MECÁNICA DE FLUIDOS

SEMANA 04 – S04

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Contenido

ESTÁTICA DE FLUIDOS .............................................................................................. 2

1. PRESIÓN (información complementaria) ............................................................... 2

1.1. Presión en un punto ........................................................................................ 2

1.2. Ecuación básica para el campo de presión ..................................................... 4

1.3. Variación de la presión en un fluido en reposo ............................................... 6

2. PRINCIPIO DE PASCAL ....................................................................................... 8

3. MEDIDORES DE PRESIÓN ................................................................................ 10

3.1. Manómetro ................................................................................................... 10

3.2. Otros instrumentos para medir presión ......................................................... 13

3.3. Barómetro ..................................................................................................... 13

4. FUERZAS PROVOCADAS POR LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA ........................ 16

4.1. Superficie plana ............................................................................................ 16

5. REFERENCIAS ................................................................................................... 19

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ESTÁTICA DE FLUIDOS

1. PRESIÓN (información complementaria)

1.1. Presión en un punto El término presión se utiliza para indicar la fuerza normal por unidad de área en un punto dado, que actúa en un plano dado dentro de la masa de fluido de interés. Una pregunta que surge de inmediato es cómo la presión en un punto varía con la orientación

del plano que pasa por el punto.

Para responder esta pregunta, considere el diagrama de cuerpo libre, de la figura: Figura 1.1. Fuerzas sobre un elemento arbitrario de fluido en forma de cuña.

Esta se obtuvo al eliminar una pequeña cuña triangular de fluido de alguna ubicación

arbitraria dentro de una masa de fluido. Como se está considerando la situación en la

que no hay tensiones de corte, las únicas fuerzas externas que actúan sobre la cuña se deben a la presión y al peso. Para simplificar, las fuerzas en la dirección x no se muestran, y el eje z se toma como el eje vertical, por lo que el peso actúa en la dirección negativa z. Aunque nos interesan principalmente los fluidos en reposo, para que el análisis sea lo más general posible, permitiremos que el elemento fluido tenga un

movimiento acelerado. La suposición de cero esfuerzos de corte seguirá siendo válida

siempre que el elemento fluido se mueva como un cuerpo rígido; es decir, no hay

movimiento relativo entre elementos adyacentes.

Las ecuaciones de movimiento (segunda ley de Newton, F = ma), en las direcciones y

y z son, respectivamente:

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∑𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑦𝑦𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 − 𝑝𝑝𝑠𝑠𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 sin𝜃𝜃 = 𝜌𝜌𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿

2𝑎𝑎𝑦𝑦

∑𝐹𝐹𝑧𝑧 = 𝑝𝑝𝑧𝑧𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 − 𝑝𝑝𝑠𝑠𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 cos𝜃𝜃 = 𝛾𝛾𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿

2= 𝜌𝜌

𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿2

𝑎𝑎𝑧𝑧

donde ps, py y pz son las presiones promedio en las caras, γ y ρ son el peso y la densidad

específicos del fluido, respectivamente, ay y az las aceleraciones. Tenga en cuenta que

una presión debe multiplicarse por un área apropiada para obtener la fuerza generada

por la presión. De la geometría se desprende que:

𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝛿𝛿𝛿𝛿 cos𝜃𝜃 𝛿𝛿𝛿𝛿 = 𝛿𝛿𝛿𝛿 sin𝜃𝜃

para que las ecuaciones de movimiento puedan reescribirse como:

𝑝𝑝𝑦𝑦 − 𝑝𝑝𝑠𝑠 = 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑦𝑦𝛿𝛿𝛿𝛿2

𝑝𝑝𝑧𝑧 − 𝑝𝑝𝑠𝑠 = (𝑝𝑝𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝛾𝛾)𝛿𝛿𝛿𝛿2

Como estamos realmente interesados en lo que está sucediendo en un punto, tomamos el límite cuando δx, δy y δz se acercan a cero (mientras mantenemos el

ángulo θ), y se tiene que:

𝑝𝑝𝑦𝑦 = 𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑧𝑧 = 𝑝𝑝𝑠𝑠

O ps, = py = pz. El ángulo se eligió arbitrariamente para que podamos concluir que la

presión en un punto en un fluido en reposo, o en movimiento, es independiente de la

dirección, siempre que no existan tensiones de corte. Este importante resultado se

conoce como la ley de Pascal, nombrada en honor de Blaise Pascal (1623–1662).

