MENT0SREVISTA CE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA-MEDIA

Año li Marzo - Abril 1965 N? 11—H

¿Exigencias sin estímulos?

Temas de nuestro tiempo: La matemática en el mundo

moderno.

por Richard COURANT

Panorama: Dos reuniones de la CIEMEM

Cuestiones didácticas: Medios y técnicas para expo

ner conceptos de matemática moderna:

por Gcorgcs PAPY

Teoría moderna y aplicación de las probabilidades.

por Joao MARTINS

Orientación:

Li'

Problemas: Una aplicación de ecuaciones diofán ticas.

por Raúl A. CHIAPPA■■

Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correoí

'■

!

•, ;

ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA

fe ?Smt,f„»;aa msm«iwavaitip

.#hpwwi^*uknmmb■

Por la simple razón de que la exportación argentina de máquinas IBM aún no ha llegado los contados países del mundo occidental cuyos nombres empiezan con algunas de esas letras. IBM produce Clasificadoras e Intercaladoras de Tarjetas y Máquinas de Contabilidad en su planta industrial de Martínez — Pcia. de Buenos Aires — con personal argentino. Son productos nacionales que testimonian la universal perfección IBM, informan al mundo de la capacidad- industrial argentina y representan un valor sitivo en el comercio exterior de Las cifras son elocuentes:Año 1963 - Se exportaron 1175 máquinas por valor de u$s 3.098.448.-ARo 1964 - .Se exportaron 1539 máquinas por valor de u$s 4.559.028.-

a

FALTANELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA PARALA ENSEÑANZA MEDIA

SEIS* ;po-nuestro país.LETRAS ?

IBM WORLD TRADE CORPORATION

la IBM332!:rr- * Año IIsi Marzo - Abril 1965 N9 11

fcui>

Bellas palabras que no han perdido actualidad en absoluto. En nuestros días, el profesor de matemática — por no decir el docente en general mira a su alrededor'r advierte que por un lado se le exige más esfuerzo y dedicación, mientras

desconsideradamente, disminuyendo cada vez mas su TEMAS DE NUESTRO TIEMPO—

La Matemática en el Mundo Moderno' ’que por el otro se le trato

status” social.. í»

A breve plazo habrá de constituirse —así lo esperamos la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática. Sus integrantes no podrán sosia) ai este importante aspecto del problema. El apoyo que la Comisión reciba de las autoridades educativas no podrá limitarse a lo ñeramente formal. El profesoi, de matemática se maneja en un mundo de abstracciones, pero aún no ha logrado él mismo vertirse en una abstracción más.

Volviendo a Pizzumo. habrá que “despertar a los que fueron buenos y activos y duermen sin aliento. empujar a los atrasados para que abran los libros y se pongan al día. incitar a los reacios a incorporarse al movimiento general \ Pero también habrá que tratar a todos con justicia, rodeándolos de las merecidas consideraciones y prestándoles el apoyo debido.

RICHARD COURANT {Nueva York: EE. UU.)con-

La teoría de grupos, un capítulo central de la matemática contemporánea, ha evolucionado a través de de abstracción análogo. Esta teoría ira su origen en un problema que ha fascinado a los matemáticos desde la Edad Media: la resolución de las ciones algebraicas de grado mayor que dos, por procedimientos algebraicos, esto es,. por adición, sustracción, multiplicación, división y extracción de raíces. La teona de las ecuaciones cuadráticas fue conocida por los babilonios y la solución de ecuaciones de tercero y cuarto grados fue realizada por los matemáticos renacentistas Girolamo Cardano y Nicoló Tartaglia. Empero, la solución de ecuaciones de grados superiores al cuarto, encontró obstáculos insalvables.

A principio del siglo XIX, un nuevo y profundo ataque a estos problemas fue lanzado por Joseph Louis Lagrange, P. Ruffini y Niels Henrik Abel y, en la forma más original, por Evariste Galois. Estos nuevos intentos partieron de los conocidos hechos de que una ecuación algebraica de grado n de la forma xn + a„-i x"*1 -)- ... +alx + a„ = 0 tienen raíces Ti, r2, . .., r„, y.de que este conjunto ácr n raíces determina inequívocamente la ecuación (Por ejemplo, si 1 y 3 son raíces de una ecuación cuadrática, entonces (x — 1) (x — 3) = x2 — 4x + 3 = C es la ecuación determinada por las raíces 1 y 3). Los coeficientes de la ecuación son funciones simétricas de las raíces, esto es, ellos dependen del conjunto de las raíces, prescindiendo de su orden. (Por ejemplo, en una ecuación cúbica x,J + + ax2 + bx + c = 0 con raíces ri, r-_», t:{, los coeficientes pueden escribirse: —a =

= ri -f- r2 -f- i’¿; b = Tir.j -}- r2 r3 '-p r3 r^- c ---= Ti r2 r3 y si ri,T«, r3 se permutan, a, b y c no varían).

Con los años, el trabajo con tales ecuaciones reveló que la clave del problema de la expresión de las raíces mediante los coeficientes reside, no sólo en el estudio de expresiones simétricas, sino también más decisivamente, en el estudio de expresiones no completamente simétricas y en el análisis de cuántas simetrías poseyeran. La expresión E = n r2 -f- r3 r.t por ejemplo, no permanece invariable para toda permutación arbitraria de los símbolos Ti, r2, r:i, r.j. Si se intercambian los índices 1 y 2 con 3 y 4, E es invariante, esto es, permanece sin cambios. Empero, si se intercambian 1 y 3, la expresión resultante no es E. Por otra parte, la'sucesión de dos permutaciones que cambia y luego resablece a E/ equivale a una permutación que claramente deja invariante a E. El conjunto de estas permutaciones, llamado "grupo" por Galois, representa las simetrías intrínsecas de la expresión E. El conocimiento de los grupos de permutación fue reconocido por el ingenioso Galois como la clave pare una teoría más profunda de las ecuaciones algebraicas.

Después, los matemáticos fueron descubriendo rápidamente grupos de permutaciones en otros campos. El conjunto de los seis movimientos que transforman un triángulo equilátero en sí mismo, por ejemplo, forma un grupo. Se han descubierto otros grupos como elementos estructurales fundamentales en la mayoría de las ramas de la matemática.

un proceso mues-

LOS EDITORES ecua-

C O

una gran masa de dates y predecir la existencia de nuevas partículas, muestra convincentemente cómo puede ayudar la abstracción en la investigación de hechos difíciles.

La intuición, ese esquivo agenie vital, está actuando siempre en la creación matemática, motivando y guiando aun al pensamiento más abstracto. En su manifestación familiar, la intuición geométrica, ha figurado en la mayoría de los más importantes piogresos de la matemática que han ocurrido en trabajos geométricos o dimanado de ellos. Con todo, en matemática existe una poderosa compulsión a reducir el papel visible de la intuición, o acaso sería mejor decir, a afianzarla con un razonamiento preciso y riguroso.

La topología, la rama más joven y vigorosa de la qeometiía, ilustra en forma espectacular el resultado fructífero de esta tensión entre intuición y razón. Con unos pocos descubrimientos primitivos, aislados pero importantes, —-por ejemplo, la banda unilateral de Mobius —como acervo inicial, la topología emsrqió como terreno de estudio serio en el siglo XIX, Durante largo lapso fue casi enteramente asunto de intuición geométrica, de cortar y juntar superficies, en un. esfuerzo por visualizar la sustancia matemática de la topología, esto es, las propiedades de las superficies que no cambian bajo deformaciones continuas arbitrarias. Sin embargo, ya a principios de la evolución de la nueva disciplina, Georg Friediich Rie- mann atrajo la atención sobre ella. En su sensacional trabajo sobre la teoría de las funciones algebraicas de una varic- ble compleja (una variable que incorpora el número imaginario V — 1 mostró que los hechos topológicos concernientes a lo que ahora se llaman superficies de Rie- mann son esenciales para un real entendimiento de esas funciones.

Durante el siglo XIX, los investigadores descubrieron y exploraron Sistemáticamente gran cantidad de proposiciones lo- pológicas de supe’ficies de dos, tres y aun n dimensiones. Todavía sobre una base más o menos intuitiva, a principios de este siglo el gran Henri Poincaré y otros construyeron un fascinante edificio de teoría topológica. Este trabajo prosiguió en estrecha relación con el desarrollo de

la teoría de los grupos y se empleó en otros campos de la matemática y en la evolución de las ciencias exactas a altos grados de elaboración. Por ejemplo, fue empleado en mecánica celeste, específicamente en la construcción de órbitas planetarias en espacios curvados campos gravitatorios.

Rápidamente los topologistas ron a sentir la urgente necesidad de

descubiertas, requirió la formulación del concepto subyacente de grupo en los términos más abstractos. Esto se ha logrado llamando grupo a un conjunto de objetos matemáticos si se da una regla para "combinar" dos elementos de modo de obtener de nuevo otro elemento S del conjunto; se requiere que esta regla sea asociativa, esto es, (ST)U — S(TU). Además, el conjunto debe incluir un elemento "unidad" I tal que, combinado con cualquier otro elemento S del conjunto, dé por resultado S, esto es, SI = S. Finalmente, para cada elemento S debe haber en. el conjunto un elemento "inverso" S"1 tal que la combinación SS*1 reproduzca al elemento unidad I, esto es, SS*1 = 1.

Por supuesto, la naturaleza específica "sustancial" del grupo es dejada ampliamente abierta por esta definición abstracta. Los elementos pueden ser números, rotaciones de cuerpos geométricos, deformaciones del espacio (tales deformaciones pueden ser definidas por transformaciones lineales o de otra clase de las coordenadas) o, como más arriba, las permutaciones de n objetos.

En conjunto, el concepto de giupo, y el esclarecimiento y la unificación, que aportó a las diversas ramas de la matemática, deben ser reconocidos como la mayor conquista de los 150 años pasados. Mucho del esfuerzo se ha concentrado en el sector intermedio, más elevado, del arco del desarrollo, esto es, en el análisis estructural de los conceptos abstractos. Sin embargo, el trabajo ha contribuido en todo momento a iluminar áreas concretas más específicas tales como la teoría de números y el álgebra. En este aspecto, uno de los éxitos notables fue el de la famosa clasificación de 1870 de Félix Klein de las diferentes ramas de la geometría, de acuerdo con los grupos de transformaciones que mantienen invariantes ciertas propiedades geométricas.

