Método de Integración Por Partes

7/21/2019 Método de Integración Por Partes

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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”

EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUICÁTEDRA: MATEMÁTICA II

ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICAINGº ALEXIS R. ORTA L.

INTEGRACIÓN POR PARTES:

Integrando la diferencial del producto dos funciones ( )d uv vdu ud v= +resulta que ( )d uv vdu ud v uv vdu ud v ud v uv vdu= + ⇒ = + ⇒ = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , la

constante de integración se tomará en cuenta al nal del proceso.

Donde la última ecuación se conoce como la fórmula de integración

por partes: ud v uv vdu= −∫ ∫

Cuando se aplica esta fórmula a una integral, se empieza por hacer

que una parte del integrando corresponde a dv . La epresión que se

usa para dv de!e incluir a la diferencial dx . Despu"s se toma u comoel resto del integrando # se encuentra du .

Como este procedimiento requiere partir en dos el integrando, la

aplicación la fórmula de integración por partes. $s mu# importante

elegir dv de manera apropiada. %ormalmente se escoge la porción

más complicada del integrando que se puede integrar directamente.

( ) ( )

( )

3 32 2

3 32 2

32

1 1

: ; 1

1 1 : 1

2 2. (1 )

3 3

2 21 1 1

3 3

1

1

. .

1)

1 .

Selección u x du dx dv x dx

dv x dx v x dx Cambio deVariable z x dz dx

sust v z dz v z k v x k udv uv vdu

x x x dx x x dx k

I x dx c v w x dw dx s

x

ust I

x dx = ⇒ = = + ⇒

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

= ⇒ = + ⇒ = + + ⇒ = −

+ = + − + +

= + ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ =

+

+ =

⇒

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫ 3 52 2

3 52 2

2(1 )

5

2 2 21 (1 ) (1 )

3 3 5

2) ( ) ( ) : ;

sec

w dw x k

x x x dx x x k

Selección u x du dx dv Secxtg x dx

dv Secx tg x dx v Secx tg x dx v Sec x k udv uv vdu

xSecxtgxdx x x Sec x dx xSecxtgxdx xSec x

xSec x tg x dx

= + +

+ = + − + +

= ⇒ = =

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = −

− =

⇒

= ⇒ −

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

3 2

2 2

:3)

Ln Sec x tg x k

Sec x Sec x dx Selección u Sec x du Sec xtgx dx

dv Sec xdx dv Sec x dx v tgx k udv uv

Sec d

v

x x

du

+ +

⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = −

⇒ ∫

∫ ∫ ∫ ∫






( ) ( )

3 3 2

3 2 3 3

3 3 3

4) (

1

1

2

Sec x dx Secxtg x tgxSecxtgx dx Sec x dx Secxtg x tg xSecx dx

Sec x dx Secxtg x Sec x Secx dx Sec xdx Secx tg x Sec x Secx dx

Sec x dx Secx tg x Sec x Secx dx Sec x dx Sec

Sen

x tg x Ln Secx tg x k

xLn Cos

= − ⇒ = −

= − − ⇒ = − −

= − + ⇒ = + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

[ ]

22

: ( )

( ) ( )

( ) ( )

)

5) :

Sen xSelección u Ln Cos x du dx

Cosx

dv Senx dx dv Senx dx v Cosx k udv uv vdu

Sen xSenxLn Cos x dx Cos xLn Cosx Cosx dx

Cos x

SenxLn Cosx dx Ln Cosx Cos x Cosx k

Selec

x

ción u x d

dx

x Cos xdx

−= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = − + ⇒ = −

=− − ÷

= − +

⇒

⇒

⇒

+

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

2 2

1

1

2 2 2 2

2 ;

2 ( )

: ; cos

2

6)

2 2

u xdx dv Cos x dx dv Cos x dx v Sen x k

x Cosxdx x Sen x xSen x dx I

I xSen x dx Selección u x du dx dv sen x dx dv senxdx v x k

x Cosxdx x Sen x x Cosx Cosx dx x Cosxdx x Senx xCosx Senx k

= = ⇒ = ⇒ = +

= −

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = − +

= − − + ⇒ = − − +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

32

12

32 3

2

3 3 2 3 2

3 2 3 2 3 2

3

3 35 3 3 2

35 3

5 3 1 : 3

1 1 : 1 3

1 2(1 ).