Por lo tanto, como se muestra en la fotografía en el margen, en la unión del lado y la

parte inferior del vaso de precipitados, la presión es la misma en el lado que en la parte

inferior. Figura 1.2. La presión en un punto en un fluido en reposo es independiente de la dirección.

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1.2. Ecuación básica para el campo de presión Aunque hemos respondido a la pregunta de cómo la presión en un punto varía con la

dirección, ahora nos enfrentamos a una pregunta igualmente importante: ¿cómo varía la presión en un fluido en el que no hay esfuerzos de corte de un punto a otro? Para responder a esta pregunta, considere un pequeño elemento rectangular de fluido

retirado de alguna posición arbitraria dentro de la masa de fluido de interés como se

ilustra en la Figura 1.3

Figura 1.3. Fuerzas superficiales y de cuerpo que actúan sobre el pequeño elemento fluido.

Hay dos tipos de fuerzas que actúan sobre este elemento: fuerzas superficiales debido a la presión y una fuerza de cuerpo igual al peso del elemento.

Si dejamos que la presión en el centro del elemento se designe como p, entonces la

presión promedio en las diversas caras se puede expresar en términos de p y sus

derivados, como se muestra en la Figura 1.3. En realidad, estamos utilizando una

expansión de la presión de la serie Taylor en el centro del elemento para aproximar las

presiones a una corta distancia y descuidar los términos de orden superior que

desaparecerán cuando dejemos que δx, δy y δz se acerquen a cero. Esto se ilustra con

la Figura 1.4.

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Figura 1.4. La presión puede variar a través de una partícula de fluido.

Por simplicidad, las fuerzas de superficie en la dirección x no se muestran. La fuerza

superficial resultante en la dirección y es:

𝛿𝛿𝐹𝐹𝑦𝑦 = �𝑝𝑝 −𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝜕𝜕𝛿𝛿2� 𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 − �𝑝𝑝 +

𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝜕𝜕𝛿𝛿2� 𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿

𝛿𝛿𝐹𝐹𝑦𝑦 = −𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿

Del mismo modo, para las direcciones x y z, las fuerzas superficiales resultantes son:

𝛿𝛿𝐹𝐹𝑥𝑥 = −𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 𝛿𝛿𝐹𝐹𝑧𝑧 = −𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿

La fuerza superficial resultante que actúa sobre el elemento puede expresarse en forma

de vector como:

𝛿𝛿𝐹𝐹𝑠𝑠 = 𝛿𝛿𝐹𝐹𝑥𝑥�̂�𝒊 + 𝛿𝛿𝐹𝐹𝑦𝑦𝒋𝒋̂ + 𝛿𝛿𝐹𝐹𝑧𝑧𝒌𝒌�

O

𝛿𝛿𝐹𝐹𝑠𝑠 = −�𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

�̂�𝒊 +𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝒋𝒋̂ +𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝒌𝒌��𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 (1)

donde 𝚤𝚤,� 𝚥𝚥 ̂y 𝑘𝑘� son los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas que se

muestran en la Figura 1.3 El grupo de términos entre paréntesis en la ecuación (1)

representa en forma vectorial el gradiente de presión y puede escribirse como:

𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

�̂�𝒊 +𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝒋𝒋̂ +𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

𝒌𝒌� = ∇𝑝𝑝

Donde:

∇( ) =𝜕𝜕( )𝜕𝜕𝛿𝛿

�̂�𝒊 +𝜕𝜕( )𝜕𝜕𝛿𝛿

𝒋𝒋̂ +𝜕𝜕( )𝜕𝜕𝛿𝛿

𝒌𝒌�

Y el símbolo ∇ (nabla) es el gradiente. Así que, la fuerza resultante por unidad de volumen puede ser expresada como:

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𝛿𝛿𝐹𝐹𝑠𝑠𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿

= −∇𝑝𝑝

Como el eje z es vertical, el peso del elemento es:

−𝛿𝛿𝛿𝛿𝑘𝑘� = −𝛾𝛾𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝑘𝑘�

donde el signo negativo indica que la fuerza debida al peso es hacia abajo (en la

dirección z negativa). La segunda ley de Newton, aplicada al elemento fluido, puede

expresarse como:

∑𝛿𝛿𝐹𝐹 = 𝛿𝛿𝛿𝛿 𝒂𝒂

donde ΣδF = δm a representa la fuerza resultante que actúa sobre el elemento, a es la

aceleración del elemento y ρ δx δy δz es la masa del elemento, que puede escribirse

como sigue:

∑𝛿𝛿𝐹𝐹 = 𝛿𝛿𝐹𝐹𝑠𝑠 − 𝛿𝛿𝛿𝛿𝒌𝒌� = 𝛿𝛿𝛿𝛿 𝒂𝒂

O

−∇𝑝𝑝𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 − γ𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝑘𝑘� = 𝜌𝜌𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿𝛿 𝒂𝒂

Y, por lo tanto:

−∇𝑝𝑝 − 𝛾𝛾𝑘𝑘� = 𝜌𝜌 𝑎𝑎 (2)

La ecuación (2) es la ecuación general de movimiento para un fluido en el que no hay esfuerzos de corte.

1.3. Variación de la presión en un fluido en reposo Para un fluido en reposo a = 0 y Eq. .2 se reduce a:

∇𝑝𝑝 + 𝛾𝛾𝑘𝑘� = 0

O en su forma de componentes: 𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

= 0 𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

= 0 𝜕𝜕𝑝𝑝𝜕𝜕𝛿𝛿

= −𝛾𝛾 (3)

Estas ecuaciones muestran que la presión no depende de x o y. Por lo tanto, a medida

que nos movemos de un punto a otro en un plano horizontal (cualquier plano paralelo al

plano x – y), la presión no cambia. Como p depende solo de z, la última de las

ecuaciones (3) puede escribirse como la ecuación diferencial ordinaria: 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑑𝑑𝛿𝛿

= −𝛾𝛾 (4)

La ecuación (4) es la ecuación fundamental para fluidos en reposo y puede usarse para determinar cómo cambia la presión con la elevación. Esta ecuación y la Figura 1.5

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indican que el gradiente de presión en la dirección vertical es negativo; es decir, la

presión disminuye a medida que avanzamos hacia arriba en un fluido en reposo. No hay

requisito de que γ sea una constante.

Figura 1.5. Para líquidos o gases en reposo, el gradiente de presión en la dirección vertical en cualquier

punto de un fluido depende solo del peso específico del fluido en ese punto.

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2. PRINCIPIO DE PASCAL

La presión en un fluido en reposo es independiente de la forma o sección transversal

del recipiente que lo contiene. Ésta cambia con la distancia vertical, pero permanece

constante en las otras direcciones. Por lo tanto, la presión es la misma en todos los

puntos de un plano horizontal en un fluido dado.

En 1586, el matemático holandés Simon Stevin (1548-1620) publicó el principio que se ilustra en la Figura 2.1

Figura 2.1 La presión es la misma en todos los puntos sobre un plano horizontal en un fluido dado, sin importar la configuración geométrica, siempre que los puntos estén interconectados por el mismo fluido.

