Medidas de Medidas de Tendencia Central Tendencia Central

Preparado por: Preparado por:

Prof. Alice Pérez FernándezProf. Alice Pérez Fernández

Universidad InteramericanaRecinto de Fajardo

Objetivos:Objetivos:

Conocer, Aplicar e interpretar las medidas Conocer, Aplicar e interpretar las medidas de Tendencia Central de Tendencia Central

Introducción Introducción

Aunque se organicen los datos en una Aunque se organicen los datos en una forma útil y significativa es preciso forma útil y significativa es preciso disponer de los datos de forma tal que disponer de los datos de forma tal que puedan presentarse proporciones puedan presentarse proporciones cuantitativas (Haber y Runyon, 1992).cuantitativas (Haber y Runyon, 1992).

Una forma útil de describir a un grupo en Una forma útil de describir a un grupo en su totalidad es encontrar un grupo que lo su totalidad es encontrar un grupo que lo represente (Levin, 1979).represente (Levin, 1979).

En las distribuciones de frecuencia los En las distribuciones de frecuencia los datos se acumulan alrededor de un valor datos se acumulan alrededor de un valor central situado entre los dos extremos de central situado entre los dos extremos de la variable que se estudia (Haber y la variable que se estudia (Haber y Runyon, 1992).Runyon, 1992).

Ese valor se conoce como una medida de Ese valor se conoce como una medida de tendencia central, ya que está tendencia central, ya que está generalmente localizada hacia el medio o generalmente localizada hacia el medio o centro de una distribución en la que la centro de una distribución en la que la mayoría de los puntajes tienen a mayoría de los puntajes tienen a concentrarse (Levin,1979). concentrarse (Levin,1979).

UtilidadUtilidad

Puede reducir una masa de datos a un Puede reducir una masa de datos a un simple valor cuantitativo que llegará a ser simple valor cuantitativo que llegará a ser comprendido y comunicado a otras comprendido y comunicado a otras personas. personas.

Medidas de Tendencia Medidas de Tendencia CentralCentral

ModaModa

MedianaMediana

Media AritméticaMedia Aritmética

Si la distribución bajo análisis es: Si la distribución bajo análisis es: Perfectamente simétrica (Diagrama A pág. 104, Perfectamente simétrica (Diagrama A pág. 104,

Texto)Texto) Las tres medidas antes mencionadas proveen idénticos Las tres medidas antes mencionadas proveen idénticos

resultadosresultados Asimétrica positiva (Diagrama B, pág. 104) Asimétrica positiva (Diagrama B, pág. 104)

(muestra una cola de valores extremos a la (muestra una cola de valores extremos a la derecha).derecha). La media será mayor que la mediana y esta mayor que La media será mayor que la mediana y esta mayor que

la moda la moda Asimétrica Negativa (Diagrama C, pág. 104) Asimétrica Negativa (Diagrama C, pág. 104)

(muestra una cola de valores extremos a la (muestra una cola de valores extremos a la izquierda).izquierda). La media será menor que la mediana y la mediana La media será menor que la mediana y la mediana

menor que la moda.menor que la moda.

Moda (Mo)Moda (Mo)

La moda es el valor que más se repite.La moda es el valor que más se repite.

ModaModa Es la medida de tendencia central más fácil de Es la medida de tendencia central más fácil de

obtener. Esto es cierto debido a que la moda obtener. Esto es cierto debido a que la moda (Mo) puede, encontrarse simplemente por (Mo) puede, encontrarse simplemente por inspección más que por cálculo (Levin, 1979).inspección más que por cálculo (Levin, 1979).

Es frecuente encontrar distribuciones con más Es frecuente encontrar distribuciones con más de una moda. Cuando se da esta situación, es de una moda. Cuando se da esta situación, es poco probablepoco probable que podemos hacer que podemos hacer comparaciones válidas del comportamiento comparaciones válidas del comportamiento observado en los grupos de interés.observado en los grupos de interés.

Hay distribuciones que no tienen Moda (Mo) (si Hay distribuciones que no tienen Moda (Mo) (si todos los valores de la distribución son todos los valores de la distribución son diferentes). diferentes).

La moda para una distribución de La moda para una distribución de frecuencias con clases no frecuencias con clases no

agrupadas.agrupadas.

