PRACTICA N°1

I. TÍTULO: MEDICIONES Y CÁLCULO DE ERRORES

II. OBJETIVOS:

• Conocer y comprender los métodos de medición de magnitudes físicas.

• Conocer y aplicar la teoría de errores

• Aprender a utilizar instrumentos de medida

III. FUNDAMENTO TEÓRICO

1. La medida de cualquier magnitud física, es determinar un “numero” que sea el

cociente entre la magnitud en estudio y su correspondiente unidad “patrón de

medida”.

2. Los métodos para la medida de magnitudes físicas son:

Medida directa

Medida indirecta

Medida de aparatos calibrados:

3. Clasificación de errores:

Errores sistemáticos

Errores de apreciación

Errores accidentales

Error: Es la derivación que existe entre el resultado de nuestra medida y el

resultado ideal sin error, alguno desconocido en absoluto.

A. TORIA DE ERRORES DE UNA VARIABLE

1) Método estadístico: Numero de mediciones n ≥ 10.

Media aritmética. (valor medio).- es el error mas probable de la

magnitud A, definida por:

……

. (1)

Error aparente.- En la diferencia entre la media cualquiera y el

valos promedio ( ) de las n mediciones.

di = a1 - ……..(2)

i = 1, 2,…….., n; di ≡ derivaciones

Error cuadrático medio.- Se define mediante la expresión:

*) di2 = d1

2+ d22 + d3

2 +….

*) No es lo mismo que sumar y luego elevar al cuadrado

….. …(3)

Error

estándar.- se define por la expresión:

………

(4)

Nota:

• El valor del error estándar debe ser de tercer orden decimal.

Ej. 0.003 = 3x10-3 y se aproxima según la ley de cifras

significativas.

• Exprese los errores en decimales para cada caso.

Error porcentual.- se define por la expresión:

………(5)

Nota:

• El error porcentual se expresa en porcentaje (%)

Forma de expresar el resultado:

……. (6)

Nota:

• Cada magnitud física debe expresarse en sus unidades

correspondientes, según el caso. Ej. m, cm, kg, g, etc.

2) Metido no estadístico: número de mediciones n < 10. Se determina el

valor medio o media aritmética según la ecuación. (1) y luego retorna la

cantidad máxima y mínima, y el error contenido se expresa por:

…… ……….. (7)

El resultado se expresa por:

………

(8)

Si el número de mediciones es una sola, el tratamiento es No Estadístico ,

se estima como la sensibilidad del instrumento de medición ( ).

Por Ej.

m = (10 ±0,001) g

El resultado se expresa por:

….….. (9)

B. TEORIA DE ERRORES DE MUCHAS VARIABLES

1) Tratamiento estadístico .- sea la magnitud física F que depende de las

distintas magnitudes:

(z1, z2,……zn) = 0,1; 0,11; 0,13;…..

……… …. (10)

Si se mide las magnitudes z1, z2,……zn, experimentalmente se dice que F es

el resultado de una medición indirecta.

La medida aritmética de F se determina así:

……….. (11)

El error estándar se expresa por :

… ….… (12)

El error estándar se determina por la

Ec. (12) cuando las medidas son independientes.

*) Si las medidas son independientes se determina por el error del área o

superficie de un tablero rectangular, se usa:

…... (13)

Por Ej.: Si se determina el error del área o superficie de un tablero

rectangular, se usa:

….... (13´)

El resultado se expresa por:

…… (14)

2) Tratamiento no estadístico .- Si el numero de mediciones es n < 10 o n

= 1, el error se determina por:

……(15)

El resultado se expresa por :

………….(16)

IV EQUIPO Y MATERIALES:

laboratorio

Tanque de agua WINCHA

IV. PROCEDIMIENTO:

1. Medir la longitud del laboratorio (10 veces con el mismo instrumento)

2. De este objeto se medirá el ancho y largo(10 veces con el mismo

instrumento)

3. De estos datos determinar los errores con sus respectivas ecuaciones tanto de

la longitud como del ancho, según el caso que se presente.

