Medidas fractales de arterias coronarias en un modelo experimental de reestenosis. Armonia matematica intrinseca de la estructura arterialResumen:La geometria fractal es una teoria matematica capaz de medir la irregularidad de objetos naturales; las medidas adecuadas para caracterizar las formas del cuerpo humano son las dimensiones fractales. La eficacia de la intervencion biomolecular especifica ligando-receptor con octreotido de somatostatina, en el desarrollo de la reestenosis coronaria en porcinos, es evaluada con medidas de dimension fractal. Se examinaron 17 imagenes de arterias coronarias de porcinos. 14 animales se sometieron a barotrauma: ll tratados con el peptido-ll imagenes- y tres (grupo control) sometidos a placebo -tres imagenes. Tambien se examinaron arterias coronarias sanas -tres imagenes. Los animales se sacrificaron a las cuatro semanas para el estudio. Por ultimo, haciendo uso del procedimiento de Box-Counting, se midio la dimension fractal de los objetos significativos: la luz arterial, la arteria en su totalidad y los objetos irregulares que la componen. Las medidas de la dimension fractal de los objetos irregulares componentes de las arterias sanas, resultaron semejantes a la medida de la totalidad de la arteria, presentando diferencias en la tercera cifra significativa; es decir, igualdades en un orden de magnitud 1000 veces-mayor en la similitud entre las partes y el todo en las arterias sanas con respecto a las enfermas. En el resto de las arterias, tanto las tratadas con octreotido como las tratadas con placebo, la diferencia entre las partes y la totalidad se hizo manifiesta desde la primera cifra significativa e incluso en la unidad; determinando la diferencia entre arterias sanas y enfermas. Las dimensiones fractales de las arterias del grupo tratado con octreotido de somatostatina mostraron similitudes, entre las relaciones matematicas de las islas, con las del grupo control, de lo que podria inferirse que el octreotido de somatostatina no fue efectivo en la prevencion de la reestenosis luego de trauma en un modelo experimental en porcinos. Read less

Diagnstico matemtico de ecocardiografas peditricas con medidas de dimensin fractal evaluadas con armona matemtica intrnsecaMathematical diagnosis of pediatric echocardiograms with fractal dimension measures evaluated through intrinsic mathematical harmonyJavier O. Rodrguez-Velsquez, MD.(1); Signed E. Prieto(1); Liliana Ortiz(1); Miguel Ronderos, MD.(2); Catalina Correa, Psicloga.(1)(1) Grupo de investigacin INSIGHT. Bogot, Colombia. (2) Cardiologa peditrica. Fundacin Cardioinfantil. Bogot. Colombia.

Centro de procedencia: Grupo de Investigacin INSIGHT, Bogot, Colombia. Proyecto n 1868 financiado por el Banco de La Repblica- Fundacin Cardioinfantil.

Correspondencia: Javier O. Rodrguez-Velsquez. MD. Director del Grupo de investigacin INSIGHT. Direccin: Cra 79B N 51-16 Sur. Int. 5 Apto. 102, Barrio Kennedy, Bogot, Colombia.Telfono: 4527541. Correo electrnico: grupoinsight2025@yahoo.es.

Recibido: 09/02/2009. Aceptado: 20/11/2009.

Antecedentes y objetivos: la geometra permite la caracterizacin matemtica objetiva de las formas; la geometra fractal caracteriza objetos irregulares. La forma de los estados dinmicos del ventrculo izquierdo que se observa mediante eco-cardiografa, puede evaluarse de manera objetiva a partir de medidas de dimensiones fractales.Mtodos: se midi la dimensin fractal a travs del mtodo de Box-Counting de tres objetos definidos en 28 imgenes eco-cardiogrficas, 16 de infantes normales (grupo A) y 12 enfermos (grupo B), a fin de establecer diferencias entre salud y estados patolgicos a partir de su comparacin con las dimensiones fractales de dos prototipos de normalidad y dos de enfermedad.

Resultados: se desarroll una nueva metodologa diagnstica de aplicacin clnica basada en el concepto de "armona matemtica intrnseca", y se hall que las dimensiones fractales de los objetos definidos para un ecocardiograma enfermo presentan similitudes hasta en su cuarta cifra significativa, con lo que se evidencia la posibilidad de seguir la evolucin de normalidad a enfermedad. De acuerdo con los clculos realizados 68,75% de los casos del grupo A podran tener mejor evaluacin con el diagnstico desarrollado y los enfermos podran diagnosticarse de modo ms efectivo.

Conclusiones: las imgenes ecocardiogrficas peditricas pueden caracterizarse de manera objetiva con medidas de dimensin fractal, lo cual permite desarrollar una metodologa de diagnstico clnico de la eco-cardiografa en menores de edad, a partir del concepto de armona matemtica intrnseca.

PALABRAS CLAVE: ecocardiografa, fractal, armona matemtica intrnseca.