La moda es aquel valor que a su derecha La moda es aquel valor que a su derecha bajo la columna de frecuencias tiene el bajo la columna de frecuencias tiene el numeral más altonumeral más alto

Ej. Peso de los niños de madres saludables Ej. Peso de los niños de madres saludables nacidos en Centro Médico en el mes de nacidos en Centro Médico en el mes de octubre. octubre.

XX FF

1515 00

1414 11

1313 11

1212 11

1111 22

1010 22

99 44

88 66

77 1212

66 1010

55 66

44 22

33 33

La moda para una distribución de La moda para una distribución de frecuencias con clases agrupadas.frecuencias con clases agrupadas.

Se consigue resolviendo la ecuación:Se consigue resolviendo la ecuación:

Mo = LRT + [Mo = LRT + [D1 D1 ] [ i ]; donde: ] [ i ]; donde: D1+D2 D1+D2 LRI = Límite Real Inferior de la clase modalLRI = Límite Real Inferior de la clase modal (la clase con el mayor número de(la clase con el mayor número de frecuencias) frecuencias) D1 = Diferencia entre las frecuencias en la clase modal y D1 = Diferencia entre las frecuencias en la clase modal y las frecuencias en la clase inmediatamente anterior las frecuencias en la clase inmediatamente anterior D2 = Diferencia entre las frecuencias en la clase modal y lasD2 = Diferencia entre las frecuencias en la clase modal y las frecuencias en la clase inmediatamente superior.frecuencias en la clase inmediatamente superior.i = intervalo de la clase modal i = intervalo de la clase modal

EjemploEjemplo Segundos en reaccionar ante un estímulo previo Segundos en reaccionar ante un estímulo previo

al consumir una drogaal consumir una droga antidepresivaantidepresiva. .

X (segundos)X (segundos) FF

14 – 15 14 – 15 33

12 – 13 12 – 13 99

10 – 11 10 – 11 22

8 – 9 8 – 9 33

6 – 7 6 – 7 33

4 – 5 4 – 5 22

2 – 32 – 3 44

TotalTotal 2626

Mo = Mo = LRI de la clase modal LRI de la clase modal = 11.5= 11.5 Frecuencia clase modal Frecuencia clase modal = 9= 9 Frecuencia clase anterior a la clase Frecuencia clase anterior a la clase

modal = 2modal = 2 Frecuencia clase inmediatamente Frecuencia clase inmediatamente

superior a la clase modal = 3superior a la clase modal = 3 Intervalo de clase = 2Intervalo de clase = 2

Mo = LRT + [Mo = LRT + [D1 D1 ] [ i ]] [ i ]

D1 + D2D1 + D2

Mo = 11.5 + [Mo = 11.5 + [9 – 2 9 – 2 ] [ 2 ]] [ 2 ]

9-2 + 9-39-2 + 9-3

Mo = 11.5 + [Mo = 11.5 + [7 7 ] [ 2 ]] [ 2 ]

7+67+6

Mo = 11.5 + [Mo = 11.5 + [7 7 ] [ 2 ]] [ 2 ]

1313

Mo = 11.5 + [Mo = 11.5 + [9 – 2 9 – 2 ] [ 2 ]] [ 2 ]

9-2 + 9-39-2 + 9-3

Mo = 11.5 + [.538] [2 ]Mo = 11.5 + [.538] [2 ]

Mo = 11.5 + 1.07Mo = 11.5 + 1.07

Mo = 12.576 segundosMo = 12.576 segundos

Otra manera de conseguir la Otra manera de conseguir la modamoda En vez de aplicar la ecuación anterior muchos En vez de aplicar la ecuación anterior muchos

investigadores suelen tomar como valor modal investigadores suelen tomar como valor modal el punto medio de la clase con mayor número de el punto medio de la clase con mayor número de frecuencias.frecuencias.

PM = se suman los límites aparentes dePM = se suman los límites aparentes de cada clases, y luego divides por 2.cada clases, y luego divides por 2.

PM = PM = 12 + 1312 + 13 22

PM = 12.5 PM = 12.5

Media Aritmética Media Aritmética Es la medida de tendencia central Es la medida de tendencia central

comúnmente utilizada.comúnmente utilizada. Se define como el valor en la distribución Se define como el valor en la distribución

respecto del cual la suma de las respecto del cual la suma de las desviaciones es igual a cero.desviaciones es igual a cero.

Toma en consideración todos los valores Toma en consideración todos los valores de la distribución bajo estudio.de la distribución bajo estudio.