La teoría abstracta de grupos ha hallado significativa aplicación en los problemas todavía más concretos de las partículas físicas. Aquí, la oportunidad es proporcionada por el intrincado grupo de simetrías abiertas y ocultas que prevalecen en la configuración e interacción de las partículas nucleares. El éxito de la teoría de grupos al poner orden en

remos, por ejemplo, el famoso teorema de C. Jordán que establece que toda curva plana, cerrada y continua, que no se corta consigo misma, limita dos dominios separadosCulaquier científico, ingeniero o estudiante, con su ingenua honradez mental, considerará el esfuerzo para probar un teorema tal como un ejercicio innecesario, autoimpuesto, casi masoquista. Sin embargo, al escribir su clásico texto de análisis, Jordán sintió fuertemente la necesidad de una demostración y la presentó. Una prueba de lo delicado del problema es el hecho de que la demostración de Jordán resultó no ser completamente correcta. Similarmente, nadie dudará de que la dimensión de una figura bi o tridimensional se mantiene invariable frente a cualquier deformación continua. Empero, la prueba precisa de este hecho, con la hipótesis general de una mera continuidad abstracta, se tiene como una de las mayores conquistas de Brouwer.

Es posible, por supuesto, evadirse.de algunas de las dificultades en la noción de continuidad restringiendo el grupo de deformaciones coniinuas —exigiendo, por ejemplo, "suavidad" o diferenciabi- lidad en lugar de continuidad pura. Ésto se hizo con gran, éxito. La topología diferencial, como se la llama, ha alcanzado recientes resultados sorprendentes. Investigaciones de deformaciones conducidas bajo el requerimiento de suavidad "razonable" han producido clasificaciones significativamente diferentes de estructuras topológicas que estarían sometidas a un régimen de continuidad completamente general.

no

1 interior y el exterior—.

por

empeza- agu-

zar sus herramientas para engarzar los productos de la intuición geométrica en vista de la precisión de la matemática moderna —sin destruir su convincente belleza.

Esta tarea fue realizada casi individualmente en las primeras décadas de este siglo por el matemático holandés L. E. J. Brouwer. Gracias a su gigantesco esfuerzo, la topología es ahora tan accesible al tratamiento riguroso como la geometría de Euclides, y sus avances prosiguen en el sólido terreno de un razonamiento lógico impecable.

En el centro de las dificultades que debió enfrentar Brouwer estaba el dilema presentado por el concepto de continuidad. Cualquiera tiene una firme idea intuitiva de lo que es continuidad, por ejemplo, la suavidad de una curva. Pero el estudiante principiante de análisis pierde muy pronto su seguridad cuando intenta encerra - la continuidad en una formulación matemática precisa. La dificultad es inherente a la tarea porque la intuición geoméirica de continuidad y el concepto matemático lógico no se equiparan perfectamente. La definición rigurosa lleva a la superficie todo un conjunto de casos, quizás marginal, en que con oaradojas se confunde a la intuición. Es fácil construir, por ejemplo, curvas continuas (en el exacto sentido de la definición) que no tienen longitud, que en ningún punto tienen tangente o que se encellan sin cortarse dentro de un cuadrado. de modo que lleqan a encerrar arbitrariamente a cualquier punto dado del cuadrado. Tales extrañas- consíruccio-

destacan la necesidad de un cuida-

!

I

Estos desarrollos deben también- ser recibidos como indicadores de una saludable desviación de la tendencia hacia una generalidad ilimitada. Desde las conquistas de Cantor en la teoría de los conjuntos, en las últimas décadas del siglo XIX, esta tendencia ha estado ocupando muchas mentes matemáticas. Algunos grandes matemáticos, especialmente Poincaré, la han combatido agudamente como

amenaza para la matemática, en

I

nesdoso razonamiento en las demostraciones de las propiedades topológicas de las superficies o de otros objetos sometidos a deformaciones complejas continuas.

A esa necesidad no es intuitivamente visible para el no topologisia. Conside-

unapariieular, porque conduce a paradojas insolubles. Si el criticismo militante de Poincaré ha probado ser excesivamente restrictivo y *aun reaccionario, no fue

118 - - 119-

tinciones de clase de esta índole son en el mejor de los casos el síntoma de las limitaciones humanas que evitan que muchos individuos vaguen a voluntad sobre vastos campos de interés.

Aunque la sustancia de la matemática es indivisible, deben reconocerse claras diferencias en las actitudes que el mismo científico o diferentes científicos pueden aportar a un problema. La actitud del purista, que cada mente científicamente inclinada adoptará por lo menos alguna vez, exige perfección intransigente. No se puede tolerar ninguna laguna ni deficiencias en la solución de un p’oblema y el resultado debe fluir de una cadera ininterrumpida de razonamientos sin tacha. Si el intento encuentra obstáculos insalvables, entonces el purista se inclina a replantear su problema o reemplazarlo con ofc'o cuya dificultad pueda ser capaz de dominar. Puede aun "resolver" su problema volviendo a definir lo que él entiende por solución, esto es, en realidad, un paso preliminar no fuera de lo común hacia una verdadera solución del problema original.

En el caso de la investigación aplicada, la situación es diferente. En prime- lugar ,el problema no puede ser libremente modificado o evitado; lo que se desea es una respuesta aceptable, humanamente confiable. Por tanto, si es necesario, el matemático debe aceptar componendas; debe estar dispuesto a interpolar suposiciones en el curso del razonamiento y a hacer concesiones frente a la inseguridad de la evidencia numérica. Pero aun el estudio de motivaciones más prácticas —el análisis, por ejemplo, del flujo con discontinuidades de choque— puede requerir una investigación matemática fundamental para descubrir cómo plantear la cuestión. Pruebas teóricas de existencia pueden, también ser importantes en la investigación aplicada; justificar que una solución existe puede dar la seguridad necesaria de la pertinencia del modelo matemático. Por fin, la matemática aplicada está dominada por la aproximación; no puede escaparse de ésta cuando se intenta reflejar los procesos físicos en modelos matemáticos.

Dirigir el traslado de la irealidad a los modelos matemáticos abstractos y apre-

(Sigue en la pág. 130)

menos saludable porque alentó a los matemáticos constructivos interesados en temas específicos y asibles.

Variadas motivaciones, en ios mismos individuos o en personas diferentes, inspiran la actividad matemática. Por cierto que por tener grandes partes de la matemática, especialmente el análisis, raíces en la realidad física, proporcionan poderosa motivación e inspiración. La situación con respecto a otros dominios de la realidad no es muy diferente. En la teoría de números y el álgebra, la actividad matemática es la intrigante realidad del mundo de los números, tan profundamente inherente a la mente hu mana. Todavía más apartada de la realidad física, podría pensarse, es la realidad de los procesos lógicos implicados en el pensamiento matemático. Sin embargo, las ideas básicas del trabajo esotérico en la lógica matemática han probado su utilidad para la comprensión y aún para el diseño de las máquinas computadoras automáticas.

En resumen, la matemática debe Inspirarse en la sustancia específica concreta y apuntar de nuevo a algún, estrato de "realidad". El vuelo hacia la abstracción debe ser algo más que una mera evasión; la partida desde el suelo y el regreso son ambos indispensables, aun si el mismo piloto no puede cumplir siempre todas las etapas de la trayectoria. A menudo la sustancia de la empresa matemática más pura puede ser provista por la realidad física tangible. Que la matemática, una emanación de la mente humana, sirva tan eficazmente para la descripción y la comprensión del mundo físico, es un hecho estimulante que con justicia ha atraído el interés de los filósofos. Sin embargo, dejando de lado las cuestiones filosóficas, el ocuparse de cuestiones físicas o el no ocupa.-se de ellas, no puede ser adoptado como criterio para distinguir entre las clases de matemáticas o de matemáticos.

Ninguna línea nítida puede, en realidad, trazarse entre la matemática "pura" y la “aplicada". No debe haber una clase de supremos sacerdotes de una belleza matemática sin adulteraciones, exclusivamente responsables de sus propias inclinaciones, y una clase de trabajadores que sirven a otros amos. Las dis-

panorama—Dos reuniones de la CIEMEM

La Reunión de Digne (*)sus

Fue la XVÜ* Reunión de la CIEMEM y se celebró en agosto de 1963. El tema de la convocatoria era: "Reconstrucción de la matemática en la enseñanza a alumnos de 10 a 18 años". Asistieron representantes de Alemania Occidental, Bélgica. Congo, Dinamarca, España, Francia, Luxemburgo, Italia, Marruecos, Suecia, Suiza y la Unesco, presidió el profesor G. Papy.

De acuerdo con el tema establecido, los participantes procuraron determinar los principios para la elección y la agrupación de los asuntos que deben considerarse básicos en una enseñanza reconstruida, procediendo después a la fección de una lista de tales asuntos y a la elaboración de una metodología adecuada.

El debate fue iniciado por el profesor A. Revuz; hubo asentimiento unánime en colocar el estudio de los conjuntos y de las relaciones en la base de la enseñanza, y se reconoció la importancia fundamental de los espacios vectoriales y del álgebra lineal. Se convino en la necesidad de que desde el principio y en forma continuada el alumno se acostumbre a percibir las grandes estructuras de modo que al llegar a los 18 años piense “linealmente". La estructura del espacio vectorial deberá ser la meta de un esfuerzo comenzado con el reconocimiento de grupos familiares como el* de los enteros o el de las traslaciones. También se concordó en que las primeras nociones sobre probabilidades deberían impartirse en la escuela primaria.

En cuanto a la geometría, si bien ha perdido su puesto de privilegio, sigue

siendo un dominio importante de la actividad matemática que da ocasión para la observación del espacio físico y constituye además un campo de aprendizaje del razonamiento. Pero ahora se la estudiará como un modelo matemático después de otros modelos más sencillos, y ayudará eficazmente a enriquecer el proceso de matematización.

Se quiere dar al curso de matemática en una escuela secundaria moderna el papel que le impone el mundo científico en que vivimos; se quiere, por tanto, que los programas no sólo reflejen las demás observaciones matemáticas, sino que, además, estén concebidos basándose en ellas.

A esta altura el debate se ubica en el problema didáctico: ¿cómo reacciona la mente y la voluntad del alumno ante la enseñanza de la asignatura? ¿Cómo debe conducírsele para encontrar en la inteligencia y en las reacciones afectivas de los muchachos de 10 a 18 años a sus mejores aliados en lugar de obstáculos insalvables? O mejor todavía, ¿a qué condiciones debe satisfacer esa enseñanza para que responda adecuadamente a la curiosidad intelectual, al ansia de actividad y a los deseos afectivos del alumno1?

Hasta ahora los trabaos sistemáticos de los psicólogos, aunque muy concienzudos, y ocasionalmente muy detallados, no arrojan resultados que puedan aceptarse sin reservas, porque casi siempre se refieren a conocimientos adquiridos por un alumno de cierta edad con una pedagogía determinada. Hay que contentarse con resultados aislados y provisionales debidos a comprobaciones empíricas extraídas de la propia enseñanza, a la espera de que se haga realidad la deseada colaboración entre psicólogos y matemáticos.

