Método Alias (Walter 1977) Permite generar de manera eficiente v.a.d. Con soporte finito....
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Método Alias (Walter 1977)
Permite generar de manera eficiente v.a.d. Con soporte finito. Supongamos que se desea generar la v.a.d. X con función de cuantía P = { pi : i = 1,2,...,n }
donde Q(k) es una distribución concentrada en a lo sumo dos puntos {1,2,...,n}. La demostración de esta descomposición se basa en:
1
1
)(
1
1 n
k
kQn
P
Método de ComposiciónCaso Especial
Método de ComposiciónCaso Especial
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Lema1: Sea P = { pi : i=1,2,...,n} función de cuantía
Entonces:
a) Existe i {1,2,...,n} tal que pi <
b) Para tal i, existe j con i j tal que pi + pj
Dem : Reducción al absurdo
11n
11n
TransformacionesTransformaciones
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Distribución Binomial
Para generar una v.a.d. X ~ B(n,p)
independientes
Algoritmo
P1 : Hacer X = 0
P2 : Efectuar n réplicas- Generar U ~ U(0,1)Si U < p , Hacer X = X + 1Si U p , Hacer X = X + 0
P3 : Generar salida XObservación: Método propuesto requiere de generar “n” números aleatorios y n comparaciones
),1(~;1
pBZZX i
n
ii
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Un método alternativo es el método de inversión basado en la relación recursiva siguiente
[Fórmula recursiva]
Sea)(
)1)(1(
)()1( iXP
pi
piniXP
)(;)( iXPFiXPP
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Algoritmo
P1 : Genera U ~ U(0,1)
P2 : Hacer i = 0 , P = F = (1-p)n
Hasta que U < F
Hacer P = P , F = F + P
i = i + 1
P3 : Generar salida X = i
)1)(1(
)(
pi
pin
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribución Poisson
Para generar la distribución de Poisson P() con pequeño, utilizando el método de inversión.
P(X = i + 1) =
usando P = P(X = i) , F = P(X i)
)()1(
iXPi
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Algoritmo
P1 : Genera U ~ U(0,1)
P2 : Hacer i = 0 F = P = Exp(-)
Hasta que U < F
Hacer P = P , F = F + P
i = i + 1
P3 : Generar salida X = i
)1( i
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribución Geométrica
Para generar una v.a.d. X ~ G(p), es posible discretizar
Y ~ exp(). Sea X = [y]
Entonces P[x = r] =P(r Y < r +1), r=0,1,2,..
=
es la función de cuantía de una Geo(p=1-exp(-))
Tomando = -ln(1-p) X = ~ Geo(p)
));1(exp()exp()exp(1
rrdssr
r
][ )1ln(lnpU
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribución Hipergeométrica
Para generar una distribución Hipergeométrica H(m,n,p) se efectúan n extracciones sin reposición de un conjunto de m elementos de dos clases {p m C1 y m(1-p) C2 }
AlgoritmoP1 : Hacer X = 0, C1 = mp C2 = m-C1
P2 : Repetir n veces Generar U ~ U(0,1) Si U C1/m hacer X = X+1 , C1 = C1 - 1 sino , C2 = C2 - 1
Hacer m = m - 1P3 : Generar salida X
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribuciones Multivariadas
Distribuciones Independientes
El caso más simple lo constituye el de distribuciones marginales independientes
con x = (x1, x2,...,xp) Basta con generar cada componente Xi, como distribución univarianda y salir con
X = (X1, X2, ..., Xp)
p
iix xFxF
i1
)()(
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribuciones Dependientes
Distribuciones Dependientes con condicionadas disponibles. Utilizando la descomposición
F(x) = F1(x1) • F2(x2 / x1)...• F(xp / x1,x2,...,xp-1)
Si disponemos de las distribuciones
Xi / X1, ..., Xi-1 i = 1,2,...,p
AlgoritmoP1 : Desde i=1,2,...,p Generar Xi ~ Xi / x1, ..., xi-1
P2 : Generar salida x = (x1,x2,...,xp)
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Estadísticos de Orden
Para muestrear (X(1), X(2),...,X(p)), el estadístico de orden
asociado a m.a.s. X1,X2,...,Xp de X. La forma obvia de
muestrear es hacerlo de (X1,X2,...,Xp). Alternativamente,
podemos generar la muestra de orden. Por ejemplo, si
conocemos la inversa generalizada F, podemos generar
números aleatorios (U(1), U(2),...,U(p)) y salir X(i) = F(U(i)).
Para ello es necesario generar una muestra ordenada de
números aleatorios (U(1), U(2),...,U(p)) .
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Algoritmo
P1 : Generar U(1), U(2),...,U(p) ~ U(0,1)
P2 : Hacer U(p) = (Up)1/p
U(k) = U(k+1) Uk1/k
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribuciones Discretas
Las distribuciones discretas multivariadas no difieren de las univariadas. El soporte puede ser grande, pero los métodos, inversión, alias, etc. funcionan bien.