A partir de esta medida se obtiene otros A partir de esta medida se obtiene otros indicadores descriptivos sumamente indicadores descriptivos sumamente importantes. importantes.

Es la medida de tendencia central más Es la medida de tendencia central más relevante y que mayores aplicaciones relevante y que mayores aplicaciones tiene en el análisis estadístico ya que es tiene en el análisis estadístico ya que es uno de los parámetros utilizados en la uno de los parámetros utilizados en la construcción de ciertos modelos construcción de ciertos modelos matemáticos; modelos que han sido matemáticos; modelos que han sido desarrollados para tomar decisiones de desarrollados para tomar decisiones de carácter probabilístico. carácter probabilístico.

Adolece Adolece

Se afecta por la presencia de valores Se afecta por la presencia de valores extremos.extremos.

No puede computarse cuando las No puede computarse cuando las distribuciones contienen clases abiertas. distribuciones contienen clases abiertas.

Computo de la mediaComputo de la media Cuando la información ha sido organizada a través Cuando la información ha sido organizada a través

de un arreglo de valores, la media se computa:de un arreglo de valores, la media se computa:___ ___

X = X = Σ XΣ X donde; donde; X = Valores que toma la variable X = Valores que toma la variable

N N

______

X = media de la muestra N = Total de casos de la MuestraX = media de la muestra N = Total de casos de la Muestra

Σ – Suma de… Σ – Suma de…

La media para una distribución de La media para una distribución de frecuencias con clases no agrupadas.frecuencias con clases no agrupadas. Se utiliza cuando tenemos muchos casos bajo Se utiliza cuando tenemos muchos casos bajo

estudio y poca variación entre los valores externos.estudio y poca variación entre los valores externos.

Se utiliza la siguiente ecuación:Se utiliza la siguiente ecuación: ______

XX = Σ donde; X = Valor qie toma la variable= Σ donde; X = Valor qie toma la variable

______ f = frecuencias en cada f = frecuencias en cada claseclase

X = media de la muestraX = media de la muestra

n = total de casos en lan = total de casos en la

Σ = suma de… muestra (Σf)Σ = suma de… muestra (Σf)

EjemploEjemplo Segundos de reacción ante un estímulo Segundos de reacción ante un estímulo

previo consumir un gramo de THC.previo consumir un gramo de THC.

X (segundos)X (segundos) FF XfXf

1212 11 1212

1111 22 2222

1010 33 3030

99 22 1818

88 11 88

TotalTotal 99(n)(n)

90 90

(Σ x f)(Σ x f)

EjemploEjemplo

______ X = X = Σ x fΣ x f nn

______ X = X = 9090 99

______ X = 10X = 10

La media para una distribución de frecuencias La media para una distribución de frecuencias con clases agrupadascon clases agrupadas

La media se computa usando la siguiente La media se computa usando la siguiente ecuación:ecuación:

______ X = X = Σ xi fΣ xi f donde; donde; n n ______ X = media de la muestraX = media de la muestraΣ = suma de…Σ = suma de…Xi = punto medio de cada claseXi = punto medio de cada clasen = total de casos en la muestra (Σf) n = total de casos en la muestra (Σf)

Cuando las clases están constituidas por Cuando las clases están constituidas por números relativamente alto y/o cuando el números relativamente alto y/o cuando el número de los sujetos en la mayoría de las número de los sujetos en la mayoría de las clases es elevado, se recomienda el uso de la clases es elevado, se recomienda el uso de la siguiente ecuación:siguiente ecuación:

____

X = [ i ] [ X = [ i ] [ Σfd Σfd ] + c donde: ] + c donde:

nn

____

X = media de la muestraX = media de la muestra

i = intervalo de las clases (debe ser el mismo eni = intervalo de las clases (debe ser el mismo en

todas)todas)

Σ = suma de…Σ = suma de…

f = frecuencias en casa clasef = frecuencias en casa clase

d = desviación de cada clase respecto de lad = desviación de cada clase respecto de la

clase que se supone tiene la mediaclase que se supone tiene la media

n = total de casos en la muestra (Σf)n = total de casos en la muestra (Σf)

c = punto medio de la clase que se supone tienec = punto medio de la clase que se supone tiene

la media la media

Ejemplo Ejemplo Cociente de inteligencia para una Cociente de inteligencia para una muestra de adictos a cocaínamuestra de adictos a cocaína