Se analizaron las reacciones de los alumnos y, en particular, las causas del.

i

mo-

con-

(*) Para la redacción de esta nota :nos hemos valido de la crónica de Juan M. Nachtergaele, S. J., aporecida en el Bulletin de la A.P.M., de febrero de 1964. (N. de los E.)

- 120 -- 121

i

ción, función, permutación. Cardinales. Análisis combinatorio.

D. Estructuras algebraicas

VI, Probabilidadesbloqueo afectivo, muchas veces comprobado, frente al etudio de la matemática. Frecuentemente, la reacción negativa del profesor ante los errores de razonamiento y las imperfecciones del lenguaje del alumno, al mismo tiempo que desarrolla en él un sentimiento de impotencia, un complejo de inferioridad ante situaciones presentadas prematuramente o tratadas con excesiva precipitación porque erróneamente se suponen adquriidas y dominadas.

La ausencia del concepto dé probabilidad, del suceso aleatorio, en la formación del alumno, proporciona un esquema mutilado de la realidad física y humana. Por lo demás, las nociones básicas de esta teoría son perfectamente accesibles a los alumnos secundarios. ;

Finalmente, la teoría de la medida es' una aplicación inmediata y muy sugestiva del álgebra de Boole; integrada en este contexto pierde su aspecto misterioso y, sin embargo, es perfectamente rigurosa.

El punto de partida para el estudio de una noción será siempre una noción familiar convenientemente elegida de la cual el alumno procurará extraer la estructura correspondiente. Este proceso de matematización de situaciones constituye la etapa fundamental del aprendizaje. Uno de los resultados será la definición correcta del objeto a partir del cual puede desarrollarse el estudio matemático en sentido estricto mediante teoremas y demostraciones rigurosas. Se comprende que la corrección y el rigor admiten diferentes niveles en correspondencia con la edad mental de los alumnos.

La última etapa de la enseñanza consistirá en un retorno a lo concreto aplicando los resultados obtenidos a los problemas que lo reclaman.

Definición. Repartición discreta de la unidad. Espacio de pruebas. Inter

sección, reunión, complementación. Probabilidad condicionada. Producto de espacios de prueba. Distribución binomial. Algunos ejemplos de estadística.

Es importante insistir sobre la interdependencia del estudio de las estructuras y la edificación de la geometría. Aquéllas serán empleadas a medida que se elaboren los elementos de la geometría y de las probabilidades; la introducción progresiva de las nociones geométricas proporcionará situaciones concretas de las que se extraerán algunas estructuras.

Se observa que los temas se reparten en dos sectores: en el primero se recogen las estructuras; en el segundo se presentan tres dominios matemáticos importantes.

La geometría ofrece estructuras muy ricas. Sigue ocupando, como se ha dicho, un lugar destacado por su relación con las estructuras cuya creación por el alumno se logra a partir de una base menos especializada. Además, es fundamental para la percepción del espacio físico.

Por su parte, el estudio de la probabilidad va logrando el puesto que por sus abundantes aplicaciones y por su papel en la formación mental, le corresponde.

masaLeyes de composición.Grupos: grupo de las permutaciones de conjunto. Ejemplos de grupos: grupos

de las permutaciones; grupos cíclicos; Z, +; R, -f; R'o. •; Q.+; Q«. •;P A; grupo

un

(E)de las traslaciones y grupo del plano puntual, grupo de las isometrías, grupo de los movimientos; grupo de las traslacio-

homotecias. Subgrupos. Cálculo yPor último se trataron dos factores de

poderosa influencia en el terreno escolar: libros de texto y exámenes. Se reconoció que los manuales no pueden ser perfectos poique, por una parte, deben contener definiciones y enunciados claros y precisos y, por otra parte, aproximaciones y rodeos necesarios para la captación progresiva de los conceptos. En cuanto a los exámenes, es indudable que contribuyen en gran medida al bloqueo afectivo del alumno; pero todavía no se ha encontrado el sistema ideal.

Al margen de la discusión se escucharon informes de los profesores Ibarra (España), Christiansen (Dinamarca) y Hasta- ad (Suecia) sobre renovación de programas y experiencias realizadas en sus respectivos países. La señora F. Papy expuso una introducción a los números reales y los profesores Delmotte y Liévens, la enseñanza de la geometría a alumnos de 13 a 14 años, tal como ellos la han practicado en Bélgica. Además, se decidió consagrar ulteriores trabajos a la enseñanza primaria, merecedora de la mayo" atención.

Como síntesis de la reunión se concretó la siguiente lista de temas que la CIE- MEN aconseja para alumnos de 11 a 16 años, entendiéndose .que el orden en que se exponen no corresponde a una jerarquía de valores ni responden a ,una exigencia pedagógica.

nes yecuaciones en un grupo. Isomoifismo.

Anillo. Factoreo en Z y en R(x).Espacio vectorial sobre R. Ejemplos.:

espacio vectorial de los polinomios, del plano y del espacio; de las compras; de las funciones; de las ecuaciones lineales.

Combinaciones lineales. Subespacios vectoriales. Partes generatrices. Base. Cálculo en un espacio vectorial.

Transformaciones. Formas lineales. Sis temas de ecuaciones lineales.

III. Espacios métricos

Distancias. Bolas. Continuidad. Normas y distancias en Rn. Diferencial y derivada.

IV. Geometría

Plano. Punto. Recta. Paralelas. Orden sobre la recta. Proyecciones y orden. Equipolencia. Grupo de las traslaciones y grupo del plano puntual. Grupo de las traslaciones y de las simetrías centrales. Graduación y subgraduación de la recta. Primera aparición del concepto de número real. Teorema de Tales. Grupo aditivo ordenado de los números reales. Homo- tecias. Grupo multiplicativo de los reales no nulos. Cuerpos de los reales y espacio vectorial del plano puntual.

Perpendicularidad. Simetrías axiales; composición. Grupo de las isometrías. Grupo de los movimientos. Grupo de las rotaciones de centro dado. Distancia. Angulo. Producto escalar. Teorema de Pi- tágoras. Elementos de trigonometría, Semejanza.

V. Elementos de la teoría de la medidaArea. Volumen.

ooo

OberwolfachLa Reunión deM. VAN BLEYENBERG (Gcmbloux; Bélgica)

Fue la XVIII9 reunión de la CIEMEM y la presidió el profesor G. Papy.

Los trabajos fueron expuestos del 9 al 16 de agosto de 1964. Los participantes, en su mayoría profesores de enseñanza secundaria, provenían de distintos países europeos: Francia, Suiza, Italia, Alemania Federal, Dinamarca, Holanda, Luxemburgo y Bélgica.

Originalmente, esta reunión fue organizada para profesores de enseñanza secundaria, pero se vio realzada por la participación de profesores universitarios, matemáticos o psicólogos. Fue a la vez

una reunión de personas —fuente de fructíferos y numerosos contactos— y uña reunión entre la psicología y la matemática.

He aquí los temas desarrollados en el transcurso de las jornadas:

—Importancia de la contribución de la psicología en la enseñanza de la matemática moderna.

—Datos actuales de la psicología de la inteligencia.

—Estructuras perceptivas y estructuras operatorias.

—Aspectos psicológicos del aprendí-

I. Conjuntos

Pertenencia. Conjunto de las partes de un conjunto. Producto cartesiano. Intersección, reunión, diferencia. Enlace con la lógica. Partición.

Relacion.es. Recíproca de una relación Composición de relaciones. Relaciones particulares: equivalencia, orden, aplica-

- 122 - - 123

s.

cebir esa transacción según su propia situación, pero se ha recalcado la necesidad de cada profesor de estar al corriente y de conservar o modificar su enseñanza según su criterio, en el marco de grama no necesariamente demasiado restrictivo.

Es necesario descargar al profesor de tareas administrativas a veces fastidiosas e inútiles (problemas de organización, de horarios,. ) para que pueda seguir ala matemática en plena evolución.

—Al lado de ramas tradicionales y temas clásicos, deben introducirse, cada vez más, materias nuevas, a menudo en reemplazo de otras menos adecuadas, como la trigonometría esférica; nos referimos el cálculo de probabilidades y la estadística, el álgebra de Boole (numeración binaria,. ), las funciones lógicas, etc.

—La estadística tiene importancia en el enálisis de los resultados de “tests" (para una apreciación aproximada del papel de los diversos tipos de cuesiiones, corrélacicn entre esos tipos,. ., en las indicaciones para el dominio de las estructuras mentales y ulteriormente para el empleo de esos conocimientos en pedagogía).

—La psicología del profesor tiene tanta impo'tancia corr.o la de los alumnos; ése es el papel de una psicolo- aía “sociológica".

* Retomando a la importancia de les rociones de estructuras algebraicas (ampo, anillo, cuerpo, campo, ^señalemos en el alumno la frecuente confusión de las estructuras aditivas v multiplicativas. Ocurre incluso en loa candidatos a bachilleres que la adición y la multiplicación son mol empleadas, sobre todo si esas dos operaciones aparecen simultáneamente (mal empleo de los pa'énte- sis, por ejemplo). Un buen conocimiento de las estructuras algebraicas consideradas fundamentales, que el método moderno trata a la vez de hacer muy accesible y muy profundo, evitaría tales situaciones.

—Parece que la “matemática mode-- na" recurriera más a las bases psi- colóaicas propias del alumno aue la 'matemática clásica"; esta última emplea algunas veces, sin tener la intención, bases físicas o de forma. Por

—En la enseñanza clásica sucedía frecuentemente que ciertos alumnos fracasaban únicamente en matemática. La experiencia belga hecha con unas 200 clases, muestra que el alum-

flojo en matemática (moderna) lo es también en otras asignaturas; lo mismo ocurre con los alumnos brillantes. En esto no parece haber prácticamente ninguna excepción.

—La “matemática moderna" aparece en general como netamente menos desagradable a los alumnos que la antigua. Los buenos resultados se explican también por una participación más inmediata de los alumnos en la materia enseñada.

—La estructura algebraica de grupo corresponde a una disposición fundamental en el dominio mental. Esta noción se enseña con éxito a'alum- nos de 12 años con el método moderno y no es en absoluto considerada con el método clásico.

—Se haría un buen control mediante• “tests" matemáticamente isomorfos,

pero de aspectos y presentación muy diferentes.

—La enseñanza moderna parece despertar en algunos la inteligencia, de manera explosiva.

—Parece preferible dar una enseñanza moderna de la matemática antes que una enseñanza de la “matemática moderna".

Cuardo se examina un ciclo completo de humanidades, el método clásico y el método moderno debieran dar los mismos conocimientos con pocas excepciones, por más que los puntos de vista sean muy diferentes: las escuelas superiores y la vida corriente lo exigen. La adquisición por los métodos modernos parece más profunda.

