UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

PROGRAMAS DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA CREAD

PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESASASIGNATURA: MATEMÁTICAS IISEMESTRE: IIAÑO LECTIVO 2010TUTOR:

INTEGRANTE JOSE FELIPE RHENALS ALMANZA

INTEGRACIÓN POR PARTES

Como ya hemos visto, algunas integrales pueden hallarse de manera inmediata aplicando las propiedades básicas. Otras las hemos desarrollado haciendo un cambio de variables y sustituyendo la integral original. Este último proceso indica que la integral debe poderse convertir a la forma ʃ f(g(x)g´(x)dx para hacer la sustitución adecuada. Sin embargo, muchas integrales no pueden resolverse por ninguno de los métodos anteriores.

A continuación deduciremos un método de integración, llamado integración por partes, que nos ayudara a solucionar otras integrales.Sea u y v funciones derivables de x. en estas condiciones,

d (uv) = u dv + v duu dv= d (uv) – v du

Para aplicar en la práctica, se separa el intervalo en dos partes; una de ellas se iguala a u y la, junto con dx, a dv. (Por esta razón este método se denomina integración por partes.)Es conveniente tener en cuenta los dos criterios siguientes:

(a) La parte que se iguala a dv debe ser fácilmente integrable

(b) no debe ser más complicada que

Ejemplo calcular

Hacemos u=x2 y dv =

Fórmulas de reducción: las formulas de reducción permite simplificar el cálculo se haya de aplicar la integración por partes varias veces consecutiva. En general una formula de reducción es aquella que da lugar a una nueva integral de la misma forma que la original pero con un exponente mayor o menor. Una formula de reducción es útil si, finalmente conduce a una integral que se pueda calcular fácilmente. Algunas de las formulas más corrientes de reducción son:

a)

b)

c)

EJEMPLO 1

Halla ʃ x cos x dxSoluciónSi hacemos u=x y dv = cos x dx, entonces: Du = dx y v= sen x, ya que la integral de cos x dx es sen xPor tanto ʃ x cos x dx, se puede expresar de la forma:ʃ udv = uv -ʃ vdu

Entonces ʃ x cos x dx = x sen x - ʃ sen x dx

Pero ʃ sen x dx = -cos x +c

Por tanto ʃ x cosx dx = x sen x + cs x +c

EJEMPLO 2

Halla ʃ sen x dx

Si hacemos u= x y dv = sen x dx entonces:

Du = dx y v = -cos x

Por tanto ʃ x sen x dx se puede expresar de la forma

ʃ udv = uv -ʃ vdu

Entonces ʃ x sen x dx = x –cos x - ʃ - cos x dx

Pero ʃ - cos x dx = sen x + c

Por tanto ʃ x sen x dx = -x cos x + sen x + c

EJERCICIOS PROPUESTOS:

INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Antes de comenzar a calcular las integrales de las funciones

trigonométricas debemos recordar cuales son las funciones:

PRIMER TEOREMA

Ejemplos.

SEGUNDO TEOREMA

Ejemplos.

TERCER TEOREMA

Ejemplos.

CUARTO TEOREMA

Ejemplos.

QUINTO TEOREMA

Ejemplos.

SEXTO TEOREMA

Ejemplos.

EJERCICIOS PROPUESTOS-  ∫ cos x sen x dx

-   ∫ sec x. tan x – csc² x dx

SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

En este tipo de integradas se presentan tres casos:

1.

2.

3.

Algunas identidades a utilizar:

Ejemplos:

Primer Caso

sea x = 3sen

=

= =

=

=

=

=

=

Segundo Caso

Identidad

Sea x =

dx =

Reemplazamos

Tercer Caso

Sea

Reemplazamos

Factorizamos

Reemplazamos

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.

2.

3.

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALESLa integración mediante fracciones parciales, es uno de los métodos de integración más fácil, donde la forma a seguir está dada por unos criterios. Se llama función racional a toda función de tipo donde son polinomios con coeficientes reales y grado. CASO: 1= FACTORES LINEALES DISTINTO:A cada factor lineal, AX+B de denominador de una fracción racional propia, el denominador se puede descomponer, le corresponde a una fracción de la forma siendo una constante para determinar.EJEMPLO: NOS QUEDA UNA IGUALDAD 1=(A+B) X+2 A- 2B A+B=0 2 A – 2 B =1 CASO: 2= FACTORES LINEALES IGUALES FACTOR LINEAL: AX+B QUE FIGURE N DE VECES EN EL DENOMINADOR DE UNA FRACION RACIONAL PROPIA, LE CORRESPONDE A UNA SUMA DE N FRACCIONES DE LA FORMA.EJEMPLO: CALCULEMOS LA SIGUIENTE INTEGRAL PERO TENDREMOS AMPLIFICANDO POR LAS SOLUCIONES.CASO: 3= FACTORES CUADRATICO DISTINTO ACADA FACTOR CUADRATICO REDUCIBLE, QUE FIGURE EN EL DENOMINADOR DE UNA FRACCION RACIONAL PROPIA, LE CORRESPONDE UNA FRACCION DE LA FORMA SIENDO AYB CONSTANTE A DETERMINAR VALORES A ENCONTRAR SON: A=0, B=1, C=1,D,=0 CASO: 4 = FACTORES CUADRATICO IGUALES: A CADADFACTOR CUADRATICO IRREDUCIBLE, QUE SE REPITA N VECES EN EL DENOMINAR