3 9

2 (1 ) 21 1

9

1

1

39

2

x x x dx Selección u x du x dx

dv x x dx v x x dx Cambio de Variable w x dw x dx

x sust v w dw v k udv uv v du

x x x x dx x x dx

x x x dx

x x dx − ⇒ = ⇒ =

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −

−= − ⇒ = − + ⇒ = −

− −− = + − ⇒

−−

⇒

=

− ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫

( )

( )

32 3

2

32

3 52 2

32

52

32

33 2

3 2 3 2

1

3

1

3 35 3 3

3 35 3 3

(1 ) 21

9 3

1 : 1 3

1 2. (1 )

3 15

2 (1 ) 2 21 ( (1 ) )

9 3 15

2(1 ) 2(1 )1

9 5

x x x dx

I x x dx Cambio de Variable z x dz x dx

sust I z dz x k

x x x x dx x k

x x x x dx x k

−+ −

= − ⇒ = − ⇒ =−

= − = − − +

− −− = + − − +

− − −− = − +

∫

∫

∫

∫

∫






( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3

443

4

3

3

4

3

4

3

: 33

3 3 : 3

3.

4 4

3 313 3 3

4 4 3

3 13 3

7)

4

3

3 34

3 dx

Selección u Ln x du x

dv x dx v x dx Cambio de Variable z x dz dx

x z sust v z dz v k v k udv uv vdu

x x dx x Ln x dx Ln x

x

x x Ln x dx L

x Ln x d

x x d

x

n

/

= − ⇒ =−

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ =−

⇒ = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = −

− −− − = − −

−

−− − = − − −

− − ⇒∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4

3

4 4

3

3 31

3 3 34 4 4

3 33 3 3

8

4 16

: ; cos

cos cos c

)

)

os

:9

x

x x

x Ln x dx Ln x k

x x x Ln x dx Ln x k

Selección u x du dx dv sen x dx v sen x dx v x k

x sen x dx x x x dx x sen x dx x x sen x k

Selecc

x sen x dx

L ión un x d x

− −

− − = − − +

− −− − = − − +

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ − +

= −

⇒

+ ⇒ + +

⇒

=

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫

2

2

2

11 2

;

: ;1

: 11 2

.

10

)

)

( (1

dx Lnx du dv dx v dx v x k x

Ln x dx x Ln x dx Ln x dx x Ln x x k

dxSelección u Arctgx du dv dx v x

x

x dz Arctgx dx x Arctgx dx Cambio deVariab

Arctgx d

le z x dx x

dz sust I Ln z k

x

Ln x z

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +

= − ⇒ = − +

= ⇒ = = ⇒ =+

= − ⇒ = + ⇒ =+

= +

⇒

= + =

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

( )2 2

2

2 2

1

2 2 2 2

2

1) 12

: 2 ;

2

2 : 2 2 ;

( 2 2 )

1

2

1 ) x x x

x x x

x x x

x x x

x

x x x

k Arctgx dx xArctgx Ln x k

Selección u x du x dx dv e dx v e dx v e k

x e dx x e x e dx

I x e dx selección u x du dx dv e dx v e k

x

x e dx

e dx x e x e e dx x e dx x e x

+ ⇒ = − + +

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +

= − ⇒

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +

= − =

⇒

− ⇒ −

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

( )2 2

2

2 2

x x

x x

e e k

x e dx x x e k

+ +

= − + +∫






1

: ; cos

cos cos

cos : ; cos

cos 2 os

2)

c

1 x x

x x x

x x x

x x x

x

x x x

Selección u e du e dx dv senxdx v senxdx v x k

e sen x dx e x e x dx

I e x dx Selección u e du e dx dv x dx v sen x k

e sen x dx e x e sen x e sen x dx e senx dx e

e sen xdx = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = − +

= − +

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +

= − + −

⇒

⇒ = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

( )

