (1) (1)

22 22 22

1Y YV V V I

Y Y Y

(24)

Luego, se multiplica la ecuacin (24) por (1)32

Y y (1)42

Y y los

resultados se restan de las ecuaciones (20) y (21), respectivamente,para obtener (25) y (26).

(1) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1) (1)32 23 32 24 32

33 3 34 4 3 2(1) (1) (1)

22 22 22

Y Y Y Y Y Y V Y V I I

Y Y Y(25)

(1) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1) (1)42 23 42 24 42

43 3 44 4 4 3(1) (1) (1)

22 22 22

Y Y Y Y YY V Y V I I

Y Y Y(26)

De forma ms compacta, (25) y (26) se definen en (27) y (28).

(2) (2) (2)

33 3 34 4 3Y V Y V I (27)

(2) (2) (2)

43 3 44 4 4Y V Y V I (28)

Donde el segundo conjunto de coeficientes est dado por(29).

(1) (1)

2 2(2)

(1)

22

, para y 3, 4j k

jk jk

Y YY Y j k

Y (29)

Y las corrientes totales que se inyectan a la barra y seobtienen mediante (30).

(1)

2(2) (1)

2(1)

22, 3, 4

j

j j

Y

I I I para j Y (30)

3) Etapa 3

De manera similar que las etapas anteriores, se dividen los

trminos de (27) entre el nuevo pivote (2)33

Y para obtener (31).

(2)(2)34

3 4 3(2) (2)

33 33

1YV V I

Y Y (31)

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4

Ahora procedemos a obtener el producto de (31) por (2)43Y y el

resultado se resta de la ecuacin (28) para obtener (32).

(3) (3)

44 4 4Y V I (32)

Donde ya se han definido (33) y (34).

( 2) ( 2)(3) 43 34

44 44 (2)

33

Y YY Y

Y (33)

(2)

2(3) ( 2) (2)

4 4 3(2)

22

jY

I I IY

(34)

4) Etapa 4

Esta es la etapa final en el proceso de eliminacin, y conlleva alclculo de V4.

Se divide la ecuacin (32) entre el pivote (3)44

Y para, finalmente,

obtener (35).

(3)

4 4(3)

44

1V I

Y (35)

En este momento se ha encontrado un valor para el voltaje debarra V4que se puede sustituir en la ecuacin (31) para obtener elvalor de V3.Continuando con el proceso de sustitucin inversa conlos valores ya obtenidos de V3y V4en la ecuacin (24) se obtieneV2y de la ecuacin (15), V1.

Ejemplo 1 [4]:a) Dibuje el diagrama de admitancia para la red que se muestra

en la Fig. 5.b) Luego obtenga la matriz de admitancia del conductor para la

red de la Fig. 4. (Todos los valores son enpu).

c)

Obteniendo la matriz de admitancia del conductor para la redobtenga los voltajes del conductor V1y V2.

Fig 3. Diagrama de impedancia para el Ejemplo 1.

2 90a

E 4 45b

E

a)Diagrama de admitancia

Figura 4. Diagrama de admitancia para el Ejemplo 1.

b) Matriz de admitancia de la red

3 2

2 . 4barra

j jY

j j

c) Encontrando voltajes del conductor V1 y V2 aplicandoeliminacin sucesiva

1

2

2 03 2

2 452 . 4

Vj j

Vj j

Ecuaciones correspondientes:

11 1 12 2 1Y V Y V I

21 1 22 2 2Y V Y V I

Eliminando V1, tenemos:

21 12 21

22 2 2 1

11 11

Y Y YY V I I

Y Y

Sustituyendo valores:

2

( 2)( 2) 24 2 45 (2 0)

3 3

j j jj V

j j

. .2V 1 158 117 2 pu

Realizando proceso de sustitucin inversa:

1( 3) ( 2)(1.158117.2) 2 0j V j

. .1V 1 398104 63 pu

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5

B. Algoritmo de programacin en Matlab

Figura 5. Algoritmo de programacin para Matlab.

V. OTROS MTODOS DE SOLUCIN DEL MODELO DEADMITANCIA

A. Eliminacin de nodos (reduccin de Kron)

La eliminacin de variables nos lleva a redes equivalentesde orden reducido por la eliminacin de nodos que se realizanen cada etapa, esto es importante cuando se analizan sistemasde potencia interconectados de gran tamao y se tiene uninters especfico en los voltajes de algunas barras del sistema.