Nótese que las presiones en los puntos A, B, C, D, E, F y G son idénticos porque están a la misma profundidad e interconectados por el mismo fluido estático. Sin embargo, las presiones en los puntos H e I no son iguales, porque estos dos puntos no están interconectados por el mismo fluido (es decir, no se puede trazar una curva desde el punto I hasta el H permaneciendo en el mismo fluido en todo momento), aun

cuando están a igual profundidad.

Una consecuencia de que la presión en un fluido permanezca constante en la dirección

horizontal consiste en que la presión aplicada a un fluido confinado aumenta la presión en toda la extensión de éste en la misma cantidad. Esto se conoce como ley de Pascal.

Pascal también sabía que la fuerza aplicada por un fluido es proporcional al área superficial. Observó que se podían conectar dos cilindros hidráulicos de áreas diferentes y se podía usar el más grande para ejercer una fuerza proporcionalmente

mayor que la aplicada al más pequeño.

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La “máquina de Pascal” ha sido la base de muchos inventos que forman parte de nuestra

vida cotidiana, como los frenos y los elevadores hidráulicos. Esto permite levantar un

automóvil con facilidad mediante un brazo, como se muestra en la Figura 2.2 . Nótese

que P1 = P2, ya que los dos émbolos están al mismo nivel (el efecto de pequeñas

diferencias en la altura es despreciable, en especial a presiones altas), se determina

que la razón de la fuerza de salida a la de entrada es:

𝑃𝑃1 = 𝑃𝑃2 → 𝐹𝐹1𝐴𝐴1

=𝐹𝐹2𝐴𝐴2

→ 𝐹𝐹2𝐹𝐹1

=𝐴𝐴2𝐴𝐴1

(1)

Figura 2.2. Levantamiento de un peso grande mediante una fuerza pequeña, por la aplicación de la ley de

Pascal.

La razón A2/A1 se llama ventaja mecánica ideal del elevador hidráulico. Por ejemplo, con un gato hidráulico para automóviles con una razón de áreas de los pistones de

A2/A1 = 10, una persona puede levantar un automóvil de 1 000 [kg] por la aplicación de

una fuerza de sólo 908 [N].

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3. MEDIDORES DE PRESIÓN

3.1. Manómetro Considerando la ecuación:

Δ𝑃𝑃 = 𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1 = 𝜌𝜌𝜌𝜌Δ𝛿𝛿 = 𝛾𝛾𝑠𝑠Δ𝛿𝛿 (1)

Se advierte, que un cambio en la elevación de ∆z en un fluido en reposo corresponde a

∆P/ρg, lo cual sugiere que se puede usar una columna de fluido para medir diferencias en la presión.

Un instrumento que funciona según este principio se llama manómetro. Es de uso común para medir diferencias en la presión, pequeñas y moderadas. Un manómetro

consta principalmente de un tubo en U de vidrio o plástico que contiene uno o más

fluidos como mercurio, agua, alcohol o aceite. Para mantener el tamaño del manómetro

dentro de límites manejables se usan fluidos pesados, como el mercurio, si se prevén

grandes diferencias en la presión.

Considere el manómetro que se muestra en la Figura 3.1, que se usa para medir la

presión en el tanque. Figura 3.1. Manómetro básico

Puesto que los efectos gravitacionales de los gases son despreciables, la presión en

cualquier parte del tanque y en la posición 1 tiene el mismo valor. Además, debido a que

la presión en un fluido no varía en la dirección horizontal dentro del mismo, la presión en el punto 2 es la misma que la que se tiene en el punto 1, P2 = P1.

La columna diferencial de fluido de altura h está en equilibrio estático y abierta a la

atmósfera. Entonces de manera directa, a partir de la ecuación:

𝑃𝑃 = 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝜌𝜌𝜌𝜌ℎ 𝑜𝑜 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑚𝑚 = 𝜌𝜌𝜌𝜌ℎ (2)

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se determina que la presión en el punto 2 es:

𝑃𝑃2 = 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝜌𝜌𝜌𝜌ℎ (3)

donde ρ es la densidad del fluido en el tubo.

