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Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Septiembre 2017

4°r. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT

Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017

Memorias

Estudio de funciones desde la perspectiva de modelación y covariación

Vicente Elihu Mendoza Saavedra (Becario)

[email protected]

Unidad Académica Preparatoria No. 11, Universidad Autónoma de Guerrero.

Marcela Ferrari Escolá (Asesor)

[email protected]

Facultad de Matemáticas – Acapulco

Universidad Autónoma de Guerrero.

María Esther Magali Méndez Guevara (Co-Asesor)

[email protected]

Facultad de Matemáticas – Acapulco

Universidad Autónoma de Guerrero.

Introducción

Este documento reporta una experiencia de investigación, en tanto se participó en un

proyecto exprofeso para el verano de Investigación Científica “Asómate a la Ciencia este

Verano”. El objetivo de la experiencia fue desarrollar argumentos matemáticos a partir de

Situaciones de Modelación y Covariación y así, en el proceso, ser partícipes del diseño y análisis

de situaciones de aprendizaje vivenciadas en esta experiencia de investigación.

El desarrollo de las actividades estuvo coordinado por dos investigadoras de la Facultad

de Matemáticas, la Dra. María Esther Magali Méndez Guevara y la Dra. Marcela Ferrari Escolá.

Además se contó con un grupo de estudiantes de la Licenciatura de Matemáticas, cuyo perfil es

de Matemáticos Educativos, quienes estuvieron apoyando en la realización de las actividades,

algunos de ellos tesistas.

Los diseños de aprendizaje que se desarrollaron durante este verano de investigación se

sustentan en la Teoría Socioepistemológica, la cual sostiene que las construcciones de

conocimiento son una producción social que cambia y transforma la naturaleza y la sociedad;

mailto:[email protected]

Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017

que los conocimientos tienen un origen y una función social asociada a un conjunto de

prácticas, de modo que existe una relación entre la naturaleza del conocimiento y las actividades

mediante las cuales y en razón de las cuales dichos conocimientos son producidos

(Cantoral, 2013).

Desde esta postura teórica, las actividades que se desarrollaron trataron conceptos del

cálculo mediante la modelación y covariación que desarrollan saberes matemáticos, que

adquieren significado, ante la situación de aprendizaje. Los temas tratados fueron: función,

función polinómica, función exponencial, función logarítmica y función Seno, y en los resultados

se dieron evidencia del cómo se construyen argumentos matemáticos por los participantes a pesar

de que no hay un trabajo previo escolar.

Existen diversas acepciones sobre modelación, y sobre su rol en la enseñanza de las

matemáticas, una visión generalizada es concebirla como un proceso establecido que conviene

enseñar o implementar, porque ayuda a aplicar conocimientos matemáticos (Blum & Borromeo,

2009); o bien es empleada como método para enseñar matemáticas mediante la resolución de

problemas (Gomez-Chacon & Maestre, 2008). Ante estas posturas la modelación se muestra

ajena de quiénes la desarrollan, y se olvida que ésta es, en sí misma, un proceso de construcción

de conocimiento matemático (Cordero, 2006). En nuestros trabajos postulamos que en este

proceso existen elementos y prácticas esenciales y con esto se formula una categoría para la

modelación escolar que propicia el desarrollo de redes de usos de conocimiento matemático ante

situaciones específicas (Méndez, 2013; Méndez & Cordero, 2014; Tocto & Méndez, 2015; Cen,

Zaldívar, Briceño, Méndez, & Cordero, 2014).

En cuanto a covariación, argumento que entrelazamos al de modelación, nos obliga a

percibir, de manera simultánea, dos cantidades variando de manera particular, es decir, reconocer

la yuxtaposición de dos patrones de crecimiento. Si en un fenómeno podemos reconocer que las

variables involucradas cambian con una diferencia constante (en la primera, segunda, etc,

diferencia) estamos en presencia de curvas polinomiales lo que nos permite reflexionar sobre una

covariación de tipo lineal. Si en cambio el fenómeno involucra un crecimiento lineal con otro

exponencial, estamos en presencia de una covariación logarítmica (Ferrari, Martínez, Méndez,

2016) que nos permite estudiar a la función exponencial y a la función logarítmica. A

investigadores como Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu (2002); Hitt, & González-Martín

(2015); Johnson (2015); Oehrtman, Carlson, & Thompson (2008) entre otros, les interesa estudiar

