Metodo Del Limite Superior

7/23/2019 Metodo Del Limite Superior

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Cálculo de fuerzas de conformado mediante el

método del límite inferior

Un método de límite inferior predecirá fuerzas menores que lasnecesarias para producir deformación plástica.

Esto es interesante para diseños estructurales.

Estos análisis se basan en satisfacer un criterio de fluencia plástica,

equilibrios de fuerzas, pero no hacen consideraciones acerca del flujodel material en el posible proceso de deformación.

El método de energía uniforme es de límite inferior, la fuerza real debe

calcularse con un factor de eficiencia .

El método de !achs "tajadas# también es de límite inferior, porque sibien inclu$e el roce no inclu$e el gasto de energía por deformación

redundante $ por cizalles internos del material impuestos por el

proceso de deformación.



Cálculo de fuerzas de conformado mediante el

método del límite superior

∫ ∫ ∫ ++ Sr r r ir D

SD i

V dS vdS vk dV eqeq **·)·()·( )(τ ε σ

)(eqε

Un método de límite superior iguala la energía que se disipa internamente

por el proceso de deformación con la energía gastada por las fuerzas

e%ternas, suponiendo un determinado flujo de material en el proceso de

deformación plástica.

!e ha demostrado que la potencia real "d&'dt#real necesaria para producir

un determinado flujo plástico es menor que(

"d&'dt#real )

d*eq'dt " # + elocidad de deformación equialente en un campo de

elocidades admisible

-eq + tensión equialente deducida a partir del campo de elocidades

admisible.

+ olumen de cuerpo

/ 0ensión de fluencia en cizalle

"los otros términos se definen en la siguiente transparencia#



Principios del método del límite superior

i1 + elocidad de discontinuidad en superficies de cizalle

!2 + superficie de discontinuidad

!r + superficie de roce

τr = tensión de corte en roce (mk)

vi*(r)= velocidad relativa entre superficies de roce.

Si la deformación del material se modela mediante desplazamientos relativosde bloques rígidos (lo veremos luego) :

0·)·( =∫ V

dV eq ε σ

!i no ha$ roce entre matriz $ material el tercer término, relatio al roce, es

cero.



Cálculo mediante límite superior, modelando la deformación

plástica como desplazamiento de bloques rígidos

!e puede demostrar que el cálculo de fuerzas con este procedimiento es superior

a la fuerza necesaria para producir deformación plástica.

El método para calcular fuerzas consistirá en(

3.4 !uponer un flujo de material que sea consistente con el cambio de forma

deseado ( 56ampo cinemáticamente admisible7.

8.4 9a potencia interna gastada por cizalles se calcula con elocidades de

discontinuidad $ con la resistencia del material al cizalle "/#.:.4 9as fuerzas que debe aplicar la máquina se calculan igualando la potencia

e%terna aplicada con la potencia interna gastada en cizalles.

;.4 !upondremos que la deformación se logra mediante desplazamientos de

bloques rígidos seg<n algunos planos, los que no sufren deformación en su

olumen.

=.4 !e supondrá material isotrópico $ homogéneo. >o se considera endurecimiento

por deformación ni por elocidad de deformación.

?.4 !e analizarán dos casos( sin roce entre matriz $ material $ con roce. En este

caso el roce se representará por m/.

@.4 !e analizarán casos en deformación plana "flujo de material bidimensional#



Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado

a extrusión con deformación plana, sin roce.

El flujo de material se modela

mediante desplazamientos de bloques

rígidos a lo largo de las superficies de

discontinuidad AB $ B6 "Cig D.8.a#. !e

considera sólo la mitad del campo de

deformación, porque es simétrico

respecto del eje central.

El diagrama de elocidades,denominado hodógrafa, se muestra en

la Cig. D.8.b. debe ofrecer un flujo

admisible del material, consistente con

el cambio de forma producido.

El triángulo AB6 tiene su punto Bsobre el eje central, elegido a oluntad

del modelador.



Límite superior, con desplazamiento de bloques rígidos aplicado

a extrusión con deformación plana, sin roce.

ara el cálculo de la presión de e%trusión "e%tr # se procede así(

d&'dt + e%tr F"3FhG#F G + /F3F" AB1FAB HB61FB6#

!e considera profundidad unitaria. 1 indica discontinuidad de elocidad.

9a potencia e%terna aplicada por la máquina se disipa en los planos de

discontinuidades de elocidades.9uego( e%tr F'8/ + FI3'"8FhGFG#J F" AB1FAB HB61FB6#

Aplicando trigonometría, si K + LGM $

N+ :GM e%tr F'8/ + G,D?==

9a Cig D.: muestra los alores que toma

e%tr F'8/ para diersos alores de K.