Background and objectives: Geometry allows the objective mathematical characterization of forms. Fractal geometry characterizes irregular objects. The left ventricle dynamical states form observed through echocardiography can be objectively evaluated through fractal dimension measures.

Methods: A measurement of fractal dimension was performed using the Box-counting method of three defined objects in 28 echocardiographic images, 16 from normal children (group A) and 12 ill children (group B), in order to establish differences between health and illness from its comparison with the fractal dimensions of 2 normality prototypes and 2 disease prototypes.

Results: A new diagnostic, clinical application methodology was developed based in the "intrinsic mathematical harmony" (IMH) concept, and it was observed that the fractal dimensions of the defined objects for an abnormal echocardiogram show similarity to its fourth significant number, thus demonstrating the possibility of following up the evolution from normality towards disease. According to the performed calculations, 68.75% of the cases in group A could be better evaluated with the developed diagnostic methodology, and the ill ones could be diagnosed more effectively.

Conclusions: The pediatric echocardiography images can be objectively characterized with fractal dimension measurements, thus enabling the development of a clinical diagnostic methodology of echocardiography in children from the IMH concept.

KEY WORDS: echocardiography, fractals, intrinsic mathematical harmony.

Introduccin

La geometra es una rama de la matemtica que estudia las propiedades de las figuras en el espacio. La geometra euclidiana clsica se aplica a las superficies planas, mientras que las no euclidianas se aplican a las superficies curvas o a objetos irregulares (1, 2). La aplicacin de medidas euclidianas en objetos irregulares observados en modelos de experimentacin en animales, se utiliza en el desarrollo de mtodos de evaluacin de diferentes exmenes; sin embargo, en la mayora de los casos sus resultados dependen de la subjetividad y experiencia del observador (3). La utilizacin de nuevas formas de medicin basadas en geometra fractal (4, 5) ha producido resultados exitosos en la descripcin de la morfologa y fisiologa animal y humana a nivel experimental y clnico (6-11).

En cardiologa, Huikuri y colaboradores (12) proporcionaron medidas predictivas de mortalidad despus de infarto agudo del miocardio a partir de medidas fractales. Goldberger y colaboradores (13) asociaron enfermedad a comportamientos excesivamente peridicos o aleatorios, mientras que una conducta intermedia se asoci con la salud, desarrollando as la concepcin salud/enfermedad de los sistemas dinmicos. Su reinterpretacin permiti el desarrollo de un nuevo mtodo de diagnstico matemtico objetivo y reproducible de la monitora fetal mediante la aplicacin de la ley de Zipf/Mandelbrot (14). Rodrguez y colaboradores establecieron conceptos como el de armona matemtica intrnseca (15), variabilidad y diferencia neta (16), que evidencian discrepancias matemticas entre normalidad y enfermedad a partir de anlisis geomtricos de los objetos estudiados, ya que las dimensiones fractales analizadas de forma aislada pueden resultar insuficientes para realizar diagnsticos clnicos.

La ecocardiografa es uno de los procedimientos diagnsticos de mayor uso en la evaluacin del funcionamiento cardiaco por su bajo costo y su carcter no invasivo. Para su evaluacin se han desarrollado medidas con base en geometra euclidiana, que aproximan su forma a la de una estructura regular (17, 18), lo cual hace que los diagnsticos sean dependientes de la subjetividad y experiencia del observador, y dificulten el establecimiento de diagnsticos precisos y reproducibles.

El objetivo de este trabajo es desarrollar una metodologa geomtrica para la caracterizacin matemtica objetiva del ecocardiograma peditrico, a travs de la medicin de las dimensiones fractales de imgenes en sstole y distole que se calculan con el mtodo de Box-Counting y se evalan mediante el concepto de armona matemtica intrnseca. La metodologa desarrollada permitir la evaluacin simultnea de la estructura ventricular izquierda en sstole y distole, estableciendo un parmetro matemtico de diferenciacin objetiva y reproducible, entre normalidad y enfermedad, aplicable en la clnica.

Mtodos

Se tomaron 28 ecocardiografas de pacientes con edades entre diez das de nacidos a diecisiete aos de edad, clasificados y agrupados segn el diagnstico clnico convencional realizado por un mdico experto. Los exmenes se clasificaron en dos grupos: el grupo A corresponde a menores normales, diecisis pacientes, y los menores del grupo B presentan afecciones cardiacas, de los cuales doce resultaron representativos de enfermedad (Tablas 1 y 2).

Como prototipos de normalidad y enfermedad, se eligieron cuatro ecocardiogramas los cuales no presentaron dudas en su diagnstico tanto desde los parmetros clnicos convencionales de anlisis del ecocardiograma como desde la evaluacin clnica general; el primer ecocardiograma escogido como prototipo de enfermedad present estenosis pulmonar, mientras el segundo ventrculo nico con doble entrada y doble salida, adems de vasos en transposicin.