Algunos manómetros se relacionan con múltiples fluidos inmiscibles de densidades

diferentes uno sobre otro. Esos sistemas se pueden analizar con facilidad cuando se

recuerda que:

1. El cambio de presión de uno a otro lado de una columna de fluido de altura h es ∆P

= ρgh

2. La presión aumenta hacia abajo en un fluido dado y disminuye hacia arriba (es decir,

Pfondo > Parriba), y

3. Dos puntos a la misma altura en un fluido continuo en reposo están a la misma

presión.

El último principio, el cual es resultado de la ley de Pascal, permite “saltar” de una columna de fluido a la siguiente en los manómetros sin preocuparse por el cambio de presión, mientras no se salte sobre un fluido diferente y el fluido esté en reposo.

Entonces, se puede determinar la presión en cualquier punto cuando se parte de un punto de presión conocida y cuando se suman o restan términos ρgh a medida que se avanza hacia el punto de interés. Por ejemplo, se puede determinar la presión en el

fondo del tanque de la Figura 3.2

Figura 3.2. En capas apiladas de fluido, el cambio de presión a través de una capa de fluido de densidad ρ y espesor h es ρgh.

si se empieza en la superficie libre, en donde la presión es Patm, se avanza hacia abajo hasta llegar al punto 1 en el fondo y se iguala el resultado a P1. Esto da:

𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝜌𝜌1𝜌𝜌ℎ1 + 𝜌𝜌2𝜌𝜌ℎ2 + 𝜌𝜌3𝜌𝜌ℎ3 = 𝑃𝑃1 (4)

En el caso especial de que todos los fluidos tengan la misma densidad, esta relación se

reduce a la ecuación (3), como era de esperarse.

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En particular, los manómetros son adecuados para medir caídas de presión a lo largo de la sección horizontal de flujo, entre dos puntos especificados, debido a la presencia de un dispositivo, como una válvula o un intercambiador de calor, o cualquier

otra resistencia al flujo.

Esto se realiza cuando se conectan los dos extremos del manómetro a estos dos puntos

(Figura 3.3)

Figura 3.3. Medición de la caída de presión a lo largo de la sección horizontal de flujo o en un

dispositivo de flujo, con un manómetro diferencial.

El fluido de trabajo puede ser un gas o un líquido, cuya densidad es ρ1. La densidad del

fluido manométrico es ρ2 y la diferencia en su altura es h. Se puede obtener una

relación para la diferencia de presión P1 - P2 si se parte del punto 1 con P1, y se desplaza a lo largo del tubo por medio de la suma o sustracción de los términos ρgh

hasta alcanzar el punto 2 e iguala el resultado a P2:

𝑃𝑃1 + 𝜌𝜌1𝜌𝜌(𝑎𝑎 + ℎ) − 𝜌𝜌2𝜌𝜌ℎ − 𝜌𝜌1𝜌𝜌𝑎𝑎 = 𝑃𝑃2 (5)

Nótese que se saltó desde el punto A horizontalmente hasta el B y se ignoró la parte que está abajo, puesto que la presión en los dos puntos es la misma. Cuando se simplifica:

𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 = (𝜌𝜌1 − 𝜌𝜌2)𝜌𝜌ℎ (6) Nótese que la distancia a no afecta el resultado, pero debe incluirse en el análisis. Cuando el fluido que fluye en el tubo es un gas, entonces 𝜌𝜌1 ≅ 𝜌𝜌2 y la relación

de la ecuación (6) se simplifica a 𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 𝜌𝜌2ℎ𝜌𝜌.

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3.2. Otros instrumentos para medir presión Otro tipo de dispositivo mecánico que comúnmente se utiliza para medir la presión es el

tubo de Bourdon, nombrado así en honor del ingeniero e inventor francés Eugene

Bourdon (1808-1884). Consta de un tubo metálico hueco, doblado como un gancho,

cuyo extremo se cierra y se conecta a la aguja de un indicador de carátula (Figura 3.4).