Se puede utilizar la eliminacin gaussianapara reducir lasecuaciones de Ybarra del sistema a un conjunto que solocontenga las barras deseadas a travs de una numeracinapropiada de las que existen en la red. En el proceso de laeliminacin gaussiana, se quita secuencialmente del sistemaoriginal de N ecuaciones con N incgnitas, una variable devoltaje de barra en cada etapa.

La corriente que se inyecta siempre es cero en las barras dela red que no tienen conectada una carga externa o una fuentegeneradora. En estas barras no es necesario, por lo general,calcular los voltajes explcitamente, por lo que se puedeneliminar de la representacin (Sistema Kron).

Se dice que el sistema tiene una reduccin Kron cuando sele han eliminado los nodos que tienen corrientes inyectadascon valor cero.

A modo de ilustracin, en (36) se muestra un modelo de red,en la cual la corriente en el nodoes cero.

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2 2

31 32 33 43 3 3

41 42 43 44 4 4

0Y Y Y Y V

Y Y Y Y V I

Y Y Y Y V I

Y Y Y Y V I

(36)

Eliminando el nodo, se obtienen un sistema de 3x3, como sedescribe en (37).

(1) (1) (1)

22 23 24 2 2

(1) (1) (1)

32 33 34 3 3

(1) (1) (1)

42 43 44 4 4

Y Y Y V I

Y Y Y V I

Y Y Y V I

(37)

Un sistema puede tener una reduccin Korn sin tener quearreglar las ecuaciones como se present anteriormente. Se

pueden calcular directamente los elementos de la nueva matrizde admitancias de barra reducida, si Ip=0en las ecuaciones denodo del sistema de N barras, seleccionando a Ypp como el

pivote y eliminando a la barra pmediante (38).

( )

jp pk

jk nueva jk

pp

Y YY Y

Y (38)

Los valores dejy ktoman todos los valores enteros desde 1hasta N con la excepcin de p, debido a que la fila y lacolumna se eliminan.

B. Mtodo de factorizacin triangular

Cuando se tiene un sistema de potencia de gran escala lasecuaciones de admitancias de nodo se resuelven, en estudios

prcticos bajo diferentes condiciones de operacin,frecuentemente en este tipo de estudios la configuracin de lared y los parmetros se encuentran fijos, mientras que lascondiciones de operacin difieren solo por los cambios que serealicen a las fuentes externas que sean conectados al sistemade barras.

En este tipo de casos se aplica la misma Ybarra, por lo queahora el problema consiste en resolver las ecuacionesrepetidamente para los voltajes que corresponda a losdiferentes conjuntos de inyecciones de corriente.

Lo anterior se puede realizar expresando a la matriz Ybarra

como el producto de las matrices Ly U, se les llamafactorestriangulares inferior y superiorde Ybarra, las matrices Ly Use definen, para un sistema de cuatro barras, en (39) y (40):

L

11

(1)

21 22

(1) (2)

31 32 33

(1) (2) (3)

41 42 43 44

Y

Y Y

Y Y Y

Y Y Y Y

(39)

U

1312 14

11 11 11

(1) (1)

23 24

(1) (1)22 22

(2)

34

(2)

33

1

1

1

1

YY Y

Y Y Y

Y Y

Y Y

Y

Y

(40)

barraY LU (41)

La factorizacin triangular tiene lugar cuando se factorizaYbarraen el producto de LU, una vez factorizada, los clculosde la primera etapa de proceso de eliminacin gaussiana no

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deben repetirse ya que L y U son nicas y no cambian parauna Ybarradeterminada.

Las matrices Ly Use forman registrando sistemticamentela salida de los calculos en cada etapa de un solo paso atravesdel proceso de eliminacion gaussiana.

Cuando se aplica el proceso de eliminacion gaussiana en lascuatro ecuaciones de nodos correspondientes a Ybarra seobserva lo siguiente:

La etapa 1 conduce a los resultados dados por (15) y (19)-(21).

Se eliminan los coeficientes Y11, Y21, Y31, Y41se eliminan de laprimera columna de la matriz de coeficientes original.Tambien se generan los nuevos coeficientes 1, Y12/Y11,Y13/Y11y Y14/Y11para reemplazar los que se encontraban en la

primera fila de la matriz original.Todos los demas coeficientes tambien son alterados, pero

solamente se consreva un registro separado de 1 y 2, ya queestos resultados son los unicos de la etapa 1 que no se usan yno se alteran en las siguientes etapas, por lo que se registrancomo la columna 1 de Ly la fila 1 de U.