El examen ecocardiogrfico se realiz con un equipo VIVID 3 de General Electric, del servicio de eco-cardiografa peditrica de la Fundacin Cardioinfantil; con ste se tomaron las imgenes y se realiz la delimitacin de los objetos observados con el procedimiento convencional realizado por un experto (Figura 1).

Los contornos ecocardiogrficos del ventrculo izquierdo en distole y sstole se denominaron isla 1 e isla 2 respectivamente. Adicionalmente se desarroll el concepto de isla total, correspondiente a la unin de las islas 1 y 2. Las islas fueron aisladas de la imagen total de la eco-cardiografa (Figura 2) y se les superpusieron cinco rejillas con cuadros de 10 - 5 - 2,5 - 1,2 y 0,6 milmetros de lado, realizando el respectivo conteo de cuadros para la obtencin de la dimensin fractal a travs del mtodo de Box-Counting (Figura 3).

Anlisis matemtico

La evaluacin de las ecocardiografas se hizo mediante el clculo los valores numricos de las dimensiones fractales calculadas en las dos islas y la totalidad (ver definiciones).

Las dimensiones fractales de las islas en los cuatro prototipos fueron evaluadas con el concepto de armona matemtica intrnseca. Posteriormente estas medidas se contrastaron con las dimensiones fractales de las ecocardiografas de ambos grupos en busca de caractersticas matemticas de diferenciacin entre normalidad y enfermedad.

Dado que esta metodologa se basa en procedimientos matemticos generales para la caracterizacin de la dinmica cardiaca, las medidas que se obtienen caracterizan matemticamente cada caso particular sin necesidad de hacer anlisis estadsticos sobre una poblacin especfica.

Definiciones

Fractal: del latn fractus, interrumpido. Objeto irregular. Trmino que se define como sustantivo: objeto irregular, y como adjetivo: irregularidad.

Dimensin fractal: medida numrica adimensional del grado de irregularidad de un fractal. La definicin de dimensin fractal usada en este trabajo es la dimensin fractal de Box-Counting.

Dimensin fractal de Box-Counting:

donde:

N: nmero de cuadros que contiene el contorno del objeto.

K: grado de particin de la cuadrcula.

D: dimensin fractal.

Armona matemtica intrnseca: grado de similitud o diferencia entre las unidades y las cifras significativas de las dimensiones fractales de las islas. Cuando la diferencia en las dimensiones fractales est en la unidad se denota con cero, cuando es en la primera cifra significativa con uno, en la segunda con dos y en la tercera con tres*.

Isla 1: objeto que se obtiene de la imagen ecocardiogrfica de acuerdo con el contorno en distole delimitado por el experto.

Isla 2: objeto que se obtiene de la imagen ecocardiogrfica de acuerdo con el contorno en sstole delimitado por el experto.

Isla total: objeto matemtico constituido por la unin de las islas 1 y 2.

Prototipos normales: imgenes ecocardiogrficas sin dudas en su diagnstico normal denominados P1 y P2.

Prototipos enfermos: imgenes ecocardiogrficas con patologas severas, sin dudas en su diagnstico, denominados P3 y P4.

Resultados

Las dimensiones fractales del grupo A estn entre 0,8856 y 1,1483 para la isla 1, entre 0,0117 y 1,1074 para la 2 y entre 0,9136 y 1,1047 para la total, mientras que los valores del grupo B estn entre 0,9304 y 1,0153 para la isla 1, entre 0,9250 y 0,9884 para la 2 y entre 0,9298 y 0,9943 para la total.

Los rangos en que se encuentran las dimensiones fractales para cada isla, no diferencian los grupos, lo que muestra que las dimensiones fractales aisladas no son un parmetro para caracterizar los grupos.

Al evaluar las dimensiones fractales calculadas para las islas dinmicas en los cuatro prototipos seleccionados, con el concepto de armona matemtica intrnseca, se encontr que un paciente es normal cuando los grados de irregularidad difieren slo en su primera cifra significativa, mnimo en una de las tres comparaciones. Por ejemplo, el prototipo 2, (Tabla 3), presenta un valor de 1 en las dos primeras relaciones y 2 en la relacin de la isla 2 con la total. El paciente A11 presenta 1 en la ltima relacin y en las dems relaciones el valor es 0, por lo cual se considera normal desde esta metodologa (Tabla 4).

En contraste, los pacientes enfermos se caracterizan porque sus dimensiones fractales difieren en la segunda, tercera y cuarta cifra significativa, pero no presentan diferencia en la primera cifra significativa en ninguna de las tres comparaciones. Por ejemplo, el prototipo 4 (Tabla 3) presenta valores de 2 en todas las relaciones y el paciente B1 presenta valores de 4 en todas las relaciones, por lo cual se considera enfermo (Tabla 5).

Posiblemente son enfermos o estn en evolucin hacia la enfermedad quienes, como en los casos de los pacientes A5 y B9, en las relaciones entre isla 1 y 2 e isla 1 y total, presentan un valor de 0 y en la ltima relacin se encuentra un valor de 2. Para este tipo de casos se recomienda un seguimiento cuidadoso a fin de observar su evolucin en el tiempo.