X (CI)X (CI) ff XiXi (Punto Medio )(Punto Medio ) Xi fXi f

150 – 159150 – 159 6060 154.5154.5 9,270.09,270.0

140 – 149140 – 149 8080 144.5144.5 11,560.011,560.0

130 – 139 130 – 139 120120 134.5134.5 16,140.016,140.0

120 – 129 120 – 129 140140 124.5124.5 17,140.017,140.0

110 – 119 110 – 119 160160 114.5114.5 18,320.018,320.0

100 – 109 100 – 109 140140 104.5104.5 14,630.014,630.0

90 – 99 90 – 99 119119 94.594.5 11,245.511,245.5

80 – 89 80 – 89 7070 84.584.5 5,915.05,915.0

70 – 79 70 – 79 6060 74.574.5 4,470.04,470.0

60 – 69 60 – 69 3232 64.564.5 2,064.02,064.0

50 – 59 50 – 59 1919 54.554.5 1,035.51,035.5

TotalTotal 1,0001,000nn

112,080.0112,080.0((Σ xi f)Σ xi f)

______

X = X = Σ xi fΣ xi f

nn

______

X = X = 112,080.0112,080.0 = 112.08 = 112.08

1,0001,000

La Media Ponderada La Media Ponderada En ciertos momentos nos vemos ante la En ciertos momentos nos vemos ante la

necesidad de hallar una media para varias necesidad de hallar una media para varias distribuciones tomadas en conjunto.distribuciones tomadas en conjunto.

Si para cada distribución se ha computado una Si para cada distribución se ha computado una media y las muestras no difieren en tamaño, la media y las muestras no difieren en tamaño, la media para todas las distribuciones en conjunto media para todas las distribuciones en conjunto puede obtenerse sumando las medias puede obtenerse sumando las medias individuales y luego dividiendo dichas sumatorias individuales y luego dividiendo dichas sumatorias por el número de grupos o muestras bajo por el número de grupos o muestras bajo estudio. estudio.

____XT = XT = Σ XΣ X donde: donde: KK

____XT = media para todas las muestras enXT = media para todas las muestras en conjuntoconjuntoΣ = suma de…Σ = suma de…____X = media de cada muestraX = media de cada muestra

K = número de muestras K = número de muestras

EjemploEjemploTenemos 3 grupos de 50 sujetos cada uno que Tenemos 3 grupos de 50 sujetos cada uno que toman una prueba de coordinación bajo toman una prueba de coordinación bajo diferentes estímulos, obtenemos:diferentes estímulos, obtenemos:

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3

__ __ ____ __ __

X1 = 60 X2 = 80 X3 = 90X1 = 60 X2 = 80 X3 = 90

__ ____ __

XT = XT = Σ XΣ X

KK

____

XT = [XT = [60 + 80 + 9060 + 80 + 90] = 76.67] = 76.67

33

Muestras de diferentes tamaños:Muestras de diferentes tamaños:

En estos casos se computa la media ponderada; media En estos casos se computa la media ponderada; media que se obtiene multiplicando cada muestra por la media que se obtiene multiplicando cada muestra por la media correspondiente; sumando los productos y dividiendo correspondiente; sumando los productos y dividiendo luego por la suma de todas las muestras.luego por la suma de todas las muestras.

__ ____ __

Xp = Xp = Σn XiΣn Xi donde donde

ΣniΣni

____

Xp = media ponderadaXp = media ponderada

Σ = suma de…Σ = suma de…

Ni = tamaño de cada muestraNi = tamaño de cada muestra

____

Xi = media de cada muestraXi = media de cada muestra

EjemploEjemplo

Supongamos que tenemos 3 conjuntos de Supongamos que tenemos 3 conjuntos de sujetos de cantidades diferentes cada sujetos de cantidades diferentes cada muestra.muestra.

N1 = 20 N2 = 40 N3 = 30N1 = 20 N2 = 40 N3 = 30

__ __ ____ __ __

X1 = 60 X2 = 80 X3 = 90X1 = 60 X2 = 80 X3 = 90

Sustituimos…Sustituimos…__ __

Xp = Xp = Σ ni xiΣ ni xi

Σ niΣ ni

__ __

Xp = [ Xp = [ (20) (60) + (40) (80) + (30) (90)](20) (60) + (40) (80) + (30) (90)]

20 + 40 +3020 + 40 +30

____

Xp = Xp = 1,200 + 3,200 + 2,7001,200 + 3,200 + 2,700

9090

__ __

Xp = Xp = 7,1007,100

9090

__ __

Xp = 78.89Xp = 78.89

La media ponderada no solo es útil para La media ponderada no solo es útil para sustituciones donde se interesa computar sustituciones donde se interesa computar una media a partir de dos o más una media a partir de dos o más muestras, sino también en ciertos casos muestras, sino también en ciertos casos donde los valores asignados a la variable donde los valores asignados a la variable contienen factores de ponderación.contienen factores de ponderación.