2 2

2 2

22 2 2 2

2 2

2 2 22 2 2 2

12 2 2

2 2

2 2 2 2 2

22

2 2

cos

2

:) ;

:

13

x

x x x

x e sen x k

e x e sen xe sen x dx k

x dxSelección u a x du dv dx v x k

a x

x dxa x dx x a x

a x

a a x x dx a a x I dx dx dx

a x a x a x a x

a x Para dx a arcsen

aa x

a x dx

+ +

− += +

−= − ⇒ = = ⇒ = +

−

− = − +−

− − −= = = −

− − − −

= +−

− ⇒

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ 2 2 2 2 2 22 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2 2

1

2 2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2 2

( ).

( ):

( )

( )

( )

2 ( ) ( )2 2

14

k ver tabla

a x a x a xa x Para dx dx a x dx

a xa x a x

x

I a arcsen a x dxa

xa x dx x a x a arcsen a x dx

a

x x a xa x dx x a x a arcsen k a x dx a x arcsen k

a a

− − −−⇒ ⇒ −

−− −

= − −

− = − + − −

− = − + + ⇒ − = − + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

( ) ( )

2 2

2 2

: ; sec

sec sec sec

: 3 ;

3 3

) sec

15)

(

3

)

x x x

z x

x x x

x xdx

x e

Selección u x du dx v xdx v tgx k

x x dx xtgx tgx dx x x dx x tgx Ln x k

Selección u x du dx dv e dx v e dx

z x dz dx v e dz v e k

x e dx x e e d

dx

x

− −

−

− − −

−

= ⇒ = = ⇒ = +

= − ⇒ = − +

= + ⇒ = = ⇒ =

= − ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − +

+ = + − +

⇒

+ ⇒

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ( ) ( )

( )( )

( )

12

3 3 ( )

: 11 1

: 1 2 11

116)

1

x x x x e dx x e e k

dx dxSelección u Ln x du dv

x x

dxv Cambio de Variable z x dz dx v z dz v x k

Ln xdx

x

x

−

− − −⇒ + = − + − +

= + ⇒ = =+ +

= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ + ++

+

=

⇒+∫

∫

∫ ∫






( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

12

17) 1 1

1 112 1 1 2 2 1 1 2

11 1 1

1 2 1 1 4 11

( 1): 1

2 12 1

1 1 : 1

Ln x Ln x x dxdx xLn x dx dx xLn x

x x x x

Ln x dx xLn x x k x

du x dxSelección u Ln x du

dx x x

dv x dx v x dx Cambio de Variable

x Ln x

z x dz dx

d

z

x

v

−

+ + ⇒

+ ++= + + − ⇒ = + + −

++ + +

+ = + + − + ++

+= + ⇒ = ⇒ =

++

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ =

=

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

( )

( )

( ) ( )

323

3

32 2

3 3

32 13 3

3 32 1 23 3 3

3

( 1)

( 1)

1 1 ( 1) 1 2 1

1 1 ( 1) 1 1

1 1 ( 1) 1 ( ( 1) )

2 21 1 11

3 3

: 1 218) 1 2

dz v x k

x dx

x Ln x dx x Ln x x

x Ln x dx x Ln x x dx

x Ln x dx x Ln x x k

x Ln x dx Ln x k x

x selección u Ln x d x u Ln dx

−

⇒ = + +

++ + = + + − +

+ + = + + − +

+ + = + + − + +

+

+ ⇒

+ = + − ++

= + ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

12

1 12 2

12

12

(1 2 ) 1 2

;2

1 2 1 22

1 2 1 2 1 2 1 2( 2) ( 2)

2: 2 ;

