Método de transporte 1
18
MÉTODO DE TRANSPORTE Los modelos de transporte comprenden sitios de embarque y puntos de destino. Dentro de un periodo dado, cada fuente de embarques (fabrica), tiene cierta capacidad, y cada fuente de destino (bodega o almacén), tiene cierto requerimiento con un costo dado de los embarques del punto de origen al de destino. La función objetivo consiste en reducir al mínimo el costo del transporte y satisfacer los requerimientos de las bodegas dentro de las limitaciones de la capacidad de las fábricas. CARACTERÍSTICAS DEL MODELO DE TRANSPORTE La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura “de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el futuro, de aquí hacia allá. También podemos notar que los coeficientes de cada restricción son todos 1 ó 0 (en el caso de las variables que no aparecen). Otra de las características es que si se suman todas las constantes del lado derecho de los orígenes el total es el mismo que la suma de las constantes de los destinos. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE Puede formularse un problema de transporte como un problema de programación lineal y aplicarse el método simplex. Si se hiciera, se encontraría que los problemas de transporte tienen características matemáticas únicas. Para visualizar esto, escribiremos las relaciones de Programación Lineal para el siguiente ejemplo. Un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez mandan el producto a cuatro almacenes. Cada planta tiene una capacidad limitada de oferta de 15, 25 y 5 respectivamente y cada almacén tiene una demanda máxima de 5, 15,15 y 5 de productos. Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes pero el costo de transporte varia con
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MÉTODO DE TRANSPORTE
Los modelos de transporte comprenden sitios de embarque y puntos de destino. Dentro de
un periodo dado, cada fuente de embarques (fabrica), tiene cierta capacidad, y cada fuente de
destino (bodega o almacén), tiene cierto requerimiento con un costo dado de los embarques del
punto de origen al de destino. La función objetivo consiste en reducir al mínimo el costo del
transporte y satisfacer los requerimientos de las bodegas dentro de las limitaciones de la
capacidad de las fábricas.
CARACTERÍSTICAS DEL MODELO DE TRANSPORTE
La manera más fácil de reconocer un problema de transporte es por su naturaleza o estructura
“de-hacia”: de un origen hacia un destino, de una fuente hacia un usuario, del presente hacia el
futuro, de aquí hacia allá.
También podemos notar que los coeficientes de cada restricción son todos 1 ó 0 (en el caso
de las variables que no aparecen). Otra de las características es que si se suman todas las
constantes del lado derecho de los orígenes el total es el mismo que la suma de las constantes de
los destinos.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE
Puede formularse un problema de transporte como un problema de programación lineal y
aplicarse el método simplex. Si se hiciera, se encontraría que los problemas de transporte tienen
características matemáticas únicas. Para visualizar esto, escribiremos las relaciones de
Programación Lineal para el siguiente ejemplo.
Un fabricante tiene tres plantas que producen el mismo producto. Estas plantas a su vez
mandan el producto a cuatro almacenes. Cada planta tiene una capacidad limitada de oferta de 15,
25 y 5 respectivamente y cada almacén tiene una demanda máxima de 5, 15,15 y 5 de productos.
Cada planta puede mandar productos a todos los almacenes pero el costo de transporte varia con
las diferentes combinaciones. El problema es determinar la cantidad que cada planta debe mandar
a cada almacén con el fin de minimizar el costo total de transporte. Al enfrentar este tipo de
problemas, la intuición dice que debe haber una manera de obtener una solución. Se conocen las
fuentes y los destinos, las capacidades y demandas y los costos de cada trayectoria. Debe haber
una combinación óptima que minimice el costo (o maximice la ganancia). La dificultad estriba en
el gran número de combinaciones posibles.
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta
Planta 1 10 0 20 11 15
Planta 2 12 7 9 20 25
Planta 3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10
En primer lugar debemos definir las variables de decisión necesarias para representar las
posibles decisiones que puede tomarla fabrica. En este caso, corresponde a la cantidad de
producto que se debe enviar desde cada planta a cada almacén, luego para i = 1… 3 y j = 1… 4.