Ejemplo : Distribución bivariada (X,Y) con soporte {1,2,...,L}x{1,2,...,M} tenemos
Pxy = P(X x) + P(X=x, Y=y)
indexado en x.
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Métodos Específicos
Para generar X = (X1, X2,...,Xp) ~ N(, ) se usa el método de descomposición de Cholesky.
Sea = L Lt, para alguna matriz L.
Entonces si Z = (Z1, Z2,...,Zp) ~ N(0, Ip)
la variable X = (, LZ) ~ N(, )
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribución de Wishart
Para generar una v.a.c. W ~ W(n,,) para = 0, si = LLt y V = Zi Zi
t ; Zi normales p-variantes N(0, Ip) , i = 1,2,...,n
Entonces:
W = L V Lt ~ W (n,,0)
n
i 1
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Algoritmo
P1 : Generar Zij ~ N(0,1) i = 1,2,...,n j=1,2,...,n
P2 : Hacer V = Zi Zit
P3 : Hacer W = L V Lt
P4 : Salida W
n
i 1
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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El algoritmo implica generar “np” normales estándar. Una reducción del esfuerzo de cálculo se obtiene utilizando la descomposición de Bartlett.
En el caso no centrado ( 0), es una matriz simétrica definida no negativa. Sea = t su descomposición de Cholesky y u1, u2, ..., up las filas de .
Entonces, podemos escribir :
donde se genera W, similar al caso = 0 usando np normales estándares.
n
pk
ttkk
p
k
tkkkk LZLZLZLZW
11
))((
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Distribución Multinomial (p-dimensional).
Para generar la Distribución Multinomial de parámetros
q1, q2, ..., qp X = (X1, X2, ..., Xp) ~ M(n, q1,...,qp) con :
Como Xi ~ B(n, qi) i = 1,2,...,p
Xi / X1=x1,..., Xi-1=xi-1, ~ B(n-x1...-xi-1, wi)
i = 2,3,...,p con wi =
pinXqqp
ii
p
iii ,...,2,1,0,1
1 1
121 ......1 i
i
qqq
q
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Entonces resulta el Algoritmo
P1 : Hacer mientras m=n i=1, w=1, Xi = 0, i=1,...,p
Mientras m 0
Generar Xi ~ B(m, qi/w)
Hacer m = m-Xi , w =1 - qi , i = i+1
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Generación de Procesos Estocásticos
Generación de Familias de v.a. {Xt}t T
Comenzaremos con las cadenas de Markov homogéneas.
Cadena de Markov en Tiempo Discreto
Para generar una cadena de Markov con espacio de estado S y matriz de transición P = [pij] donde pij = P(Xn+1=j / X = i). La forma más simple de simular la transición (n+1)-ésima, conocida Xn, es generar Xn+1~{pxnj : j S}
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Alternativamente se puede simular Tn, el tiempo hasta el
siguiente cambio de estado y, después el nuevo estado
Xn+Tn. Si Xn = s, Tn ~ G(pss) y Xn+Tn tiene una distribución
discreta con cuantía {psj / (1 - pss) : j S \ {s}}.
Para muestrear N transiciones de la cadena suponiendo Xo = io
Algoritmo
Hacer t=0, Xo = ioMientras t < NGenerar h ~ G(pxtxt)Generar Xt+h ~ {pxtj / (1 - pxtxt) : j S \ {s}}.Hacer t=t+h
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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OBS. 1) La primera forma de simular una cadena de Markov, que corresponde a una estrategia
sincrónica, es decir en la que el tiempo de simulación avanza a instantes iguales.
2) La estrategia asincrónica es más complicada de simular [Ver. B. Ripley 1996]
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Cadenas de Markov en Tiempo Continuo
La simulación asincrónica de cadenas de Markov en tiempo continuo es sencilla de implantar.
- Las cadenas de Markov de Tiempo Continuo vienen caracterizadas por los parámetros vi de las distribuciones exponenciales de tiempo de permanencia en el estado i y la matriz de transición P; con pii = 0; pij = 1
- Sea Pi la distribución de la fila i-ésima. Entonces si Xo= io, para simular hasta T se tiene :
ji
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Algoritmo
Hacer t = 0, Xo = io , j = 0
Mientras t < N
Generar tj ~ exp(vxj)
Hacer t = t + tj
Hacer j = j + 1
Generar Xj ~ Pxj-1
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Proceso de Poisson
En el Proceso de Poisson P(), el número de eventos NT en un intervalo (0,T) es P(T) y los NT ~ U(0,T)
Algoritmo
- Generar NT ~ P(T)
- Generar U1, ..., UT ~ U(0,T)
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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OBS :
1) Para procesos de Poisson no homogéneos, con intensidad (t) y u(t) = (s) ds . Entonces
- Generar NT ~ P(u(t))
- Generar T1, T2 ,..., TNT ~
2) Los procesos de Poisson son un caso particular de los procesos de renovación. La forma de generar los primeros se extiende a los procesos de renovación.
t
0
],0[)( TIt
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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- Sean S0 = 0, S1, S2, ... Los tiempos de ocurrencia
- Ti = Si - Si-1 los tiempos entre sucesos.