—Debe señalarse un peligro cuya incidencia práctica no puede escapársenos: es el pasaje de un alumno de un sistema a otro en el curso de los estudios. El alumno se hallará completamente desconcertado, sino definitivamente, ante un cambio tan radical.

Conviene, pues, en la enseñanza de la matemática, llegar a una transacción justa entre lo clásico y lo moderno. Se ha dejado a cada uno la tarea de con-

zaje matemático. Papel de la afec-‘‘ tividad.—Psicología interna dé la matemática

' de hoy.—Problemas psicológicos planteados

por el estudio activo dé las estructuras matemáticas.

—Investigaciones psicológicas importantes para la enseñanza.

Los trabajos se presentaron bajo dos aspectos:

a) Una información y, por tanto, un mejor conocimiento recíproco de las disciplinas psicológica y matemática. El estudio de la matemática produce incontestablemente “impresiones" en el cerebro; de ahí la importancia del aspecto psicológico.

b) Una actualización del psicólogo, por una parte, en cuanto a los “tests" que debe emplear para el registro de las nociones matemáticas (se ha aconsejado el rechazo de ciertos “tests" en desuso o inadaptados); del matemático, por otra, especialmente del pedagogo de la maiemática, en cuanto a los métodos de enseñanza a la luz de los datos psicológicos.

Hubo igualmente cierta “oposición" entre los partidarios de la "matemática moderna" y los de una matemática más clásica. Se hicieron diversas observaciones aue intentaremos sintetizar:

—Ninguno de los dos sistemas es rigurosamente perfecio.

—La “maiemática moderna" parece más cercana a las estructuras psicológicas del individuo.

—El desarrollo del pensameinto matemático en el niño es muy diferente del desarrollo histórico de esa disciplina que la enseñanza “clásica" tiende demasiado a seguir.

—No debe haber “matemáticas antiguas" y una “matemática moderna" sino una sola disciolina. El oroble- ma consiste en si debe enseñársela “a la manera clásica" o “a la manera moderna” o según ambas.

Observemos que la tendencia general es usar el vocablo “matemática" en sin- aular, como lo hacen por ejsmplo los alemanes: “die Mcdhematík": es*o se h'-'ce oara destacar la unidad de dicha ciencia del mismo modo que la física, la química...

ejemplo, una figura bien trazada sugerirá ur.a demostración o propiedades, geométricas; en seguida, empleada erróneamente, ese género de sugerencias puede volverse peligroso y hacer deducir de una figura algo menos bien trazada propiedades inexistentes. Por el método moderno, este tipo de error está totalmente excluido; parece, pues, más seguro (el empleo de los diagramas de Venn ilustra esta idea).

La “maiemática moderna" se separa más del dominio perceptivo (“gestalt") para llegar más rápidamente a lo abstracto Un ejemplo típico es el de los “tests" basados en "ilusiones ópticas", en que dos segmentos iguales y paralelos, vecinos, provisto uno de flechas divergentes en sus extremos y el otro de flechas convergentes, serán considerados no paralelos por la persona que base su afirmación en su percepción directa. Es peligroso “prolongar" en el nivel del pensamiento lo que vale en el nivel de la forma, como lo hacen los psicólogos de la escuela “gestaltista" (“la inteligencia es la continuación mediaia de lo perceptivo").

Es necesario llegar, y como lo dice el psicólogo suizo Piaget, a “relaciones conservativas" y no a contentarse con “relaciones deformantes", las que modifican los términos que vinculan. Relaciones conservativas del tipo lógico-matemático, que el método moderno enseña de manera mucho más directa desde el comienzo.

—Los psicólogos subrayan que las estructuras matemáticas están en parte ligadas a las estructuras psicológicas. Debe hacerse una distinción en el dominio de la psicología entre el aspecto neurológico, y químico-fisiológico, por una parte, y el aspecto fenomenolóaico, ñor otra parte, de la adquisición del conocimiento.

El aspecto fisiológico está. en la hora catual mucho menos desarrollado que el aspecto fenomenológico. Sólo este últi-

fue examinado en la reunión; se citaron referencias sobre el aspecto fisiológico y se subrayó su importancia, que ciertamente es también arande.

—Papel de la memoria: tiene su importancia, pero parece menor en el mé-

}

un prono

i

mo

124 - - 125 -

/;/

spresenta peligros si no se tienen en cuánta las aplicaciones, sea en la vida corriente, sea en los estudios ulteriores. Conviene, en la enseñanza de la matemática, tener en cuenta en gran medida los aspectos positivos de lo clásico y de lo moderno. Un justo equilibrio parece ser la mejor solución.

Si se desea una mejor enseñanza de la matemática, la psicología tiene que desempeñar un doble papel: en la escala individual, para indicar lo que es más "natural'', más próximo a nuestras estructuras mentales, para indicarnos la forma más racional de hacer adquirir la matemática a la luz del doble aspecto psicológico y fenomenológico del pensamiento; en la escala social, para establecer las relaciones entre alumnos y con el profesor.

Como se ve, en esta reunión, numerosas cuestiones han sido planteadas de una parte y otra, por el matemático y el pedagogo, al psicólogo, y recíprocamente.

todo moderno, que, en alguna manera, muestra a la matemática en forma "más natural", más próxima a la misma constitución del pensamiento.

—Papel del condicionamiento: queda, como siempre, subyacente. Es, pues, primordial evitar los condicionamientos "nefastos" así como las reacciones automáticas ante el sólo aspecto de las figuras geométricas, por ejemplo.

A manera de conclusión, diremos que la "matemática clásica" no toma suficiente conciencia de las estructuras "fundamentales" y eventualmente se pierde en detalles repetidos para dominios diferentes que la "matemática moderna" permite reconocer como isomorfos. Toma de conciencia y economía de pensamiento son dos caracteres importantes de la matemática de hoy. Más natural, se la adquiere más fácilmente y se fija de manera más profunda.

Sin embargo, la enseñanza de una matemática moderna", muy bello ideal,

CUESTIONES DIDACTICASMedios y técnicas para conceptos de matemática moderna'*1

i

exponer

GEORGE PAPY(Bruselas, Bélgica)

9.- — BASE GEOMETRICA DE LA TEORIA DE LOS GRUPOS

alumnos que se calcula con los objetos más diversos y no sólo con números. En nuestro curso de matemática moderna, se calcula en realidad mucho más que en los cursos tradicionales. Los cálculos son mucho más variados en él, más inteligibles y muy a menudo enriquece- dores. Este fenómeno del cálculo evita el fenómeno de regresión que se comprueba, |ay!, tan grandemente después de las ejercitaciones tradicionales.

3. — Después de haber definido la suma de dos partes A y B de x0, -r, se hará construir la suma en las situaciones más diversas y entretenidas (Ver, p.e., "Mathématique Modeme I", págs. 415/7, y "Groupes", págs. 71, 86, 102 y 103).

4. — Presentar subgrupos y partes estables de ;r„, ~r (Ver, p.e., "Groupes".. págs. 46/7).

5. — ¿Cuál es el subgrupo de :r0, 4- engendrado por una parte de ;t„? (Ver "Groupes", Págs. 54, 55, 70, 87).

6. — La misma cuestión para las partes estables de 3t0,+.

7. — La misma cuestión para los grupos estables de tc0, —.

8. — Comparar las nociones de partes estables de . zi0, +, de partes estables de jr0, — y de subgrupos de jt„, +.

9. — ¿Cuál es el subgrupo de Jt0, + engendrado por -j A, B }■? En particular, cuando O,A y B están alineados (Este problema está vinculado con la noción de número irracional y la fórmula de Bézout para el M.C.D.).

10. — Después de haber definido la noción de grupo-cociente, dibujar algunos elementos de jt0/S, donde S es subgrupo de 3t0* (Cf. "Groupes", Pág. 110).

<Desde Klein, la importancia de los gru

pos en geometría es reconocida como un hecho fundamental. Mientras los grupos no aaprezcan mas que como medio de- iluminar de manera grandiosa el edificio de la geometría, corren el riesgo de aparecer ante los alumnos como un lujo no indispensable.

Hoy conviene emplear los grupos desde el principio como elemento fundamental en la construcción de la geometría.O O O Una vez designado un punto O de un plano, lodo punto del plano representa un vector y el plano se estructura como grupo que designamos inteligiblemente con rr0 ,’ + .

Jamás podrá destacarse bastante la riqueza pedagógica de la situación :t0, + . Proporciona a los alumnos una base geométrica de la teoría de los grupos que podrá usar durante mucho tiempo. Esta situación plantea problemas interesantes en todos los niveles, desde los cálculos elementales en un grupo hasta los problemas que hacen íniervenir al M.C.D. o al m.c.m., o aun a la noción de número irracional.

Limitémonos aquí a enunciar algunos problemas que no constituyen una lista exhaustiva:

1. — En jr0, +, construir a+b.2. ^— En 7t0, +, resolver la ecuación

a-!-x=:b (Se calcula con puntos).Es esencial hacer comprender a los

PROBLEMAS NUMERICOS

La araña y la mosca. La araña dijo a la mosca: “Pasa a mi sala y a menos que quieras morir, contesta por favor a una pregunlita. He comido naturalmente muchas moscas, pero díme si le atreves: si las hembras tuvieran dos patas más y los machos, la mitad de las que ahora tienen, ¿cuántas moscas de esa clase crees que necesitaría para obtener el número de patas de moscas que deseo, es decir, 28?

Un milagro en la municipalidad. Víctor se detuvo bruscamente provocando el disgusto de un anciano que le seguía muy de cerca. Pero, era demasiada su emoción ante semejante milagro como para preocuparse de un hombre.

Al llegar a su casa, Víctor se apresuró a contar la novedad a su esposa. Un poco más tarde, al relatar la historia con toda la calma de que era capaz, recordó que el minutero estaba tres divisiones de minuto adelantado con respecto al horario y que ambas agujas enfrentaban exactamente a divisiones de minuto.

Miró su reloj y luego, nuevamente, el gran reloj de la Municipalidad. Por increíble que pareciera no cabía la duda, era cierto: ¡el reloj municipal señalaba Ja hora exacta!

(*) Véase ELEMENTOS, Año II, pp. 99/104. (N. de los E.).¿A qué hora presenció Víctor este milagro moderno?

- 126 - - 127 -

I/

I/

centrales y las iraslac'ones). Se trata, '• pues, de una situación puramente afín,

pero que, por su simplicidad, es una excelente preparación para estudiar el

de las. isometrías.

El producto de varias simetrías será representado análogamente.

Se examina especialmente el caso en que:

S es el subgrupo engendrado por un punto;

S es una recia que contiene a O;S es el subgrupo engendrado po: dos

puntos no alineados con O.11 — Gracias a los ejercicios prece

dentes, estructurar como grupo a un neumático, uno de cuyos puntos set designa con O.