: Representa la cantidad de producto que se manda de la fábrica i al destino j
: Es el costo de mandar una unidad de i hacia j
El objetivo es minimizar los costos totales de transporte. Por lo tanto la función objetivo de
programación lineal es minimizar la suma de los costos de transporte para las 12 rutas.
(Costo de enviar productor desde planta 1)
(Costo de enviar productor desde planta 2)
(Costo de enviar productor desde planta 3)
El problema tiene dos tipos de restricciones. En primer lugar, la cantidad de producto total
suministrada por cada planta no puede exceder su capacidad. En este caso se habla de
restricciones de oferta o suministro.
Como existen tres puntos de oferta o suministro, existen tres restricciones:
(Restricción de oferta de la planta 1)
(Restricción de oferta de la planta 2)
(Restricción de oferta de la planta 3)
En segundo lugar, se deben plantear las restricciones que permitan asegurar que se satisfaga
la demanda en los cuatro almacenes. Así, las restricciones de demanda para cada punto de
demanda quedan:
(Restricción de demanda del almacén 1)
(Restricción de demanda del almacén 2)
(Restricción de demanda del almacén 3)
(Restricción de demanda del almacén 4)
Evidentemente, cada debe ser no negativo , por lo tanto:
(Para toda i = 1,…3; j = 1,…,4)
SOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE TRANSPORTE
El método del transporte en realidad no es un método, sino varios. Sin embargo, existe una
estrategia general, en la cual se construye una matriz y después de encuentra una solución inicial.
Esta solución puede ser optima o no. Si la solución no es optima, se revisa y la prueba se repite.
En cada iteración la solución estará más cerca del óptimo.
A partir del ejemplo anterior, realizaremos el método de transporte.
1er
PASO. Construcción de la tabla de transporte
Cada origen le corresponde un renglón y a cada destino una columna. La capacidad de cada
origen de muestra al final del reglón y la demanda de cada destino se escribe debajo de la
columna correspondiente. Estas capacidades y demandas se conocen como “condiciones de
frontera”. Finalmente el costo de transporte desde cada origen a cada destino se escribe en la
esquina superior izquierda de cada “celda” de la matriz
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta
Planta 1 10 0 20 11 15
Planta 2 12 7 9 20 25
Planta 3 0 14 16 18 5
Demanda 5 15 15 10
45
2do
PASO. Verificar que la oferta y la demanda sean iguales.
Si se cumple, se dice que el problema está balanceado y se sigue con el método.
En caso de no cumplirse, se dice que el problema no está balanceado.
- Si hay mucha oferta, se coloca un cliente ficticio para igualar la oferta a la demanda
- Si hay mucha demanda, se coloca una oferta ficticia para igualar la demanda a la
oferta.
En el caso de nuestro ejemplo el problema está balanceado, por lo tanto se sigue con el
método.
45
3er
PASO. Encontrar la Solución Inicial.
Existen varios métodos para buscar la solución inicial para un problema de transporte, entre ellos
la Esquina Noroeste, Aproximación de Vogel y el Costo Mínimo.
Método de Esquina Noroeste
Este método comienza asignando la cantidad máxima permisible por la oferta y la demanda a
la variable (la que está en la esquina noroeste de la tabla). La columna satisfecha (reglón) se
tacha indicando que las variables restantes en la columna tachada (renglón) es igual a cero. Si una
columna y un reglón se satisfacen simultáneamente, únicamente uno (cualquiera de los dos) debe
tacharse. El procedimiento termina cuando no queda columna o reglón sin tachar. De esta
manera, la tabla se llena desde la celda superior izquierda hasta la celda inferior derecha,
utilizando por completo los requerimientos de la demanda y la capacidad de la oferta.