En las tablas 4 y 5 se comparan las dimensiones fractales de las islas uno y dos, uno y total, y dos y total. La tabla 6 presenta el diagnstico de los casos de acuerdo con la metodologa desarrollada.

Discusin

Este es el primer trabajo en el que se evala matemticamente el ecocardiograma peditrico a travs de la medicin de la dimensin fractal de imgenes en sstole y distole. Se aplic el concepto de armona matemtica intrnseca al desarrollo de una nueva metodologa diagnstica, estableciendo un parmetro de diferenciacin objetiva, reproducible y aplicable en la clnica. La metodologa desarrollada permite la evaluacin simultnea de la estructura ventricular izquierda en sstole y distole, encontrando que las dimensiones fractales establecen diferencias matemticas entre normalidad y enfermedad. Los ecocardiogramas cuya evaluacin de armona matemtica intrnseca es 1 en cualesquiera de las relaciones establecidas por las islas, se asocian a normalidad, mientras que los que presentan los valores de 2, 3 y 4 en la armona matemtica intrnseca en ms de una de las relaciones sin un valor 1 como mnimo, se asocian con enfermedad. Los casos en los que la relacin entre las islas 1 y 2, y entre las islas 1 y total tengan un valor igual a 0, y la relacin entre la isla 2 y la total presente un valor igual a 2, posiblemente estn asociados a enfermedad o a evolucin hacia sta y se recomienda un seguimiento posterior cuidadoso.

Los prototipos escogidos permiten la determinacin de las caractersticas matemticas fundamentales que diferencian normalidad de enfermedad, a partir de las cuales se realiza una evaluacin del resto de casos. Esta metodologa diagnstica evala cada caso de manera objetiva a partir de sus caractersticas geomtricas, independientemente de la patologa especfica y de la edad del paciente, siempre y cuando sea menor de dieciocho aos, encontrando medidas numricas generales del estado de normalidad o enfermedad del ventrculo izquierdo que hacen innecesario el uso de mtodos estadsticos. As, al comparar rdenes de magnitud utilizando la funcin exponencial en base e, por ser sta la funcin inversa a la funcin logaritmo, se encuentra que el grado de similitud entre las partes y la totalidad, en los pacientes normales, oscila en rdenes entre e0=1 ye1=2.178; mientras que en los enfermos se encuentra entre e10=22026.4658 y e1000=1,97x10434, es decir que el grado de similitud entre las partes componentes y la totalidad en los casos enfermos llega incluso a ser 10434 veces mayor que en los casos normales.

Estudios previos evidencian que las alteraciones morfolgicas se relacionan con anomalas funcionales; tal es el caso de las simulaciones de la actividad cardiaca realizadas por Kappenberger (19), quien muestra cmo la geometra y la anatoma influyen la estabilidad elctrica del corazn. Esta es la razn por la cual el anlisis geomtrico del ventrculo, en dos momentos funcionales diferentes, puede dar cuenta de su estado de normalidad o enfermedad. La caracterizacin matemtica permite superar el carcter descriptivo de los diagnsticos tradicionales, en los que slo se consideran los estados de normalidad y enfermedad, as como su objetiva evolucin. De acuerdo con la metodologa desarrollada, 68,75% de los sujetos del grupo A corresponden a pacientes enfermos o en evolucin hacia la enfermedad, al presentar rdenes matemticos caractersticos de los prototipos de enfermedad. Este hecho evidenciara dificultades en la objetividad del diagnstico tradicional y la posibilidad de un anlisis ms objetivo por medio del diagnstico desarrollado. Es necesario realizar estudios posteriores de esta metodologa para su aplicacin clnica a pacientes adultos, as como para evaluar el verdadero impacto clnico de la importancia de la evolucin hacia la enfermedad. En la actualidad los pacientes diagnosticados como sanos desde la metodologa vigente, no presentan dificultades posteriores.

De acuerdo con el tipo de eco-cardiografa realizada, el ventrculo se estudia a travs de aproximaciones a distintas figuras regulares que no corresponden a lo que se observa en los modelos obtenidos de vaciados en cera (17, 18). El anlisis aislado de las dimensiones fractales obtenidas para las islas 1 y 2 no permite establecer rangos de diferenciacin entre normalidad y enfermedad. Mediante el concepto de armona matemtica intrnseca se construy un objeto matemtico abstracto denominado isla total, que da cuenta de la estructura ventricular en sstole y distole de manera unificada y que es independiente de mayores o menores grados de irregularidad del ventrculo, basndose en la determinacin matemtica de relaciones armnicas que caracterizan al cuerpo humano.

