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ANLISIS ESTRUCTURAL AVANZADOMTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS O RIGIDECES, PLANTEAMIENTOS TRADICIONAL Y MATRICIALFUNDAMENTOSEl mtodo de anlisis estructural conocido como Mtodo de las Rigideces, utiliza como primeras incgnitas a los desplazamientos de los nudos para su formulacin. Por esta razn se le conoce tambin con el nombre de Mtodo de los Desplazamientos o Mtodo del equilibrio. Su aplicacin principal, es en el anlisis de estructuras reticulares prismticas indeterminadas estticamente. Entre ms hiperesttica es la estructura, ms efectivo es ste mtodo. Pero su aplicacin se extiende a otro tipo de elementos como los triangulares, cuadrilteros y hasta los espaciales, llegando a ser parte esencial del llamado Mtodo del Elemento Finito. Es muy eficiente en el anlisis de estructuras porque se basa en mtodos matemticos matriciales para la formacin y solucin de sistemas de ecuaciones, las cuales, en la actualidad, son fciles de manejar por medios computacionales, an en sistemas de orden elevado. CONCEPTOS BSICOSLos fundamentos principales para el desarrollo del mtodo consisten en la aplicacin de los conceptos bsicos siguientes:

GRADOS DE LIBERTAD (GRADOS DE INDETERMINACIN CINEMTICA) RELACION FUERZA-DESPLAZAMIENTO (LEY DE HOOKE)ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECNICA ESTRUCTURALECUACIONES DE EQUILIBRIOECUACIONES DE CONTINUIDAD O COMPATIBILIDADECUACIONES CONSTITUTIVAS GRADOS DE LIBERTAD O INDETERMINACIN CINEMTICADESPLAZAMIENTOS NODALESDistinguiremos dos tipos de desplazamientos:

Desplazamientos lineales o tambin conocidos como traslaciones o corrimientos.

Desplazamientos angulares o rotaciones.

En el mtodo de la rigidez, los desplazamientos que son de nuestro inters son los desplazamientos nodales.

Cuando se trata de una anlisis en el espacio, tendremos seis desplazamientos: tres lineales y tres angulares.

Cuando el anlisis sea en el plano, tendremos 3 desplazamientos: dos lineales y uno angular.INDETERMINACIN CINEMTICAxzyzyxyxzzxyxyEspacio tridimensional Espacio bidimensional DesplazamientosDesplazamientosINDETERMINACIN CINEMTICANODOS O NUDOS. Los nodos en las estructuras reticulares son los puntos donde concurren uno o ms miembros.

Los nudos pueden ser puntos de apoyo o puntos libres de la estructura.Cuando la estructura esta sujeta a cargas cada nodo puede sufrir desplazamientos lineales y/o angulares, lo cual depender del tipo y configuracin de la estructura que se analice. En algunos casos, los desplazamientos pueden ser conocidos, esto depender de las restricciones que se impongan a la estructura; por ejemplo los desplazamientos en los nodos de las fronteras de las estructuras.En un apoyo empotrado no existen desplazamientos lineales ni angulares, porque todos estn restringidos.

En un apoyo fijo o articulado los desplazamientos lineales estn restringidos, pero el desplazamiento angular no.

En un apoyo de rodillo solamente un desplazamiento lineal esta restringido.INDETERMINACIN CINEMTICAxyy =0xzy = 0x = 0 zy = 0x = 0 z = 0INDETERMINACIN CINEMTICAx=0x = 0z=0y = 0z =0y = 0x=0xzyz =0y = 0Sin embargo, existirn otros desplazamientos de nudo que no se conocen, y que pueden obtenerse haciendo un anlisis completo de la estructura. Estos desplazamientos de nudo desconocidos son las cantidades cinemticas indeterminadas, y en algunas ocasiones se conocen como redundantes cinemticas. En el mtodo de la rigideces, precisamente, los desplazamientos de los nudos de la estructura son las cantidades desconocidas.

Como sealamos en su oportunidad, el segundo tipo de indeterminacin en las estructuras es la INDETERMINACIN CINEMTICA, definida como:INDETERMINACIN CINEMTICA

GL: Grados de libertad (desplazamientos redundantes).NDN: Nmero de desplazamientos nodalesNDR: Nmero de desplazamientos restringidos.1INDETERMINACIN CINEMATICALos grados de libertad clasifica las estructuras en tres grandes grupos:Si GL = 0 Estructura cinematicamente determinada.Si GL > 0 Estructura cinematicamente indeterminada.Si GL < 0 Estructura inestable o mvil.

