Método del Gradiente:Se basa en que en un flujo permanente se cumpla la conservación de la masa en cada nudo y la conservación de la energía en cada barra de la red.

En cada Nudo se Cumple:

∑i=1

N T i

(Q¿¿ ij−QDi+Qej)=0¿

QDi Caudal que sale (consumo) en el Nudo iQei Caudal que entra (alimentación) en el Nudo iQij Caudal que pasa del Nudo i y se dirige a j

En cada tubería tomando en cuenta las pérdidas locales y el caso de la existencia de bombas, se tiene:

h f=aQn+bQ+c

a Coeficiente que acompaña al Caudal en la ecuación de pérdidas de carga.n Exponente al que está elevado el caudalhf Pérdida de Carga total en la tubería, pérdidas por fricción más pérdidas por accesorios.b y c Parámetros característicos de las bombas

n es un exponente que depende del método de cálculo de la pérdida por fricción en la tubería, así si se usa el método de Darcy-Weisbach se tiene:

h f=f ∙LD

∙V 2

2 g+Σ K ∙

V 2

2 g=( f ∙ L

D+Σ K ) ∙ Q2

2g A2

hf =( f ∙ LD+Σ K )∙ 16Q2

2g π2D 4=8

gπ2D4 ( f ∙ LD

+Σ K) ∙Q2=aQn

a= 8

gπ 2D4 ( f ∙ LD+Σ K )n=2

NT Número de Tuberías de la RedNN Número de Nudos con Presión Desconocida[A12] Matriz de Conectividad NTxNN, definida así

-1 en la columna del nudo inicial del tramo i+1 en la columna del nudo final del tramo i0 en otro lugar

NS Número de Nudos con Presión Conocida[A10] Matriz Topológica tramo a nudo NTxNS

-1 en filas correspondientes a los tramos conectados a Nudos con Presión Conocida

[A11] Matriz Diagonal NTxNT que contiene las ecuaciones hf=aQin+bQ+c divido entre Q

[A11]=diag{[aiQn-1+bi+ci/Q]} i=1,2,..,NTLa ecuación matricial que representa las pérdidas será ahora:

[A11][Q]+[A12][H]=-[A10][Ho]

[Q] Vector de Caudales NTx1[H] Vector de Presiones desconocidas NNx1[Ho] Vector de Presiones conocidas NSx1

La ecuación de continuidad, será ahora:

[A21][Q]=[q]

[q] Vector de Consumo NNx1[A21] Matriz Transpuesta de [A12]

El sistema matricial no lineal asociado a las ecuaciones de continuidad y de conservación de la energía, resulta:

[ [A11] [A12][A 21] [0 ] ][QH ]=[−[A 10][Ho ]

[q ] ]Ahora en vista de que la primera ecuación es no lineal se necesita un método iterativo para encontrar su solución, una buena aproximación es el método de Newton-Raphson, para una iteración cualquiera se tiene:

[[n] [A11] ' [A12][A 21] [0] ] [[dQ ]

[dH ]]=[ [dE ][dQ ] ]

[n] Matriz diagonal NTxNT con los exponentes de Q[A11]’

Matriz NTxNT “derivada de” [A11][Q] respecto a Q dividida entre [n][A11][Q]=diag{aiQi

n+biQ+ci} i=1,2,..,NT[n][A11]’=n· diag{aiQn-1 } i=1,2,..,NT

[dE] Razón de Cambio de Presión[dq] Razón de Cambio de Caudal

[ M ] [[dQ ][dH ]]=[ [dE ]

[dQ ] ][M ]=[[n][A 11] ' [A 12]

[A21] [0] ]Resolviendo mediante el sistema se tendrá:

[ [dQ ][dH ]]=[ M ]−1[ [dE]

[dQ ]]

[ M ]−1=[a bc d ]

−1

= 1ad−bc [ d −b

−c a ]

[ M ]−1=[ [ A 21 ] [A12]]−1[ [0] −[A12]−[ A21 ] [n ] [ A11 ] ' ]

Por definición del método iterativo, y para el contador de iteración k se tendrá:

[dQ ]=[Q k+1 ]−[Qk ]

[dH ]=[ H k+1 ]−[ H k ]

[ [Q¿¿ k+1]¿[H k+1]]=[[Q¿¿k ]¿ [H k ] ]+[ [dQ ][dH ]]

Reemplazando la solución final se encuentra:

