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Mecánica de Materiales I

______________________________________________________________________________Universidad de los Andes

Facultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería Mecánica

Tema 2 - Carga Transversal y Momento Flector

Tema 2

Carga Transversal y Momento Flexionante



Índice de contenido

Tema 2 – Carga Transversal y Momento FlectorÍndice de contenido

• Sección 1 - Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento Flector

• Sección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector

• Sección 3 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector

• Sección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal

• Sección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembroscurvos

• Sección 6 - Vigas sometidas a Carga Axial excéntrica

• Sección 7 - Resumen de Ecuaciones

Relación entre Carga, Fuerza Cortante y Momento Flector

Tema 2 - Carga Transversal y Momento FlectorSección 1 - Relación entre carga, Fuerza cortante y Momento Flector

Los miembros ligeros que soportan cargas aplicadas de formaperpendicular y/o paralela a sus ejes longitudinales se llaman vigas.

A menudo se pueden clasificar según el modo en que esténsoportadas.



Viga simplemente apoyada Viga en voladizo

Viga con voladizo

Las vigas se presentan en gran variedad de estructuras(armazones de edificios, chasis de automóviles, etc.). En muchos casos,pueden hallarse gran variedad de cargas aplicadas sobre las mismas. Estohace que determinar la sección transversal crítica (aquella en la que seproducen los esfuerzos de mayor magnitud) no sea un procedimientosencillo, de un solo paso.

Se recurre entonces a los diagramas de fuerza cortante y momentoflector. Estos diagramas son representaciones gráficas que muestran cómose distribuyen dichas cargas sobre la viga, revelando dónde se encuentra lasección transversal crítica.

En la mayoría de las vigas, los esfuerzos provocados pormomentos flectores son más relevantes que aquellos producidos por fuerzacortante. Debido a esto, suele ocurrir que la sección crítica sea aquella en lacual esté aplicado el momento flector de mayor magnitud. Sin embargo, porseguridad, debe hacerse también una evaluación de esfuerzos en la seccióndonde ocurra la mayor fuerza cortante.




Convención de signosSe considerarán con signo positivo:

Las cargas variables y/o fuerzas cortantes que generen rotaciónhoraria del segmento de viga.

Los momentos flectores que generen compresión en la partesuperior de la sección transversal de la viga.______________________________________________________________________________

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Relación entre Fuerza Cortante y Momento FlectorConsideremos una viga en sometida a una carga distribuida a lo

largo de la misma, como se muestra.




El término ‘q(x)·Δx’ representa la fuerza resultante y ‘K·Δx’ esdistancia a la que actúa la fuerza cortante desde el extremo derecho; secumple que ‘0 < k < 1’

Al aplicar la primera condición de la estática, obtenemos:

Al despejar el término referido a la variación de fuerza cortante,tenemos:

Finalmente, al despejar ‘q(x)’ y aplicar el límite cuando ‘Δx→0’ nosqueda:



0)()( VVxxqVFv

xxqV )(

)(0

xqdxdV

xVLim

x


Análogamente, al aplicar la segunda condición de la estática,obtenemos:

Despejando el término referido a la variación del momento flector,tenemos:

Luego, al despejar V, tomando la aproximación ‘Δx2≈0’ y aplicandoel límite cuando ‘Δx→0’ nos queda:

Podemos observar entonces que el diagrama de fuerza cortantenos indica cómo se comportan las rectas tangentes a la curva que describela variación del momento flector sobre la viga.



0)()( 2 MMxkxqxVMMo

VdxdM

xMLim

x

0

2)( xkxqxVM


Tema 2 - Carga Transversal y Momento FlectorSección 2 - Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector



Ecuaciones Generales de Fuerza Cortante y Momento Flector

En muchos casos puede resultar de interés disponer deexpresiones analíticas que describan cómo varían la fuerza cortante y elmomento flector.

Para ello, utilizaremos la función de Macaulay, que se define de lasiguiente forma:

naxxf )(0 si ‘x < a’

( x – a )n si ‘x > a’

Respecto a esta función, podemos acotar lo siguiente:

• La expresión encerrada en los corchetes agudos es nula hasta que“x” alcanza el valor de “a”.

• Para ‘x > a’, la expresión se convierte en un binomio ordinario.