Memorias del 4° Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT


el desarrollo del razonamiento covariacional es decir, estudiar las actividades cognitivas donde se

involucra la coordinación de la variación de dos cantidades mientras se atiende la forma en que

cada una cambia en relación con la otra (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu, 2002, p.354). En

nuestras investigaciones nos interesa también analizar los argumentos que surgen en la discusión

de los participantes ante situaciones específicas, donde la modelación está presente (Ferrari &

Farfán, 2010) siendo la argumentación la que involucra resignificados, procedimientos, procesos

y objetos cristalizándose en cada situación (Cordero, 2007)

Objetivo y metodología general

El objetivo planteado para este verano fue el de desarrollar argumentos matemáticos a

partir de situaciones de covariación y modelación. En dicho proceso los alumnos serían partícipes

del diseño y analizarían las situaciones de aprendizaje mismo que los hizo vivir una experiencia

de investigación.

Se trabajó con 6 estudiantes de nivel medio superior de los cuales 5 provienen de distintas

preparatorias pertenecientes a la UAGro (Región Costa Chica, Costa Grande y Región Montaña)

quienes se inscribieron al Programa Verano de Investigación Científica “Asómate a la Ciencia

este Verano” UAGro. 2017, el sexto participante pertenece al Colegio de Bachilleres Plantel 2 en

Acapulco y estuvo participando de manera voluntaria.

Para lograr nuestro objetivo general se desarrollaron los siguientes diseños:

• I. Estudio del Movimiento Rectilíneo Uniforme. En este diseño de aprendizaje se trabajó

la modelación del movimiento mediante las gráficas de funciones a trozo, el

comportamiento de las funciones tratadas fueron afines y constantes.

• II. Caracterización de Funciones Polinómicas. El objetivo de este diseño de aprendizaje se

trabajó en estudio de las variaciones globales y locales para la caracterización de funciones

polinómicas.

• III. Estudio de la función exponencial. Las actividades de este diseño promovieron la

caracterización de la función exponencial mediante la covariación de dos progresiones,

aritmética y geométrica invitando a la generación de una red de modelos.

• IV. Estudio de la función logarítmica. Las actividades de este diseño promovieron la

caracterización de la función logarítmica mediante la covariación de dos progresiones,

geométrica y aritmética, así como el tránsito entre la función y su derivada.


• V. Estudio de la función Seno. Las actividades de este diseño promovieron la

caracterización de la función senoidal mediante el estudio de la covariación de fenónemos

periódicos.

• VI. Análisis de comportamientos numéricos. Esta actividad consistió en plantear a los

jóvenes una serie de tablas numéricas en donde debían identificar los comportamientos

tendenciales y plantear una situación para esos datos. Se esperaba que ahí se reflejará lo

aprendido en las sesiones anteriores.

La organización del trabajo fue la siguiente:

• Se formaron 2 equipos de 3 integrantes que se fueron rotando a consideración del

coordinador de los diseños de aprendizaje.

• Se contó con un equipo de investigación que estuvo formado por estudiantes de la

Licenciatura en Matemáticas y el Doctorado en Matemática Educativa, quienes

desarrollaron actividades de coordinación académica y recolección de datos. En cada sesión

hubo 2 camarógrafos encargados de grabar a detalle el desarrollo de las actividades y 2

coordinadores encargados del diseño y gestión de la actividad matemática.

• Para la recolección de datos se emplearon dos cámaras móviles y una cámara de video

fija para tener un panorama general, se realizó la grabación del audio, grabación de pantalla

(en los casos donde se usó la computadora), se emplearon sensores de movimiento y

calculadoras graficadoras.

• Las sesiones de trabajo diario fueron de aproximadamente 5 hrs. incluyendo un receso

para la comida de 30 o 45 minutos.

Para fines del presente trabajo sólo reportaremos una síntesis de lo acontecido durante las

actividades desarrolladas en esta experiencia de investigación.

Resultados

De los datos recogidos en cada sesión, hemos escogido algunos episodios que evidencian

el desarrollo de argumentos matemáticos a partir de situaciones de covariación y modelación en

los equipos de trabajo donde el autor de este reporte está presente. La primera sesión

correspondió al “Estudio del movimiento” en la cual se trabajó la actividad 1 (momento 1) que

tuvo como objetivo que los sujetos hicieran uso de la gráfica para representar movimiento. Como



ya se mencionó anteriormente se trabajó en equipos integrados por tres integrantes cada uno. El

equipo que se reporta estuvo compuesto por Jesús, Vicente y Byron.