Figura 3.4. Varios tipos de tubo de Bourdon usados para medir la presión.

Cuando el tubo se abre a la atmósfera, el tubo queda sin cambiar de forma y, en este

estado, la aguja de la carátula se calibra para que dé la lectura cero (presión

manométrica). Cuando se presuriza el fluido que está en el tubo, éste tiende a

enderezarse y mueve el agua en proporción a la presión aplicada.

La electrónica ha abierto su camino hacia cada aspecto de la vida, inclusive a los instrumentos de medición de la presión. En los sensores modernos de presión, llamados transductores de presión, se aplican varias técnicas para convertir el efecto de presión en un efecto eléctrico, como un cambio en la tensión, la resistencia o la capacitancia. Los transductores de presión son más pequeños y más rápidos, y pueden ser más sensibles, confiables y precisos que sus contrapartes

mecánicas. Pueden medir presiones desde un millonésimo de 1 atm hasta varios miles

de atm.

Existe una amplia variedad de transductores de presión para medir presiones

manométricas, absolutas y diferenciales, en una numerosa gama de aplicaciones.

3.3. Barómetro La presión atmosférica se mide con un instrumento llamado barómetro; por tanto, con frecuencia se hace referencia de la presión atmosférica como presión barométrica. El

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italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) fue el primero en probar de manera concluyente que se puede medir la presión atmosférica cuando se invierte un tubo lleno de mercurio en un recipiente lleno con este mismo líquido que está abierto a la

atmósfera, como se muestra en la Figura 3.5.

Figura 3.5. Barómetro básico.

La presión en el punto B es igual a la atmosférica y se puede tomar la presión en C como cero, ya que sólo existe vapor de mercurio arriba del punto C, y la presión es muy baja en relación con Patm por lo que se puede despreciar para tener una aproximación

excelente. Si se escribe un balance de fuerzas en la dirección vertical se obtiene. 𝑃𝑃𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝜌𝜌𝜌𝜌ℎ

donde ρ es la densidad del mercurio, g es la aceleración gravitacional local y h es la

altura de la columna de mercurio por arriba de la superficie libre. Nótese que la longitud y el área de la sección transversal del tubo no afectan la altura de la columna de fluido de un barómetro.

Figura 3.6 La longitud o el área de la sección transversal del tubo no tienen efecto sobre la altura de la columna del fluido en un barómetro, siempre que el diámetro de ese tubo sea suficientemente grande

como para evitar los efectos de la tensión superficial (de capilaridad)..

Una unidad de presión que se usa con frecuencia es la atmósfera estándar, la cual se define como la presión producida por una columna de mercurio de 760 mm de altura a 0[°C] (ρHg = 13 595 [kg/m3]) bajo la aceleración gravitacional estándar (g = 9.807 [m/s2])

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La presión a veces se expresa en términos de la altura de la columna de mercurio. Por ejemplo, la presión atmosférica estándar es de 760 [mm Hg] a 0[°C]. La unidad

[mmHg] también se conoce como torr, en honor de Torricelli. Por lo tanto, 1 [atm] = 760 [torr] y 1 [torr] = 133.3 [Pa].

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4. FUERZAS PROVOCADAS POR LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA

4.1. Superficie plana Sobre una superficie plana las fuerzas hidrostáticas forman un sistema de fuerzas paralelas y, a menudo, se necesita determinar la magnitud de la fuerza y su punto de

aplicación, el cual se llama centro de presión. En la mayoría de los casos, el otro lado de la placa está abierto a la atmósfera (como el lado seco de una compuerta) y, donde,

la presión atmosférica actúa sobre los dos lados de la placa y conduce a una resultante

cero. En esos casos conviene restar la presión atmosférica y trabajar sólo con la presión

manométrica (Figura 4.1). Por ejemplo, Pman = ρgh en el fondo del lago.