[ H k +1 ]=[ [ A21 ] [ [n ] [ A11 ]' ]−1 [ A12 ]]−1 [ A21 ] [ [n ] [ A11 ]' ]−1 [ [ A 11] [Q k ]+ [ A10 ] [ H 0 ]−[ A21 ] [Q k ]−[q ]]

[Qk +1 ]=[ [ I ]−[ [n ]−1 [ A11 ]' ]−[ A11 ] ] [Q k ]−[ [n ] [ A11 ] ]−1 [ [ A12 ] [ H k+1 ]+ [ A10 ] [ H0 ] ]Para encontrar los valores reales de las soluciones se tendrá que:

1. Asumir valores iniciales para los caudales es decir [Qo] debe ser asignado, el caso simple se asumen todos iguales a 1L/s2. Resolver los sistemas, es decir encontrar Hk+1 y posteriormente calcular Qk+1

3. Calcular el nuevo Hk+2 con el nuevo Qk+1, y comparar con el anterior Hk+1

4. El proceso termina en la iteración k+m cuándo Hk+m sea muy similar a Hk+m-1

En efectos prácticos el número de iteraciones es muy pequeño, con un m=5 se obtienen muy buenos resultados

El cálculo de pérdida de carga en las tuberías se hará, como ya se mencionó, con el método de Darcy-Weisbach y el cálculo del factor de fricción con el método de Colebrook-White

Colebrook-White (1939)

Respecto a la ecuación original, con algunos convenientes cambios algebraicos se obtiene, imponiendo sub-índices para un cálculo iterativo:

1√ f

=−2 lo g10( kϵ

3.7D+ 2.51

ℜ√ f )f k+1=

0.25

[lo g10( kϵ

3.7D+ 2.51

ℜ√ f k)]2

Para un valor inicial de f se han propuesto muchas ecuaciones adicionales, siendo una de las mejores la siguiente:

Evanglieds, Papaevangelou, Tzimopoulos (2010)

f ≅0.2479−0.0000947 [7−log10(ℜ)]4

[ log10( k ϵ

3.615D+ 7.366Re0.9142 )]

2

Tomando la ecuación anterior como fo, se procede a corregirlo en la ecuación de Colebrook-White hasta que se logre la convergencia de f, lo cual ocurre con 3 o 5 iteraciones.

Dónde:

f Factor de Fricción de Darcyk ϵ Rugosidad Absoluta de la TuberíaRe Número de Reynolds

ℜ=V ∙ Dν

ν Viscosidad cinemática del fluido, usualmente en m²/s

PROPIEDADES FÍSICAS DEL AGUATemperatura (°C)

Peso específico (kN/m3)

Densidad(kg/ρ

m3)

Módulo de elasticidad (kN/m2)

Viscosidad dinámica

(N · s/m2)μ

Viscosidad cinemática

(m2/s)ν

Tensión superficial (N/m)

Presión de vapor (kN/m2)

0 9.805 999.8 1.98 · 106 1.781 · 10-3 1,785 · 10-6 0.0765 0.615 9.807 1000.0 2.05 · 106 1.518 · 10-3 1.519 · 10-6 0.0749 0.8710 9.804 999.7 2.10 · 106 1.307 · 10-3 1.306 · 10-6 0.0742 1,2315 9.798 999.1 2,15 · 106 1.139 · 10-3 1.139 · 10-6 0.0735 1.7020 9.789 998.2 2,17 · 106 1.102 · 10-3 1.003 · 10-6 0.0728 2,3425 9.777 997.0 2,22 · 106 0.890 · 10-3 0.893 · 10-6 0.0720 3,1730 9.764 995.7 2,25 · 106 0.708 · 10-3 O.800 · 10-6 0.0712 4,2440 9.730 992.2 2,28 · 106 0.653 · 10-3 0.658 · 10-6 0.0696 7,3850 9.689 988.0 2,29 · 106 0.547 · 10-3 0.553 · 10-6 0.0679 12,3360 9.642 983.2 2,28 · 106 0.466 · 10-3 0.474 · 10-6 0.0662 19.9270 9.589 977.8 2,25 · 106 0.404 · 10-3 0.413 · 10-6 0.0644 31.1680 9.530 971.8 2,20 · 106 0.354 · 10-3 0.364 · 10-6 0.0626 47,3490 9.466 965.3 2,14 · 106 0.315 · 10-3 0.326 · 10-6 0.0608 70.10100 9.399 958.4 2,07 · 106 0.282 · 10-3 0.294 · 10-6 0.0589 101.33