En este primer momento, uno de los integrantes del equipo (Jesús) fue separado del resto,

mientras él espera, sus compañeros trataban de interpretar una situación de movimiento, viéndose

restringidas sus posibilidades de comunicación, en donde tenían prohibido el uso de la mímica y

del lenguaje hablado o escrito para comunicar a su compañero lo que habían observado.

Episodio 1: “Incitación implícita al uso de gráficas.”

Vicente y Byron crean el siguiente esquema y, de acuerdo con la descripción que haga Jesús del

mismo sabremos si han logrado comunicar a su compañero lo que ambos observaron.

(Claves de transcripción: M: Moderador; J: Jesús; V: Vicente; B: Byron; A; Andrea; E; Erixel)

M: […] Les vamos a pedir que interpreten lo que sus compañeros hicieron. Ustedes van a

descubrir lo que hicimos en esta primera actividad, qué hicieron todo este rato que

estuvieron afuera y sus compañeros hicieron lo mejor posible para interpretar lo que pasó, y

ellos supusieron que con eso era suficiente para que entendieran lo que pasó.

J: Un niño se fue corriendo así y regresó (con solo una vista rápida del esquema, Jesús ya

se hace una idea de lo que pasó)

[…]

V: ¿Lo tiene que escribir ahí?

M: Sí, ustedes lo van a describir y van a escribir todo lo que dice esa representación.

V: Todo lo vas a escribir, es algo muy sencillo.

J: No es cierto. Bueno…

Figura 1: Esquema realizado por Byron y Vicente, donde trataron de representar la situación de movimiento

observada.


V: Aunque sea que te parezca absurdo, ya anótalo.

B: Ajá, aunque te parezca absurdo, tú anótalo.

M: ¿Qué podemos observar?

J: Sólo un muñequito, creo que este es el tiempo.

M: ajá…

J: Tal vez sea el tiempo…

M: Ajá…

J: Creo es el tiempo que tarda en llegar aquí y solo llega aquí con 7 segundos.

[…]

J: Sí, con 7 seg. Llega aquí, la “L” ese si no sé que significa, creí que eran litros, pero no.

Hasta este punto Jesús ha encontrado ciertas particularidades en la construcción que

hicieron sus compañeros y ha tratado de darles un significado. Observa “un muñequito” y

distingue “tiempo” que tarda en llegar a otro punto. Ahora avancemos hasta la culminación de la

actividad, en donde se expondrá lo que Jesús ha concluido que puede significar la representación.

J: Este… Observo a un sujeto que se traslada de “Ele cero” (L0) hasta “Ele tres” (L3),

también puedo observar el tiempo que se tardó que fueron 3 segundos, el dibujo del sujeto

corriendo en… observo las barritas que pienso que son tal vez la energía que utilizó para

moverse de L0 a L3, desde L3 creo que quería regresar a L0 pero le faltó tiempo o energía

para llegar y solo se quedó en L1 a los 7 segundos, tal vez le faltó un segundo para llegar a

L0 donde estaba al principio, es lo que vi.

Como se observó, el uso de las gráficas “distancia-tiempo” no se vio presente para

representar el movimiento, por lo que el objetivo principal de esta actividad no se vio superado,

sin embargo, los participantes mostraron otra forma de representar lo que se les pedía para dar

solución a la problemática que se les planteó, utilizaron elementos icónicos para describir el

movimiento reconociendo el tiempo y la distancia como variables involucradas. Es decir,

lograron comunicar la trayectoria del personaje midiendo el tiempo que demoraba en cada punto.

Episodio 2: “Apreciación del uso de las gráficas como medio fundamental para representar

situaciones de movimiento.”



El segundo momento (Actividades 3 y 4) tuvo como objetivo que los estudiantes,

mediante la observación de graficas de velocidad-tiempo, pudiesen describir lo que observaban, y

a partir de eso, ver si podían construir gráficas de distancia-tiempo, posteriormente llevar a cabo

su análisis al plano físico mediante la descripción del desplazamiento frente a un sensor de

movimiento.