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta
Planta 1
5
10
10
0
X
20
X
11 15 10
Planta 2
X
12
5
7
15
9
5
20 25 20 5
Planta 3
X
0
X
14
X
16
5
18 5
Demanda 5 15 15 10
5 5
La solución inicial obtenida es:
La solución inicial de la esquina noroeste no se usa mucho en la práctica, porque de es
común que de una mala solución optima, debido a que comienza por asignar desde la esquina
superior izquierda de la matriz, olvidándose ya sea de los costos o ganancias del transporte. Si se
coloca en dicha celda el costo menor o en su efecto la ganancia mayor, se tendrá un punto de
partida ventajoso.
Método de Costo Mínimo
Este método es una solución inicial mejorada que ofrece valores iniciales más bajos que la
Esquina Noroeste. Está basado en la intuición y la habilidad para descubrir la matriz rápidamente.
Se tienen los siguientes pasos:
1) Se localiza la celda con menos costo en la matriz.
2) A esta celda se le asigna la máxima cantidad por las condiciones de frontera. Se eliminan
las demás celdas en el reglón o columna que se agota.
3) Se repiten los pasos (1) y (2) para las celdas restantes hasta que se llegue a una solución
completa.
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta
Planta 1
X
10
15
0
X
20
X
11 15
Planta 2
X
12
X
7
15
9
10
20 25 10
Planta 3
5
0
X
14
X
16
X
18 5
Demanda 5 15 15 10
La solución inicial obtenida es:
Método de Aproximación de Vogel
Este método proporciona mejor solución inicial que los dos métodos anteriores. La ventaja
del método de Vogel sobre el de la Esquina Noroeste es que va adelante algunas iteraciones y por
lo tanto se obtiene una solución inicial mejor. Eventualmente puede ocurrir que aplicando el
método se llegue directamente a la solución óptima. La desventaja del método de Vogel radica en
que sin duda es más complejo, por lo tanto es más difícil de implementar y más propenso a
errores en la aplicación.
Se realiza por medio de los siguientes pasos:
1) Por renglón y por columna identifican los dos costos más bajos. Posteriormente se restan
dichos valores y a ese resultado se le llamara “penalización”.
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta Penalización
Planta 1 10 0 20 11
15
10
Planta 2 12 7 9 20
25
2
Planta 3 0 14 16 18
5
14
Demanda 5 15 15 10
Penalización 10 7 7 7
2) Se identifica el renglón o columna con mayor penalización. Luego identificamos el
mínimo costo y se le asigna la mayor cantidad posible de producción o material a
transportar.
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta Penalización
Planta 1 10 0 20 11
15
10
Planta 2 12 7 9 20
25
2
Planta 3
5
0 14 16 18
5
14
Demanda 5 15 15 10
Penalización 10 7 7 7
La penalización mayor es 14, por lo tanto se le asigna tanto como sea posible a la celda y
se elimina la columna 1
3) Reducir la tabla de transporte tachando las columnas o renglones satisfechos y repetir el
proceso desde paso 1.
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta Penalización
Planta 1 10 0 20 11
15
11
Planta 2 12 7 9 20
25
2
Planta 3
5
0 14 16 18
Demanda 15 15 10
Penalización 7 11 9
En este caso se obtienen dos penalizaciones grandes, para elegir cuál de ellas tomar se
analizan por separado y se escoge el caso que nos ofrezca el mínimo costo.
Caso 1:
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta Penalización
Planta 1 10
15
0 20 11
15
11
Planta 2 12 7
15
9
10
20
25
2
Planta 3
5
0 14 16 18
Demanda 15 15 10
Penalización 7 11 9
Para este caso se obtiene una solución inicial de:
Caso 2:
Destino
Fuente Almacén 1 Almacén 2 Almacén 3 Almacén 4 Oferta Penalización
Planta 1 10
15
0 20 11
15
11
Planta 2 12 7
15
9
10
20
25
2
Planta 3
5
0 14 16 18
Demanda 15 15 10
Penalización 7 11 9
Para este caso se obtiene una solución inicial de:
Por lo tanto se escoge la solución inicial del caso 2: Z=315
4to
PASO. Encontrar la solución Optima.