- Para un proceso de renovación, los Ti son v.a.i.i.d. según cierta distribución .
- Simular hasta el instante T.
Hacer S0 = 0Mientras Si < T
Generar Ti ~ Hacer Si = Ti + Si-1
Hacer i = i + 1
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Procesos no Puntuales (Movimiento Browniano)
- La simulación de procesos (no puntuales) en tiempo continuo es más complicada que la simulación de procesos puntuales.0
- Una solución es generar procesos en suficientes instantes discretos y aproximar la trayectoria por interpolación.
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Como ejemplo, consideremos el movimiento Browniano con parámetro 2
- X0 = 0
- Para s1 t1 s2 t2 ..... sn tn las v.a. Xt1 - Xs1, ..., Xtn - Xsn son independientes
- Para s < t, Xt - Xs ~ N(0, (t-s) 2)
- Las trayectorias son continuas
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Entonces para t fijo,
Hacer X0 = 0
Desde i = 1 hasta n
Generar Yi ~ N(0, (t-s) 2)
Hacer Xit = X(i-1)t + Yi
Interpolar la trayectoria en {(it, Xit)}
Otros ejemplos de Simulación de Procesos continuos [Ver B. Ripley 1987]
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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El Proceso de Gibbs
El creciente interés en los métodos de cadenas de Markov, se debe al uso en Inferencia Bayesiana del Muestrador de Gibbs. [Geman (1984)]
Ejemplo: Sean (X,Y) v.a.d. Bernoulli con distribución
x y P(X,Y)0 0 p1
1 0 p2 pi = 10 1 p3 pi > 01 1 p4
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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P(X=1) = p2 + p4 (Marginal)
P(X/Y=1) =
P(X=1/Y=1) =
Las Distribuciones condicionales
1
0
4
3
xp
xp
43
4
ppp
)1/1()1/0(
)0/1()0/0(
xyPxyP
xypxyPAyx
42
4
42
2
31
3
31
1
ppp
ppp
ppp
ppp
yxA
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
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Algoritmo
Escoger Y0 = y0 , j =1Repetir Generar Xj ~ X/Y = yj-1
Generar Yj ~ Y/X = xj
j=j+1
Entonces {Xn} define una cadena de Markov con matriz de transición
A = Ayx Axy
43
4
43
3
21
2
21
1
ppp
ppp
ppp
ppp
xyA
Métodos EspecíficosMétodos Específicos
![Page 35: Método Alias (Walter 1977) Permite generar de manera eficiente v.a.d. Con soporte finito. Supongamos que se desea generar la v.a.d. X con función de cuantía.](https://reader031.fdocuments.ec/reader031/viewer/2022012919/5665b4661a28abb57c9136c8/html5/thumbnails/35.jpg)
Como las probabilidades pi > 0, la cadena es ergódica y tiene distribución límite, que es la marginal de X
Xn X ; Yn Y ; (Xn, Yn) (X,Y)
OBS: 1) El procedimiento descrito se llama muestrador de Gibbs [Gibbs Sampler] y nos proporciona una cadena de Markov, con distribución límite deseada y se puede generalizar.
Para muestrear un vector aleatorio p-variante
X = (X1, X2, ..., Xp) con distribución , conociendo
las distribuciones condicionadas Xs/Xr, r s
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Sea (xs/xr, r s) Dist. Condicionada
El [Gibbs Sampler] en este caso es
- Escoger X10, X2
0,..., Xp0 ; j = 1
RepetirGenerar X1
j ~ X1/ X2j-1,..., Xp
j-1 Generar X2
j ~ X2/ X1j, X3
j-1,..., Xpj-1
....Generar Xp
j ~ Xp/ X1j, X2
j,..., Xp-1j
j = j+1
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Se puede verificar que Xn = (X1n, X2
n,..., Xpn) define una
cadena de Markov con Matriz de transición
Pg(Xn, Xn+1) =
Bajo condiciones suficientemente generales [Ver Roberts Smith (1994)]
p
j
nj
nj
ni ijXijXx
1
11 ),;;/(
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Ejemplo : Muestrear la densidad
(x1/x2) =
siendo D = R+ R
(x1/x2) =
(x2/x1) =
x1/x2 ~
x2/x1 ~ N(0, 2=(1/2x1))
),()]1(exp[ 21221
1 xxIxxD
]exp[ 221xx
)]1(exp[ 221)(
),(
2
21 xxxxx
]1exp[ 22x
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El muestreador Gibbs
Escoger x20 ; j = 1
Repetir
Generar X1j ~ exp[1+(x2
j-1)2]
Generar X2j ~ N(0, 1/2x1
j)
OBS: Las secuencias podrían efectuarse en forma aleatoria en lugar de usar la secuenciación natural
Estudiar el Algoritmo de Metropolis-Hastings.
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