En estas actividades los alumnos ya tienen nociones de la utilidad de las gráficas para

representar el movimiento, éstas fueron usadas anteriormente para graficar relaciones entre

distancia tiempo. Ahora, en estas actividades se pretende que relacionen sus saberes sobre las

gráficas ya mencionadas para poder representar gráficas de tipo velocidad-tiempo mediante

descripciones, para posteriormente ver si son capaces de recrear las secuencias de pasos que

hayan logrado describir mediante un sensor de movimiento y ver si concuerdan con las gráficas a

las cuales trataron de ajustar su secuencia de pasos.

Discusión de los participantes de acuerdo con la gráfica que están analizando:

V: De aquí, 4 seg. Para llegar a 1 y aquí 2 seg. para subir a 5, estática… ¿Cuántos? ¿tres?

B: Hay que ir anotándolo.

J: Aunque esa velocidad es la misma que esta y esta, aquí vamos a tomar también la

velocidad vs. Tiempo. […]

V: Okay, tomando en cuenta eso…

B: ¿Le ponemos las variables en velocidad de cada paso?

J. Ajá…

Para este momento los participantes ya han identificado los componentes de las gráficas de

velocidad vs. tiempo que se les han mostrado y ya han iniciado a tratar de dar una descripción de

lo que se muestra, asignando desde una primera imagen las variables que creen son las que

Figura 2: Gráfica que los participantes debían describir, y posteriormente tratar de representar en una

gráfica distancia-Tiempo.


necesitan para poder describir la gráfica, con ello podemos decir que el primer objetivo ha sido

superado, puesto que mediante la discusión grupal están llegando a consensos sobre lo que están

observando, para posteriormente plasmarlo en una descripción.

Episodio 3: “Construcción de la gráfica de distancia-tiempo.”

Los jóvenes concluyeron con la descripción de las gráficas que observaron y ahora se enfocan en

la construcción de las gráficas de distancia tiempo.

[…]

B; Entonces, ¿no sería mejor que empiece en 6 y fueran 5 más hacia acá? ¿quizá?

V: Pero si vas hacia arriba estás diciendo que estás acelerando y de echo está frenando.

B: No, aquí no está acelerando, está avanzando.

V: Ah, ya. (gesto de comprensión).

Figura 3: Consenso final.

Figura 4: Contraste de la gráfica de Velocidad-tiempo con el proceso de construcción que están realizando para

la gráfica Distancia-Tiempo.



B: Eh, no sé cómo representarlo exactamente, pero mi idea es que, aquí por ejemplo está

frenando, pero mientras está frenando está avanzando, por lo tanto, los metros seguirán

hacia arriba, no pueden regresarse, ahora tengo la duda, si inicia con 6 u/seg.

Los alumnos están tratando de realizar una conversión de gráficas, es decir a partir de una gráfica

de velocidad-tiempo, crear una de distancia-tiempo, para este punto de la discusión se muestran

complicaciones, ya que la gráfica que están analizando no tiene un inicio como las otras, ya que

su punto de partida no es el origen, veamos qué ideas tienen.

V: Digamos que viene por acá así (señala al eje “y” en la gráfica) y llega aquí (señala la

coordenada (0,6)), y aquí es donde empieza a frenar y mientras frena avanza.

B: Pero de alguna manera no puede empezar a caminar desde 6.

V: Tú has de cuenta que ya venía así, pero cuando empezamos, digamos que todo su

trayecto fue constante, de 6, de 6, de 6, y nosotros empezamos a tomar en cuenta a partir de

que hay un cambio, que sería justo cuando llega aquí. (señala nuevamente la misma

coordenada.), digamos que viene así.

B: Sí, quizá, yo digo que esa es la trayectoria, pero a lo que voy es que no puede empezar

su trayectoria, eh, se distingue de la distancia que recorrió, no desde los puntos desde donde

los recorrió, eh, esto es lo que estamos diciendo aquí, la distancia que recorrió no podría

empezar a recorrer desde 6 m.

V: Okey.

B: A lo que voy es que igual tiene que empezar aquí, (señala la coordenada (0,0)) porque

ésta es una distancia, no dice que desde 6 m. empezó a recorrer, ahora ¿cómo lo

representamos desde aquí que aceleró, que aceleró, que iba a 6 u/s. y que bajó su velocidad

hasta 1?

M: ¿Están de acuerdo con él? ¿Que no necesariamente tiene que empezar a 6 m.?

J: No, puede empezar aquí, yo digo, (señala la coordenada (0,0))

M: ¿Puede o tiene?