EjemploEjemploUsted al finalizar el semestre en cursos Usted al finalizar el semestre en cursos obtiene:obtiene:- 2 Calificaciones de A (una de tres créditos y otra de 2 Calificaciones de A (una de tres créditos y otra de

cuatro)cuatro)

- 2 B (tres créditos para cada una)2 B (tres créditos para cada una)

- 1 C (dos créditos )1 C (dos créditos )

- 1 D (cuatro créditos)1 D (cuatro créditos)

- Usted quiere conocer su ejecución Promedio para dicho Usted quiere conocer su ejecución Promedio para dicho semestre.semestre.

Utilice:Utilice:____Xp = Xp = ΣXWΣXW; donde:; donde: ΣWΣW____Xp = media ponderadaXp = media ponderada

X = valor asignado a la variableX = valor asignado a la variable

W = factor de ponderación W = factor de ponderación

CalificaciónCalificación (Valor (Valor Asignado)Asignado)

XX

(Núm. de (Núm. de Creditos)Creditos)

WW

XWXW

AA 44 77 2828

BB 33 66 1818

CC 22 22 44

DD 11 44 44

TotalesTotales 1919(EW)(EW)

5454((ΣXW)ΣXW)

__ __ 5454Xp = 19 = 2.84Xp = 19 = 2.84

La Mediana La Mediana

La mediana se refiere al valor que divide La mediana se refiere al valor que divide la distribución en la distribución en dosdos partes iguales. partes iguales.

No se afecta por valores extremos.No se afecta por valores extremos.

Puede computarse con clases abiertas Puede computarse con clases abiertas (siempre y cuando no esté contenida en (siempre y cuando no esté contenida en una de ellas). una de ellas).

Variable como edad, ingreso, educación y Variable como edad, ingreso, educación y tamaño familiar, suelen examinarse a tamaño familiar, suelen examinarse a través de la mediana.través de la mediana.

Se acostumbra utilizar la mediana cuando Se acostumbra utilizar la mediana cuando la variable bajo estudio tiende a mostrar la variable bajo estudio tiende a mostrar marcada asimetría en su distribución marcada asimetría en su distribución (positiva o negativa). En tales situaciones, (positiva o negativa). En tales situaciones, esta medida es el mejor indicador de la esta medida es el mejor indicador de la tendencia central.tendencia central.

Cuando la información se organiza a Cuando la información se organiza a través de un arreglo de valores, la través de un arreglo de valores, la mediana es el numeral que aparece mediana es el numeral que aparece ubicado en la posición (n + 1)/2; donde n ubicado en la posición (n + 1)/2; donde n es el total de casos bajo estudio.es el total de casos bajo estudio.

La mediana para un arreglo La mediana para un arreglo de valoresde valores

La mediana para una distribución de La mediana para una distribución de frecuencias con clases no agrupadasfrecuencias con clases no agrupadas En aquellas situaciones donde la variable se organiza a En aquellas situaciones donde la variable se organiza a

través de distribuciones cuyas clases no están través de distribuciones cuyas clases no están agrupadas, se puede computar de la siguiente forma:agrupadas, se puede computar de la siguiente forma:

Md = LRT + [Md = LRT + [n/2 – fan/2 – fa] donde: ] donde: ffMd = Mediana Md = Mediana LRT = Límite Real Inferior de la clase donde se halla laLRT = Límite Real Inferior de la clase donde se halla la medianamedianaN = total de casos en la muestraN = total de casos en la muestrafa = frecuencias acumuladas hasta la clasefa = frecuencias acumuladas hasta la clase inmediatamente anterior a la clase donde se halla lainmediatamente anterior a la clase donde se halla la medianamedianaf = frecuencia en la clase donde se halla la medianaf = frecuencia en la clase donde se halla la mediana

La mediana para una distribución La mediana para una distribución de frecuencias con clases de frecuencias con clases agrupadasagrupadas

Md = LRT + [Md = LRT + [n/2 – fan/2 – fa] [ i ]] [ i ]

ff