La etapa 2 conduce a los resultados dados por (24), (27) y(28).

Se eliminan los coeficientes (1)22

Y , (1)32

Y y (1)42

Y de la segunda

columna de la matriz de coeficientes reducida, y se generan los

coeficientes 1, (1)23

Y / (1)22

Y , (1)24

Y / (1)22

Y para la segunda fila. Los

coeficientes obtenidos no se necesitan en las etapas restantesde la eliminacin gaussiana, por lo tanto, se registran como lacolumna 2 de Ly la fila 2 de U.

Para obtener los datos de las filas y columnas de las matricesL y U se continua con el procedimiento de conservar losregistros mediante los resultados de las siguientes etapas. Porlo que la matriz Les el registro de aquellas columnas que son

eliminadas sucesivamente y la matriz U registra aquelloselementos que son generados sucesivamente en cada etapa del

proceso de eliminacin gaussiana de variables.

VI. CONCLUSIONES

El anlisis del mtodo eliminacin gaussiana aplicado a lamatriz de admitancia como modelo de redes de potencia,

proporciona una interpretacin fsica muy sencilla del procesode multiplicacin de un vector por la matriz de admitancia dela red.

En el proceso de eliminacin sucesiva, el nmero deoperaciones en cada iteracin es muy reducido. Esto permiteuna gran eficiencia en tiempo de cmputo. Los requerimientos

de memoria tambin son muy pequeos, puesto que el mtodono requiere la formacin ni la factorizacin de ninguna matriz.Conocidas las ventajas del mtodo que usa la matriz de

admitancia para el anlisis de flujos de potencia, como sonsencillez, velocidad y confiabilidad de convergencia, puederecomendarse el empleo de factorizacin en modelo deimpedancia Zbarra. El uso de esta factorizacin, junto contcnicas de matrices dispersas, elimina las principalesdesventajas del mtodo, cuales son, nmero de operaciones

por iteracin y requerimientos de memoria excesivos.

REFERENCIAS[1] J. J. Grainger, W. D. Stevenson, Power system analysis. New York:

McGraw-Hill.[2] D. P. Kothari, Sistemas Elctricos de Potencia. Espaa: McGraw-Hill.[3]

A. Gmez, Anlisis y operacin de sistemas de energa elctrica.McGraw-Hill.

[4]

S. A. Nasar, Sistemas Elctricos de Potencia.McGraw-Hill.

German Omar Ayala Durn. Naci en ElSalvador, el 14 de enero de 1989. Graduado del

Instituto Tcnico de Ex-Alumnos Salesianos(ITEXSAL) como Electricista, estudi su segundoidioma en el Centro Cultural Salvadoreo,actualmente estudiando Ingeniera Elctrica en laUniversidad Don Bosco.

Entre mis campos de inters estn el Anlisisde Sistemas de Potencia y la Conversin deEnerga Electromecnica as como el Diseo deInstalaciones Electicas.

Rodrigo Jos Guardado Reyes. Naci en SanSalvador, el 2 de Septiembre del 1993. Estudidesde primaria hasta bachillerato en el ColegioSalesiano Santa Cecilia en donde saco el ttulo de

bachiller tcnico en Electromecnica, actualmentecursa cuarto ao en la Universidad Don Bosco dela carrera Ing. Elctrica.

La experiencia laboral que tiene es trabajandoen instalaciones elctrica residenciales,Trabajando en diseo de planos elctricos para laempresa INGETEC S.A de C.V y con Alcalda de

Comasagua. Sus preferencias en el campo elctrico son la generacin deenerga por medio de recursos renovables y la eficiencia energtica.

Francisco Martnez. Naci en San Salvador, ElSalvador, el 3 de diciembre 1988. Se gradu delColegio Salesiano Don Bosco como Bachiller enElectrnica, actualmente es estudiante deIngeniera Elctrica de la Universidad Don Bosco.

Su experiencia laboral incluye la compaaCentrocom de El Salvador S.A. de C.V., El

Salvador; Sociedad Resortes y Alambres S.A. deC.V. y Grupo Consultor GAES S.A. de C.V. Suscampos de inters de especializacin incluyenconversin y transformacin de energa, as como

explotacin de las energas renovables y sistemas elctricos de potencia.