• Cuando ‘n = 0’ y ‘x > a’, la función es igual a la unidad.



naxxf )(

0 si ‘x < a’

( x – a )n si ‘x > a’




1. Hacer un corte imaginario en un extremo de la viga, a la izquierda o a laderecha, según convenga.

2. Determinar las reacciones en apoyos ó empotramientos.

3. Describir cada carga, utilizando para ello una función de Macaulay.

4. El plano de corte imaginario debe coincidir con el final de las cargasdistribuidas; de no ser así, las mismas deberán proyectarse hasta dichocorte. Se recomienda entonces agregar y quitar tantas cargas como seanecesario.

Para determinar las ecuaciones generales de fuerza cortante ymomento flector de una viga cargada, se recomienda seguir los siguientespasos:




A continuación presentamos algunos ejemplos de cargasexpresadas utilizando funciones de Macaulay:

0)( axPxV

1)( axPxM

0)( axMxM

0)( xV




Como se mencionó anteriormente, al presentarse cargas variablesdebe procurarse que éstas terminen en el corte imaginario realizado en unextremo de la viga; se procedería entonces como sigue para una cargauniformemente distribuida:

11)( bxWaxWxV

22

21

21)( bxWaxWxM




122

21

21)( bxKbx

abKax

abKxV

233

21

31

21

31

21)( bxKbx

abKax

abKxM

Con una carga que varía linealmente, se tendría:


Tema 2 - Carga Transversal y Momento FlectorSección 3 – Esfuerzo Normal debido a Momento Flector



Esfuerzo Normal debido aMomento Flector

Utilizando un material muy deformable como el hule, se puedeidentificar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto sesomete a flexión. La líneas longitudinales se curvan y las líneas trasversalesperpendiculares al momento permanecen rectas, pero sufren una rotación.



Definiremos ahora dos parámetros que nos serán de utilidadpróximamente.

Llamaremos eje neutro a aquel contenido en el plano de seccióntransversal, respecto al cual gira la sección. El eje neutro es paralelo alvector momento flector aplicado.

Designaremos superficie neutra a la superficie longitudinalconformada por el eje neutro y todas la líneas longitudinales de la viga quelo intercepten.




En resumen, se asumen las siguientes condiciones:

• La viga es recta.

• La sección transversal de la viga es uniforme.

• Todas las cargas actúan de forma perpendicular al eje de la viga.

• La viga apenas se tuerce al aplicar las cargas.

• El material del que esté hecha la viga es homogéneo y su modelo deelasticidad es igual a tensión y compresión.




En la figura mostrada puede notarse cómo se vería afectada unaporción de una viga y un elemento diferencial de la misma al aplicarse elmomento flector.




Podemos plantear una expresión para la deformación unitaria en elelemento:

Donde: Δs = Δx = ρ·ΔθΔs’ = (ρ + y)·Δθ

Entonces, replanteamos la deformación de la siguiente forma:

sssLim

s

'0

)(0

yLim




Finalmente:

Nótese que la deformación normal varía linealmente. En el ejeneutro, desde el cual se miden las distancias “y”, no ocurrirá deformación. Ylas deformaciones que ocurran por encima el eje neutro serán de signocontrario a las que ocurren por debajo del mismo.

yLim0

y




Recordando la Ley de Hooke,

podemos plantear una primera expresión del esfuerzo, en funciónde la variable “y”:

donde “E” y “ρ” son constantes.

Ahora, aplicando la primera condición de la estática sobre lasección transversal, tenemos:

E

yE

0dAdF




Sustituimos la expresión de “σ” obtenida anteriormente y nos queda

Dado que ningún “dA” es igual a cero, tenemos que la única solución posible para esta ecuación es que se cumpla lo siguiente:

Esto nos indica que el eje neutro, desde el cual se miden todas las distancias “y”, debe coincidir con el centroide de la sección transversal de la viga.

0 dAyEdA


0 dAy



Ahora, aplicaremos la segunda condición de la estática sobre la sección. Nos queda:

De forma similar a la anterior, sustituimos la expresión de σobtenida mas atrás y obtenemos:

Donde el término que encierra la integral corresponde al momentode inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. Designando conla letra “I” a esta propiedad de área, podemos rescribir la expresión de lasiguiente forma:

0dAyMM


02 dAyEMdAyM

0 IEM



Recordando una expresión obtenida en líneas anteriores:

Al sustituir esto en la ecuación que venimos trabajando, nos quedafinalmente:

Donde puede observarse que el esfuerzo normal varía linealmenterespecto a la dirección “y”.

