Mtodo del Gradiente: Se basa en que en un flujo permanente se cumpla la conservacin de la masa en cada nudo y la

conservacin de la energa en cada barra de la red.

En cada Nudo se Cumple:

QDi Caudal que sale (consumo) en el Nudo i

Qei Caudal que entra (alimentacin) en el Nudo i

Qij Caudal que pasa del Nudo i y se dirige a j

En cada tubera tomando en cuenta las prdidas locales y el caso de la existencia de bombas, se

tiene:

a Coeficiente que acompaa al Caudal en la ecuacin de prdidas de carga.

n Exponente al que est elevado el caudal

hf Prdida de Carga total en la tubera, prdidas por friccin ms prdidas por accesorios.

b y c Parmetros caractersticos de las bombas

n es un exponente que depende del mtodo de clculo de la prdida por friccin en la tubera, as

si se usa el mtodo de Darcy-Weisbach se tiene:

NT Nmero de Tuberas de la Red

NN Nmero de Nudos con Presin Desconocida

[A12] Matriz de Conectividad NTxNN, definida as -1 en la columna del nudo inicial del tramo i +1 en la columna del nudo final del tramo i 0 en otro lugar

NS Nmero de Nudos con Presin Conocida

[A10] Matriz Topolgica tramo a nudo NTxNS -1 en filas correspondientes a los tramos conectados a Nudos con Presin Conocida

[A11] Matriz Diagonal NTxNT que contiene las ecuaciones hf=aQin+bQ+c divido entre Q

[A11]=diag{[a iQn-1+bi+ci/Q]} i=1,2,..,NT La ecuacin matricial que representa las prdidas ser ahora:

[A11][Q]+[A12][H]=-[A10][Ho]

[Q] Vector de Caudales NTx1

[H] Vector de Presiones desconocidas NNx1

[Ho] Vector de Presiones conocidas NSx1

La ecuacin de continuidad, ser ahora:

[A21][Q]=[q]

[q] Vector de Consumo NNx1

[A21] Matriz Transpuesta de [A12]

El sistema matricial no lineal asociado a las ecuaciones de continuidad y de conservacin de la

energa, resulta:

Ahora en vista de que la primera ecuacin es no lineal se necesita un mtodo iterativo para

encontrar su solucin, una buena aproximacin es el mtodo de Newton-Raphson, para una

iteracin cualquiera se tiene:

[n] Matriz diagonal NTxNT con los exponentes de Q

Matriz NTxNT derivada de [A11][Q] respecto a Q dividida entre [n]

[A11][Q]= diag{aiQin+biQ+ci} i=1,2,..,NT diag{a iQn-1 } i=1,2,..,NT

[dE] Razn de Cambio de Presin

[dq] Razn de Cambio de Caudal

Resolviendo mediante el sistema se tendr:

Por definicin del mtodo iterativo, y para el contador de iteracin k se tendr:

Reemplazando la solucin final se encuentra:

Para encontrar los valores reales de las soluciones se tendr que:

1. Asumir valores iniciales para los caudales es decir [Qo] debe ser asignado, el caso simple se asumen todos iguales a 1L/s

2. Resolver los sistemas, es decir encontrar Hk+1 y posteriormente calcular Qk+1

3. Calcular el nuevo Hk+2 con el nuevo Qk+1, y comparar con el anterior Hk+1

4. El proceso termina en la iteracin k+m cundo Hk+m sea muy similar a Hk+m-1

En efectos prcticos el nmero de iteraciones es muy pequeo, con un m=5 se obtienen muy buenos resultados

El clculo de prdida de carga en las tuberas se har, como ya se mencion, con el mtodo de

Darcy-Weisbach y el clculo del factor de friccin con el mtodo de Colebrook-White

Colebrook-White (1939)

Respecto a la ecuacin original, con algunos convenientes cambios algebraicos se obtiene,

imponiendo sub-ndices para un clculo iterativo:

Para un valor inicial de f se han propuesto muchas ecuaciones adicionales, siendo una de las

mejores la siguiente:

Evanglieds, Papaevangelou, Tzimopoulos (2010)

Tomando la ecuacin anterior como fo, se procede a corregirlo en la ecuacin de Colebrook-White

hasta que se logre la convergencia de f, lo cual ocurre con 3 o 5 iteraciones.

Dnde:

f Factor de Friccin de Darcy

Rugosidad Absoluta de la Tubera

Re Nmero de Reynolds

Viscosidad cinemtica del fluido, usualmente en m/s

PROPIEDADES FSICAS DEL AGUA

Temperatura (C)

Peso especfico (kN/m3)

Densidad

Mdulo de elasticidad (kN/m2)

Viscosidad dinmica

Viscosidad cinemtica

Tensin superficial (N/m)

Presin de vapor (kN/m 2)

0 9.805 999.8 1.98 106 1.781 10-3 1,785 10-6 0.0765 0.61

5 9.807 1000.0 2.05 106 1.518 10-3 1.519 10-6 0.0749 0.87

10 9.804 999.7 2.10 106 1.307 10-3 1.306 10-6 0.0742 1,23

15 9.798 999.1 2,15 106 1.139 10-3 1.139 10-6 0.0735 1.70

20 9.789 998.2 2,17 106 1.102 10-3 1.003 10-6 0.0728 2,34

25 9.777 997.0 2,22 106 0.890 10-3 0.893 10-6 0.0720 3,17

30 9.764 995.7 2,25 106 0.708 10-3 O.800 10-6 0.0712 4,24

40 9.730 992.2 2,28 106 0.653 10-3 0.658 10-6 0.0696 7,38

50 9.689 988.0 2,29 106 0.547 10-3 0.553 10-6 0.0679 12,33

60 9.642 983.2 2,28 106 0.466 10-3 0.474 10-6 0.0662 19.92

70 9.589 977.8 2,25 106 0.404 10-3 0.413 10-6 0.0644 31.16

80 9.530 971.8 2,20 106 0.354 10-3 0.364 10-6 0.0626 47,34

90 9.466 965.3 2,14 106 0.315 10-3 0.326 10-6 0.0608 70.10

100 9.399 958.4 2,07 106 0.282 10-3 0.294 10-6 0.0589 101.33