Mecánica Teórica Tema 6. Transformaciones...

Mecánica Teórica

Tema 6. Transformaciones canónicas

Tema 6

Universidad de Sevilla - Facultad de Física

[email protected]

25 de noviembre de 2020

Tema 6 (Grupo 1) Mecánica Teórica (2020-2021) 25 de noviembre de 2020 1 / 78

Problema 1

Mostrar que la transformación de coordenadas para un sistema de

un grado de libertad,

satisface la condición simpléctica para cualquier valor del

parámetro α. Encontrar una función generadora para latransformación. ¾Cuál es el signi�cado físico de la transformación

para α = 0? ¾Para α = π/2? ¾Funciona la función generadoraencontrada para ambos casos?.


Solución problema 1

Comprobamos la condición simpléctica, para ello construimos,

con esto,

Ahora calculamos,



Análogamente se puede comprobar que,

MJMT = J

para todos los valores de α. Por tanto, la transformación escanónica.

Vamos a intentar encontrar una función generadora del primer tipo

F1(q,Q) para la transformación. Las ecuaciones que gobiernan a F1son,



Usando las ecuaciones de transformación, podemos expresar tanto

p como P en función de q y de Q, así,

Integramos ahora la primera ecuación de la función generadora,

Usando esto en la segunda ecuación de la función generadora,∂F1∂Q = −P = −qcscα+Qcotα, tenemos



Tenemos la expresión �nal de la función generadora

Si consideramos α = 0, vemos que lo que tenemos es unatransformación identidad y la F1 está indeterminada en este caso.Lo podemos entender porque sabemos que esa trasformación está

generada por F2 = qP . Podemos sacar el comportamiento límitecorrecto, en este caso, si usamos F2 como función generadora.

Para α = π/2, tenemos la transformación de intercambio, y nuestrafunción generadora queda F1 = −qQ, que es un resultado correcto.


Problema 2

Mostrar que la transformación de coordenadas

es canónica.



Calculamos la matriz jacobiana, de la transformación,

Comprobamos la condición simpléctica,

La transformación es canónica.



Algunas fórmulas útiles,

sen2x+ cos2x = 1, tg2x+ 1 = sec2x, cot2x+ 1 = csc2x

sec x =1

cos xcsc x =

1

sen x

cot x =1

tg x.


Problema 3

Mostrar que para un sistema con un grado de libertad la

transformación de coordenadas,

es canónica, donde α es una constante arbitraria de dimensionesconvenientes.



Calculamos la matriz jacobiana de la transformación,




Problema 4

a) Mostrar que para un sistema con un grado de libertad la

transformación de coordenadas

hace que las variables Q y P sean canónicas si las variables q y p loson.

b) Demostrar que la función que genera esta transformación es,



Calculamos la matriz jacobiana de la transformación,




Después de multiplicar las dos matrices del lado derecho,

obtenemos el resultado,


b) Sabemos que F3 = F3(p,Q), debemos expresar primero la q y la Pen función de p y Q, nos queda,



Usamos ahora las ecuaciones ligadas a la función generadora F3,

donde f(Q) es solo función de Q. Sustituimos en la segundaecuación ligada a F3,

Finalmente,


Problema 5

Demostrar que para un sistema con dos grado de libertad la

transformación de coordenadas

es canónica y encontrar la función generadora.



Comprobamos la condición simpléctica usando las matrices de las

coordenadas

y la matriz jacobiana de la transformación



La condición simpléctica queda,

al cumplirse la transformación es canónica.

Para obtener la función generadora, dada la estructura de las

ecuaciones de transformación, es mejor escoger una función del

tipo F ′ = F ′(p1, p2, Q1, P2, t). Esta función no pertenece a ningunode los cuatro tipos estudiados, la función generadora total en este

caso, será,

F = F ′(p1, p2, Q1, P2, t)−Q2P2 + q1p1 + q2p2.