2

dx dxdu

x x xdx

du dv dx dv dx V x k x x

x dx Ln x dx xLn x

x x

x dx dx Ln x dx xLn x Ln x dx xLn x

x x x

dx dwCambio de Variable w x dx pero

x x

− −

−

−

⇒ =

+ += = ⇒ = ⇒ = +

+

+ = + − ⇒ +

+ = + − ⇒ + = + − + +−

⇒ = + ⇒ =+

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

( )

( )

( ) ( )

12

12

1 12 2

12

1 12 2

: 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

2

2 4 2( 2) 4 ( 2)2

1 2 1 2 2( 2) 4 ( 2)

x w w dw dx

w dwdx w w dw dwdw dw dw

w w w w w x

dxw Ln w k x Ln x k

x

Ln x dx xLn x x Ln x k

−

−

− −

−

− −

= − ⇒ − − =

− − − = = − = − − = − − +

= − + + = − + + + ++

+ = + − − + + + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫






( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

19)

20) 2

: ;

( 1)

: ; 2 1

2 1 1

1

1

2 1 1 2

x x x x

x x x x x x x x

Selección u x du dx dv e dx v e dx v e k

xe dx xe e dx xe dx xe e k xe dx e k

dxSelección u Ln x du dv x dx

x

v x dx v x x k

x

xe dx

x Ln

x dx x Ln xdx Lnx x x

x

x x

x

d

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +

= − ⇒ = − + ⇒ = − +

= ⇒ = = + ⇒

= + ⇒ = + +

++ = + − ⇒ +

⇒

+ ⇒

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2

32

3 3 3 32 2 2 2 1

2

2

3

1 1 1

2

2

1 12

: ;3

( )3 3 3

1)

22)

Ln xdx Lnx x x x dx

x x Ln xdx Lnx x x x k

dx x Lnx dx

Ln C

xSelección u Ln x du dv x dx v k

x

x x x x x Ln xdx Ln x dx x Ln xdx

osxdx

Cos

Ln x x dx x Ln xdx Ln x k x

Selecció x

= + − +

+ = + − − +

= ⇒ = = ⇒ =⇒

⇒

+

= − ⇒ = − ⇒ = − +

∫

∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[ ]

( )[ ] [ ]

( )

2

2

2

2 2 2

1 2 2 2 2

( ): ( )

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) 1(I ) =

( )

Sen xn u Ln Cos x du dx

Cos x

dx

dv dv Sec x dx v tg x k udv uv vduCos x

Ln Cos x dx Senx Ln Cos x tg x tg x dx

Cos x Cosx

Sen x Cos x dx Cos xdx dx d

Cos x Cos x Cos x Cos x

−= ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = − = + ÷

−= −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

( )[ ] [ ]

2

1

2

2

(I ) ( )

( )( ) ( )

23)

( )

: ;

:2

x

Sec x dx dx tg x x k

Ln Cos x dx Ln Cos x tg x tg x x k

Cos x

Selección u x du dx dv SenxCosx dx v SenxCosx dx

z Cambio de Variable z Senx dz Cosxd

xSenxCosx

x v z dz k v

dx

= − = − +

= + − +

= ⇒ = = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = = + ⇒ =

⇒∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

( )

2

22

2

1 1

2

2

1

2 2

1 2 1 1 1 ( . .) 2 2

2 2 2 4

1 1 22 4 8

Sen xk

x Sen x xSenxCosxdx Sen x dx

Cos x dx I Sen xdx Id Trig I dx Cos x dx x Sen x k

x Sen x xSenxCosx dx x Sen x k

+

= −

− = = ⇒ = − = − +

= − + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫






( )

( ) ( )

22

2 2

2

2 2

3

2

1 2

2

1

: ; 2 22

: 2 ;1 1

: 121 1

1

:

