TUTORA: ALICIA HERNANDEZ

ESTADISTICA

COLEGIO SAGRADO CORAZON

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son medidas estadísticas que seusan para describir como se puederesumir la localización de los datos.Ubican e identifican el puntoalrededor del cual se centran losdatos. Las medidas de tendenciacentral nos indican hacia donde seinclinan o se agrupan más los datos.Las más utilizadas son: la media, lamediana y la moda.

LA MEDIA

La media o media aritmética, usualmente se le llamapromedio. Se obtiene sumando todos los valores delos datos y dividiendo el resultado entre la cantidadde datos. Si los datos proceden de una muestra, elpromedio se representa con X. Si los datos procedende la población, se utiliza la letra griega µ.

CONTINUACIÓN

La fórmula matemática para calcular la mediao promedio es la siguiente:

donde;

= promedio

= signo de sumatoria

N = numero de datos

Veamos como se emplea la media o promediocon el siguiente ejemplo:

N

xx

X

EJEMPLO

A continuación se presenta una muestra delas puntuaciones en un examen de un cursode estadística:

70 90 95 74

58 70 98 72

75 85 95 74

80 85 90 65

90 75 90 69

Podemos calcular el promedio de laspuntuaciones para conocer cuántosestudiantes obtuvieron puntuaciones porencima y por debajo del promedio . Veamos

CONTINUACIÓN

Primero, sumamos todos los valores de losdatos y el resultado lo divide entre el total dedatos o tamaño de la muestra. Al sumar todaslas puntuaciones en el ejemplo anteriorobtendrás un total de 1600, que dividido por20(total de datos), es igual a 80. Si empleamosla fórmula obtenemos:

N

xx 80

20

1600x

LA MEDIANA

La segunda medida de tendencia central queanalizaremos es la mediana, en ocasiones se le llamamedia posicional, porque queda exactamente en lamitad de un grupo de datos, luego de que los datosse han colocado de forma ordenada. En este caso lamitad (50%) de los datos estará por encima de lamediana y la otra mitad (50%) estará por debajo deella. La mediana es el valor intermedio cuando losvalores de los datos se han ordenado.

CONTINUACIÓN

Existen dos formas para obtener lamediana. Primero, si la cantidad de losdatos es impar, la mediana es el valorque se encuentra en la posición(n+1) 2 donde, n es el número dedatos. Por ejemplo, se tiene unamuestra de tamaño 5 con lossiguientes valores: 46, 54, 42, 48 y 32.Veamos como se determina lamediana.

PASOS PARA CALCULAR LA MEDIANA

Primer paso, ordenar los datos:

32 42 46 48 54

Como la cantidad de datos es impar

(5 datos), la mediana es el valor del dato que seencuentra ubicado en la posición (5+1) 2=3, lamediana es 46. Segundo, si la cantidad de datos espar, la mediana es el valor promedio de los datosque se encuentran en las posiciones (n 2) y (n 2)+ 1. Veamos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO Se ha obtenido una muestra con los valores de

datos: 27, 25, 27, 30, 20 y 26. ¿cómo sedetermina la mediana en este caso?.

Primer paso, ordenar los datos de formaascendente:

20 25 26 27 27 30

Como el número de datos es par (6), lamediana es el promedio de los datos que seencuentran en las posiciones (6 2) = 3 y

(6 2) +1 = 4. por lo tanto la mediana es:

=2

272626.5

LA MODA

La moda es el dato que más se repite o el dato queocurre con mayor frecuencia. En el ejemplo anteriorla moda es el . Un grupo de datos puede tenermás de una moda. Veamos el siguiente ejemplo: setiene una muestra con valores 20, 23, 20, 24, 25,25, 26 y 30. El 20 y 25 son la moda entonces, sedice que es bimodal.

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PERCENTILES

Un percentil nos provee información de como sedistribuyen los valores de los datos desde el menorhasta el mayor. El percentil divide los datos en dospartes, más o menos el (p) por ciento de los datostienen valores menores que el percentil yaproximadamente (100-p) por ciento de los datostienen valores mayores que el percentil.

PASOS PARA CACULAR EL PERCENTIL

Para calcular el percentil debe seguir lossiguientes pasos:

Paso 1. Ordene los datos de maneraascendente.