Ahora la condición para la transformación canónica es, como

hemos visto,

que se simpli�ca a,



Podemos obtener las ecuaciones asociadas a la función generadora,



Tenemos que modi�car las ecuaciones de la transformación

canónica de manera que podamos integrar fácilmente las

ecuaciones de la función generadora. Las ecuaciones deseadas son,

Usando las ecs. (1) y (6),



Usando lo anterior en las ecs. (2) y (8),

Usando las ecs. (3) y (9),



Usando este resultado en las ecs. (4) y (7), se tiene

donde hemos tomado h = 0 por conveniencia.Llegamos a la expresión �nal de la función generadora,


Problema 6

a) Usando los corchetes fundamentales de Poisson encontrar los

valores de α y β para que las ecuaciones de transformación

representen una transformación canónica.

b) ¾Para que valores de α y β representan estas ecuaciones unatransformación canónica extendida? Encontrar una función

generadora del tipo F3 para la transformación.



a) Hemos visto que los corchetes fundamentales de Poisson deben

permanecer invariantes bajo una transformación canónica

Esta expresión se satisface si,

2α− 1 = 0 =⇒ α = 12, β =

1

α= 2.



b) Cuando α = 1/2 y β se toma como una constante arbitraria,tenemos

[Q,P ]q,p =β

2

que representa una transformación canónica extendida para

cualquier valor de β 6= 2. Recordemos que una transformacióncanónica extendida era,

con λ 6= 1. Las ecuaciones de la transformación son ahora,



Cuando F = F3(p,Q, t) + λqp, obtenemos

que nos lleva a,

Expresamos primero P y q en términos de p y Q, nos queda,



Combinamos las ecs. (1) y (4)

Usando este resultado en combinación con las ecs. (2) y (5),

tenemos,

llegamos �nalmente a la expresión de la función generadora,


Problema 7

Demostrar que usando los corchetes de Poisson para un oscilador

armónico en una dimensión, hay una constante de movimiento ude�nida como,



Sabemos que una cantidad u es una constante de movimiento si,

Para el oscilador armónico simple en una dimensión, el

Hamiltoniano es,

luego,

u es una constante de movimiento.Tema 6 (Grupo 1) Mecánica Teórica (2020-2021) 25 de noviembre de 2020 31 / 78

Problema 8

Un sistema con dos grados de libertad está descrito por el

Hamiltoniano,

donde a y b son constantes. Demostrar que,

son constantes de movimiento.


Problema 8

Goldstein problema 9.32



Debido a que tanto F1 como F2 no tienen dependencia explicita enel tiempo (∂F1∂t =

∂F2∂t = 0), usando la ecuación de evolución de una

variable dinámica u

para F1 y F2, tendremos,



Calculamos los dos corchetes de Poisson que aparecen en las

ecuaciones anteriores,

y

Tanto F1 como F2 con constantes de movimiento.



Hacemos los cálculos,




Usamos la identidad de Jacobi,



Si u = H y v y w son dos constantes de movimiento, tal que[H, v] = [H,w] = 0 entonces el corchete de Poisson de v y w también esuna constante de movimiento. Lo aplicamos a F1 Y F2,

Este corchete es también una constante de movimiento pero es una

constante trivial, ya que no es una función algebraica de las variables qy p.


Problema 9

Dada la función generadora

F (q, p, t) = pq − p2t

2m,

encontrar la expresión general de las fórmulas correspondientes de

transformación canónica a unas nuevas variables Q y P , tales que

si en las antiguas el Hamiltoniano es H = p2

2m + V , en las nuevasvariables, el Hamiltoniano sea K = V .



La ecuación de transformación canónica es,

dF = pdq − PdQ+ (K −H)dt.

Expresamos Q aquí en función de q, p y t,

Q = Q(q, p, t)→ dQ = ∂Q∂q

dq +∂Q

∂pdp+

∂Q

∂t,

dF = pdq − P(∂Q

∂qdq +

∂Q

∂pdp+

∂Q

∂t

)+ (K −H)dt,



Comparamos con el enunciado,

F (q, p, t) = pq − p2t

2m→ dF = pdq +

(q − pt

m

)dp− p

2

2mdt,

vemos que,

p = p− P ∂Q∂q

;

−P ∂Q∂p

= q − ptm

de la primera ecuación, P ∂Q∂q = 0⇒ Q = Φ(p, t) ,

de la segunda ecuación, P =ptm−q

∂Φ∂p

.



Las dos ecuaciones anteriores son las ecuaciones de la

transformación, siendo Φ(p, t) una función arbitraria

Q = Φ(p, t), P =ptm − q∂Φ∂p

Igualamos los coe�cientes en t en ambas expresiones,

K = H + P∂Q

∂t− p

2

2m= V (Q,P ) + P

∂Q

∂t.

Hemos usado la expresión del Hamiltoniano y expresado el

potencial V en las nuevas variables.



Según el enunciado queremos que K = V (Q,P ), es decir,

K = V (Q,P ) = H − p2

2m,

luego Q no puede depender explícitamente de t,

Φ = Φ(p).