13. — Representar los puntos del grupo precedente por medio de un reloj de dos agujas.

14. — Estudiar la situación determi-

M1 0)

grupoComo las simetrías son involutivas,

el grupo engendrado por simetrías es simplemente el conjunto de sus productos. Se trata, pues, de representar de entrada cualquier producto de simetrías centrales.

Al principio se utilizarán, entiéndase bien, los gráficos, gracias a los cuales se pn hará, apoyándose en el teorsma de

Tales ,que S».SA = 2AB (Cf. "Mathéma- tique Moderne I". Cap. 23). Muy rápidamente, los gráficos se vuelven embarazosos cuando se trata de componer muchas simetrías centrales y de formular en forma gráfica llamativa los principales resultados obtenidos.

El alumno se colocará a un nivel su-

l tí]

to CUA

o

&

nada por un reloj de ti es agujas.Etcétera.Para terminar este párrafo, limitémo

nos a subrayar que la situación ;t0, + permite introducir de manera correcta y simultánea el cuerpo de los reales y el plano vectorial (A este propósito, ver una exposición dirigida a los profesores en "Frederique 1“).

Figuro I Utilizaremos simultáneamente las convenciones introducidas en simetrías centrales y ortogonales.

Ejemplos:

£ W-fiM 2]-[í]=a-m=A-Ai• 0)

perior una vez que se haya habituado a representa: el producto S17.S10.S1r,.. .Si por el simple esquema: El- 0 - M10. — SIMETRIAS CENTRALES Y SIME

TRIAS ORTOGONALES.Atrayentes exposiciones de la geome

tría métrica, esencialmente fundadas sobre la noción de simetría ortogonal, han sido hechas por diferentes expositores, singularmente por Bachmann y Choquet. Hoy es posible enseñar los elementos de geometría métrica a los alumnos de 13 á 15 años, adoptando las ideas maestras de esas exposiciones.

Un grupo de trabajo del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, publicará en breve, dirigida a los profesores, una exposición de la geometría métrica plana fundada en axiomas intuitivos y con indicaciones acerca de los métodos didácticos que deben emplearse con los alumnos. Durante dos años se ha experimentado con éxito una enseñanza así encauzada. Aquí nos limitaremos ñalar un medio didáctico eficaz.

Antes de abordar el grupo de las isometrías engendrado por las simetrías ortogonales del plano y el subgrupo de los movimientos (o grupo de relaciones y traslaciones) presentaremos la situación más simple proporcionada por el grupo engendrado por las simetrías trales del plano (o grupo de las simetrías

• 6. 13• 4 •5 • 12•3 • 10 • 17

(iM2Mo=(i]-0-0=©•15 •7• 11 Figura II

El grupo engendrado por las simetrías centrales es el grupo de las simetrías y traslaciones.

Con júbilo se reencuentra el ya conocido teorema: El producto de dos traslaciones es una traslación; pero podemos agregar: El producto de una traslación y una simetría central es una simetría central.

Verdaderamente, hemos ascendido un peldaño en la comprensión. Las demostraciones son con Vicentes, pero demasiado alejadas del proceso de construcción de la imagen de un punto por el producto de las simetrías centrales. Se conservará el contacto con éste y se permitirá a los alumnos construir las imágenes sucesivas de un punto por las 17 simetrías centrales. Los alumnos, como los matemáticos, quieren tales confirmaciones.

•/.2

De la fórmula citada más arriba se deduce la proposición claramente ilus- tada por el esquema de la Fíg. I.

Se sobrentiende que con los alumnos emplearemos el color en lugar de los signos O, [ ], □, A, O-

En particular

1í

1a se-

2representa la transformación idéntica del plano, e inmediatamente se ve que el producto de tres simetrías centrales es una simetría central (Fig. II).

Resultados fundamentales están ahora al alcance de la mano:

. Todo producto de un número par de simetrías centrales es una traslación.

cen-

128 - - 129 -

Iii

11l

2) Iniclation aux spaces vectoriels, 1963:3) Grcupoides (a aparecer);4) Algébres (a aparecer);5) Matrices el déterminanls (en preparación);6) Géometrie métrique plañe, con la colabo

ración de un grupo de trabajo del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática (a aparecer).

5. — Artículos aparecidos en “MathemaUca et PedE&ogia"; Papy: Anályse combinatoire; Le produit en géometrie; Suggestions pour un nouveau programme de mathématique dans la classe ce sixiéme (12 a 13 años); Suggestions pour un programme experimental de dnquiéme (13 a 14 oños): de quatriéme (14 a 15 años); pour un programme de mathématique a l’école nórmale* ¿ardienn-s (15 a 17 añcs); per un programme de mathémntique pour les régents en secMon mathématique-physique (18 a 20 años): R. Holvcet. Relations, fonction, elements d’ana- lyse combinatoire; Vtcteurs propes d’une trans- íormation linéaire; Y. Roch: Un chapitre d’a- ritmétíque en sixiéme (12 años).

/De esta manera se introducen muy naturalmente las rotaciones y los retornos. La exposición del método seguido excedería ampliamente los límites de este informe. Remitimos al lector interesado a "Frédérique 6".

ORIENTACION—Teoría moderna y aplicaciones

de las probabilidadesREFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS;1. — Premisrs Eléments de Mathématiques

Mcdcrnes (PAPY). Berkendael. Bruxelles, 1959. Hay versión alemana.

2. — Gioupes. Presses Universitaires de Bruxelles, 1961. Ve.siones inglesa e italiana.

3. — Mathématique Moderne*. I. Didier, París, Bruxelles, 1963. En preparación, versiones en español, inglés y holandés.

4. — Colección “Frédérique’*. Gauthiers, Vi- llars, París; Presses Universitario de Bruxelles.

1) Géométrie affine plañe et nomb es réeis, con la colaboración de Debbaut; 1962;

JOAO MARTINS (Sun Pablo: Brasil)!

La presente introducción al estudio cíe las probabilidades constituye la primera parte de un curso de Física Estadística dictado en el Instituto Tecnológico de Aeronáutica de Sao José dos Campos, en San Pable, Brasil. Constituye el fruto de tres años consecutivos de experiencia didáctica, en cuya elaboración, el autor procura presentar clara y brevemente: a) las nociones que caracterizan el comportamiento estadístico; b) las bases axiomáticas de la teoría moderna, c) el análisis probabilístico como un método de modelos que consiste en un formalismo matemático asociado a un criterio de aplicabilidad basado en la noción de frecuencia relativa.

2. Comportamiento estadístico.

La noción de desorden como ausencia completa de correlación (idea de caos) que motiva el acto de barajar los naipes y también la noción de acaso (o comportamiento o estado caótico) que se presupone en el lanzamiento de dos dados, en la detención de la ruleta o en la salida de una baraja durante un juego, fueron ganando terreno como nociones primitivas que habrían de caracterizar al proceso estadístico.

Naturalmente, la idea de que un cierto resultado ocurriría al acaso al tirarse una carta, al lanzarse los dados o el pararse la ruleta espontáneamente, implicaba que:

a) los naipes fuesen indistinguibles cuando se los observara por el dorso

t

i

O O O

CRUCINUMEROROSARIO RUSSO (h.)

(Santiago dol Estero)

CUADROS VACIOS: le. Id. 3b. 3c. 4a, 4f, 5c. 5d, ób, 6e.

I - NOCIONES PRIMITIVASDIAGONALES: la, seis primeras cifras de ST;.'lf, seis primeras .cifras de e. .

1. Origen del cálculo de probabilidades. y estuviesen bien mezclados; esto es, no se tuviese ninguna idea delHORIZONTALES: la, el producto es 15; le, 11 F log

10; 2a, la suma es 20; 3c, número primo: 4b, la suma es potencia de 2; 5a, log 10 ’; 5e, número primo; 6c, raíz de la ecuación 8x — 100“7x — 18.

De acuerdo con la historia de las ciencias, el cálculo de probabilidades se originó en Europa a mediados del siglo XVIII. En la sociedad de esa época —particularmente en Francia—, el juego movilizaba a muchas personas y una cantidad considerable de dinero. El enorme interés en tomo de los llamados juegos de azar, tales como los de naipes, de dados o de la ruleta, desafiaba a los espíritus agudos a descubrir un método racional para prever las posibilidades de

cierto juego de azar, un ju-

orden en que se encontraban en el mazo;

b) los dados estuviesen bien balanceados;

c) la ruleta tuviese perfecta simetría, de forma y de comportamiento, con respecto a su eje de rotación.

i

VERTICALES: la, derivada de y~3ó,5.x'0 para x=l; Ib, raíces de la ecuación x2—6x + 5=0 en orden decreciente; le, el séptimo número primo, lí, tres primeras potencias sucesivas de 2x-hl:í; 2c, doce docenas y un tercio; 2d, lím 422 para x—►0,5; 4b, quinta potencia de 2; 4e, factor común de 9x—180y-f- 135z,- 5a, m.c.m. de 2, 3, 6 y 9; 5f, 20-f-cos‘^\

El problema de una satisfactoria uniformidad en el dorso de las cartas era realizable y un examen visual minucioso podría controlar suficientemente esa cualidad en los mazos. Entretanto, en los

de los dados y de la ruleta, ¿cómo

i

i que, en un gador predeterminado —la banca, por ejemplo— ganase. Refiere la historia que De Meré, un apasionado por el juego, habría llevado a Pascal algunos problemas relacionados con esos juegos. Entre los matemáticos amigos de Pascal destacóse Fermat por los estudios que realizó al respecto.

ficas disponibles. Tal es, en parte, la naturaleza de la aventura intelectual y la satisfacción experimentada por el matemático que trabaja con ingenieros y naturalistas para dominar los problemas 'reales" que surgen en tantos lugares a medida que el hombre extiende su conocimiento y su dominio de la naturaleza.

casosse podría controlar la cualidad exigida? Saber si un dado estaba bien balanceado, si una ruleta era satisfactoriamente simétrica envolvería un nuevo método de análisis: el método estadístico. En ri-

saber si un dado está bien

(Viene de la página’ 120)

ciar el grado de aproximación alcanzable reclama sensibilidad intuitiva aguzada por la experiencia. A menudo puede también implicar el planteo de problemas matemáticos genuinos que son demasiado difíciles de resolver con las técnicas cientr

gor, parabalanceado hay que recurrir a la expe-i

- 131- 130 -

No verá , nada tiene que ver con la noción científica de probabilidad. Hay que tumbrar, pues, al estudiante a las implicancias intuitivas que llevan en sí naturalmente las nociones primitivas sobre las cuales se asienta el método proba- bilístico.

ases", "cada jugador con un siete", ‘un jugador con cuatro cartaq de trébol", etc., son ejemplos de eventos.