24)1

xSenxCosx dx x Sen x dx

Selección u x du dx dv Sen x dx v Cos x k

x xdx xdxSelección u x du xdx dv

x x

xdx xdx

Otra

dz dv v Cambio de Variable z x xdx

x

orma

x dx

x

x

v

=

= ⇒ = = ⇒ = − +

⇒ = ⇒ = =− −

= ⇒ = ⇒ = − ⇒ − =− −

⇒−

= −

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

∫

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

11 1

22 2

1 12 2

12

13

22

1 32

2

2

32 2 2

2

2 2

1

2 1/ 2 2

1 1

32 2 2

2

11

2 2

1 1 21

1 2 1 2 2

21 2 (1 )

3

21 (1 )

25

31

dz v z dz v z k v x k

z

x dx x x x xdx

x

I x xdx Cambio deVariable w x dw xdx dw xdx

I x xdx w dw I x k

x dx x x x k

x

−

⇒ = − ⇒ = − + ⇒ = − − +

= − − + −−

= − ⇒ ⇒ = − ⇒ = − ⇒− =

= − = − = = − − +

= − − − − +−

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ]

3

23

2 3

2

43 3

4 4 42 23 3 3

4 4 42 23 3 1

4

2: ( ) 2

4

2 ( ) 1 2 2 ( ) 1

4 4 4 2

)

2 ( )

)

2

6

4

2

8

x

dxCambio deVariable u Lnx u Lnx du

x

xdv x dx v x dx v k

x Ln x x dx x Ln x x Lnx dx x Lnx dx x dx

x

x Ln x x x x L

x Lnx d

nx dx k x Lnx dx Lnx k

S

x

x e dx elec

/

= ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = +

/= − ⇒ = −

/ /

= − +

⇒

⇒

⇒ = − +

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ 3

2 3

2 32 3 3

33 3

1

2 3 3 2 3 32 3 3 2 3 3

: 2 ;3

2

3 3

: ;3

2 1 2 2

3 3 3 3 3 9 27

x x

x x x

x x x

x x x x x x x x

eción u x du xdx dv e dx v k

x e x e dx e x dx

e I e x dx Selección u x du dx v e dx v k

x e x e x e x e x e dx e dx x e dx e k

= ⇒ = = ⇒ = +

= −

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +

= − − ⇒ = − + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫






32

32 3 2

3 3

3

1

2 2

3 3 9

: ; 16 16

2: 16

3

2 216 (16 ) (16 )

3

27) 1

3

2(16

3

6

)

x x e x

x e dx x k

Selección u x du dx dv x dx v x dx

z Cambio deVariable z x dz dx v k udv uv v du

x x x dx x x dx

I x dx Cambio de Varia

x x d

bl

x

e

= − + +

= ⇒ = = − ⇒ = −

−= − ⇒ =− ⇒ = + ⇒ = −

−− = − + −

= −

− ⇒

⇒

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

3

2

5 5

3

1 1

2

22

1

2

: 16

4 (16 ) 4 (16 )2 216 (16 )3 15 3 15

: 2 ;6 6

: 6 2 6

2 6 4 66

2 )6

6

8

t x dt dx

x x x I t dt I x x dx x k

dx dxSelección u x du x dx dv v

x x

Cambio de Variable z x dz dx v x k

x dx x x x x dx

x

I x x dx C

x dx

x

= − ⇒ − =

− − −− −= ⇒ = ⇒ − = − − +

= ⇒ = = ⇒ =+ +

= + ⇒ = ⇒ = + +

= + − ++

⇒

⇒

=

+

+

∫ ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

( )

52

3 31 12 2 2 2

52

32

2 22 2

1 1

22

2 23

: 6 6

2( 6)6 6 ( 6 ) 4( 6)

5

8( 6)2 6 16( 6)