Figura 4.1 Cuando se analizan las fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas, sencillamente se puede restar la presión atmosférica cuando actúa sobre ambos lados de la estructura.

Considérese la superficie superior de una placa plana de manera arbitraria, sumergida

totalmente en un líquido, como se muestra en la Figura 4.2 junto con su vista desde

arriba.

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Figura 4.2. Fuerza hidrostática sobre la superficie de un plano inclinado totalmente sumergido en un líquido

El plano de esta superficie (normal al plano de la página) se interseca con la superficie

libre horizontal y forma un ángulo θ, y la línea de intersección se toma como el eje x. La

presión absoluta arriba del líquido es P0, la cual es la presión atmosférica local Patm si

ese líquido está abierto a la atmósfera (pero P0 puede ser diferente de Patm si se crea un

vacío en el espacio que está arriba del líquido o se presuriza).

Entonces la presión absoluta en cualquier punto de la placa es:

𝑃𝑃 = 𝑃𝑃0 + 𝜌𝜌𝜌𝜌ℎ = 𝑃𝑃0 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝛿𝛿 sen𝜃𝜃 (1)

donde h es la distancia vertical del punto a la superficie libre y y es la distancia del punto

al eje x (al punto O en la Figura 4.2). La fuerza hidrostática resultante FR que actúa sobre

la superficie se determina cuando se integra la fuerza P dA que actúa sobre un área

diferencial dA sobre toda el área superficial,

𝐹𝐹𝑅𝑅 = � 𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴

= � (𝑃𝑃0 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝛿𝛿 sen𝜃𝜃)𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴

= 𝑃𝑃0𝐴𝐴 + 𝜌𝜌𝜌𝜌 sin𝜃𝜃� 𝛿𝛿 𝑑𝑑𝐴𝐴 (2)𝐴𝐴

Pero el primer momento de área ∫ 𝛿𝛿 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑎𝑎 está relacionado con la coordenada y del

centroide (o centro) de la superficie por:

𝛿𝛿𝐶𝐶 =1𝐴𝐴� 𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴

Se efectúan las sustituciones:

𝐹𝐹𝑅𝑅 = (𝑃𝑃0 + 𝜌𝜌𝜌𝜌𝛿𝛿𝐶𝐶 sen𝜃𝜃)𝐴𝐴 = (𝑃𝑃0 + 𝜌𝜌𝜌𝜌ℎ𝐶𝐶)𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝑃𝑃𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝐴𝐴 (3)

donde PC = P0 + ρghC es la presión en el centroide de la superficie, la cual equivale a la

presión promedio sobre la superficie, y hC = yC sen θ es la distancia vertical del centroide

a la superficie libre del líquido (Figura 4.3).

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Figura 4.3. La presión en el centroide de una superficie equivale a la presión promedio sobre ésta.

De ello se llega a la conclusión que:

La magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana de una placa

totalmente sumergida en un fluido homogéneo (de densidad constante) es igual al

producto de la presión PC en el centroide de la superficie y el área A de ésta.

Figura 4.4. La fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana es igual al producto de la presión en el centroide de la superficie y el área superficial, y su línea de acción pasa por el centro de presión.

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5. REFERENCIAS

Fundamentals of fluid mechanics, Munson, 2012

Mecánica de fluidos, Fundamentos y Aplicaciones, Cengel, Y., & Cimbala J., 2006.

ESTÁTICA DE FLUIDOS1. PRESIÓN (información complementaria)1.1. Presión en un punto1.2. Ecuación básica para el campo de presión1.3. Variación de la presión en un fluido en reposo

2. PRINCIPIO DE PASCAL3. MEDIDORES DE PRESIÓN3.1. Manómetro3.2. Otros instrumentos para medir presión3.3. Barómetro

4. FUERZAS PROVOCADAS POR LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA4.1. Superficie plana

5. REFERENCIAS