E

yyE

0 Iy

M

IyM




Regla de la mano derechaSe utiliza para definir los signos de los esfuerzos normales

empleando momentos aplicados.

Al colocar la palma de la mano derecha sobre la seccióntransversal, con el pulgar siguiendo el sentido del momento sobre el ejeneutro, la parte de la sección que quede bajo la palma de la mano seráaquella que esté sometida a compresión.




Cuando una viga se somete a cargas transversales, éstas nosolamente generan un momento interno en la viga sino una fuerza cortanteinterna. Esta fuerza cortante intenta que las secciones longitudinales sedeslicen una sobre las otras.

Para ilustrar mejor esto, utilizaremos una viga simplementeapoyada, conformada por tres tablones no unidos entre sí.

Tema 2 - Carga Transversal y Momento FlectorSección 4 - Esfuerzo Cortante debido a Carga Transversal

Esfuerzo Cortante debido aCarga Transversal



Al aplicar una carga como se muestra en la figura, puede notarsecómo los tablones se deslizan entre ellos. Si luego se unen los tablones yse aplica nuevamente la carga, no se presentará dicho deslizamiento.

Esto nos indica que debe aparecer una fuerza interna que evite eldeslizamiento entre secciones longitudinales de una viga sometida amomento flector.




Nos enfocaremos ahora en conseguir una expresión que nospermita determinar el esfuerzo que se genera en la viga para evitar eldeslizamiento anteriormente descrito.

Para ello, consideremos una viga como se muestra en la figura.Estudiaremos las fuerzas a las que está sometido un elemento diferencial dela misma.




En la figura podemos observar con mayor detalle el elementodiferencial dentro de la viga.

Se cumple: dAdH 11 dAdH 22




Si suponemos que ‘H2>H1’, podemos plantear la primera condiciónde equilibrio en el elemento diferencial:

Al sustituir “H1” y “H2”, nos queda:

Recordando que:

021 dFHHF

21 HHdF

c

y

c

y

dAdAdF1 2

12

IyM




Al introducir esto en la expresión anterior, obtenemos:

Si consideramos que ‘M1 - M2 = dM’, al despejar “” nos queda:

Luego:

c

y

c

y

dAyI

MdAyI

Mdxb1 2

12

c

y

dAybIdx

dM

1

1

VdxdM

QdAyc

y

1

(Fuerza cortante)

(Primer Momento de Área)




Tenemos finalmente nuestra expresión para el esfuerzo cortante enla viga:

Sin embargo, para que un elemento diferencial se halle enequilibrio, debe existir otra fuerza horizontal, en sentido contrario, que actúeen un plano paralelo.

bIQV

Se tienen entoncesdos fuerzas que generan unpar en el elemento diferencial.Para anularlo, debe aparecerotro par de fuerzas de igualmagnitud y sentido contrario,que actúan en planosperpendiculares a losanteriores, como se muestra.




Podemos observar entonces que un esfuerzo cortante consta detres características:

-Actúa en un plano

-Actúa en una dirección, que debe ser tangente a dicho plano

-Posee una magnitud.

Todas estas características se señalan en la nomenclatura delesfuerzo cortante, como sigue:

•i indica el plano de acción del esfuerzo cortante•j indica la dirección del esfuerzo cortante•K es la magnitud del esfuerzo

Kij


Entonces, por ejemplo, un “xy” es un esfuerzo cortante que actúaen el plano “x” en la dirección “y”. Observe que debe cumplirse:



jiij

También es importantemencionar, que el producto de lossignos del plano de acción y de ladirección del esfuerzo debe sersiempre el mismo, sin importar cuálde los “cuatro” esfuerzos estemostomando en cuenta. Este productode signos se le asignará al valor delesfuerzo. En el caso mostrado, elesfuerzo es negativo.


Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversalocurre como se muestra en la figura.

Note que la distribución es hiperbólica.______________________________________________________________________________

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Para deducir una expresión que nos permita determinar losesfuerzos normales generados por un momento flector aplicado sobre unmiembro curvo, asumiremos las siguientes condiciones:

• El material se comporta en el rango elástico.

• Las secciones transversales planas permanecen planas después de laflexión.

• El módulo de elasticidad es el mismo para tracción y para compresión.

• Las secciones transversales tienen un eje de simetría centroidal en unplano a lo largo de la viga.