DE UNA FRACCION RACIONAL PROPIA LE CORRESPONDE LA SUMA DE N FRACCIONES DE LA FORMA. SIENDO LOS VALORES DE A Y B CONSTANTE REALES. MULPTIPLICANDO A AMBOS LADO DE LA IGUALDAD POR EL MINIMO COMUN DENOMINADOR. DONDE LOS VALORES DE LAS CONSTANTE SON: A = 0+B=2, C=0, B=1 DE DONDE REMPLAZANDO E INTEGRANDO A PRIMITIVAS. ES EL COCIENTE DE LO POLINOMIO SE DENOMINA FUNCION RACIONAL LA DERIVACION DE UNA FUNCION RCIONAL CONDUCE UNA NUEVA FUNCION RACIONAL QUE PUEDE OBTENERSE POR LA REGLA DERIVADA DE UN COCIENTE. POR OTRA PARTE. LA INTEGRACION DE UNA FUNCION RACIONAL PUEDES CONDUCIRNOS A FUNCIONES QUE NO SON RACIONALES, LA INTEGRACION RACIONAL PUEDE EXPRESARSE SIEMPRE POR MEDIOS POLINOMIO FUNCIONES RACIONALES, ALGO TANGENTES Y LOGARITMOS. LA FUNCION RACIONAL ES DESCOMPONERCE EN FRACCIONES SIMPLE.Q= ES UN POLINOMIOR(X)=ES EL COCIENTE DE LA DIVISIONG(X)=GRADODEL RESTO ES MENOR QUE EL DIVISORSE PUEDE DECIR DE TODA FORMA ES UNA FRACCION RACIONAL SE PUEDE ESCRIBIR COMO LA SUMA DE UN POLINOMION CON UNA FUNCION RACIONAL PROPIA. TODA FUNCION RACIONAL PROPIA SE PUEDE DESCOMPONER EN SUMA DE FRACCIONES DE LA FORMA.

Integral indefinida de una función. Propiedades.

Propiedades de la integral indefinida:

Primera propiedad =

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Demostración de la propiedad:

Por la definición = F(x) + C F'(x) = f(x)

Por otro lado, queremos demostrar que es decir, que si derivamos el segundo miembro nos tiene que salir , por lo tanto:

= F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)

Segunda propiedad

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Demostración de la propiedad:Queremos demostrar que ( )' =

( )' = k · ( )' = k · F'(x) = k· f(x)

Tercera propiedad. Para todo número real entonces

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Cuarta propiedad

Ejemplo 1

Integración de Funciones Trigonométricas:

En esta etapa veremos como se pueden integrar potencias y productos de potencias de funciones trigonométricas, para ello recordaremos algunas expresiones básicas de la trigonometría.-

Si sumamos estas dos expresiones tendremos:

Si restamos las dos expresiones dadas en

Veremos cuatro casos que se pueden presentar:

1° Caso: Potencia Impar de Seno o Coseno

Ejemplo 1 :

Vemos en este caso que la integral es de integración inmediata, pero la integral no lo es y podemos resolverla por otro método:

En este caso podemos resolver por sustitución adoptando:

Reemplazando tendremos:

Retornamos a la variable original:

Reemplazando en (I) los resultados obtenidos de de obtendremos como resultado final:

Donde adoptamos:

Ejemplo 2:

Resolvemos cada una de estas integrales:

(Resuelta en el ejemplo anterior)

Se resuelve por sustitución:

Si rearmamos la integral original tendremos:

2° Caso: Potencia par de seno o coseno:

Ejemplo 1:

(Es una integral inmediata)}

Resolvemos por sustitución haciendo:

Luego:

Ejemplo 2:

(Es de integración inmediata)

Por sustitución, adoptamos:

Reemplazamos en la integral original:

° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con un exponente impar:

Por sustitución:

Por sustitución:

4° Caso: Producto de potencias de seno y coseno con los dos exponentes pares

Finalmente la integral a calcular queda:

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) 2)

3)   4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13)