Una vez encontrada una solución inicial, el siguiente paso es probar la optimalizad. Una de los
métodos para encontrar la solución óptima es el método de multiplicadores, este consta de los
siguientes pasos.
1) Se usa la solución Factible inicial (Esquina Noroeste en este caso).
2) Verificar si la solución es degenerada, de acuerdo a la siguiente inecuación:
Columnas + filas -1 ≤ Casillas llenas.
Si se cumple el problema no es degenerado y se procede al cálculo de los
multiplicadores.
Si no se cumple, se llenan las casillas faltantes con una cantidad muy pequeña
llamada épsilon (ɛ)
3) Asignar valores arbitrarios al primer multiplicador, el cual estará multiplicando el primer
renglón.
4) Luego restamos el costo unitario menos el valor del multiplicador (solo se toman en
cuenta las casillas llenas).
5) Para las casillas vacías se suman multiplicadores de cada casilla y obtener de dichas
casillas.
6) Partiendo de las casillas que anteriormente estuvieron vacías, se marcan aquellas en las
que es mayor que .
7) Asignar producción o envió a la casilla seleccionada
El valor máximo a dar es el valor que represente la mínima cantidad de material a
enviar.
Trazar un trayecto cerrado.
Identificar la menor asignación en casillas que disminuyen.
8) Repetir el ciclo desde el paso 1. Se termina el problema cuando Z deja de disminuir o
cuando en ningunas de las casillas que antes estuvieron vacías es mayor que .
Paso 1, 2 y 3.
5
10
10
0
X
20
X
11
X
12
5
7
15
9
5
20
X
0
X
14
X
16
5
18
Solución inicial:
¿Solución Degenerada?
Casillas llenas
Si se cumple.
Multiplicadores.
-5
-10
-8
3
10
5*
10
10
0
2
20 _
13
11
- +
17
_
17
12
5*
7
15
9
5*
20
- +
5
_
15
0
5
14
7
16
5*
18
+ -
Luego de realizar restas para obtener los multiplicadores, sumamos y obtuvimos los valores
para las casillas vacías. Las casillas donde es mayor que esta dado por los valores
marcados por un guion en la parte superior de . A su vez, el valor máximo a dar es 5.
Se traza el ciclo que describe en que casillas sumaremos y en cuales restaremos, y obtenemos
nuestra primera iteración.
Primer
Multiplicador
Primera Iteración
10
15
0
20
11
12
7
15
9
10
20
5
0
14
16
18
Disminuyo
Repetimos desde el paso 1:
– No se cumple y se agregan 2 variables Epsilon para cumplir la solución
degenerada
-5 -10 -8 3
10
5
10
15
0
2
20 _
13
11
- +
17
ɛ
12
ɛ
7
15
9
10*
20
+ -
5
5
0
-5
14
-3
16
8
18
Valor máximo a dar es 10.
Segunda Iteración
10
5
0
20
10
11
12
10
7
15
9
20
5
0
14
16
18
Volvió a disminuir
Repetimos desde Paso 1
– No se cumple y se agrega 1 variable Epsilon para cumplir la solución
degenerada.
-5 -10 -8 1
10
5
10
5
0
3
20
10
11
17
ɛ
12
10
7
15
9
18
20
5
5
0
-5
14
-3
16
6
18
Como se puede observar no hay más casillas en las que sea mayor que , por lo tanto
termina el problema y se obtiene la solución optima, la cual es.
10
5
0
20
10
11
12
10
7
15
9
20
5
0
14
16
18
MÉTODO HÚNGARO O ASIGNACIÓN
El método Húngaro es un método de optimización de problemas de asignación, conocido
como tal gracias a que los primeros aportes al método clásico definitivo fueron de Dénes König y
Jenő Egerváry dos matemáticos húngaros. El problema de asignación tiene que ver con la
asignación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de
trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y el método de asignación la gerencia está
buscando una ruta de distribución o una asignación que optimizará algún objetivo; éste puede ser
la minimización del costo total, la maximización de las utilidades o la minimización del tiempo
total involucrado.