La aplicacin de conceptos matemticos y fsicos a la caracterizacin y el diagnstico de la morfologa y dinmica de diferentes sistemas biolgicos, dio lugar a resultados efectivos en estudios clnicos y experimentales. Tal es el caso de los trabajos de Goldberger (20-22), basados en la teora de los sistemas dinmicos, y los de Rodrguez y colaboradores, quienes desarrollaron un mtodo de caracterizacin de radiografas de trax con base en geometra fractal aplicada a casos normales (23) y patolgicos (24), y evidenciaron un comportamiento fractal del repertorio inmune caracterizando el grado de complejidad del repertorio T especfico contra al alergeno Poa p9 (25). Manivannan y colaboradores (26) realizaron medidas del ventrculo izquierdo en ecocardiogramas bidimensionales, desarrollando un ndice geomtrico denominado IE (ndice de excentricidad) que permite evaluar la disfuncin sistlica. Rodrguez y colaboradores (16), evaluaron la dinmica fractal de la ramificacin coronaria izquierda de pacientes con presencia y ausencia de enfermedad arterial oclusiva severa, a partir de los conceptos de variabilidad y diferencia neta aplicados a imgenes consecutivas de sstole a distole; de manera anloga, en este trabajo se utiliza una abstraccin matemtica, la isla total, para evaluar un mismo objeto en diferentes estados dinmicos. Estos trabajos evidencian que la superacin de los problemas en el diagnstico de exmenes mdicos puede basarse en medidas objetivas y en concepciones fsicas y matemticas que permitan la interpretacin diagnstica de las medidas realizadas.

Aplicaciones futuras

Se desarrollar una generalizacin de esta metodologa aplicndola a exmenes ecocardiogrficos de adultos y se estudiarn las implicaciones pronosticas de la evolucin entre normalidad y enfermedad. La automatizacin de ste y otros mtodos de diagnstico matemtico de la estructura y dinmica cardiaca, permitir el desarrollo de mtodos de evaluacin integrados de estos exmenes.

Conclusiones

Las imgenes ecocardiogrficas peditricas pueden caracterizarse de manera objetiva con medidas de dimensin fractal.

La construccin matemtica de la isla total a partir del concepto de armona matemtica intrnseca, permite desarrollar una metodologa de diagnstico clnico de la ecocardiografa en menores de edad.

Medidas que tengan por lo menos una vez el valor 1, en alguna de las relaciones establecidas entre las islas, corresponden a un estado saludable, mientras que valores de armona matemtica intrnseca de 2, 3 o hasta 4, sin un valor 1 como mnimo, se asocian con enfermedad. Por ltimo, son posiblemente enfermos o estn en evolucin hacia la enfermedad los casos en que las medidas de las relaciones de armona matemtica intrnseca entre la isla 1 y la 2, y entre la isla 1 y la total, tengan un valor igual a cero y la relacin entre isla 2 y la total muestre un valor igual a dos, por lo que se recomienda un seguimiento cuidadoso en el tiempo.

Esta metodologa diferencia clnicamente normalidad de enfermedad de manera matemtica objetiva para cada caso individual, independientemente de la patologa especfica y de la edad del paciente, si ste es menor de dieciocho aos.

El 68,75% de los casos del grupo A puede ser mejor diagnosticado con esta metodologa que con la evaluacin clnica tradicional.

Dedicatoria

Infinitas gracias a todos los maestros, en especial al Maestro de Maestros, que con su amor y bendiciones hizo que lo extraordinario abriera las puertas de nuestros corazones.

A los maestros Newton y Kepler, que con su ejemplo nos llevaron a apreciar la belleza y armona del universo.

A los nios colombianos.

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* Por ejemplo para el ecocardiograma A4, la dimensin fractal de la isla 1 es 0,8856 y la de la isla 2 es 0,9356, encontrando diferencia en la primera cifra significativa, es decir que la armona matemtica intrnseca entre estas islas es 1. En el ecocardiograma A8, la dimensin fractal de la isla 1 es 1,0096 y la de la isla 2 es de 0,9454, diferencindose en la unidad, es decir que le corresponde el valor 0 de armona matemtica intrnseca. Para el ecocardiograma B4 la dimensin fractal de la isla 1 es 0,9465 y de la isla total 0,9422 diferencindose en la tercera cifra significativa, es decir, un valor de armona matemtica intrseca de 3. REGR