GRADOS DE LIBERTAD: Es el nmero de coordenadas generalizadas necesarias para expresar la configuracin del sistema.DAmmKModelo estructural que representa a una estructura cualquiera.m: masa del resorteA: Accin o fuerza aplicada al modeloK: Rigidez del resorte.RELACIN FUERZA DESPLAZAMIENTO(ecuacin accin-desplazamiento)La relacin Fuerza- Desplazamiento da origen al concepto de rigidez. Al respecto analicemos el siguiente modelo estructural, representativo de una estructura resistente cualquiera:La Ley de Hooke expresa:Matricialmente se escribe:

xzyzyxDesplazamientosxyEspacio bidimensionalFyFxMzAccionesyxzDesplazamientos

zxyEspacio tridimensionalFxMzMyFzFyAcciones

ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA MECNICA ESTRUCTURAL Las ecuaciones bsicas de la Mecnica estructural son:a) ECUACIONES DE EQUILIBRIO. Estas ecuaciones nos relacionan fuerzas externas con fuerzas internas en cada nodo. b) ECUACIONES DE CONTINUIDAD (O COMPATIBILIDAD). Estas ecuaciones nos relacionan los desplazamientos externos de la estructura con los desplazamientos internos (deformaciones) de cada barra de la estructura.

Sustituyendo las ecuaciones , y en la ecuacin , obtenemos la expresin:

c) ECUACIONES CONSTITUTIVAS. Estas ecuaciones nos relacionan las fuerzas externas (cargas) con los desplazamientos externos en cada nodo y tambin las fuerzas internas (esfuerzos) con las deformaciones internas de las barras de la estructura.

Donde:(a): Matriz de continuidad o de coeficientes(a)t: Matriz de continuidad traspuestael : Vector de deformaciones (desplazamientos internos), en eje localPl :Vector de fuerzas internas (elementos mecnicos), en eje localg: Vector de desplazamientos (traslaciones y rotaciones), en eje globalFg: Vector de fuerzas externas (fuerzas y pares), en eje global[K]l: Matriz de rigideces de la barra, en eje local[K]g :Matriz de rigideces de la barra, o de la estructura, en eje globalLos subndices, l y g, representan valores caractersticos que estn referenciados a sistemas coordenados que llamaremos ejes locales y ejes globales respectivamente. El primer sistema coordenado representa la direccin que tienen cada una de las barras que se analizan, y el segundo define la direccin que tiene el sistema coordenado de la estructura, que regularmente es fijo y nico. Esto se debe a que toda estructura reticular esta compuesta por barras que tienen diferentes posiciones, horizontales, verticales e inclinadas, cuyas propiedades geomtricas y mecnicas son de inters en sus propias direcciones y tambin en direcciones distintas cuando se realiza su anlisis estructural. Los resultados que se obtienen como son, fuerzas y desplazamientos, son de inters en el sistema coordenado global de la estructura y las fuerzas internas (esfuerzos) y deformaciones en los sistemas coordenados locales de cada una de las barras. La matriz de continuidad tambin se le conoce como transformador, porque un valor o conjunto de valores de inters, referidos a un sistema de ejes coordenado los transforma a otro sistema de ejes coordenado, que presenta una direccin diferente. En nuestro caso, un valor o conjunto de valores de inters de una barra con una cierta direccin, definida por su propio sistema coordenado (eje local ), los transforma al sistema coordenado de referencia de la estructura (eje global) y viceversa.

La matriz de rigideces de la barra, en eje local, contiene coeficientes de rigideces referidos al propio sistema coordenado de la barra en estudio. Relaciona fuerzas internas (elementos mecnicos) con los desplazamientos internos (deformaciones) de la barra.

La matriz de rigideces, en eje global, contiene coeficientes de rigideces de la barra, transformados al sistema de ejes coordenados de referencia (eje global) de la estructura que se analiza. Relaciona las fuerzas externas (cargas) impuestas a la estructura con los desplazamientos externos resultantes en la misma. HIPTESIS BSICAS APLICADAS

HIPTESIS GENERALESEl elemento (o barra) esta hecho de un material homogneo, istropo y elstico lineal (Ley de Hooke).Se aplica una teora de pequeas deformaciones.