56

: 29 ;2 ) x x x x

ambio de Variable t x x t dt dx

x I x x dx t t dt t t dt I x k

x dx x x x x k

x

x e xdx Seleccion u x du x dx dv e xdx v e xdx x e

C b

dx

am io

= + ⇒ = − ⇒ =+

= + = − = − ⇒ = − + +

+= + − − + +

+

⇒ = ⇒ = = ⇒⇒ =

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2

2

2

2 2 2 22

2

22 2 2 2

2

1

: 2 2 2

( 1)2 2 2

30) 6

2

: 2 ; 6 6

: 6

x z

x x x x x x x x

dz e

de Variable z x x dxv dz v k e

e e x e x e x e xdx e xdx x e xdx k x e xdx x k

Selección u x du x dx d x x v x dx v x dx

Cambio de Variable z x dz d

d

x v zdz

x

= ⇒ = = ⇒ = +

= − ⇒ = − + ⇒ = − +

= ⇒ = = − ⇒ = −

= − ⇒ − = ⇒

⇒

=

−∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ 32

32

3

2

2

2

2(6 )

3

2 (6 ) 46 (6 )3 3

xv k

x x x x dx x x dx

−⇒ = +

−− = − −∫ ∫






32

5 72 2

3 3 52 2 2

3 5 72 2 2

32

1

1 1

22

22

(6 ) : 6 6 ;

12(6 ) 2(6 )(6 ) (6 )

5 7

2 (6 ) 4 12(6 ) 2(6 )6

3 3 5 7

2 11 408 2886 (6 )

3 7 35 35

I x x dx Cambiode Variable w x x w dw dx

x x I w w dw w w dw I k

x x x x x x dx k

x x dx x x x

= − ⇒ = − ⇒ = − − =

− −

= − − = − − ⇒ = + + − − −

− = − + +

− = − − −

∫

∫ ∫ ∫

∫

2

2 2 2

2 2

2

: (3 ) ;2

(3 ) (3 )(3 ) (3 )2 2 2 2

(3 )(

31) (3 )

32)

3 )2 4

: cos ;

k

dx xSelección u Ln x du dv x dx v k

x

Ln x dx Ln x x x x x xLn x dx xLn x dx

xLn x dx

Sen xd

dx x

Ln x x x xLn x dx k

senx senxdx Selección u senx du xdx

v senx

x

//

+

= ⇒ = = ⇒ = +

= − ⇒ = −/

= − +

⇒ = ⇒ =

=

⇒

⇒

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫

2 2 2 2

2 2 2

2

cos

cos cos cos (1 )

cos 2 co

33

s

c

:)

os

2

dx v x k udv uv vdu

sen xdx senx x xdx sen xdx senx x sen x dx

sen xdx senx x dx sen xdx sen xdx senx x x k

senx x x sen xdx k

Sel Arcsenxdx ección u Arcsenx d

⇒ = − + ⇒ = −

= − + ⇒ = − + −

= − + − ⇒ = − + +

− +

⇒⇒

= +

=

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

12

2

2

2 211 1 122

2

;1

1

: 1 121

1

: cos(2 ) 2 (34) 2 )cos(2 ) ; x x

dxu dv dx v x k

x

xdx Arcsenxdx xArcsenx

x

xdx dz I Cambio de Variable z x xdx I z dz I x k x

Arcsenxdx xArcsenx x k

Selección u x du sen x d e x x v e x d d

−−

= = ⇒ = +−

= −−

−= ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − +−

= + − +

= ⇒ = − =⇒

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫ ∫

1

cos(2 ) cos(2 ) 2 (2 )

(2 ) : (2 ) 2cos(2 ) ;

cos(2 ) cos(2 ) 2( (2 ) 2 cos(2 ) )

x

x x x

x x x

x x x x

x v e k

e x dx e x e sen x dx

I e sen x dx Selección u sen x du x dx v e dx v e k

e x dx e x e sen x e x dx

⇒ = +

= +

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +

= + −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫






22

2

cos(2 ) cos(2 ) 2( (2 )) 4 cos(2 )

5 cos(2 ) cos(2 ) 2( (2 ))

cos(2 ) 2( (2 ))cos(2 )