J: Tiene que empezar ahí.

B: Porque no estamos diciendo las posiciones desde donde empezó, si no la distancia entre

tales posiciones, que perfectamente la podemos empezar en 6, pero lo que vamos es que no

es 6.


Los participantes han logrado crear una idea de cómo deben representar su gráfica, y han

determinado que el punto de partida del movimiento siempre será el origen, a menos que el

problema muestre elementos explícitos que denoten lo contrario

El resultado final de su construcción es el siguiente:

Hasta este punto los alumnos han sabido determinar las características de una gráfica y a

partir de ella pudieron obtener otra de diferente tipo y por consiguiente con una representación

diferente. Ellos hicieron la transposición de sus argumentos para la representación hipotética de

lo que observaron al plano “real”, es decir seguir ellos mismos las instrucciones que escribieron y

ver si con ellas mediante el sensor les era posible obtener gráficas, si no iguales pero parecidas a

las que describieron al inicio, concluyeron en lo siguiente:

A manera de conclusión del trabajo realizado llegan a un consenso final, en el que

proponen una manera de poder lograr una mayor precisión dentro de sus construcciones frente a

un sensor de movimiento.

Figura 5: Imagen de la construcción terminada para la gráfica de Distancia-tiempo.

Figura 6: Trabajo con el sensor para tratar de obtener una gráfica que se asemeje a lo que

interpretaron.



“Observamos una gráfica útil para una idea sobre la distancia; en cambio no se apreciaba la

velocidad por la poca precisión de nuestros pasos, podríamos tener una cuerda y amarrarle

un balón e ir jalándolo con el tiempo:

Tomando en cuenta las unidades como cada jalón.

Desplazar una libreta con la mano usando unidades más cortas.”

Observamos entonces que los participantes lograron, con un rango de éxito elevado,

completar las actividades que se les plantearon, supieron reconocer las características de la

gráfica, así como también cómo originar otra a partir de una ya dada. Mediante la

experimentación con el sensor inconscientemente trabajaron la modelación matemática,

transportando datos que originaban situaciones hipotéticas al plano “real” mediante la ejecución

propia del trabajo redactado, así como también, reconocieron las situaciones que alteraban su

trabajo, explicando de esta manera los márgenes de error que tuvieron durante su representación

personal.

Episodio 4: “Contraste de conocimiento.”

Han transcurrido aproximadamente 13 días desde que empezó el trabajo de estudio del

grupo de jóvenes. Durante el transcurso de los días han estado trabajando con gráficas de

funciones y han estado analizando sus propiedades y características desde la observación de

gráficas construidas mediante dispositivos tecnológicos como las calculadoras graficadoras y

sensores de movimiento. Los alumnos han logrado desarrollar el concepto de las progresiones y

los dos tipos que existen; la aritmética y la geométrica, ambas englobadas desde el punto de vista

de las sucesiones numéricas, así también el punto de la covariación de ambas progresiones como

la herramienta esencial para identificar el tipo de función con la que se está trabajando. Han

notado características específicas que permitan a partir de ellas determinar con que tipo de

función están trabajando y con ello hacer la representación gráfica, además obtener de ella y del

análisis numérico la expresión algebraica que representara la forma de la gráfica.

El objetivo de esta última sesión fue que los estudiantes, a partir de tablas con valores

numéricos, sean capaces de reconocer el tipo de progresiones que muestra cada grupo de datos, a

partir de ello determinar el comportamiento que las progresiones de los datos originan, es decir

determinar el tipo de función de entre la gama de las mismas que trabajaron durante el transcurso

de las actividades (lineal, lineal a trozos, cuadrática, exponencial, logarítmica, senoidal),


posteriormente crear una expresión analítica o algebraica que permita la representación de los

datos mediante una función representada en el plano, más importante aún que sean capaces de

modelar los datos, las progresiones y la expresión, llevándolas a todas como parte de una misma

cosa a una situación que uno podría encontrarse en su vida cotidiana.

Se les otorgaron las siguientes tablas para que los participantes llevaran a cabo la actividad.

-Resolución de la gráfica 1:

Andrea y Vicente realizan una análisis rápido y visual de las progresiones mostradas en ambas

columnas de la gráfica

V: Las dos son aritméticas, entonces es lineal.

A: Sí, ¿ya ves?

[…]

V: Se forma esto. (Crea una vista grafica de la tabla de datos)

A: Y es lineal.