Límite superior,

con

desplazamiento

de bloquesrígidos aplicado

a extrusión con

deformación

plana, con roce.



Límite superior, campo más complejo de desplazamiento de bloques

rígidos aplicado a extrusión con deformación plana, sin roce.



Cálculo de deformación redundante con campo de deformaciones

supuesto.



étodo del límite superior aplicado a indentación con

deformación plana sin roce



Compresión con deformación plana

El campo de flujo se define tal que se producen cizalles a lo largo de las líneas

6A $ 2BO los triángulos rígidos "de profundidad unitaria# AP2 $ BP6 se

desplazan debido al aance de las dos placas de forja con elocidad G.

9a potencia e%terna es( 89F3FG se gasta en potencia de cizalle + ;/FAPF3F1 AP

or geometría( AP +QF"h8 H 98#Q $ 1 AP + "G'h#F"h8 H 98#Q

9uego( '8/ + Q"h'9 H 9'h#




hw

hLw

h L

Lh

k P

22223

2

2

−++=

ara ma$ores alores de la relación 9'h, se

obtienen mejores resultados con el método del

límite superior si se utiliza un ma$or n<mero de

triángulos. En contacto con los punzones debe

haber un n<mero impar de triángulos. !i se usan :

triángulos se tiene(

donde R es la base del triángulo central

El menor alor de '8/ ocurre para R+9'8,

entonces

h

L

L

h

k

P

8

3

2

3

2

+= 9a hodógrafa $ los cálculos se hacen

con la mitad superior del material $matriz.




Un campo de = triángulos $

su hodógrafa se muestran

en las Cigs a# $ b#.

!e supone AB + B6 $ el

mejor límite superior ocurre

para R+9':, así(

h

L

L

h

k

P

32

5

2+=

Sodógrafa $ cálculos efectuados con la

parte superior del material $ matriz.



Límite superior considerando deformación del material

9os ejemplos de límite superior dados anteriormente consideraban

deslizamientos de bloques rígidos de material. !i embargo se puede aplicar la

ecuación general de límite superior para analizar otros casos, especialmente con

a%isimetría.



Límite superior considerando deformación del material

9os ejemplos istos hasta ahora, por considerar bloques rígidos

descartan el primer término(

dV dt d eq

V

eq )·/·( ε σ ∫ En el ejemplo siguiente de forja a%isimétrica "Ej( cilindro circular# se

incluirá el primer término del teorema del límite superior, no se

considerarán discontinuidades internas, por tanto no se inclu$e el

segundo término $ se puede incluir o no incluir el tercer término,

dependiendo la magnitud del roce e%istente.



!orja de disco circular

h

v

z

u z z

−=∂

∂=

ε r

uu

u

r r r

=+∂

∂= )(

1

θ ε

θ

θ r

ur

r ∂

∂=

ε

Tétodo del límite superior con deformación del material en

olumen aplicado a la forja de un disco circular de radio $

altura h.

!e define un campo admisible de elocidades, e%presadoen coordenadas cilíndricas.

9a elocidad de desplazamiento del material seg<n z es(

duz'dt + 4"'h#Fz

6omo no ha$ elocidad de giro del material( duK'dt +G

9a elocidad de desplazamiento seg<n r es dur 'dt $ se

determina por constancia de olumen.

9as elocidades de deformación e%presadas en el sistema

de coordenadas cilíndricas son(

Aplicando conseración de olumen( 0=++ r z ε ε ε

θ

!e puede calcular(

h

v

r

r u

r r

u

r

u r r r

=∂

∂

=+∂

∂ )(1

"1#




)(2

· 2 z Br h

vr ur +=

0=r u

Vntegrando "1# queda(

para r+G, B"z#+G $ r h

vu

r

2=

9uego(

h

v

h

v

h

v

r z

2

;

2

; ==−= ε ε ε θ

h

v

h

v

h

v

h

vr z =

++=++

=

5,0

2225,0222})

2()

2()·{(

3

2)]·(

3

2ε ε ε ε

θ

Aplicando el principio del límite superior, considerando roce pero nosuperficies de discontinuidad, se tiene(

Y m

Y r 3

; == τ σ

r r

Sr V

dS umY

dV h

vY W ··

3· ∫ ∫ +=




dr r r h

vmY h R

h

YvW

R

··2··2·

32···

0

2π π

∫ +=

)·33

21(···2·

2·

33

2· 232

h

Rm RYv R

h

vmY RYvW +=+= π π π

El 8 fuera de la integral iene porque ha$ roce en la placa superior $ en la inferior.

9a potencia de forja es(

9a fuerza de forja es( )·33

21(·· 2

h

Rm RY F += π

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