La ecuaciones de transformación canónica nos quedan

de�nitivamente en la forma,

Q = Φ(p),

P =ptm − q∂Φ∂p

.


Problema 10

El Hamiltoniano en un 'problema de Kepler' plano e independiente

del tiempo está dado por,

H(q1, q2, p1, p2) =1

2(p21 + p

22)−

µ

r.

con r =√q21 + q

22 y µ = G(m1 +m2) con G la constante

gravitacional, siendo m1 y m2 las masas de los cuerpos.a) Demostrar que el momento angular L = q1p2 − q2p1 constituyeun invariante de todos los sistemas con campos de fuerzas centrales.

b) Demostrar que otro invariante de este sistema es

R1 = q1p22 − q2p1p2 − µ

q1r .



Calculamos las derivadas totales,



También,


Problema 11

Goldstein problema 9.25



a) Con el Hamiltoniano dado,

La ecuación de movimiento para q es,



b) Suponer que tomamos Q2 = 1/q2 y P 2 = p2q4. Entonces,Q = ±1/q y P = ±pq2. Ahora,



Los signos de Q y P no pueden ser idénticos si queremos tener unaTC, tomamos,

que es una TC válida. Ahora el Hamiltoniano es,

Las ecuaciones de movimiento son,



Tenemos Q̈+Q = 0, ponemos la solución en la formaQ = Acos t+B sen t. Esto nos da, P = Q̇ = B cos t−Asen t.Ahora

tal que,

Las ecuaciones de movimiento son,

la solución de la ecuación transformada para Q satisface laecuación original de movimiento para q.


Problema 12a

Considerar la transformación canónica para un sistema con un

grado de libertad generada por

F2(q, P, t) =

(q +

1

2gt2)− P

2t

2m.

a) Encontrar la forma explícita de la transformación canónica.

b) Veri�car que se satisface las relaciones canónicas usando loscorchetes de Poisson.

Para el resto del problema considerar la partícula moviéndose en

una dimensión en un campo gravitacional constante:

L(q, q̇) = 12mq̇2 −mgq.


Problema 12b

c) Usar el hecho de que para cualquier variable dinámica A,dAdt = [A,H] +

∂A∂t para demostrar que

dQdt = 0 y

dPdt = 0.

d) El resultado de la parte c) implica que K, el Hamiltonianoasociado con Q y P , debe ser cero salvo una posible constante condependencia temporal independiente de Q y P . Demostrar a partirde la forma explícita de ∂F2(q,P,t)∂t que este es el caso.

e) ¾Cuál es la interpretación física de Q y P?

f) Demostrar que F2(q, P, t) satisface la ecuación

H(q, ∂F2∂q

)+ ∂F2∂t = 0, esta es una ecuación de Hamilton-Jacobi

(siguiente tema).

g) Introducir la función f(Q,P, t) = F2(q(Q,P, t), P, t). Demostrar

que ∂f(Q,P,t)∂t = L(q(Q,P, t), q̇(Q,P, t)).



a) Tenemos

Ahora,

La transformación será canónica si,



b) Tenemos

La transformación satisface las relaciones de los corchetes de

Poisson.



c) Usamos la Lagrangiana,

El momento canónico es,

y el Hamiltoniano queda,



c) Ahora con,

se tiene,

También,



De esta forma obtenemos,

Ahora con,

se tiene,

y



También se obtiene ahora que,

d) Calculamos,



El Hamiltoniano asociado a las variables Q y P , es,

Así, el Hamiltoniano K es cero salvo una constante dependiente deltiempo −mg2t2, pero no es función ni de Q ni de P , ya que[Q,H] = [P,H] = 0 como hemos demostrado.



e) Q y P son cantidades que se conservan, sin importar el valor inicialde la posición y del momento, respectivamente. Son constantes con

el tiempo, cuando q y p varían,

f) Calculamos,



De forma que,

como hemos mostrado en la parte d). Esto implica,

Así, se satisface la ecuación de Hamilton-Jacobi, excepto en un término

constante dependiente del tiempo que aparece en la parte derecha.



g) Calculamos,

se cumple,



También, p = mq̇ = P −mgt. Así,

De esta forma, L(q(Q,P, t), q̇(Q,P, t)) = ∂f(Q,P,t)∂t salvo un términodependiente del tiempo mg2t2.


Problema 13

Considerar el Hamiltoniano H = 12(p2 + q2) . Determinar si la

transformación Q = 12(q2 + p2) y P = −arctg( qp) es canónica. Si

es así, encontrar una función generadora del tipo F1 .