M: ¿Sí?

V: Es una función lineal, (para la expresión algebraica) como inicia en seis cientos,

entonces es más seis cientos.

Completa la expresión con un valor al azar y se encamina a corroborar si su expresión creada

concuerda con su representación hecha a mano, para ello se apoya del software “Geogebra”

A: ¿600?, ¿Por qué 600?

V: Porque inicia en 600.

[…]

Figura 7: Tablas que los alumnos analizaron.



V: Ah, es 600 porque en cero está en 600, entonces tiene que pasar por ahí respecto a “y” y

es negativo, porque es decreciente, nada más faltaría el coeficiente de “x”, (1,550), ajá.

A: Si pues, es lo que pusiste al principio ¿no?

V: Ajá, nada más continua la sucesión hasta llegar a cero.

A: ¿Hasta a dónde me dijiste?

V: De aquí, (señala la columna derecha) nada más para comprobar hasta llegar a cero y

aquí, (señala la columna izquierda), seguir avanzando a ver hasta dónde llega, si la

expresión está bien, debe llegar del 6 al 12.

A: Ajá, doce por cincuenta, ujum, seis cientos.

V: Entonces está bien, “menos cincuenta equis más seis cientos”. Ahora un problema.

Los alumnos ya han logrado determinar una expresión algebraica para el primero de

los problemas, dado el video que se analizó y leyendo lo que comentaban, nos damos cuenta de

que no fue necesaria una extensa argumentación para poder determinar la solución, sino más

bien, solo bastó con una serie de pasos para poder determinar las progresiones y a partir de ellas

determinar el tipo de función que se debía tratar.

-Resolución de la gráfica 2.

V: La que sigue…

A: Esa es progresión numérica y la que sigue es progresión geométrica. Por lo tanto…

E: Pero hay que identificar las diferencias.

Figura 8: Se muestra el ejemplo para la modelación que el equipo planteó, así como su respuesta en general.


A: Y la razón.

A escasos momentos de iniciar con la segunda gráfica, los integrantes del equipo saben

lo que deben hacer previo a poder asegurar con que tipo de covariación están trabajando, para

ello Vicente se encarga de llevar a cabo las diferencias mientras que Andrea y Erixel se encargan

de revisar que los resultados que se obtienen sean los correctos.

V: Sale así la diferencia: -0.06, -0.04, -0.05, -0.04 otra vez y -0.024.

A: ¿Y la razón?

V: La razón todavía no he checado. (lleva a cabo divisiones entre los valores)

A: No creo que sea… Creo que es racional.

V: No, no tienen razón.

(Andrea analiza sus apuntes.)

V: A lo mejor saqué mal las diferencias…

A: Este es -0.06. (Encontró un error).

Los alumnos se ven confundidos ante un fallo dentro de los parámetros indispensables

para ellos, no han podido encontrar una constante dentro de las diferencias que les permita saber

si se trata de una función polinómica ni tampoco han encontrado una razón de crecimiento para

catalogarlo como una función exponencial, ante ello proponen los siguiente:

V: […] ¿Por qué no lo graficamos? ¿Qué tal que es una de logaritmo?

(Construyen una gráfica en una hoja blanca).

V: Hay una que es a cortes ¿no?

A: Sería a trozos.

V: Creo que para más exacto (la gráfica), hay que trazarlo allá (en Geogebra).

Realizan la ubicación de las coordenadas de los puntos que se muestran en la tabla y

analizan lo que observan

A: ¿Por qué siento que es una función lineal? No, este… cuadrática.

V: Pero no hay…

A: No, no se muestra en la diferencia, pero la razón tampoco sale bien.

V: (observa la forma en que están ubicados los puntos) Es una curva, pero ¿qué curva?,

tiene forma de curva.



A: Porque no es una línea recta.

V: Si los unimos con líneas rectas va a quedar así. (Une los puntos mediante segmentos y

muestra a sus compañeros la forma). Ve, tienen diferentes inclinaciones.

A: Si, Si, o sea que con una línea recta no queda, porque queda toda chueca.

[…]

V: ¿Qué decimos? ¿Qué es lineal?

A: ¿Tú crees que es lineal?, Yo no creo que sea lineal.

V: ¿entonces que crees que es? Exponencial no es, logarítmica tampoco es.

A: No menos.

V: ¿Sinusoidal?, ya rebasó los límites.