6 ) Una caja contiene un gran número de tornillos buenos. Mezclados con ellos existen algunos defectuosos. Se retiran diez al acaso (operación estadística). Eventos son: "todos los tornillos ietirados son pertectos", ."entre los diez hay dos deiectuosos", etc..

79) Un contador de partículas cargadas es empleado para examinar una radiación cósmica. Los impulsos se presentan distribuidos al ocaso en el tiempo. "Por lo menos un impulso en un segundo, después de un impulso cualquiera", "ningún impulso en un segundo, después de un impulso cualquiera", etc., son también ejemplos de eventos.

La noción de aventó, por lo ianto, implica la caracterización de un hecho, pero no su ocurrencia. El hecho en sí caracteriza al evento, ocurra o no.

rienda: lanzarlo un gran número de veces y anotar los resultados respectivos.

Designando con: N„, el número total de lanzamientos; Nt, el número de veces que sale la cara "uno"; N>_. el número de veces que sale la cara "dos"; y así siguiendo, se tiene necesariamente:

Nu ~ Ni y N: -f ... + IMo For ouo laao, se nene tamoien.

Ni ---------b di*' Nj = — ~b d-_.; ... Ny =

presión Ni — — -j~ ^í, ^ • b

. 0. acos-N0

se pueda despreciar di frente a —6

En la práctica puede establecerse uno graduación para la equivalencia estadística. Entonces se dice que las seis caars del dado —o las dos caras de una moneda o los números de una ruleta— son estadísticamente equivalentes dentro del desvío AN, si

3. Evento.

La noción de evento es también primitiva. En la teoría de probabilidades, EVENTO no itene el significado vulgar de algo que ocurre, de algo que sucede. No. EVENTO es un. elemento que deriva de un proceso estadístico. Es un posible resultado o conjunto de resultados de una operación de naturaleza estadística, realizable o simplemente idealizable con fines de análisis. Algunos ejemplos caracterizarán mejor el sianificado de EVENTO

l9) Al lanzamiento de un dado —operación estadística— están asociados va-

D uN0 ¡~J + dú < | AN ¡

N„/6El comportamiento estadístico encierra

la noción de ACASO, que es considerada como elemento primitivo.

Como la teoría de las probabilidades constituye un método formal de tratamiento aplicable a problemas o al estudio de fenómenos, que se dicen de naturaleza estadística, no podría ser concebida sino en términos de elementos abstractos. Así como el raciocinio geométrico euclidiano se desenvuelve en términos de abstracciones, como el punto, la recta, el plano, también la teoría de probabilidades se desarrolla a partir de abstracciones. Aliada al raciocinio matemático sólo se desenvuelve a través de entes formales; constituye un método de tratamiento de ciertos modelos de comportamiento llamado estadístico, a partir de elementos ideales.

Habituados tempranamente a las formes geométricas, vamos gradualmente adquiriendo las nociones de geometría y, cuando adultos, casi nunca nos damos cuenta de las dificultades —muchas veces inadvertidas— con que nos enfrentamos en su elaboración mental. Estamos, por decir así, familiarizados con la abstracción geométrica. No es de sorprender, pues, que el estudiante encuentre, desde el principio, alguna dificultad en acostumbrarse al razonamiento, probabilístico, a la noción de comportamiento estadístico. De hecho, en nuestro estilo de cultura, el razonamiento científico probabilístico está mucho menos presente en nuestra vida cotidiana que la geometría eucli- diana.

Ordinariamente, la idea vulgar de pro- oabilidad, contenida en la expresión típica "probablemente mañana no lb-

áonde N¡ ^ 0 y d¡ es un número relativo

0

N0tal que: —

6De hecno, una cara "i" puede: a) No aparecer nunca en los N„ lan-

N0zamientos. Por eso, Ni = 0 = —

i

oNo+ d¡ .’. db

rios eventos: "Cara uno", "cara dos", ..., “cara seis", "cara impar", "cara par", "cara de número divisible por 3", "cara de número primo", etc.

2°) Al lanzamiento de una moneda una única vez están asociados dos eventos: "cara" y "cruz". (Una moneda ideal nunca queda de canto.)

39) A la operación o experimento de lanzar tres veces consecutivas una moneda, de caras "a" y "b", están asociados ocho eventos, que representan todos los resultados posibles:

Con el primer lanzamiento: "a" o "b"; con el segundo- "aa", "ab", "ba" o "bb";

el tercero: "aaa", "aab",

4. Evento simple y evento compuesto.

Una experiencia estadística idealizada —cuyos resultados no presenten ambigüedades— comprende un cierto conjunto de resultados indescomponibles que se denominan EVENTOS SIMPLES.

Ejemplos: El lanzamiento de un dado comprende seis resultados indescomponibles representados por las seis caras. El lanzamiento de un dado por dos veces consecutivas comprende 36 eventos simples representados por los sub-índices dobles de los elementos de la matriz cuadrada A = ;ia,j|| (i = 1, 2, ... 6; j = 1, 2, ... 6).

Pero en esa experiencia, el evento "suma 5" contiene los cuatro eventos simples siguientes: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Se dice que el evento “suma 5" es descomponible en cuatro eventos simples, constituyendo así un EVENTO COMPUESTO.

Ejemplos: En el juego de "poker" —con 52 cartas—, cada jugador recibe cinco cartas el evento "cinco cartas de trébol" comprende tantos eventos simples como combinaciones se pueden hacer con trece cartas tomándolas de cinco en cinco;, por lo tanto "cinco cartas de trébol" es un evento compuesto. "Cinco personas

b) Aparecer en todos los N0 lanza

mientos, lo que da: Ni No= N = — 6

- -i Nc 6 6N„

d^ .’. d = Nn -

Como necesariamente ^ N, = N,„i = i

resulta:

2 (—°'+ di) = N„ + 2 di = N.„¡ = i 5 i = l

1 = !de donde Ü dj = 0.

"aba",i = i con"abb", "boa", "bab", "bba" y "bbb",

todos los resultados posibles.Estar bien balanceado el dado signi

fica que todas las caras son equivalentes en ese proceso. En tal caso se dicen que son estadísticamente equivalentes.

La equivalencia ideal sería satisfecha

si: límN0 - GO No

En la práciica hay que contentarse con el criterio de "satisfactorio". El hecho de estar el dado satisfactoriamente balanceado se traduce por la desigual-dad ¡ d¡ | <

bN0 represenia un número natural suficientemente grande para que en la ex-

que son4o) Por una carretera pasan vehículos

de carga y de pasajeros en los dos sentidos. Desde el punto de vista estadístico constituyen eventos: "el pasaje de "x" vehículos de pasajeros y "y" de carga

sentido dado y en un intervalo el pasaje de

lo menos dos vehículos de pasajeros

Ni 1— , i = 1. 2, ... 66 en un

de tiempo también dadopordespués de uno de carga, en cualquier sentido"; y así siguiendo.

59) En una mesa de "poker" hay cuatro jugadores y cada uno recibe cuatro cartas (operación de naturaleza estadística). "Dos jugadores con un par de

, i = 1, 2, ... 6; donde:

- 133 -- 132 -

¡

daltónicas" en una nómina de 50 hombres y 50 mujeres cuyos nombres fueran tomados al azar de la guía telefónica, constituye un evento compuesto que contiene como eventos simples: 5 hombres; 4 hombres, 1 mujer; 3 hombres, 2 mujeres; 2 hombres, 3 mujeres; 1 hombre, 4 mujeres; 5 mujeres.

En fin, se dice que un evento compuesto es un conjunto de ciertos eventos simples.

Si las cajas no de distinguiesen, lo& casos posibles serían apenas cuatro:-

I. "a", “b" y “c" en una misma caja.II. “a" y “b" en una caja y “c" en

la otra.III. “a" y “c" en una caja y “b" en

la otra.IV. “b" y “c" en una caja y "a" en

la otra.Si tanto bolas como cajas fueran in

distinguibles, se tendrían apenas dos modos posibles de distribución:

I. Las tres bolas en una misma caja.II Dos bolas en una caja y la ter

cera en otra.

7 Punto de ocurrencia. - Espacio de eventos.

“espacio de eventos" que contiene los seis puntos representados por las seis caras. 2?) Al experimento de disponerse 3 bolas distinguibles en 2 cajas también distinguibles, está asociado el “espacio de eventos" que contiene los 8 puntos de ocurrencia vistos antes. En este espacio, el evento “exactamente dos bolas en la caja A" tiene los puntos: “ab" en A, “c" en B; “ac" en A, “b" en B; “be" en A, “a" en B. Son tres y solamente tres, por tanto. Pero el evento “dos bolas en ua caja" contiene seis puntos: “ab" en A, “c" en B; “ac" en A, “b" en B; “be" en A, “a" en B, “a" en A, “be" en B; “b" en A, “ac" en B; “c" en A, “ab" en B. 39) Al experimento de disponer tres bolas indistinguibles en dos cajas distinguibles A y B, corresponde el “espacio de eventos" con cuatro puntos: 3 bolas en A; 3 bolas en B; 2 bolas en A y 1 en . B; 2 bolas en B y 1 en A. 4o) Al experimento de disponerse 3 bolas indistinguibles entre sí, en dos cajas también indistinguibles, corresponde el “espacio de eventos" con dos puntos apenas: 3 bolas en una caja; 2 bolas en una caja y 1 en la otra.

La teoría de probabilidades se inicia con las nociones primitivas de:

a) punto de ocurrencia (“sample point" en inglés);

b) espacio de eventos (“sample space" en inglés).

Observación: “Sample point", literalmente traducido al español 'sería “punto muestral", como aparece a veces en el lenguaje de la estadística del control de calidad. Para servir de modo general a la teoría de probabilidades, que apenas se aplica a las técnicas del mues- treo, me parece conveniente la adopción de' un término que no sugiera aspectos particulares del método probabilístico.

“Punto de ocurrencia" parece prestarse bién, en términos de representación de conjuntos, para asumir el significado de “resultado posible de un experimento de naturaleza estadística". Podría llamarse también “punto de evento"; mas esta denominación tendría el defecto de aportar’ una idea de algo singular. En la mayoría de las veces, entretanto, “punto de ocurrencia" se referirá a un resultado posible perteneciente simultáneamente a más de un evento. Por ejemplo, el resultado “cara seis" en el lanzamiento de un dado, pertenece simultáneamente a los eventos: “cara seis", “cara par", “cara divisible por 3", ;.. En tales circunstancias, me parece, sería mejor “punto de eventos" en lugar de “punto de evento". El complemento “de ocurrencia" aparenta ser menos sensible al número gramatical; de ahí su adopción: se habla tanto de “ocurrencia" de un hecho, co-

de “ocurrencia" de varios hechos.Punto de ocurrencia. Se admite que

cada resultado posible de un experimento está completamente descrito por un único punto de ocurrencia. Por definición, cada evento simple está representado por un punto de ocurrencia, y solamente uno.