V. DATOS EXPERIMENTALES

VII . -Análisis de datos

Realizar el proceso completo para la medición del laboratorio

1) M.ESTADÍSTICO:

a) media aritmética: (valor medio)

Para el ancho:

= (a1 +a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)10

= (729 cm+728cm+726 cm+728cm+729cm+727cm+730cm+728cm+726cm+729cm) 10

= 7280 cm10

= 728cm

Para el largo

• = ( 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 10 ) 10

= (1269cm+1264cm+1267cm+1265cm+1263cm+1268cm+1265cm+1269cm+ 1263cm

+1270cm) 10

= 12663cm 10

=1266.3 cm

b) error aparente

Para el ancho

d 1 = a1 – = 729 cm – 728cm = 1 cm

d 2 = a2 – = 728 cm – 728cm = 0 cm

d 3 = a3 – = 726 cm – 728cm = -2 cm

d 4 = a4 – = 728 cm – 728cm = 0 cm

d 5 = a5 – = 729 cm – 728cm = 1 cm

d 6 = a6 – = 727 cm – 728cm = -1 cm

d 7 = a7 – = 730 cm – 728cm = 2cm

d 8 = a8 – = 728 cm – 728cm = 0 cm

d 9 = a9 – = 726 cm – 728cm = -2 cm

d 10 = a10 – = 729 cm – 728cm = 1 cm

Para el largo

d 1 = 1 – = 1269 cm – 1266.3cm = 2.7 cm

d 2 = 2 – = 1264 cm – 1266.3cm = -2.3 cm

d 3 = 3 – = 1267 cm – 1266.3cm = 0.7 cm

d 4 = 4 – = 1265 cm – 1266.3cm = -1.3 cm

d 5 = 5 – = 1263 cm – 1266.3cm = -3.3 cm

d 6 = 6 – = 1268 cm – 1266.3cm = 1.7 cm

d 7 = 7 – = 1265 cm – 1266.3cm = -1.3cm

d 8 = 8 – = 1269 cm – 1266.3cm = 2.7 cm

d 9 = 9 – = 1263 cm – 1266.3cm = -3.3 cm

d 10 = 10 – = 1270 cm – 1266.3cm = 3.7 cm

c) error cuadrático medio

Para el ancho

µ a = ± [(d1)2+(d2)2+(d3)2+(d4)2+(d5)2+(d6)2+(d7)2+(d8)2+(d9)2+(d10)2]

10-1

µa= ± [(1cm)2+(0cm)2+(-2cm)2+(0cm)2+(1cm)2+(-1cm)2+(2cm)2+(0cm)2+(-2cm)2+(1cm)2]

9

µ a= ± 16cm2

9

µ a= ± 1.777 cm2

µ a= ± 1.3333 cmµ a= ± 1.333 cm

Para el largo

µ = ± [(d1)2+(d2)2+(d3)2+(d4)2+(d5)2+(d6)2+(d7)2+(d8)2+(d9)2+(d10)2]

10-1

µ = ± [(2.7cm)2+ (-2.3cm)2+ (0.7cm)2+ (-1.3cm)2+ (-3.3cm)2+ (1.7cm)2+ 1.3cm)2+ (2.7cm)2+ (-3.3cm)2+ (3.7cm)2]

9µ = ± 62.1 cm2

9

µ = ± 6.9 cm 2 = ± 2.6267 cm

µ= ± 2.627cm

d) error estándar

= ± Para el ancho

Δa = σa

σa = ± [(d1)2+(d2)2+(d3)2+(d4)2+(d5)2+(d6)2+(d7)2+(d8)2+(d9)2+(d10)2]

10(9)

σa = ± [(1cm)2+ (0cm)2+(-2cm)2+(0cm)2+(1cm)2+(-1cm)2+ (2cm)2+ (0cm)2+

(-2cm)2+ (1cm)2] 90

σa = ± 16cm2 / 90

σa= ± √ 0.1777 cm2 = ±0.4216 cm

σa = ± 0.422 cm

Para el largo

Δ = σ

σ = ± [(d1)2+(d2)2+(d3)2+(d4)2+(d5)2+(d6)2+(d7)2+(d8)2+(d9)2+(d10)2] 10(9)

σ = ± [(2.7cm)2+ (2.3cm)2+(0.7cm)2+(1.3cm)2+(3.3cm)2+(1.7cm)2+ (-1.3cm)2+ (2.7cm)2+ (-3.3cm)2+ (3.7cm)2] 90