E: La sinusoidal, ¿Cuáles son sus límites?

V: De -1 a 1. Polinómica, no tiene comportamiento de polinómica, porque si fuera

cuadrática, tendría parábola, forma de parábola, si fuera cúbica o impar, tendría forma

como de tangente, y coseno tampoco.

A: Coseno menos.

V: Así que… nada más nos queda el comportamiento… ¿lineal a trozos?

[…]

V: No tiene razón, no tiene diferencias, es lineal a trozos…

M: ¿Que dice el equipo?

E: Yo digo que esta… bien, porque si no hay de las otras maneras pues…

M: ¿Ya saben que es?

V: Lo vamos a manejar como una lineal a trozos.

Los alumnos han llegado a un acuerdo sobre la forma en que trabajaran el estudio de los

datos que encontraron, ya que al verse limitadas sus posibilidades de hallar una constante o una

razón de cambio, deciden otorgar un comportamiento individual para cada segmento que trazaron

en Geogebra.

- Ahora se muestra el ejemplo de modelación que plantearon para la gráfica, la cual fue tomada

para una situación de Distancia-Tiempo.


Los participantes han llegado a una conclusión en la que todos han estado de acuerdo,

han decidido trabajar el problema como una función a trozos, para ello han obtenido la función

que representa a cada segmento que une a los puntos.

Si bien el problema no representa lo que ellos decidieron trabajar, lo que realmente está

representado es una función cuadrática como lo sospechaba Andrea, pero ¿por qué ellos no lo

notaron? La respuesta es sencilla, existía un margen de error dentro de las diferencias que

encontraron en sus datos numéricos, este error consiste en una centésima en su segunda

diferencia, arrojando datos diferentes, ante ello fue que al notar esa falta de un valor constante

decidieron descartar la posibilidad de que se tratara de una función cuadrática, la solución ante

esto era obtener el promedio de los valores y de esa forma, obtendrían un valor que si era

constante, cabe destacar que hacer esto es únicamente correcto y/o válido cuando las diferencias

son casi exactas o casi idénticas, y que además les permitiría trazar una curva que representara

dentro del plano todos los valores numéricos posibles de hallar.

-Resolución del tercer problema.

V: Esta es una exponencial, la razón es 1.1

M: ¿Por qué la confianza?

V: Porque ya saqué la razón.

A: La razón es 1.1

[…]




A: ¿Seguro que es exponencial?

V.: Pues esta va por razón y está por aritmética. (Señala primeramente la columna derecha

y después la izquierda).

A: Pero se tiene que sacar diferencia de la primera y segunda diferencia ¿no?

V: No, eso es para…

A: ¿Exponencial?

V. No porque ya está aquí la razón, sin necesidad de hacer las deferencias.

A: Pero también la logarítmica tiene razón… […] (revisa sus apuntes) es exponencial.

V: Exponencial: Covariación de dos progresiones, una aritmética y otra geométrica…

A: Ujum, okey, si la razón es 1.1, sería…

Hasta este momento ya han logrado identificar los tipos de progresiones que existen en los datos

de la tabla, y a partir de ellos han definido el tipo de función con la que debían trabajar.

-Se muestra la finalización de su trabajo, en donde se encuentra escrito el tipo de función que

representa la tabla, la expresión algebraica, la modelación planteada y ya que al tratarse de una

función exponencial su transformación a un logaritmo.

El argumento que ofrecen para la expresión que encontraron es el siguiente.

[…]

A: Yo estaba notando que al momento de elevar 1.1 a cualquier número daban los mismos

números que estaban en la tabla, solo que el punto decimal estaba marcado en un lugar



diferente, y para que llegara a 1,000, tenía que ponerlo por 10 a la 3 (103) que es 1,000

entonces nada más se corre el punto a la derecha, al multiplicar por 1,000.

Observamos entonces que el equipo logró crear una expresión algebraica para el problema,

así como también identificó que se trataba de una función exponencial, sin embargo no logró

cumplir con un objetivo de este problema en particular, el cual era crear una situación o expresión

que lograra concordar con un logaritmo, las nociones que tenían para la formación de dicho

logaritmo eran escasas, sin embargo con un poco de inducción por parte del coordinador y de sus

compañeros del otro equipo de forma extemporánea a los límites de tiempo de la actividad sí

lograron la formación de una expresión en términos logarítmicos, aunque no de una situación de

modelación del mismo.