Modelaje matemtico de epidemiasElmodelaje matemtico de epidemiasconsiste en el uso dellenguajey herramientasmatemticaspara explicar y predecir el comportamiento deagentes infecciososy potencialmente dainos a poblacioneshumanasoanimales.ndice[ocultar] 1Modelos deterministas 2Terminologa 3Modelo SIR 4Modelo SIR con nacimientos y muertes 5Modelo SIS con nacimientos y muertes 6Modelo SIRS 7Modelo SEIS 8Modelo SEIR 9Modelo MSIR 10Modelo MSEIR 11Modelos no deterministas 11.1Procesos de ramificacin 11.2ReferenciasModelos deterministas[editar]En un modelo determinista la enfermedad puede infectar a los individuos de manera aleatoria. Sin embargo, laley de los grandes nmerosnos asegura que el nmero de infecciones se va haciendo cada vez ms predecible conforme el tamao de lapoblacinaumenta. Debido a esto losmodelos deterministasson usados para tratar enfermedades que afectan a poblaciones grandes y a menudo surgen representados a travs deecuaciones diferenciales.Terminologa[editar]A continuacin se da una breve descripcin de la notacin que usaremos a lo largo de los modelos deterministas (por orden de aparicin): S - Individuos susceptibles (ver modelo SIR). I - Individuos infectados (ver modelo SIR). R - Individuos recobrados (ver modelo SIR). N - Poblacin total. - Tasa de contagios (probabilidad de que una persona enferme al estar en contacto con un infectado). 1/ - Tiempo promedio de infeccin (para un solo individuo). - Tasa promedio de defunciones (probabilidad de que un individuo infectado muera debido a la enfermedad). f - Tasa promedio de prdida de inmunidad en individuos recobrados. E - Tasa promedio de nacimientos. 1/ Tiempo promedio de incubacin. B - Tasa promedio de nacimientos. M - Infantes con inmunidad pasiva. - Tiempo promedio de inmunidad temporal.Modelo SIR[editar]En1927,W. O. KermackyA. G. McKendrickcrearon el modelo SIR que considera unaenfermedadque se desarrolla a lo largo del tiempo y nicamente tres clases de individuos (de donde proviene el nombre): S(t) representa a los individuos susceptibles, es decir, aquellos que no han enfermado anteriormente y por lo tanto pueden resultar infectados al entrar en contacto con la enfermedad. I(t) representa a los individuos infectados y por lo tanto en condiciones de transmitir la enfermedad a los del grupo S. R(t) representa a los individuos recobrados de la enfermedad, y que ya no estn en condiciones ni de enfermar nuevamente ni de transmitir la enfermedad a otros.El flujo de transiciones de un grupo a otro se da como sigue:Dada una poblacin fija N=S(t)+I(t)+R(t), Kermack y McKendrick obtuvieron las siguientes ecuaciones diferenciales que describen el modelo:

Modelo SIR con nacimientos y muertes[editar]ste es una ampliacin del modelo SIR y considera nacimientos a lo largo del tiempot, de modo que hay una constante renovacin de individuos susceptibles a la enfermedad. Del mismo modo, algunos individuos mueren o bien por la enfermedad o de manera natural al cabo de un tiempo de haber sido recobrados.El flujo de transiciones de un grupo a otro sigue siendo:Las ecuaciones diferenciales que representan el modelo son:

Modelo SIS con nacimientos y muertes[editar]Simplificacin del modelo SIR con nacimientos y muertes, en donde un individuo recobrado nunca desarrolla inmunidad a la enfermedad, de modo que el flujo de un grupo a otro resulta:Sus ecuaciones diferenciales son:

Modelo SIRS[editar]Extensin del modelo SIR, en donde los individuos recobrados pueden perder la inmunidad a la enfermedad y volver a formar parte del grupo de susceptibles. El flujo de un grupo a otro est dado como sigue:Sus ecuaciones diferenciales son:

Modelo SEIS[editar]El modelo SEIS considera una nueva clase de individuos E (del inglsexposed), es decir, aquellos que portan la enfermedad pero que al hallarse en superiodo de incubacinno muestran sntomas y no estn en condicin de infectar a otros. Se supone adems que un individuo que ha enfermado nunca obtiene inmunidad, de modo que el flujo de grupos resulta:y sus ecuaciones diferenciales estn dadas por:

Modelo SEIR[editar]Derivado del modelo SEIS pero agregando esta vez a la poblacin de recobrados. En este caso, al igual que los anteriores, cada grupo es mutuamente excluyente y la suma de todos es la poblacin total, esto es,El flujo de un grupo a otro es:y sus ecuaciones diferenciales resultan:

Modelo MSIR[editar]ste modelo considera una nueva clase de individuos M, los llamados infantes con inmunidad pasiva que tras cierto tiempo la pierden y estn en condicin de ser portadores de la enfermedad (para una descripcin ms detallada vaseInmunidad (medicina)). Los flujos de grupo resultan:y sus ecuaciones diferenciales:

Modelo MSEIR[editar]Derivado del modelo anterior, en donde entre el periodo de susceptibilidad e infeccin hay un periodo de latencia, de modo que el flujo entre un grupo y otro es:y sus ecuaciones diferenciales:

Modelos no deterministas[editar]Para poblaciones pequeas la fluctuacin de una enfermedad puede ser muy grande y debido a esto se vuelve necesario considerar el factor aleatorio en el modelo. En estos casos la probabilidad se hace presente y lasvariables aleatoriaspasan a sustituir a las ecuaciones diferenciales como herramientas para resolver el problema.

