Mecánica de Materiales I - ULAula.ve/facultad-ingenieria/images/mecanica/Mecanica...Universidad de...

Mecánica de Materiales I

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

Tema 3 - Torsión en barras

Tema 3

Torsión en barras



Índice de contenido

Tema 3 - Torsión en barrasÍndice de contenido

• Sección 1 - Deformaciones en un eje circular

• Sección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

• Sección 3 - Ejes estáticamente indeterminados

• Sección 4 – Relación entre torsor, potencia y velocidad angular

• Sección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares

• Sección 6 - Resúmen de ecuaciones

Deformaciones en un eje circular

Tema 3 - Torsión en barrasSección 1 - Deformaciones en un eje circular

Un momento de torsión es aquel que tiende a hacer girar unmiembro respecto a su eje longitudinal.

Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes detransmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria.



Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento detorsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como elhule, por ejemplo.

Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares semantienen como tales, experimentando una rotación en el plano delmomento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectansiempre con el mismo ángulo a los círculos transversales.______________________________________________________________________________

Universidad de los AndesFacultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Mecánica


Extraeremos a continuación una porción cilíndrica yconsideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en lasuperficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elementodiferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, talcomo se muestra.




Observemos la figura. Si el ángulo es muy pequeño, se puedeestablecer:



LAA '

Donde AA’ es el arco querecorre el punto A al deformarse labarra debido a torsión, θ es elángulo de giro (en radianes) entredos secciones transversalesseparadas una longitud L, ρ es elradio de la porción cilíndricaconsiderada y es la deformacióncortante, en radianes.


Ley de Hooke para TorsiónDe forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una

relación proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en elrango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.

De forma matemática, podemos expresar dicha relación comosigue:

Donde “” es el esfuerzo cortante, “” es la deformación cortante y“G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo deelasticidad (“E”) de la siguiente forma:

Siendo “” el módulo de Poisson.______________________________________________________________________________



G

)1(2

EG


Tema 3 - Torsión en barrasSección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallarla distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido aun momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:

- Las secciones circulares permanecen como tales.

- Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse.

- Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación.

- El eje está sometido a la acción de pares torsores.

- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material.______________________________________________________________________________



Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

Si recordamos la relación de deformación establecidaanteriormente:

Notaremos que para una deformación dada, los valores de “” y “L”se mantienen constates, de forma que “” varía linealmente con “”.Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “” :

Luego:

Y, finalmente:



L

Lr max

Lr

max

r max


Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico delmaterial, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda:

Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará unainformación que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es linealrespecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con lasegunda condición de equilibrio:

Sacando de la integral los términos constantes, nos queda:



r max

dA

rT max

dAr

T 2max


Donde la integral resultante es una propiedad de área conocidacomo momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces laexpresión de la forma:

Recordando que anteriormente se estableció que:

Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda:



Jr

T max

max

r

JT


Finalmente, obtenemos lo siguiente:



JT

Nótese que, para barras desección circular, la variación delesfuerzo cortante es lineal respectoal radio de la sección. Por otrolado, como se estudió en el capítuloanterior, el esfuerzo cortante debeactuar también en otro planoperpendicular al de la seccióntransversal para conseguir elequilibrio del elemento diferencial.


Tema 3 - Torsión en barrasSección 3 - Ejes estáticamente indeterminados

De forma similar al caso decarga axial, podemos utilizarexpresiones referidas a estasdeformaciones para resolver casosestáticamente indeterminados. Nosinteresa entonces determinar unaexpresión que relacione el par torsor“T” con el ángulo de giro entresecciones transversales “”.



Ejes estáticamente indeterminadosComo observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una

barra produce una rotación relativa entre secciones transversales que seencuentren separadas por una longitud “L”.



Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primerlugar, encontramos que podemos relacionar el ángulo “” con ladeformación cortante “” mediante la expresión:

En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:

Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzocortante, determinada recientemente:

Lr

G

JrT




Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “” y “”en la ley de Hooke, obtendremos:

Finalmente, para barras de sección circular:

Esta ecuación resulta de gran utilidad en casos donde lascondiciones de estática resultan insuficientes para determinar las cargas endistintos elementos de un sistema sometido a pares de torsión.

LrG

JrT

GJLT




Observemos el caso mostrado enla figura. En ella se presentan dos barrassolidarias, de sección transversal circular,empotradas en sus extremos y sometidasa un par torsor “T” en su unión.

La condición de equilibrio quepuede establecerse es la siguiente:

0 TTT CA

Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“TA” y “TC”).Un segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los parestorsores. Para poder establecer esta relación, es necesario primero definirlos pares torsores al que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”.