-Resultados finales.

A partir del análisis que se puede hacer desde un contraste de las primeras actividades

realizadas por el grupo de estudiantes y la actividad final o de cierre podemos destacar una

amplia gama de situaciones, como lo son la forma en que están cimentadas las opiniones de cada

uno de ellos. Durante los inicios del trabajo de investigación no tenían la idea de lo importante

que se volvería para ellos el trabajo con las gráficas y las formas de graficar, desde el

reconocimiento de variables, hasta el señalamiento de los valores que necesitaban para poder

crear algo que realmente expresara lo que tenían que expresar. En un inicio se veían dudosos

sobre las actividades y tenían que llevar a cabo largas discusiones sobre cómo era y qué era lo

que tenían que hacer, durante el paso de los días iban descubriendo muchas particularidades

acerca de lo que trabajan en el momento, hacían anotaciones y trataban de retener aquello que les

parecía importante, de esta forma una vez que habiendo llegado el momento cumbre de todo el

trabajo realizado todos fueron capaces de saber qué era lo que tenían que hacer, dejar de lado las

suposiciones acerca de cómo trabajar, para enfocarse directamente a una metodología informal

planteada por ellos mismos de forma implícita, la cual consistía en identificar el tipo de

progresión con la que trabajaban sus variables, a partir de las progresiones determinar el tipo de

función, una vez que ésta era identificada buscarle una expresión algebraica que la representase y

por último hacer una modelación, para ello usaban argumentos más amoldados al trabajo que

habían realizado, desde retomar el concepto de las covariaciones, las características de cada una

de las funciones, sus formas globales y sus representaciones. Se observa un crecimiento muy



grande en cuanto a la calidad de sus discusiones y a la calidad de sus ideas, la divagación del

pensamiento que se observaba en el material grabado durante las primeras actividades fue

sustituido por respuestas más rápidas y más seguras, basadas en un procedimiento que las

respaldara.

Conclusiones

El estudio de la modelación y la covariación que un principio era inconsciente por parte

de los participantes y que a medida que fueron avanzando durante sus actividades lograron

observar con más claridad representa dos formas de aprender matemáticas muy importantes que

si se estudian separadas entre sí pueden llegar a tornarse complicadas y hasta cierto punto

aburridas, pero ¿Qué pasa cuanto estas dos argumentos se unen?, los estudiantes experimentaron

una visión de la enseñanza de las matemáticas muy diferente a la que están acostumbrados a ver

en un aula de clases, a la que podemos definir como una forma tradicional, y que hasta cierto

punto considero es la responsable de que gran cantidad de alumnos tengan catalogada a esta

materia como extremadamente difícil, algo que es incomprensible, pero sobre todo que digan que

lo que se les trata de enseñar nunca les va a servir para su vida, es aquí donde la unión de la

modelación y la covariación como parte de una teoría de enseñanza (socioepistemología) juega el

papel principal de su razón de ser, lo que experimentaron los participantes es que fácilmente ellos

pueden tomar una situación de su vida cotidiana y la pueden transportar a un plano numérico, y a

partir de ello crear un problema matemático que realmente se ajuste a la realidad de las cosas, y

no a una realidad inventada sacada de algún problema de un libro de texto, todo esto está basado

en la forma que intervinieron los asesores para el trabajo que se realizó, durante el periodo

comprendido, no asumieron el papel de un profesor dando clases, si no que mediante simples

acercamientos incitaron a los participantes a trabajar algo que ellos no conocían y ver qué era lo

que rescataban de ello mediante el análisis, las fórmulas obtenidas, las agrupaciones hechas de

los tipos de funciones, los métodos de caracterización fueron creados por los alumnos tomando

como una base la experimentación y el juego con los valores numéricos, de modo que se

pudiesen observar alteraciones por mínimas que fuesen y a partir de ellas, que ellos pudiesen

descubrir y construir ideas y de esas ideas lograr el conocimiento.

Es por ello por lo que me atrevo a decir que el trabajo que se realizó bien podría ser

aplicado como un modelo de enseñanza en las escuelas, que, si bien puede llegar a ser más


tardado, ofrece nuevas expectativas a los estudiantes para el aprendizaje de las matemáticas, a mi

consideración creo que ayudaría en gran medida a reducir la baja calidad conocimiento

matemático que se tiene en las unidades educativas y a engrandecer el estudio de esta materia.

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