5

: 2 ; co35) s

x x x x

x x x

x x x

e x dx e x e sen x e x dx

e x dx e x e sen x k

e x e sen xe x dx k

Selección u x du xdx dv sen x sen xdx x dx dv sen x dx v x k

x senxdx

= + −

= + +

+= +

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =− +⇒

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

2

2

1

1

2 2 2 2

cos 2 cos ( )

cos : ; cos cos

cos 2 (2 ) 2

: ( )36)( 1)

x x x x

x x x x dx I

I x x dx Selección u x du dx dv x dx dv xdx v senx k

x Cosxdx x x x senx senx dx x senxdx x Cosx x Senx k

xedx Selección u xe du e u

x xe dx d ⇒

=− +

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = +

=− + − ⇒ = − + +

= ⇒ = + ⇒ =+

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

3 33

1

2

2 2 2

3 2

(1 )

1: 1

( 1) 1

(1 )

( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1

: 3 ;37) x x

x

x x x x x x x x x

e x dx

dxv Cambio de Variable z x dz dx v z dz v k

x x

xe dx xe e x dx xe dx xe xe dx xee dx e k

x x x x x x x

Seleccion u x du x dx dv e d x e dx− −

−

+

−= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ = +

+ +

− + − −= + ⇒ = + ⇒ = + +

+ + + + + + +

= ⇒⇒ = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

3

3

3 3 3

3 3 3

3 3 3 3 3

3 3 2

2 2

1

3 3 2 3

: 3 3 33

3 9

: 2 ; 3

3 9( 3 6 )

x

x

x x x

x x x

x x x x x

z

x v e dx

xCambio de Variable z dz dx v dz v e k e

x e dx x e x e dx

I x e dx Seleccion u x du x dx v e dx v e k

x e dx x e x e xe dx x e dx

−

−

− − −

− − −

− − − − −

⇒ =

−= ⇒− = ⇒ =− ⇒ =− +

=− +

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =− +

=− + − + ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ 3 3 3

3 3 3

3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3 3

3 2

2

3 3 2

3 3 2

3 3

3 27 54 )

: ; 3

3 27 54( 3 3 )

3 27 162 162( 3 )

3 27

x x x

x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x e x e xe dx

I xe dx Seleccion u x du dx v e dx v e k

x e dx x e x e xe e dx

x e dx x e x e xe e k

x e dx x e

− − −

− − −

− − − − −

− − − − −

− −

− − +

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =− +

=− − + − −

=− − − − − +

=− −

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )

( ) ( )

3 3 32

22

2 2 2 2

162 486

2 (38)

): ( ) ;

( )2 2 ( )

x x x

x e xe e k

Ln x dxCambio deVariable u Ln x du dv dx v x k

x

xLn x dx Ln x

Ln x dx

dx xLn x Ln x dx xLn x Ln x dx x

− − −

− + +

= ⇒ = = ⇒ = +

= − ⇒ = −

⇒

∫ ∫ ∫

∫

∫






( ) ( ) [ ]

( )

( )

1

2 2 2 2

( ) : ( ) ;

2 ( ) 2 (

38)

)

3: cos( ) ( ) ; 3

ln(3)

3 cos( ) 13 cos( )

ln

3 ( )

( )

x x

x

x x

dx I Ln x dx Selección u Ln x du dv dx v x k

x

xdx Ln x dx xLn x xLn x Ln x dx xLn x xLn x x k

x

Selección u xCo du sen x dx s x dx dv dx v k

x x dx

x

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = +

= − − ⇒ = −

⇒

− +

= ⇒ = − = ⇒ = +

= +

∫

∫ ∫ ∫

∫

∫

( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

1

2 2

3 ( )ln 3

33 ( ) : ( ) cos( ) 3

ln( )

3 cos( ) 1 3 ( ) 13 cos( ) 3 cos( )

ln( ) ln 3 ln( ) ln 3

3 cos( ) 3 ( ) 13 .cos 3 cos( )

ln( ) ln (3) ln (3)

x

x x x

x x x x

x x x x

sen x dx

I sen x dx Selección u sen x du x dx dv dx v k x

x sen x x dx x dx

x x

x sen x x dx x d

x

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +

= + −

= + −

∫

∫ ∫ ∫

∫

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

2

2

2

2

1 3 ( )3 cos( ) 3 cos( ) cos( )

ln (3) ln 3 ln 3

1 3 ( )