Procesos de ramificacin[editar]Uno de los modelos ms simples se puede obtener a partir del proceso de ramificacin de Bienaym-Galton-Watson (llamado ms comnmenteProceso Galton-Watson). ste proceso estocstico discreto modela una poblacin que evoluciona en el tiempo y en cada etapa el proceso puede tomar valores enteros no negativos, que representarn el tamao total de la poblacin en dicho periodo.Usando el modelo antes mencionado podemos considerar una epidemia donde la "poblacin" consistir justamente en el conjunto de todos los individuos enfermos, y para cada enfermo su "descendencia" ser el nmero de individuos nuevos que contagia. Conociendo la funcin de distribucin de nuevos contagios es posible entonces calcular, entre otras cosas, el ndice de contagio y la probabilidad de extincin. stas magnitudes tienen importancia tanto terica como prctica, pues uno de los aspectos ms importantes de una epidemia es su agresividad y posible alcance.BioestadsticaEste artculo o seccin poseereferencias, pero necesita ms para complementar suverificabilidad.Puedes colaborar agregando referencias afuentes fiablescomo se indicaaqu. El material sin fuentes fiables podra sercuestionado y eliminado.

Labioestadsticaes una rama de laestadsticaque se ocupa de los problemas planteados dentro de las ciencias de la vida, como labiologa, lamedicina, entre otros.ndice[ocultar] 1Historia 2En la evolucin 3Aplicaciones 4Bibliografa 5Referencias 6Vase tambinHistoria[editar]El primer mdico que utiliz mtodos matemticos para cuantificar variables de pacientes y sus enfermedades fue el francs Pierre Charles-Alexandre Louis (1787-1872). La primera aplicacin de la Mtodo numrico (que es como titul a su obra y llam a su mtodo) es su clsico estudio de latuberculosis, que influy en toda una generacin de estudiantes. Sus discpulos, a su vez, reforzaron la nueva ciencia de la epidemiologa con en el mtodo estadstico. En las recomendaciones de Louis para evaluar diferentes mtodos de tratamiento estn las bases de los ensayos clnicos que se hicieron un siglo despus. En Francia Louis Ren Villerm (1782-1863) y en Inglaterra William Farr (1807-1883) que haba estudiado estadstica mdica con Louis hicieron los primeros mapas epidemiolgicos usando mtodos cuantitativos y anlisis epidemiolgicos. Francis Galton (1822-1911), basado en el darwinismo social, fund la biometra estadstica.Pierre Simon Laplace(1749-1827), astrnomo y matemtico francs, public en 1812 un tratado sobre la teora analtica de las probabilidades, Thorie analytique des probabilits, sugiriendo que tal anlisis podra ser una herramienta valiosa para resolver problemas mdicos.Los primeros intentos de hacer coincidir las matemticas de la teora estadstica con los conceptos emergentes de la infeccin bacteriana tuvieron lugar a comienzos del siglo XX. Tres diferentes problemas cuantitativos fueron estudiados por otros tantos autores. William Heaton Hamer (1862-1936) propuso un modelo temporal discreto en un intento de explicar la ocurrencia regular de las epidemias de sarampin; John Brownlee (1868-1927), primer director del British Research Council, luch durante veinte aos con problemas de cuantificacin de la infectividad epidemiolgica, y Ronald Ross (1857-1932) explor la aplicacin matemtica de la teora de las probabilidades con la finalidad de determinar la relacin entre el nmero de mosquitos y la incidencia de malaria en situaciones endmicas y epidmicas. Pero el cambio ms radical en la direccin de la epidemiologa se debe a Austin Bradford Hill (1897-1991) con el ensayo clnico aleatorizado y, en colaboracin con Richard Doll (n. 1912), el pico trabajo que correlacion el tabaco y el cncer de pulmn.Los primeros trabajos bioestadsticos en enfermera los realiz, a mediados del siglo XIX la enfermera inglesaFlorence Nightingale. Durante la guerra de Crimea, Florence Nightingale observ que eran mucho ms numerosas las bajas producidas en el hospital que en el frente. Por lo tanto, recopil informacin y dedujo que la causa de la elevada tasa de mortalidad se deba a la precariedad higinica existente. As, gracias a sus anlisis estadsticos, se comenz a tomar conciencia de la importancia y la necesidad de unas buenas condiciones higinicas en los hospitales.En la evolucin[editar]El razonamiento y la modelizacin bioestadsticas fueron fundamentales en la fundacin de la Sntesis Moderna de la evolucin. A principios de los aos noventa, despus del redescubrimiento de la obra deMendel, los problemas conceptuales ligados a la comprensin de la relacin entre lagenticay eldarwinismocondujeron a un acalorado debate entrebiomtricos(Weldon,Pearson) ymendelianos(Davenport,[citarequerida]Bateson). En los aos 30, tres grandes estadsticos,Ronald Fisher, quin desarroll varios mtodos bsicos de la estadistica en su libroThe Genetical Theory of Natural Selection,Sewall G. WrightyJ. B. S. Haldanelograron resolver el conflicto e introdujeron la bioestadstica y, en particular, lagentica de poblaciones, como una