Paso 2. Calcule un índice (i)

en donde (p) es el percentil de interés y(n) es el número de datos uobsevaciones.

nP

i100

COTINUACIÓN

Paso 3.

a) Si (i) no es entero, utilizando las reglas deredondeo, se lleva al próximo numero entero. Elvalor entero inmediato mayor que (i) indica laposición donde se encuentra el percentil.

Esto significa que si (i) = 3.5, el percentil seencuentra en la posición 4 de los datos.

b) Si (i) es entero, el percentil es el promedio de losvalores de los datos ubicados en los lugares

i e (i + 1). Veamos como se aplica

EJEMPLO

Como ejemplo de esteprocedimiento, determina el percentil75 de los datos sobre las edades delsiguiente un grupo de ciudadanos:25, 20, 26, 21, 19, 23, 22, 30, 28,27.Paso 1. Ordene los datos en orden

ascendente:19 20 21 22 23 25 26 27 2830

EJEMPLO

Paso 2. Calcule el índice (i):

Paso 3. Como (i) no es entero, redondeamos alpróximo entero mayor que 7.5, o sea, ellugar 8. Al referirnos a los datos delejemplo, vemos que el percentil 75 es elvalor del dato ubicado en la posiciónnúmero 8, que en este caso es 27.19 20 21 22 23 25 26 27 28 30Nota. Recuerda que (i) nos indica el lugardel dato donde se encuentra el percentilque estamos buscando.

nP

i100

5.710100

75i

¿CÓMO SE INTERPRETA EL PERCENTIL EN ESTE EJEMPLO?

Significa que el 75% de las edades son menores de 27 años y el 25% restante (100-p) es mayor de 27 años.

CUARTILES Los cuartiles dividen los datos en cuatro partes. Cada

una de las partes representa una cuarta parte, o el 25%de las observaciones. Los cuartiles son percentilesespecíficos; por consiguiente, los pasos para calcularlos percentiles los podemos emplear para calcular loscuartiles.

CONTINUACIÓN

Los cuartiles se definen de la siguiente manera

Q1 = primer cuartil, o percentil 25

Q2 = segundo cuartil, o percentil 50

(también la mediana)

Q3 = tercer cuartil, o percentil 75

PASOS PARA CALCULAR LOS CUARTILES

A continuación se presenta un conjunto de datos conlos siguientes valores; 10, 5, 12, 8, 14, 11, 15, 20, 18,30 y 25.

¿ Cómo identificamos los cuartiles en este ejemplo?

Utilizarás los mismos pasos para identificar lospercentiles:

Primero, ordenamos los datos

5 8 11 12 14 15 18 20 25 30

Segundo, determinamos (i) para cada cuartil:

Q1 = primer cuartil, o percentil 25

Q2 = segundo cuartil, o percentil 50

(también la mediana)

Q3 = tercer cuartil, o percentil 75

CONTINUACIÓN

Cuartiles:Q1 = primer cuartil, o percentil 25

= 2.5

Como(i) no es un número entero, se redondeaal próximo entero mayor que 2.5, o sea 3. Alreferirnos a los datos vemos que el primercuartil está ubicado en la posición 3 de losdatos que este caso es 11. El primer cuartil enlos datos se divide de la siguiente forma:

5 8 11 12 14 15 18 20 25 30Q1=1

10100

25i

CONTINUACIÓN

Segundo cuartil:Q2 = segundo cuartil, o percentil 50

(también la mediana)

= 5

Como (i) es un número entero, el segundocuartil es el promedio de los valores de losdatos que están en las posiciones i e (i+1), queen este caso es, (14+15)÷2=14.5,entonces, el segundo cuartil en los datos sedivide así:5 8 11 12 14 15 18 20 25 30

Q1=11 Q2=14.5

10100

50i

CONTINUACIÓN Tercer cuartil:

Q3 = tercer cuartil, o percentil 75

= 7.5

Como (i) no es un número entero, se redondeaal próximo entero mayor que 7.5, o sea 8. Alreferirnos a los datos , vemos que el tercercuartil está ubicado en posición 8 de los datosque en este caso es el 20. Finalmente, loscuartiles en este caso se presentan de lasiguiente forma:

5 8 11 12 14 15 18 20 25 30

Q1=11 Q2=14.5 Q3=20

10100

75i