1 3 cos( ) cos( )ln (3) ln( ) ln( )

3 ( ) ln(3)cos( )3 cos( )

c

1 ln (

os( )39

3)

)( )

x x x

x x

x x

x

sen x x dx x dx x k

sen x

x d

x xdx

sen x

x x k x x

sen x x x dx k

Selecci

+ = + + ÷ ÷

+ = + +

⇒ ÷

÷ ÷ +

+

=+

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ 2

22 2

cos( ) 1: ;

( ) ( )

cos( ) 1 cos( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

: ( ) ; 2

( )

(40)

2

)

x

xón u x du dx dv v k

sen x sen x

x x x x x xdx dx dx Ln tg k

sen x sen x sen x sen x sen x

dx dxSelección u Ln x du dv v x k

x x

Ln x d

Ln x d

x

x

x

xLn x

= ⇒ = = ⇒ = − +

= − + ⇒ = − + + ÷ ÷ ÷

= ⇒ = = ⇒ = +

=

⇒

∫

∫

∫ ∫ ∫

( )( ) 2 2 ( ) 2

( ) ( )2 ( ) 2(2 ) 2 ( ( ) 2)

xdx Ln x dx dx x xLn x

x x x

Ln x dx Ln x dx xLn x x k x Ln x k

x x

− ⇒ = −

= − + ⇒ = − +

∫ ∫ ∫

∫ ∫






1

11

: ( ) cos ( ) ;

( )( ) cos ( )

cos( ) : cos( ) ( ) ;

41)

( )

( ) ax ax

a

axax ax

ax ax ax

a

axax

ax Selección u sen bx du b bx dx v e dx v e k

e sen bx be sen bx dx e bx dx

a a I e bx dx Selección u bx du bsen bx dx v e dx v e k

e sene sen bx dx

e sen bx dx = ⇒ = = ⇒ = +

= −

= ⇒ = ⇒ = − = ⇒ = +

=

⇒ ∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

2

2

2

2 2

2

( ) cos( )( )

( ) cos( )( ) ( ) ( )

( ) cos( )( ) ( ) ( )

( ) cos( )

( )

axax

ax axax ax

ax axax ax

ax ax

ax

bx b e bx be sen bx dx

a a a a

e sen bx b e bx be sen bx dx e sen bx dx

a a a a

b e sen bx be bxe sen bx dx e sen bx dx k

a a a

e sen bx be bx

a ae sen bx dx

− +

= − −

+ = − +

−=

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ [ ]2

2

2 2( ) cos( )( )

1

ax

ax

b

a

e asen bx b bxe sen bx dx k a b

−⇒ = +++ ∫

C! "#$%&'%( )'# *(+$,%')$# $ /!0(!$(+$ #$%$#$)&$( 1% $) !2+3 3$ *(+$,%'/*4( 1% 1'%+$#5 #( )'##*,*$(+$#:

1)

2) ( ) ( )

3) cos(

:

) co

:

s( )

4) ( ) ( )

:

:

n ax n ax

n n

n n

n

x e dx u x dv e dx

x sen ax dx u x dv sen ax dx

x ax dx u x

Selección recomenda

Selección recome

dv ax dx

nda

S

x Arcsen ax dx u Arcsen ax dv

elección recomenda


⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

5) ( ) ( )

6) ( ) ( )

7) cos( ) cos( )

:

:

:

8) ( )

n

n n

ax n ax

ax ax

n

x dx

x Arctg ax dx u Arctg ax dv x dx

e sen bx dx u se



Selecci

n bx x dv e dx

e bx dx u bx d ón recomenda

Selección r

v e dx

x Ln ax ecomdx

=

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒ = ⇒ =

⇒

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ (: ) nu Ln ax dvnd d a xe x= ⇒ = ∫

Método de Integración Por Partes

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