• A diferencia del caso de vigas rectas, el eje neutro no coincide con eleje centroidal longitudinal de la viga.

Tema 2 - Carga Transversal y Momento FlectorSección 5 - Esfuerzo Normal debido a Momento Flector en miembros curvos

Esfuerzo Normal debido aMomento Flector en miembros curvos



Designaremos “r” a la distancia que existe entre el centro decurvatura del elemento y el eje neutro de la sección transversal. A su vez,“R” será la distancia entre dicho centro e curvatura y el eje centroidal de lasección transversal. Notemos que ‘R > r’, y que ambos parámetros sonconstantes para una sección transversal dada.




Si aislamos un segmento diferencial de la viga, el esfuerzo tiende adeformar el material en forma tal que cada sección transversal girará unángulo “”.

Se puede notar que:

Luego, por definición:

dL 0

)( rdLf

0

0

LLLf




Al sustituir L0 y Lf queda:

Luego, hacemos:

Al introducirlo en la expresión anterior, obtenemos:

Podemos observar aquí que la deformación varía de formahiperbólica, no lineal.

drdd

)(

d

k

rk




Como el material se comporta elásticamente, podemos aplicar laley de Hooke:

De forma similar al caso de viga recta, debe cumplirse la primeracondición de equilibrio:

Tenemos entonces que:

rkEE

0 dAF

dArkEdA




Como los valores de E, K y r son constantes:

De aquí obtenemos que:

Esta es la expresión que nos permite determinar la distancia entreel centro de curvatura de la viga y el eje neutro de la sección transversal delelemento.

0

dArdAkEdA

dAdA

r




Aplicaremos ahora la segunda condición de equilibrio:


dArM )(

dArkErdAr

)()(

dArdArdAkEdArkE 22

2)(




Definiremos ahora cada término resultante del binomio cuadrado:

dArdArdAkEdArkE 22

2)(

ARdA

AdA

rAdA




Recordando además que:


rAArARr

M

2

kEr

ArARr

M




Despejando σ, nos queda:

Luego, estableciendo:

Podemos rescribir la expresión de la forma:

)()(rRA

rM

rRe

eArM

)(


Finalmente, la distribución de esfuerzos en la sección transversalocurre como se muestra en la figura.

Nótese que:



eArMLim

)(0

0)(

eArMLim




Vigas sometida a carga axial excéntricaCuando nos encontremos con el caso de una viga en la que se

halle aplicada una carga axial cuya recta de acción no pase por el ejecentroidal, se calcula el momento flector que produce la excentricidad de lacarga. Entonces, el esfuerzo normal resultante vendrá dado por lasuperposición de los efectos producidos por la carga axial (aplicada en elcentroide de la sección transversal) y el momento generado.

AP

IyM

AP

IyyP

)(

Tema 2 - Carga Transversal y Momento FlectorSección 6 – Vigas sometidas a carga axial excéntrica

Resumen de ecuaciones



Tema 2 - Carga Transversal y Momento FlectorSección 7 - Resumen de ecuaciones

Relación entre carga, fuerza cortante y momento flector:

V: Fuerza Cortante en una sección transversalM: Momento Flector en una sección transversalx: Distancia desde un extremo de la viga

)(0

xqdxdV

xVLim

x

VdxdM

xMLim

x

0



Esfuerzo normal debido a momento flector:

: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversalM: Momento flector sobre la sección transversaly: Distancia desde el centroide hasta el punto de interés sobre la sección transversalI: Momento de inercia de la sección transversal

IyM




Esfuerzo cortante debido a carga transversal:

: Esfuerzo cortante en un punto de la sección transversalV: Carga transversal sobre la secciónQ: Momento de área (respecto al punto de interés)I: Momento de inercia de la sección transversalb: Espesor de la sección transversal (respecto al punto de interés)

bIQV

ij




Esfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos:

: Esfuerzo normal en un punto de la sección transversalM: Momento flector sobre la sección: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el punto de interésA: Área de sección transversale: Distancia entre el eje neutro y el centroide de la sección transversalr: Distancia medida desde el centro de curvatura hasta el eje neutro de lasección transversal

eArM

)(




Parámetro “r” para el cálculo del esfuerzo normal debido a momento flector en miembros curvos:

r: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta el eje neutro de la sección transversalA: Área de la sección transversal: Distancia medida desde el centro de curvatura del elemento hasta elpunto de interés de la sección transversal.

dAdA

r


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