σ = ± 62.1cm2 / 90

σ = ± √ 0.69 cm2 σ = ± 0.8306 cm σ = ± 0.831 cm

e) error porcentual

Para el ancho

ep= σ a x 100%

e p= 0.42 cm * 100% 728 cm

e p=0.0576%

e p= 0.058%

Para el largo

e p= σ x 100%

e p= 0.83 cm * 100% 1266.3cm

e p= 0.0655%

e p= 0.066%

f) formas de expresar el resultado

Para el ancho

A= a

A= ± σ a

A= 728 cm ± 0.42 cm

Para el largo

L=

L= ± σ =1266.3 cm ± 0.83 cm

1.- determinar el área del laboratorio usando la ecuación

• = 1266.3 cm*728 cm

• = 921866.4 cm2

• = 921866.4 cm2 1m2

(100cm)2

• = 921866.4 m2

10 000

• = 92.186 m2

• = 92.186m2

•

a) Valor medio

Media aritmética de la altura h = h1+ h2 + h3 + h4 4h = 120 cm+ 119cm + 118cm + 121 cm 4

h= 119.5cm

Media aritmética del diámetro

D = D1 + D2 + D3 + D4 4

D = 95cm + 96cm + 95cm + 96 cm4

D = 95.5cm

b) Error cometido

Para altura h Max=h4 =121 cmh mínimo=h3=118 cm

σh= Δh= h Max – h min

2 Δh=121cm-118cm 2 Δh= 3cm 2 Δh=1.5cm

El resultado se expresa por

h= h ± Δh

h= 119.5cm±1.5cm

Para el diámetro

Dmax= D2=96 cm

Dmin= D1=95 cm

σD= ΔD = Dmáx - Dmin

2 ΔD = 96cm-95cm 2 ΔD = 0.5cm

El resultado se expresa por:

D= D±ΔDD=95.5cm±0.5cm

Hallando el volumen

V= (3.14)(119.5cm9(95.5cm)2

4V= (3.14)(119.5cm)(9120.25cm2)

4

V= 3422191.408 cm3

4V= 855547.8519 cm3

V= 0.8555m3

V= 0.856m3

Error del volumen

σ v = ± σ D V + σh v D h

σv=± 0.5cm* 0.856m3 + 1.5cm* 0.856m3

95.5cm 119.5cm

σv= ± 0.015m3

el resultado se expresa

V = v ± σv

V= 0.856m3- 0.015m3

VIII cuestionario y resultados

1.- determinar el área del laboratorio usando la ecuación

• = 92.186m2

2.- Determinar el volumen de su tanque de agua usando la ecuación

para lo cual tome sus datos experimentales en una TABLA N°2 midiendo el diámetro y la altura respectivamente y exprese su resultado según el uso de Ec.13´ y Ec. 14 1° Determine sus respectivos errores del diámetro y la altura mediante el método no estadístico, tomando cuatro mediciones (n=4)

c) Valor medio

Media aritmética de la altura

h= 119.5cm

Media aritmética del diámetro

D = 95.5cm

d) Error cometido

Para altura Δh=1.5cm

El resultado se expresa por

h= h ± Δh

h= 119.5cm±1.5cm

Para el diámetro

σD= ΔD = Dmáx - Dmin

2 ΔD = 0.5cm

El resultado se expresa por:

D=95.5cm±0.5cm

Hallando el volumen

V= 0.856m3

Error del volumen

σ v = ± σ D V + σh v D h

σv= ± 0.015m3

el resultado se expresa

V= 0.856m3- 0.015m3

3.- Definir:

a) Medida directa

Una medición se considera directa cuando se obtiene a partir de un

instrumento de medida, comparando la variable a medir con una de la misma

naturaleza física. Así, si deseamos medir la longitud de un objeto, se puede

usar un calibrador, cinta métrica, regla, wincha, etc

b)Medida indirecta

Sabiendo ahora que la medición directa está basada en interactuar con el

objeto a ser medido hay ocasiones en que esto no es posible sea porque no

poseemos instrumentos de medición adecuados o el valor es muy grande o

muy pequeño y se tiene que recurrir al segundo tipo de medición, la

indirecta, esta se centra en mediciones en las que se utilizan fórmulas

matemáticas y valores que ya se tienen para obtener los valores queridos Al

igual que en la medición directa, la indirecta también está sujeta a errores Al

vernos obligados a utilizar una serie de valores ya conocidos (que tienen su

propio margen de error) tenemos que calcular junto con el valor

indirecto al error de este empleando el diferencial total Utilizando

este cálculo diferencial podemos averiguar el error en los cálculos utilizados

para la medición indirecta

c) Medida de aparatos calibrados

La obtención de datos cobra cada vez más importancia en el ámbito

industrial, profesional y privado. Se demandan sobre todo instrumentos de

medida prácticos que operen de un modo rápido y preciso y que ofrezcan

resultados durante la medición. Y así evitamos que los datos que tomemos

sean los más exactos posibles

d) Error absoluto

De una medida es la diferencia entre el valor de la medida y el valor real

de una magnitud (valor tomado como exacto).

e)El Error Relativo :

Se define como el cociente del error absoluto entre la aproximación

Parecería más razonable definirlo como el error absoluto dividido entre el

valor verdadero, pero generalmente no conocemos éste. Todo lo que

tenemos, generalmente, es un valor aproximado y una estimación del error

o un límite al tamaño máximo del error.

f) Error sistemático

Estos errores se presentan de manera constante a través de un conjunto de

lecturas realizadas al hacer la medición de una magnitud determinada.

Las fuentes o causas de esta clase de errores son:

Defecto en el Instrumento de Medición . Se produce al

determinar el tiempo con un cronómetro que marche más rápido o

más lento de lo debido.

Error de Paralaje . Este se comete por una incorrecta postura del

observador, la cual le impide hacer una adecuada lectura de la

medición

g) Error de apreciación

Es el aspecto de la realidad que, al compararse con la imagen especular que

nuestra mente ha focalizado, se establecen las diferencias que, sin tomar en

cuenta los contextos, al atribuirlos a los objetos que han interaccionado en

dicho resultado, crean paradoja; inutilizándolos en sus funciones y por lo

tanto dejando de ser útiles de cara a un futuro

h) Error accidental

Son aquellos que se cometen en forma azarosa, es decir, no podemos predecir

cuales son las causas y corregirlas. Los valores de las magnitudes medidas, se

cometen por exceso o por defecto. Admiten por lo tanto, para una cantidad

grande de medidas un tratamiento estadístico a diferencia de los anteriores.

Algunos ejemplos de estos son:

*variaciones de las condiciones externas en forma accidental (variación

de la tensión domiciliaria)

*error en la apreciación del instrumento (no se estima correctamente la

división de la escala con la que se esta midiendo)

*limitaciones impuesta por el propio objeto(superficie rugosa)

i) Error circunstancial :

Esta clase de errores no se repite regularmente de una medición a otra, sino

que varían y sus causas se deben a los efectos provocados por las variaciones

de presión, humedad y temperatura del ambiente sobre los instrumentos. Así,

por ejemplo, con la temperatura la longitud de una regla puede variar

ligeramente de una medición a otra; o una balanza sensible puede dar

variaciones pequeñas al medir varias veces la masa de un cuerpo. Los errores

circunstanciales pueden llamarse estocásticos, ya que son difíciles de apreciar

debido a que son muy pequeños y se producen en forma irregular o

estocástica de una medición a otra, es decir, azarosa. También se les da el

nombre de error aleatorio porque son el resultado de factores inciertos y, por

lo tanto, tienen la misma posibilidad de ser positivos o negativos

4.-Definir:

• Exactitud : la cercanía con la cual la lectura de un instrumento de

medida se aproxima al valor verdadero de la variable medida.

• Precisión : una medida de la repetitividad de las mediciones. Dado un

valor fijo de una variable, la precisión es la medida del grado con el cual,

mediciones sucesivas difieren una de la otra.

VI. CONCLUSIONES Y SUGERENCIAS

En este laboratorio concluimos con la sgts sugerencias:

Como ya hemos mencionado para medir mejor se necesita mejores

instrumentos una sugerencia seria que la facultad nos brindara esa opción

(nuevos instrumentos electrónicos) modernos

VII. BIBLIOGRAFIA

www.google.com./elasticidad/(s2%rsmec)

www.wikipedia.org/wiki/elasticidad/_(mec%c3%alnica_de_s

%c3%b3lidos)

http://es.wikipedia.org/wiki/Precisi%C3%B3n

Errores experimentales. Criterios para su determinación y control”. U.N.T. 1997