HIPTESIS PARTICULARES DE LAS BARRASPresentan un eje longitudinal recto.Las secciones transversales de la barra tienen cuando menos un eje de simetra.Las secciones de la barra permanecen constantes a lo largo del eje de la barra (barra prismtica).Las secciones son perpendiculares al eje de la barra (las secciones planas antes de la deformacin permanecen planas despus de la deformacin.PROCEDIMIENTO BSICO PARA ANALIZAR UNA ESTRUCTURA CON EL MTODO DE RIGIDEZEl anlisis de una estructura por el mtodo de rigidez se realiza superponiendo el resultado de varios anlisis de una estructura equivalente, determinada cinematicamente, en tal forma que se satisfagan las condiciones de equilibrio y de compatibilidad de la deformacin requeridas por la estructura original. La estructura equivalente, determinada cinematicamente se define restringiendo artificialmente los nudos de la estructura original que pueden desplazarse libremente; esta estructura equivalente se denomina estructura restringida. Para obtener la solucin, se analiza la estructura restringida en los casos siguientes.Bajo la accin de la carga o perturbacin original.Bajo la accin individual de cada una de las componentes del desplazamiento de los nudos.Las cantidades a evaluar estn completamente determinadas, por tanto, existe una sola estructura restringida que se relaciona con los desplazamientos desconocidos. Ms adelante se apreciar que el procedimiento de aplicacin del mtodo de rigidez es sistemtico y por consiguiente puede programarse para computacin electrnica.ANLISIS ESTTICO DE SISTEMAS ESTRUCTURALESIniciaremos este captulo con el anlisis de estructuras modeladas como marcos planos, con cargas que actan en el plano de la estructura, posteriormente como vigas y por ltimo como armaduras.Al analizar un sistema estructural por el mtodo de rigidez, se requiere estudiar la respuesta de la estructura restringida a desplazamientos unitarios de los nodos. Sin embargo, antes de estudiar la respuesta de la estructura restringida como un todo a la aplicacin de los desplazamientos mencionados, es conveniente estudiar en primer trmino el comportamiento de un miembro (barra) de la estructura con sus extremos restringidos (empotrada), es decir, cinematicamente determinada, al aplicar desplazamientos unitarios en ellos. En la discusin siguiente, se consideran nicamente las deformaciones producidas por momentos flectores y por fuerzas axiales.Al aplicarle al sistema una accin A, el resorte se estira y la masa sufre un desplazamiento D. La relacin entre la accin A y el desplazamiento D de la masa, puede expresarse a travs de la relacin de accin.ECUACIN DE ACCIN. Esta se escribe como:

Rigidez: Se define como el valor de la fuerza ocasionada por un desplazamiento unitario. Tiene unidades de fuerza entre longitud.Esta expresin es vlida para toda estructura linealmente elstica que est sujeta a una sola accin.TIPOS DE RIGIDECESRIGIDEZ AXIAL.RIGIDEZ A LA FLEXIN.RIGIDEZ LATERAL O AL CORTE.RIGIDEZ AXIALEs el valor de la fuerza normal (o axial) generada en una barra por la aplicacin de un desplazamiento lineal unitario.ABLL, A, I, E, G, P=?LF=1RIGIDEZ A LA FLEXINEs el valor de las fuerzas nodales que se producen en una barra en flexin al aplicarle un desplazamiento angular unitario.L, A, I, E, G, =1MoMdVoVdRIGIDEZ LATERAL (O RIGIDEZ AL CORTEEs el valor de las fuerzas nodales que se producen en una barra al aplicarle un desplazamiento lateral unitario.LL, A, I, E, G,

BARRA ORIGINAL SUJETA A FUERZAS EXTERNAS NODALES RESPUESTA NODAL (DESPLAZAMIENTOS) DE LA BARRA ORIGINAL ANTE LA APLICACIN DE LAS FUERZAS EXTERNAS NODALES

LL, A, I, E, G,

BARRA CINEMTICAMENTE DETERMINADA

FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO QUE SE PRODUCEN EN LA BARRA CINEMTICAMENTE DETERMINADA POR LA APLICACIN DE LAS FUERZAS EXTERNAS NODALESRIGIDEZ AXIALClculo de las fuerzas nodales en la barra, ocasionadas por la aplicacin del desplazamiento lineal horizontal unitario.No=K11LL, A, I, E, G,

Vo=K21=0Mo=K31=0Nd =K41Vd =K51=0Md =K61=0

RIGIDEZ LATERAL (O RIGIDEZ AL CORTEClculo de las fuerzas nodales en la barra ocasionadas por el desplazamiento vertical (lateral) unitario.L, A, I, E, G, No=K12=0Vo=K22Mo=K32Nd =K42=0Vd =K52Md =K62

L

RIGIDEZ ANGULARCalculo de las fuerzas nodales en la barra, ocasionadas por la aplicacin del desplazamiento angular (giro) unitario.

L, A, I, E, G, No=K13=0Vo=K23Mo=K33Nd =K43=0Vd =K53Md =K63L