Espacio de eventos: A todo experimento de naturaleza estadística está asociado

“espacio de eventos" constituido por el conjunto de todos sus puntos de ocurrencia.

Ejemplos: l9) Al lanzamiento de un dado una única vez está asociado el

5. Modelos teóricos. (Técnica de aplicación.)

Como la teoría de probabilidades constituye un formalismo, trabaja con elementos formales; las inferencias teóricas se refieren a elementos ideales. La aplicación del método de probabilidades a una situación problemática implica un análisis de esa situación y consecuentemente su formalización o reducción a elementos formales, lo que conduce al enunciado de la situación sin ambigüedades.

Es muy fecundo el empleo de modelos teóricos en la discusión de problemas de naturaleza estadística. Un modelo teórico es, esencialmente una experiencia idealizada, de naturaleza estadística, que describe un: cierto conjunto de eventos

Muchos problemas, referentes a las situaciones más diversas, pero que presentan una misma estructura esencial, pueden ser examinados en términos de un mismo modelo.

Un modelo clásico muy importante por la utilidad que ha presentado es el de distribuir al acaso un cierto número de objetos en un número dado de celdas. Por ejemplo, imaginemos tres bolas distinguibles entre sí, designadas por “a", “b" y “c", distribuidas al acaso en dos cajas, también distinguibles, designadas por A y B. Se trata de saber de cuántos modos se puede realizar esa operación. Esos modos se indican en el cuadro siguiente:

A | abc | ab ] ac | be | — | c | b | a B i — ] c | b

Como cada bola puede ser colocada, o bien en A, o bien en B, hay 2.2.2 = 8 modos posibles de colocar las tres bolas en las dos cajas.

6 Ejemplos de problemas tratables por el modelo de bolas y cajas.

I9) De la guía telefónica de una gran ciudad se toman al acaso 10 nombres de abonados. ¿De cuántos modos posibles los natalicios de esas personas pueden estar distribuidos en el año? (Se supone que el año tiene 365 días.) En este caso, los días corresponden a las cajas v los natalicios a las bolas.

29) En el caso genético en que un gene puede presentar n formas distintas, siendo r el número de descendientes, los n aenotipos corresponden a cajas y los r descendientes a bolas, siendo distinguibles tanto las cajas como las bolas.

39) Considerando el orden de nacimiento, ¿de cuántos modos pueden sucederse seis hijos en cuanto al sexo? En este caso, los números de orden del nacimiento de los hijos corresponden a bolas y los sexos, a cajas. Se tienen pues, bolas numeradas —distinguibles— para ser distribuidas en dos cajas —los sexos— también distinguibles.

49) Un grupo de r individuos es clasificado según la profesión de cada Los individuos corresponden a las bolas —distinguibles— y las profesiones, a las cajas —distinguibles—.

59) Un libro tiene 30 capítulos y se sabe que contiene 20 errores. ¿De cuántos modos pueden estar distribuidos los errores en los diferentes capítulos? Los errores son las bolas —indistinguibles—; los capitules son las cajas —distinguibles—.

í

8. Puntos de intersección. Intersecciónde eventos.

Por “intersección de n eventos" Ai, A-,. . . A„, descritos en un mismo espacio, E, se entiende el subconjunto de los puntos de E que son comunes a los n eventos. Ejemplos:

19) Experimento: lanzamiento de un dado una sola vez. Espacio de eventos: contiene los seis puntos de ocurrencia representados por las seis caras del dado. Consideremos los siguientes eventos contenidos en ese espacio: A,, cara divisible por 2; Ao, cara divisible por 3; At A-, intersección de Ai y A-_». Los eventos Aj, A- y Ai A;, contenidos en ese espacio son descritos por subconjuntos como sigue: puntos de Ai: caras “dos", "cuatro", “seis"; puntos de A-¡: caras "tres", “seis"; único punto de AyA->: cara “seis".

20) Experimento: tres lanzamientos consecutivos de una moneda. Espacio de eventos: tiene ocho puntos de ocurrencia, según el ejemplo 39 del-párrafo 3. En ese espacio, al evento Ai —consistente en “cara (a) por lo menos dos. veces"—

f mo

! uno.

.i a | abe | ab | ac \ be

unI

i134 - - 135 -

■i

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), evento tí3 — cara uno por lo menos una vez"— con(1¿), (1. b), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (b. t), (b, 1); evento B3 —"suma impar"— con los puntos (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5). Se tienen entonces intersecciones dobles: BiBo —'cara uno por lo menos una vez y suma no superior a 5"— con los puntos (1, 1), (1. 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 1) (4, 1); BoB.j—"cara uno por lo menos una y suma impar"—, con los puntos (1, 2), U. 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1); BíB3 — suma impar no superior a 5"—, con los puntos (1, 2), (1, 4), (2, 3)( (2, 1), (4, 1), (3, 2). La intersección triple B^.Bs —"cara uno por lo menos una vez en suma impar no superior a 5"— tiene los puntos (1, 2), (1, 4), (2, 1), (4, 1).

9. Unión de eventos.

corresponden los puntos "aaa", "aab", "aba", "baa", solamente; al evento A3 consistente en "cara (b) por lo menos dos veces"— corresponden los puntos "bbb", "bba", "bab", "abb", solamente. Esos dos eventos Ai y A2, no tienen ningún punto en común; se dice que su intersección es vacía. En el mismo espacio, el evento A:; —consistente en "cara (b) precedida por cara (a)"— tiene los puntos "aab", "aba", "abb", "bab", solamente; el evento Ai —consistente en "cara (a) precedida por cara (b)"— tiene los puntos "aba", "baa", "bba", "bab", solamente. Se observa que los puntos "bab" y "aba" pertenecen simultáneamente a A3 y Aj; representan la intersección de esos dos eventos. En este caso se dice que la intersección de A» con A i, que se representa por A3A.,, tiene dos puntos. En el mismo espacio, el evento A.-, —"cara (a) una sola vez"— contiene los puntos "abb", "bab", "bba"; el evento A,; —"cara (b) una sola vez"— contiene los puntos "baa", "aba", "aab"; y su intersección, A.-.A«•„ es vacía. Asimismo, el evento A7 —"cara (a) por lo menos una vez"— tiene los siguientes siete puntos: "aaa", "aba", "aab", "baa", "bba", "bab", "abb"; el evento Ar —"cara (b) por lo menos una vez"—, los puntos: "bbb", "aab", "aba", "baa", "bba", "bab", "abb"; el evento A7AS —"cara (a) y cara (b) por lo menos una vez"—, los puntos: "aab", "aba", "baa", "bba", "bab", "abb". Finalmente, el evento An —"una misma cara tres veces consecutivas"— tiene apenas dos puntos: "aaa" y "bbb"; por tanto, el evento (A7A„) A„ intersección de A7As con A¡,— no puede tener ningún punto: es intersección vacía.

3°) Experimento: lanzamiento simultáneo de dos dados distinguibles. Espacio de eventos: contiene los 36 puntos de ocurrencia representados por los subíndices dobles de los elementos de la mat'iz ! lajj! | (1 = 1,2,... 6; j = 1,2, ...6). En este espacio En se tienen, por ej.: evento B, —"suma no superior a 5"— con los puntos de ocurrencia (1, 1), (1, 2), (1, 3). (1, 4),

PROBLEMAS -Una aplicación de ecuaciones

diofánticas

!los puntos (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

RAUL A. CHIAPPA(Universidad del Sur)

vezEl llamado problema dioíántico, con

siste en resolver, dentro del conjunto de los números naturales, una ecuación algebraica con una o varias incógnitas 0).

Un famoso problema dioíántico es el conocido como "último teorema de Fer- mat", según el cual se afirma que la ecuación xn -f- yn = zn no admite soluciones naturales si n>2.

Nos limitaremos al caso de la ecuación diofántica lineal, es decir, de la ecuación algebraica lineal (polinomio de primer grado igualado a cero) con una o más incógnitas, con coeficientes naturales y de la cual sólo interesa determinar las soluciones naturales.

x = x„ bt(a)

(t = 0, 1, 2.. )y = y„ + at La solución x,„ y„ puede determinarse

por el algoritmo de los cumulantes partiendo de 0, 1 y aplicado a los coeficientes que se obtienen por el algoritmo de Euchdes empleado para la determinación del M. C. D. de los coeficientesde la incógnita.

Así, por ejemplo, sea Ax — By = C. Al determinar el M. C. D. de A y B por

el algoritmo de Euclides obtendremos: qi q-j q.'t

El conjunto de todos los puntos de ocurrencia de dos eventos Ai y A¿ de un espacio dado EA, constituye un tercer evento que se denomina "unión de A¿ con Aj". Así, en el último ejemplo del párraío precedente, se tienen los eventos Bi, B- y B3 en el espacio Eü; pues bien, el evento B.j —"cara uno por lo menos una vez, o suma impar, uno en suma impar"— evento que resulta de la unión de B3 y B3.

Adviértase nezca a

q.ú• • q»i-iA B ri r-_. rn»-11*111-3 I*,,,-'

r»,=0Se demuestra que la ecuación diofántica lineal con dos incógnitas Ax + By = C admite solución sólo si C es divisible por el máximo común divisor de A y B. En tal caso, dividiendo la ecuación dada por el M. C. D. hallado, se obtiene la ecuación ax ± by = c, donde a y b son primos entre sí.

No hay, en consecuencia, pérdida de generalidad si nos limitamos a estudiar las ecuaciones diofánticas lineales donde los coeficientes de las incógnitas son primos entre sí.

La resolución exige considerar por separado los casos:

ax 4- by = c ax — by = c

Consideramos el segundo caso, pues es el que aplicaremos en la resolución del problema enunciado más adelante.

Dada la ecuación ax — by = c (a y b son primos entre sí) se demuestra que si x,„ y0 es la solución formada por el par de números naturales menores, toda otra solución natural se obtiene (si existe) por las igualdades:

r,„-iTj r» r3El M. C. D. de A y B es r,„-l (siendo

r,„ = 0).La solución (x0, y„) de Ax — By = C

está dada por(b) x0 = (—l)"1 Q, C

y. = (-l)m Q. • Cdonde Q» (cumulante hasta q_.) y Q; (cumulante hasta qi) se obtienen por la siguiente ley recursiva:Qi = q¡ . Q

o cara es un nuevo

que un punto que perte- la unión de dos eventos, perte

nece por lo menos a uno de ellos. Los puntos de la intersección de dos eventos pertenecen a la unión de los mismos, pues la unión contiene a la intersección.