de las ramas esenciales de laSntesis evolutiva moderna.1Aplicaciones[editar]La aplicacin resulta hoy en da necesaria, en los campos: Salud pblica, que incluye:epidemiologa,nutricin,salud ambientaly en investigacin deservicios sanitarios. Genmicaypoblaciones genticas Medicina Ecologa BioensayosLa colaboracin de la bioestadstica ha sido clave en el desarrollo de nuevos frmacos, en el entendimiento de enfermedades crnicas como el cncer y el sida, y estos son solo algunos de los miles de ejemplos posibles.La estrecha relacin de la Estadstica con el mtodo cientfico hace de la Bioestadstica una disciplina imprescindible en la mayora de los proyectos en el rea tecnolgica.El pensamiento estadstico no slo resuelve y entiende la compleja metodologa para dar respuesta a hiptesis, sino que es capaz de organizar el sistema que involucra la investigacin desde el diseo general, diseo de muestreo, control de calidad de la informacin, anlisis y presentacin de resultados.Siendo como es, parte fundamental del desarrollo del conocimiento en todas las reas de la salud, la estadstica no est exenta de dificultades. Lo cierto es que, como han puesto de manifiesto numerosos autores, la mayor parte de los trabajos cientficos que se publican en la actualidad estn aquejados de defectos en su metodologa, graves en numerosas ocasiones, a veces debidos a la falta de formacin de los autores y los revisores, pero tambin, en otras ocasiones, debidos a la intencionalidad de transmitir algn mensaje concreto a travs de los resultados del trabajo.23Matemticas ayudan a entender problemas genticosMedelln, may. 03 de 2013 - Agencia de Noticias UN-A travs de la modelacin numrica se podran resolver ecuaciones de movimiento de los tomos en un sistema, ver cmo evolucionan y estudiar diferentes propiedades que contribuyan a combatir enfermedades.As lo asegur Marcelo Marucho, experto en biofsica de la Universidad de Texas, quien expuso en la UN en Medelln la importancia de avanzar en la modelacin numrica enfocada a la deteccin de cambios moleculares y en el ADN para atacar enfermedades como el cncer o enfermedades hereditarias.Segn comenta se puede entender que hay muchas enfermedades en las que la estructura de la molcula es incorrecta y, dependiendo de ello, se sabe cmo interacta con otras cosas y eso puede generar enfermedades. En ese sentido, las predicciones matemticas asociadas a estos comportamientos pueden explicar puntualmente tales alteraciones.A partir de estos estudios se pueden proponer alternativas mdicas y biolgicas para transportar drogas y segmentos de ADN, y que una vez ingresen a la clula cancergena, se liberen los compuestos para curar o matar el mal. Esto, a travs del diseo de nanopartculas con propiedades elctricas que hagan ptima la penetracin y traten de minimizar la toxicidad.El experto anota que estos procedimientos se desarrollan a travs de un lser que irradia temperatura y luminosidad a una radiofrecuencia que localice directamente a la clula cancergena, sin necesidad de afectar a las dems. Dicho tratamiento remplazara la quimioterapia.No obstante, estos desarrollos tienen grandes desafos cientficos, dado que las nanopartculas son materiales sintticos que el cuerpo no est acostumbrado a recibir, por lo cual su estudio requiere de avances como la modelacin numrica para obtener cada vez ms exactitud y formas de proceder con las distintas tecnologas.El doctor Marucho destaca que la simulacin en el campo de la bioqumica computacional es una forma de estudiar la relacin entre la estructura y la funcin biolgica del ADN, conocimiento con el cual se podran desarrollar mtodos efectivos para enfermedades genticas.Las consideraciones de este campo en desarrollo se conocieron durante la visita del investigador a la Universidad Nacional de Colombia en Medelln, para capacitar a los estudiantes sobre algunos aspectos relacionados al clculo numrico.(Por:Fin/HR/CAPG/nics/fgd)Estudian aplicacin de mtodos matemticos en la gentica

Cientficos cubanos trabajan en una teora basada en la aplicacin del lgebra y otras herramientas matemticas y computacionales para un mejor anlisis del genoma de los seres vivos.

El estudio, nico en el mundo y gestado por el Grupo multidisciplinario de bioinformtica de la Universidad Central de Las Villas, propone un mtodo que permite estudiar el proceso de evolucin molecular dentro del ADN de microorganismos, animales y plantas.

Robersys Snchez, especialista del Instituto Nacional de Investigaciones de Viandas Tropicales de Villa Clara, dijo a la prensa que mediante la aplicacin del lgebra en la gentica se podran predecir posibles cambios y mutaciones en el genoma de virus como el VIH y la Gripe aviar, y as elaborar medicamentos ms efectivos.

Adems de la lucha contra patgenos cada vez ms resistentes a los frmacos, los resultados tambin pueden aplicarse en el anlisis filogentico de cualquier especie, as como tambin en la terapia gnica para la cura de enfermedades hereditarias, precis.