1er
PASO
Antes que nada el método húngaro trabaja con una matriz de costos n*m (en este caso
conocida como matriz m*m, dado que el número de filas es igual al número de columnas n = m),
una vez construida esta se debe encontrar el elemento más pequeño o el menor valor en cada fila
de la matriz.
2do
PASO
Una vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n*m, en la
cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo unitario y el valor
mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde, que es el valor mínimo hallado en el primer
paso.
3er
PASO
Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anteriores referidos
ahora a las columnas, es decir, se halla el valor mínimo de cada columna, con la diferencia que
este se halla de la matriz resultante en el segundo paso, luego se construirá una nueva matriz en la
cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de
la columna a la cual cada costo corresponde, matriz llamada "Matriz de Costos Reducidos".
4to
PASO
A continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas con el objetivo de
cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor número de líneas posibles, si
el número de líneas es igual al número de filas o columnas se ha logrado obtener la solución
óptima, si el número de líneas es inferior al número de filas o columnas se debe de proceder con
el paso 5.
5to
PASO
Este paso consiste en encontrar el menor valor de aquellos valores que no se encuentran
cubiertos por las líneas del paso 4 y se restará del restante de elementos que no se encuentran
cubiertos por éstas; a continuación este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren
en las intersecciones de las líneas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe
volver al paso 4 hasta cumplir con esa condición.
Ejemplo:
Una compañía tiene a sus plantas de fabricación en cuatro localidades diferentes, estas
plantas mandan el producto a cuatro depósitos cada una. Conociéndose la distancia que tiene cada
planta con respecto a todos los depósitos, la compañía quiere asignar las localidades de manera
que minimice la distancia que se tenga que recorrer para llevar los productos de la planta al
depósito.
Para este ejercicio se aplicara el método Húngaro o de Asignación, siguiendo el algoritmo
antes descrito.
Paso 1: Identificar el mínimo de cada fila
Depósitos
Localidades
1 2 3 4
1 230 200 210 240
2 190 210 200 200
3 200 180 240 220
4 220 180 210 230
Depósitos Localidades
1 2 3 4
1 230 200 210 240
2 190 210 200 200
3 200 180 240 220
Paso 2: Restar cada valor unitario con el mínimo valor del paso anterior
30 0 10 40
0 20 10 10
20 0 60 40
40 0 30 50
Paso 3: De la tabla anterior, se hará el paso 1 y 2 solo que esta vez se aplica para las
columnas
30 0 10 40
0 20 10 10
20 0 60 40
40 0 30 50
Restando obtenemos:
30 0 0 30
0 20 0 0
20 0 50 30
40 0 20 40
Paso 4: Trazar líneas verticales u horizontales para cubrir la mayor cantidad de ceros.
30 0 0 30
0 20 0 0
20 0 50 30
40 0 20 40
4 220 180 210 230
Se verifica si el número de columnas es = al número de filas e = número de líneas trazadas
En este caso no se cumple con la condición, por lo tanto se procede con el siguiente paso.
Paso 5: Este paso consiste en encontrar el menor valor de aquellos valores que no se encuentran
cubiertos por las líneas del paso anterior y se restará a los elementos que no se encuentran
cubiertos por éstas; luego este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las
intersecciones de las líneas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe volver
a verificar la condición del paso 4.
30 0 0 30
0 20 0 0
20 0 50 30
40 0 20 40
El menor valor que no está cubierto es el 20, por lo tanto al sumar y restar la nueva tabla
quedara de la siguiente manera:
30 20 0 30
0 40 0 0
0 0 30 10
20 0 0 20
El número de columnas es = al número de filas e = número de líneas trazadas, como se cumple la
condición, se procede a asignar las localidades.
1 2 3 4
1 30 20 0 30
2 0 40 0 0
3 0 0 30 10
4 20 0 0 20
Solución:
Depósito 1 localidad 3 210km
Depósito 2 localidad 4 200km
Depósito 3 localidad 1 200km
Depósito 4 localidad 2 180km
Z= 790km Distancia Mínima