En primer lugar, estudiemos el tramo AB. Eltorsor aplicado sobre este segmento se definerealizando un corte en la estructura justo antes delpunto donde se aplica el siguiente torsor. Quedaentonces:

0 ABA TT

Luego, aplicamos un procedimientosimilar para el siguiente tramo. Al realizar uncorte justo antes del punto de aplicación delsiguiente torsor, obtenemos:

0 BCA TTT

ABA TT

ABC TTT




La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente:

Donde “B/A” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A” y“B/C” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “C”. Nótese quedeben ser iguales; entonces:

Sustituyendo “TAB” y “TBC”, obtenemos la segunda ecuación quenecesitamos para resolver el sistema:

CB

AB

BCBC

BCBC

ABAB

ABAB

GJLT

GJLT

BCBC

BCA

ABAB

ABA

GJLTT

GJLT

)()(


Tema 3 - Torsión en barrasSección 4 - Relación entre torsor, potencia y velocidad angular



Relación entre torsor, potencia y velocidad angular

Como se mencionó al principio de este capítulo, el interés principalde estudiar el fenómeno de torsión sobre barras circulares reside en queéstas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea enconjunto con poleas y correas ó con engranajes.



En el diseño de estos sistemas, emplearemos dos relacionesprincipalmente. La primera, es la expresión matemática que indica lapotencia que comunica un eje ó una polea:

Donde P es la potencia transmitida, “” es la velocidad angular y “T”el torsor al que está sometido el eje, la polea ó el engranaje.

También se utilizará la relación de transmisión (“m”), que se definecomo la proporción de velocidad ó torque que existe entre el sistemaconductor y el conducido:

La relación de transmisión siempre debe ser mayor que la unidad.Como la mayoría de los sistemas de transmisión son reductores (es decir,reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado de la formamostrada. En caso contrario, deben invertirse los términos.

TP

conductor

conducido

conducido

conductor

TTm

Tema 3 - Torsión en barrasSección 4 - Relación entre torsor, potencia y velocidad angular

Tema 3 - Torsión en barrasSección 5 - Diseño de ejes de transmisión



Diseño de ejes de transmisión

El diseño de ejes de transmisión consiste básicamente endeterminar el diámetro y material más apropiados para el mismo, tomando encuenta principalmente tres factores:

- Que las deformaciones ocasionadas por torsión sean aceptablessegún los requerimientos del diseño.

- Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen losesfuerzos admitidos en el diseño, según el factor de seguridad con el que seesté trabajando.

- Que diámetro del eje no exceda demasiado el tamaño necesario,pues esto influye en los costos de producción, en la geometría del diseño, enel peso muerto del sistema, etc.



En la figura se muestra unsistema conducido, donde unconjunto correa-polea transmitenpotencia a una máquina a través deun eje.

La correa, debido a latensión a la que debe estar, ejerceuna fuerza vertical (Fv) sobre lapolea y a su vez sobre el eje,además de ejercer el torque paraproducir movimiento en la máquina.

En este caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difícildeterminar que la sección crítica es aquella adyacente al apoyo, en B. Noteque la fuerza vertical producirá adicionalmente un momento flector sobre estasección.




Al trasladar las cargas a lasección transversal crítica, observaremosque sobre ella se encuentran aplicados unafuerza cortante Fv, un momento torsor T, yun momento flector M.

Tenemos entonces tres posiblespuntos críticos:

- El punto A, donde se generan(+) debido al momento flector y debidoal torsor;

- El punto A’, donde se generan (-) debido al momento flector y debido al torsor;

- el punto B’, donde se concentran los debido al momento torsor ydebido a la fuerza cortante.


Tema 3 - Torsión en barras Sección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares



Ecuaciones empleadas en barras no circulares

En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un partorsor aplicado sobre una viga de sección transversal no circular.

La deducción de las ecuaciones que describen la distribución deesfuerzos cortantes debido a torsión en estas barras no es sencilla. Nuestrointerés radica principalmente en conocer expresiones que permitan relacionarlas características geométricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, conel esfuerzo cortante máximo que se produce y su respectiva deformación.

Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a acontinuación algunos ejemplos.



Sección elíptica

2max2

baT


33

22

baba

GT

L



Sección triangular equilátera

3max20

aT


4380

aGT

L



Sección cuadrada

3max8077,4

aT


4

1124,7aG

TL

Resumen de ecuaciones



Tema 3 – Torsión en barrasSección 6 - Resumen de ecuaciones

Ley de Hooke para torsión:

: Esfuerzo cortanteG: Módulo de Rigidez: Deformación angular unitariaE: Módulo de elasticidad del material: Relación de Poisson del material

G

)1(2

EG




Esfuerzo cortante en barras de sección circular debido a momento torsor

: Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal: distancia medida desde el centro hasta el punto de interésJ: Momento polar de inercia de la sección transversal

JT




Ángulo de giro en barras circulares sometidas amomento torsor

: Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A”T: Par torsor al que está sometido la barra circularJ: Momento polar de inercia de la sección transversalG: Módulo de rigidez del materialLAB: Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”

GJLT AB

AB

/




Relaciones entre torsor, potencia y velocidad angular

: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)T: Par torsor al que está sometido la barra circularP: Potenciam: relación de transmisión

TP

conductor

conducido

conducido

conductor

TTm

Mecánica de Materiales I - ULAula.ve/facultad-ingenieria/images/mecanica/Mecanica...Universidad de...

Documents

Transcript of Mecánica de Materiales I - ULAula.ve/facultad-ingenieria/images/mecanica/Mecanica...Universidad de...