Análogamente, el evento B.-, —"por lo menos, o suma no superior a 5, o cara uno por lo menos una vez, o suma impar"— se obtiene por la unión de Bi, B-j y B3. Se advierte que basta que un punto pertenezca por lo menos a uno de los eventos que constituyen la unión, que pertenezca a ésta.

!

+ Ql+o a < i < m-ui + 1O . = 1 Q . = o

in-r lUna forma nrcctica de obtener los

sucesivos cumulantes puede indicarse en el siguiente cuadro:

Qiu-1 Qm-"

r

1)2) C;i a- O’

i. . . Orí Qi Qn 1 Q

Con lo visto podremos resolver el si- auiente PROBLEMA:

Determinar los dígitos que. en numeración de base 10. puedan darse respectivamente a las letras A, B. C, D, E, F, para que se satisfaga la suma.

para m-**

(Continuará)io o o

La convergencia de la matemática y la realidad se ha producido generalmente en el dominio de la teoría de grupos, los que han aparecido común al pensamiento y a la experiencia.

■

como una estructura

Jean Ullmo 137 -- 136 -

L

x == x„ -h 157 t y = Yo -i- 1427 t

A B C D E F

F A B_ C DE

D E F A B C

dondex0 = (—l)3 . (56) (14143 F) y0 = (—1)" . (509) . (14143 F)

En consecuenciax - —792008 F + 157 t y = 7198787 F + 1427t

Solución: Suouesto aue las letras representen dígitos, es claro que se verifica:

A B C D E F = 10" .DEFABC-I- + DEF(1- 10")

F A B C D E == 10- DEFABC + + DE (1 —10")

(6)Tendances Nouvelles de L'Enseignement des

Mathématiques. - Edición previa de la UNESCO, abril de 1965.

su valor por la forma inconexa en que los mismos están presentados. Consideramos que sería mucho más útil preparar desarrollos de programas completos —aún cuando se detallaran temas parciales— con clara especificación de la edal de los alumnos a que se estima podría estar destinada su enseñanza.

Consideramos peligroso dar ejemplos de cómo debe introducirse en la escuela media la enseñanza de las estructuras algebraicas básicas, sin abundar en ejemplos de aplicaciones prácticas.

Creemos, no sólo posible sino necesario, enseñar en el ciclo medio las nociones de conjunto, relación, función, estructura, grupo, espacios vectoriales, etc. Creemos posible y necesario dar la axiomática del número natural y enseñar el principio de inducción dándole toda la importancia aue tiene como fundamento de un método matemático de razonamiento; pero pensamos que se insinúa demasiado claramente, en todas partes, una tendencia a confundir modernización con abstracción y teorización, cuando se habla de enseñanza de la matemática, como para que sea necesario ponerse en guarlia. No puede olvidarse la importancia que debe seguir teniendo en el ciclo medio el adiestramiento de los alumnos en el cálculo numérico y el manipuleo algebraico. El dar todo el valor que tienen a las formulaciones lógicas, por ejemplo, tiene precisamente, su mayor interés si se tiene en vista que los alumnos deben prepararse para que sean capaces de comprender las modernas técnicas de computación.

En el libro "Algebra para escuelas secundarias", de O. Varsavsky, donde se hace un desarrollo completo del programa de álgebra que se propone, para alumnos de 14 años, en el 29 año del ciclo medio, el autor hace abundante y apropiado uso de los diagramas de flujo, en forma tal que pone en evidencia la posibilidod y ventaja de su enseñanza en ese nivel. Creemos que ese libro puede ser una importante contribución de nuestro país a la discusión internacional a que invita la UNESCO a través de la publicación que comentamos.

Las soluciones positivas de (5) se obtienen para valores de t que verifiquen:

t > 5044,70 FEn nuestro caso sólo consideraremos

valores naturales de t.Analizaremos la existencia de solución

del problema dado, para los distintos valores admisibles de F (0 ^ F ^ 9), recordando que per ser x — D E , y = A B C, deben satisfacerse: 0^x 99 , 0 ^ y< 999.

Consecuencias inmediatas de (6) y (7) y las acotaciones anteriores, resulta que el problema dado no admite solución si F toma cualquiera de los siguientes valores: 2, 3, 5, 6, 8, 9.

En cambio, admite solución única cuando F toma cualquiera de los siguientes valores: 0, 1, 4, 7.

Las soluciones correspondientes están indicadas en el siguiente cuadro, donde cada línea corresponde a una de ellas:

(1)

(7)(2)De (1) y (2) resulta:

DE F ABC = 1100 . DEFABC ++ DE [11 (1 — 10")] + F (1 — 10")

o equivalentemente: .0 = 1099 ABC + [11 (1 — 10") +

f 1099.10‘] D E + (1 — 10" + 1099.10‘) F de donde

Con el objeto de exponer las tendencias y resultados del movimiento Internacional realizado para provocar cambios importantes en la enseñanza de la matemática", la UNESCO ha publicado un extenso volumen (510 páginas) en el cuál se compilan no sólo las consideraciones de orden matemático y pedagógico que han impulsado el movimiento de reforma sino también algunos ejemplos de tratamiento, en el nivel medio, de algunos temas importantes. Se incluyen informes y experiencias de distintos países y algunos proyectos de programas.

La dirección del trabajo, que ha dado por fruto la publicación, ha estado a cargo de los profesores W. Serváis, de Bélgica, y T. Varga, de Hungría.

Por el momento, se trata de un texto provisorio que se promete en una redacción definitiva una vez que se hayan considerado los comentarios y críticas que se solicita sean dirigidas a: "Depcrtement de l'enseignement scolaire et superieur, UNESCO, Place de Fon- tenoy, París 7e.".

.El trabajo es importante, por cuanto reúne gran cantidad de información, opiniones autorizadas y algunos ejemplos sobre la manera posible de presentar temas hasta ahora excluidos en el nivel medio. Tiene, a nuestro juicio, el defecto de la falta de elaboración. En lo que a consideraciones generales se refiere, se dan varias, sin dar pros ni contras ni siquiera comparaciones entre ellas. Evidentemente, el lector debe formar su propio juicio pero, en este punto, surge el interrogante: ¿a quién está destinada la publicación? Para matemáticos que se han ocupado del proble-

de la reforma de la enseñanza en la escuela media, el material presentado no aporta casi nada nuevo. Para los profesores de enseñanza media que se interesan en el problema, sería mucho más útil presentar material más abreviado y elaborado.

Sobre todo, la parte más interesante del volumen, que es la que contiene ejemplos de desarrollo de algunos temas, pierde mucho de

1099 ABC — 9989 DE + 99001 F = 0 (3) El problema quedará resuelto si se

conocen las soluciones de la ecuación diofántica9989 DE— 1099 ABC = 99001 F

Verifiquemos si el término independiente de (4) es divisible por el M. C. D. de los coeficientes, condición que sabemos es necesario para que haya solución.

El algoritmo de Euclides da

(4)

9 11 4'9989 1099 98 21 14 7

98 . 21 14 7 0

El término independiente es divisible por 7 (M. C. D. de 9989 y 1099) y la ecuación (4) es equivalente (si x = D E, y = = A B C) a: 1427 x — 157y = 14,143 F (5)

El algoritmo de los cumulantes da:

______ _ 1 4 11-9

0 1 1 5 56 509

2

A B C D E F0 0 04 2 8 5 72 8 5 7 1, 4

4 2 8 5 7

• 0 0 0 i1

1

BIBLIOGRAFIA

(1) Elementos de Análisis Algebraico, de Julio Rey Pastor.

(2) Análisis Matemático (vol. 1) de J. Rey Pastor - P. Pi Calleja - C. Trejo.

?Las soluciones de (5), supuesto que exis

tan, están dadas según (a) y (b), por:

O o Oma

Un homomorjismo establece una correspondencia entre los elementos de conjunto y los de otro conjunto. Cuanto existe reciprocidad, el homomorjismo se convierte en isomorjismo. Cuando se puede aplicar un conjunto sobre sí mismo tenemos un automorjismo. Cuando se puede aplicar sobre una parte de sí mismo, se trata de un endomorjismo. El homeomorjismo es un homomorjismo que conserva la continuidad y es la aplicación característica de la topología.

! an

cora R. de Sadosky.F. LE LIONNA1S

- 138 - - 139 -

J. KLEIN y G. REEB. Formules commentées de mathématiques. (Programme M. P. C.) Fascículo A. Gauthiers-Villars, París, 1964.

Emile BOREL: Les nombres premiers. PRES- SES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1958 (2éme édition).

Jean ITARD: Arithmétique et Théorie des nombres. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963.

Ambos son tomífos de la difundida colección francesa "Que sais-je-", que ya excede holgadamente el millar de títulos, de los cuales una treintena están dedicados a la matemática.

Borel se ocupó de los números primos, sus propiedades elementales, su distribución, las congruencias y los restos cuadráticos, los teoremas de Fermat y de Wilson, las sumas de cuadrados, los imaginarios enteros; en sendas notas agregadas como apéndice trató los divisores enteros de los polinomios y —según un método elemental - la ley asintótica de distribución de números primos, con las respectivas verificaciones estadísticas de las conclusiones deducidas.

Itard complementa este trabajo de Borel —aparecido inicialmente en 1953— desarrollando en el otro volumen temas clásicos como el de los divisores de un número y el de los descubrimientos de Fermat, el estudio de las formas cuadráticas / el de las fracciones continuas, la ecuación de Fermat —mal llamada de Pell, "aparentemente porque Peíl ni fue el primero en discutirla ni el primero en resolverla", escribe Beiler en sus "Recreations of Theory of Numbers"— y las proposiciones negativas del mismo Fermat —entre ellas la célebre conjetura, "muy probablemente exacta", en el margen de su ejemplar de Diofanto. Finalmente procura, en el último capítulo, dar una somera idea de las tendencias modernas de la teoría y del estado actual de los problemas no resueltos.

Sin desmerecer el aporte de Borel —carecemos en absoluto de autoridad para hacerlo—, es indudable que el de Itard es más ágil y moderno; predomina en él un espíritu de síntesis que lo hace sumamente provechoso para adquirir rápidamente una visión de conjunto sobre la teoría elemental de los números. Por otra parte, matizan la exposición repetidas referencias históricas y hasta algunas transcripciones —como la de un extracto de la carta de Fermat, de agosto de 1959, dirigida a Carcavi, calificada como el "testamento matemático" de aquel francés genial— qje dan al pequeño, pero valioso, volumen, un toro especialmente atrayente.

I

SI

Los autores —profesores universitarios de Grenoble y Estraburgo, respectivamente— se proponen facilitar a los estcdiantes franceses de las clases de M.P.C. (Matemática-Física-Qui- mica) lo esencial del programa oficial de matemática, manteni