Para que la transformación sea canónica, pδq−PδQ = dF debe seruna diferencial exacta. Veamos que ocurre con los datos del

enunciado,

pδq − PδQ = pδq + arctg qpδ

(q2 + p2

2

)

=

(p+ q arctg

q

p

)δq + p arctg

q

pδp

Para que la anterior sea una diferencial exacta, dF , debe cumplirseque,

∂

∂p

(p+ q arctg

q

p

)=

∂

∂q

(p arctg

q

p

)Nota: f(x) = arctg u(x), f ′(x) = u

′

1+u2



Se comprueba que ambos lados de la condición anterior dan como

resultado p2

p2+q2luego la transformación es canónica.

Podemos comprobar también que los corchetes fundamentales de

Poisson se cumplen,

[Q,P ] =∂

∂q

(1

2(q2 + p2)

)∂

∂p

(−arctg q

p

)

− ∂∂p

(1

2(q2 + p2)

)∂

∂q

(−arctg q

p

)= q

(q/p2)

1 + q2/p2− p

(− 1/p

1 + q2/p2

)= 1.



Podemos obtener F integrando cualquiera de los dos factoresanteriores, hacemos,

F =

∫ (p+ q arctg

q

p

)dq =

qp

2+q2 + p2

2arctg

q

p.

Ahora bien, la forma anterior no puede ser una función generadora

ya que no depende las variables nuevas. Como buscamos una

función del tipo F1, debemos eliminar p. Para ello sustituimosp =

√2Q− q2 tal que arctg qp = arctg

q√2Q−q2

= arcsen q√2Q

. Con

estas sustituciones, se tiene,

F = Qarcsenq

2Q+

1

2q√

2Q− q2 = F1(q,Q)

El Hamiltoniano K = 12(q2 + p2) = Q, así, Q̇ = ∂K∂P = 0,

Q = constante y Ṗ = −∂K∂Q = −1, Q y K con constantes y Pdisminuye en el tiempo.


Problema 14

Considerar la transformación de coordenadas,

Q = lnsen p

q

P = q cot p.

1 Demostrar que la transformación es canónica

2 Encontrar las funciones generadoras F1, F2, F3 y F4 asociadas a estatransformación.



1 Comprobamos que es una transformación canónica,

pδq − PδQ = (p+ cot p)δq − q cot2 p δp.

Vemos que∂

∂p(p+ cot p) =

∂

∂q(−q cot2p),

la transformación es canónica.

2 Integramos la parte derecha de la última ecuación,

Φ(q, p) = qp+ q cot p.

Si buscamos una F1 debemos tener Φ(q,Q), cambiamos a lasvariables apropiadas,

F1(q,Q) = q arc cot√

1− q2 e2Q +√e−2Q − q2.



Ahora,∂F1∂q

= arc cos√

1− q2 e2Q = p,

∂F1∂Q

= −√e−2Q − q2 = −P.

Veamos F2(q, P ),

F2(q, P ) = qp+QP + q cot p = Φ(q, p) +QP.

Evaluamos cada término, usando (q, P ) como variables, tendremos que,

qp = Qarc tgq

p

QP = −P ln√q2 + P 2

q cot p = P.



Llegamos a,

F2(q, P ) = q arc tgq

p+ P (1− ln

√q2 + P 2).

Se veri�ca,∂F2∂q

= arc tgq

p= p,

∂F2∂P

= −ln√q2 + P 2 = Q.



De forma similar se calcula,

F3(p,Q) = F1 − qp = e−Q cos p.

Se veri�ca,∂F3∂p

= −e−Q sen p = −q,

∂F3∂Q

= −e−Q cos p = −P.



Finalmente,

F4(p, P ) = F2 − qp = QP + q cot p = P + P ln(cos p

P

).

Se veri�ca,∂F4∂p

= −P tg p = −q,

∂F4∂P

= ln(cos p

P

)= Q.

Ninguna función generadora depende explícitamente del tiempo. Por

tanto,

K(Q,P, t) = H(q, p, t).


Problema 15

Demostrar que la transformación,

P =1

2(q2 + p2),

Q = arc tgq

p.

es canónica.



pdq −QdQ,

debe ser diferencial exacta. Calculamos,

pdq −QdQ = pdq − 12

(q2 + p2)pdq − qdpq2 + p2

= pdq − 12

(pdq − qdp)

=1

2(pdq + qdp) = d(

1

2qp).

Es una diferencial exacta y tenemos una transformación canónica.


1.Introducción

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